数列通项：
1
n
n
S
S -
-
法、累加法、累乘法、构造法专项训练
1．（24-25 高二下·浙江温州·期末）数列
na
的前n 项和
2
3
n
S
n
n
=
+
，则
7a = （
）
A．140
B．120
C．40
D．50
【答案】C
【详解】由
2
3
n
S
n
n
=
+
可得
2
2
7
7
6
3 7
7
3 6
6
40
a
S
S
=
-
= ´
+
-
´
+
=
，
故选：C
2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
2
n
n
a
S
+ =
+
，则
na = （ ）
A．
1
2 3n-
´
B．
1
3
2n-
´
C．3n
D．2n
【答案】A
【详解】由题意，
*
N
nÎ
，
在等比数列
na
中，
1
2
2
n
n
a
S
+ =
+
，
设公比为q，
1
2
1
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
a
S
a
S
a
S
S
+
+
+
+
+
=
+
ì
ï
=
+
í
ï
=
-
î
，解得
2
1
3
n
n
a
a
+
+
=
，
∴
3
q =
，
当
1
n = 时，
2
1
1
1
2
2
2
2
3
a
S
a
a
=
+
=
+
=
，解得：
1
2
a =
，
∴
na
是以2 为首项，3 为公比的等比数列，
∴
1
*
2 3
N
n
n
a
n
-
=
´
Î
.
故选：A.
3．（24-25 高二下·广西桂林·期末）设数列
na
的前n 项和为
n
S ．若
1
1
a = ，
1
2
1
n
n
a
S
+ =
+ ，则
6
S =（ ）
A．61
B．121
C．125
D．364
【答案】D
【详解】因为
1
1
a = ，
1
2
1
n
n
a
S
+ =
+ ①，
所以当
1
n = 时，
2
1
1
2
1
2
1
3
a
S
a
=
+ =
+ =
，
考点一
法求数列通项
1
n
n
S
S -
-
当
2
n ³
时，
1
2
1(
2)
n
n
a
S
n
-
=
+
³
②，
①-②得，
1
1
2(
)
2
n
n
n
n
n
a
a
S
S
a
+
-
=
-
=
-
，
所以
1
3
(
2)
n
n
a
a n
+ =
³
，
又
2
1
3
a
a
=
，所以数列
na
是以
1
1
a = 为首项，3为公比的等比数列，
所以
6
6
6
1
1 3
3
1
728
364
1 3
2
2
S
´
-
-
=
=
=
=
-
.
故选：D.
4．（24-25 高二下·甘肃甘南·期末）设
n
S 是数列
na
的前n 项和，若
2
n
n
S
a
n
=
+
，则
10
a
= （ ）
A．1023
-
B．100
-
C．513
D．2036
【答案】A
【详解】由题意得
1
1
2
1
n
n
S
a
n
+
+
=
+
+ ，则
1
1
2
1
+
+
-
=
-
+
n
n
n
n
S
S
a
a
，
所以
1
2
1
n
n
a
a
+ =
- ，则
1
1
2
1
n
n
a
a
+ - =
-
．
当
1
n = 时，由
2
n
n
S
a
n
=
+
得，
1
1
2
1
a
a
=
+ ，解得
1
1
a = - ，
所以
1
1
2
a - = - ，
所以
1
na -
是首项为2
- ，公比为2 的等比数列，
则
1
2n
n
a - = -
，所以
1
2n
na = -
，
∴
10
10
1
2
1 1024
1023
= -
= -
= -
a
.
故答案为：A.
5．（24-25 高二下·江西南昌·期末）记数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
*
n
S
n
n n
=
+
ÎN
，则下列选项错误的是
（ ）
A．
2
4
a =
B．数列{
}
n
n
S
a
是公差为1 的等差数列
C．数列{2 }
n
a
是公比为4 的等比数列
D．数列{( 1)
}
n
na
-
的前2025 项和为2026
-
【答案】B
【详解】由
2
n
S
n
n
=
+
，
2
n ³
时，得
2
2
1
(
1)
(
1)
2
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
-
=
-
=
+
-
-
-
-
=
，而
1
1
2
a
S
=
=
满足上式，
因此数列
na
的通项公式为
2
na
n
=
，
对于A，
2
4
a =
，A 正确；
对于B，
2
1
1
2
2
2
n
n
S
n
n
n
a
n
+
=
=
+
，则
1
1
1
2
n
n
n
n
S
S
a
a
+
+
-
=
，所以数列{
}
n
n
S
a
是公差为
1
2 的等差数列，B 错误；
对于C，2
4
n
a
n
=
，则
1
2
4
2
n
n
a
a
+
=
，所以数列{2 }
n
a
是公比为4 的等比数列，C 正确；
对于D，令
( 1)
( 1)
2
n
n
n
n
b
a
n
= -
= -
×
，
2
1
2
2(2
1)
2 2
2
n
n
b
b
n
n
- +
= -
-
+ ×
=
，数列{ }
nb
前2025 项和为
1
2
3
4
2023
2024
2025
(
)
(
)
(
)
2 1012
2 2025
2026
b
b
b
b
b
b
b
+
+
+
+
+
+
+
=
´
- ´
= -
L
，D 正确.
故选：B.
