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第一章集合、常用逻辑用语、不等式
必刷小题 1 集合、常用逻辑用语、不等式
[分值：73分]
【高考考向预测】
近三年高考中集合为必考5分基础单选题，多结合不等式考查交并补运算，考频稳居首位；
常用逻辑用语考查频次较高，以充分必要条件判定为主，辅以全称特称命题否定；不等式渗透面
广，一元二次不等式为解题基础，基本不等式高频用于求最值，线性规划大幅弱化。预测2027 年
高考预计延续稳中求新命题风格，集合仍稳居卷首送分位置，融合各类不等式解集运算；常用逻
辑用语将更多结合函数、几何等知识综合设题；不等式侧重考查最值求解与恒成立参数范围问题，
强化实际应用，弱化偏题旧题型，整体依旧以基础题型为主，侧重运算与逻辑思维考查。
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5}，B={-3，-1，0，2，3}，则A∩B等于( )
A.{-1，0} B.{2，3}
C.{-3，-1，0} D.{-1，0，2}
【答案】A
【解析】因为A={x|-√35<x<√35}，
B={-3，-1，0，2，3}，
且1<√35<2，-2<-√35<-1，
所以A∩B={-1，0}.
2.(2025·长治模拟)命题“∀x>0，x2-3x+2>0”的否定是( )
A. x>0，x2-3x+2≤0
B. x≤0，x2-3x+2≤0
∀
C. x>0，x2-3x+2≤0
∀
D. x≤0，x2-3x+2≤0
∃
【答案】C
∃
【解析】命题“∀x>0，x2-3x+2>0”的否定是“∃x>0，x2-3x+2≤0”.
{ | ❑√5−x }
3.(2025·武汉模拟)已知集合P= x∈N y= ，则P的真子集个数为( )
ln(x−1)
A.7 B.8 C.15 D.16
【答案】A{ 5−x≥0,
【解析】由 x−1>0,
ln(x−1)≠0,
解得1<x<2或2<x≤5，
{ | ❑√5−x }
所以P= x∈N y= ={3，4，5}，
ln(x−1)
所以P的真子集个数为23-1=7.
4.“a=2”是“直线l ：2ax+4y+3=0与直线l ：(a-1)2x+y-5=0平行”的( )
1 2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
1 1
【解析】若l ∥l ，则2a-4(a-1)2=0，解得a=2或a= ，经检验，当a=2或a= 时，l ∥l ，
1 2 2 2 1 2
所以由a=2可以得到l ∥l ，反之则不然，
1 2
故“a=2”是“l ∥l ”的充分不必要条件.
1 2
5.(2026·重庆模拟)已知关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1>0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
{ | 2❑√3}
A. m m>
3
{ | 2❑√3 2❑√3}
B. m m<− 或m>
3 3
{ | 2❑√3 }
C. m m> 或m=−1
3
D.{m|m≥−1}
【答案】A
【解析】关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1>0的解集为R，
当m+1=0，即m=-1时，解得x>2，显然解集不为R，故舍去；当m+1≠0，即m≠-1时，
{ m+1>0, 2❑√3
解得m> ，
Δ=(−m) 2−4(m+1)(m−1)<0, 3
{ | 2❑√3}
综上可得实数m的取值范围为 m m> .
3
6.已知a2+b2=ab+4，则a+b的最大值为( )
A.2 B.4 C.8 D.2❑√2【答案】B
3(a+b) 2
【解析】a2+b2=ab+4，则有(a+b)2=3ab+4≤ +4，
4
可得(a+b)2≤16，即a+b≤4，当且仅当a=b=2时，等号成立.所以a+b的最大值为4.
7.已知关于x的一元二次不等式x2-(m+1)x+2m-1<0的解集为{x|x <x<x }，其中x <x ，且实数x ，x 满足
1 2 1 2 1 2
1 1
+ <1，则实数m的取值范围是( )
x x
1 2
A.(2，+∞)
B.(-∞，2)
( 1)
C. −∞， ∪(2，+∞)
2
( 1)
D. −∞， ∪(5，+∞)
2
【答案】D
【解析】由不等式的解集可得，方程x2-(m+1)x+2m-1=0的根为x ，x ，
1 2
可得x +x =m+1，x x =2m-1，
1 2 1 2
由Δ=(m+1)2-4(2m-1)>0，得m>5或m<1，
1 1 x +x m+1 m+1−2m+1
1 2
由 + = = <1，得 <0，
x x x x 2m−1 2m−1
1 2 1 2
1
即(m-2)(2m-1)>0，解得m>2或m< ，
2
( 1)
综上，实数m的取值范围是 −∞， ∪(5，+∞).
2
8.(2025·乌鲁木齐模拟)已知x>0，y>0，且不等式x(x+1)2+y(y+1)2-(m2-2m)xy≥0恒成立，则m的取值不
可能是( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
【答案】A
x(x+1) 2 y(y+1) 2 (x+1) 2
【解析】由x>0，y>0，且x(x+1)2+y(y+1)2-(m2-2m)xy≥0得，m2-2m≤ + = +
xy xy y
(y+1) 2
，
x
∵
[ (x+1) 2
+ (
y+1) 2]
[(❑√y) 2+(❑√x) 2] ≥[(x+1)+(y+1)] 2
❑√y ❑√x
(
x+1 y+1
)
当且仅当 = ，即x= y时取等号 ，
y x(x+1) 2 (y+1) 2 (x+ y+2) 2 (x+ y) 2+4(x+ y)+4 4
∴ + ≥ = =(x+y)+ +4
y x x+ y x+ y x+ y
√ 4
≥2❑(x+ y)· +4=8(当且仅当x=y=1时取等号)，
x+ y
∴m2-2m≤8，解得-2≤m≤4，
结合选项知，m的取值不可能是-4.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
1 1
A.a2+b2≥ B.2a-b>
2 2
C.log a+log b≥-2 D.❑√a+❑√b≤❑√2
2 2
【答案】ABD
【解析】因为a>0，b>0，a+b=1，
所以a+b≥2❑√ab，
1 1
当且仅当a=b= 时，等号成立，即有ab≤ .
2 4
1 1
对于A，a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2× = ，故A正确；
4 2
1
对于B，2a-b=22a-1= ×22a，
2
1
因为a>0，所以22a>1，即2a-b> ，故B正确；
2
1
对于C，log a+log b=log (ab)≤log =-2，故C错误；
2 2 2 24
对于D，由(❑√a+❑√b)2=a+b+2❑√ab=1+2❑√ab≤2，得❑√a+❑√b≤❑√2，故D正确.
10.(2026·临沂模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥1}，则( )
A.b>0且c<0
B.4a+2b+c=0
C.不等式bx+c>0的解集为{x|x>2}
{ | 1}
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为 x −1<x<
2
【答案】ACa>0,
{
−2+1=−
b
, {
a>0,
【解析】由题意可知 a ⇒ a=b, 所以b>0且c<0，4a+2b+c=4a+2a-2a=4a>0，故A正确，
c −2a=c,
(−2)×1=
a
B错误；
不等式bx+c>0，即ax-2a=a(x-2)>0，又a>0，所以x>2，故C正确；
不等式cx2-bx+a<0，即-2ax2-ax+a=-a(2x-1)(x+1)<0，又a>0，
1
所以(2x-1)(x+1)>0，解得x> 或x<-1，故D错误.
2
11.(2025·北京模拟)对于数集A，B，它们的Descartes积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}，则下列选项正确
的是( )
A.A×B=B×A
B.若A C，则(A×B) (C×B)
C.A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
⊆ ⊆
D.集合{0}×R表示y轴所在直线
【答案】BCD
【解析】A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}，B×A={(x，y)|x∈B，y∈A}，故A×B≠B×A，A错误；
若A C，则对于A×B和C×B，点集中来自集合A的横坐标值一定在集合C中，且纵坐标值都来自
集合B，则(A×B) (C×B)，B正确；
⊆
A×(B∩C)={(x，y)|x∈A，y∈(B∩C)}，
⊆
(A×B)∩(A×C)={(x，y)|x∈A，y∈B}∩{(x，y)|x∈A，y∈C}={(x，y)|x∈A，y∈(B∩C)}，
则A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)，C正确；
集合{0}×R表示横坐标为0的点集，即为y轴所在直线，D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.已知命题p：∃x∈R，x2+2mx+3≤0，请写出一个满足“p为假命题”的整数m的值： .
【答案】-1(答案不唯一)
【解析】由命题p：∃x∈R，x2+2mx+3≤0为假命题，
则∀x∈R，x2+2mx+3>0恒成立，
得Δ=4m2-4×3<0，解得-❑√3<m<❑√3，
所以整数m的值可为-1，0，1.
{ |x−2 }
13.已知集合A={x|log x<m}，B= x ≤1 ，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数m
2 x−4
的取值范围是 .
【答案】(-∞，2]【解析】由log x<m 0<x<2m，
2
所以A=(0，2m)；
⇒
x−2 x−2 x−2−x+4 2
由 ≤1 -1≤0 ≤0 ≤0 x<4，所以B=(-∞，4).
x−4 x−4 x−4 x−4
因为“x∈A⇒”是“x∈B”⇒的充分不必要条件⇒，所以A⇒B且A≠B.
所以2m≤4 m≤2.
⊆
3 7
14.若正实数⇒a，b满足a+b+2=ab，则a+b-2的最小值为 ； + 的最小值是 .
a−1 b−1
【答案】2❑√3 2❑√7
b+2
【解析】由a+b+2=ab，得a= >0，所以b>1，同理可得a>1，所以b-1>0，a-1>0.
b−1
因为a+b+2=ab，所以(a-1)(b-1)=3，
所以a+b-2=(a-1)+(b-1)
≥2❑√(a−1)(b−1)=2❑√3，当且仅当a-1=b-1，即a=b=1+❑√3时取等号.
3 3 7 7 √ 7 7
又b-1= ，所以 + =b-1+ ≥2❑(b−1)· =2❑√7，当且仅当b-1= ，即b=❑√7
a−1 a−1 b−1 b−1 b−1 b−1
7+3❑√7
+1，a= 时，等号成立.
7