6．（24-25 高二下·陕西渭南·期末·多选）数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
2
7
n
S
n
n
= -
+
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
na
是递增数列
B．
10
12
= -
a
C．当
4
n >
时，
0
na <
D．当
5
n =
时，
n
S 取得最大值
【答案】BC
【详解】
1
n = 时，
1
1
6
a
S
=
=
，
2
n ³
时，
2
2
1
7
1
7
1
2
8
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
-
é
ù
=
-
= -
+
- -
-
+
-
= -
+
ë
û
，
综上，
2
8
na
n
= -
+
，
所以，数列
na
是递减数列，故A 错误；
10
20
8
12
a
= -
+
= -
，故B 正确；
4
n >
时，
0
na <
，故C 正确；
2
7
n
S
n
n
= -
+
，所以当
3
n =
或
4
n =
时，
n
S 取得最大值，故D 错误；
故选：BC.
7．（24-25 高二下·江西新余·期末·多选）已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S 满足
1
2n
n
S
m
+
=
+
，数列
nb
满足
3
2
1
2
3
n
b
b
b
b
n
n
+
+
+
+
=
L
，则下列说法正确的是（ ）
A．
2
m = -
B．设
2
*
36
( )
,
N
n
n
a
f n
n
a
+
=
Î
，则
( )
f n 的最小值为12
C．若
2
0
n
n
ta
b
-
+
>
对任意的
*
nÎN 恒成立，则
1
8
t >
D．设
1
1
n
n
n
n
n
a
b
c
b b +
-
=
，若数列
nc
的前n 项和为
nT ，则
58
63
2
2
T
=
-
【答案】ACD
【详解】对于选项A：因为
1
2n
n
S
m
+
=
+
，
所以当
1
n = 时，
1
4
a
m
=
+
，当
2
n ³
时，
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
S
S
m
m
+
-
=
-
=
+
-
+
=
，
因为
na
为等比数列，所以
2
2
1
3
a
a
a
=
×
，即
16
8 4
m
=
+
，解得
2
m = - ，
此时
1
2
a =
符合
2n
na =
，则
2n
na =
，
1
2
n
n
a
a
+ =
，即
na
为等比数列，故A 正确；
对于选项B：因为
36
( )
n
n
f n
a
a
=
+
，
*
N
nÎ
，
所以
36
3
2
2
2
2
)
2
6
(
2
1
n
n
n
n
f n
×
=
+
³
=
，当且仅当
36
2
2
n
n
=
，即
2
log 6
n =
时等号成立，
因为
*
N
nÎ
，所以
( )
f n 不能取到12，故B 错误；
对于选项C：因为
3
2
1
2
3
n
b
b
b
b
n
n
+
+
+
+
=
L
，
所以当
1
n = 时，
1
1
b = ，当
2
n ³
时，
1
1
nb
n
n
n =
-
-
= ，则
nb
n
=
，
因为
1
1
b = 符合上式，所以
nb
n
=
，
若
2
0
n
n
ta
b
-
+
>
对任意的
*
N
nÎ
恒成立，则
2
2n
n
t
-
>
对
*
N
nÎ
恒成立，
令
2
( )
2n
n
g n
-
=
，则
1
1
1
2
3
(
1)
( )
2
2
2
n
n
n
n
n
n
g n
g n
+
+
-
-
- +
+
-
=
-
=
，
当1
2
n
≤
≤时，
1
g n
g n
+
>
，当
3
n =
时，
3
4
g
g
=
，当
4
n ³
时，
1
( )
g n
g n
+
<
，
所以
max
1
( )
(3)
(4)
8
g n
g
g
=
=
=
，则
1
8
t >
，故C 正确；
对于选项D：由题意得，
1
1
1
2
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
n
c
b b
n n
n
n
+
+
-
-
=
=
=
-
+
+
，
所以
2
3
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
2
1
1
n
n
n
nT
n
n
n
+
+
=
-
+
-
+
+
-
=
-
+
+
L
，
所以
4
58
63
6
2
64
2
2
2
T
=
-
=
-
，故D 正确.
故选：ACD.
8．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
=
×
L
，则数列
na
的通项公式为
.
【答案】
1
na
n
=
+
【详解】由题意
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
=
×
L
，
当
2
n ³
时，
2
1
1
2
1
2
2
1 2
n
n
n
a
a
a
n
-
-
-
+
+
+
=
-
×
L
，两式相减得，
1
1
1
1
2
2
2
1 2
1 2
n
n
n
n
na
n
n
n
-
-
-
-
=
×
-
-
×
=
+
×
，解得
1
na
n
=
+ ，
在
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
=
×
L
中，令
1
n = ，可得
1
2
1 1
a =
= + ，故
1a 也满足
1
na
n
=
+ ，
综上所述，所求即为
1
na
n
=
+ .
故答案为：
1
na
n
=
+ .
9．（24-25 高二下·广东深圳·期末）已知数列
na
满足
1
1
2
3
3
3
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
=
×
L
，则
2025
a
=
．
【答案】4051
【详解】
2
n ³
时，
2
1
1
2
1
3
3
1 3
n
n
n
a
a
a
n
-
-
-
+
+
+
=
-
×
L
，与原式相减得
1
1
1
3
3
1 3
2
1 3
n
n
n
n
na
n
n
n
-
-
-
=
×
-
-
×
=
+
×
，则
2
1
na
n
=
+ ，
经检验，
1
n = 时也成立，
故
2
1
na
n
=
+ ，即
2025
4051
a
=
．
故答案为：4051.
10．（24-25 高三下·山西大同·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
6
a =
，
2
2
2
n
n
S
a
n
=
+
-
．
(1)求
na
的通项公式：
(2)若
1
n
n
b
a
=
，
1 2
2 3
1
n
n
n
T
b b
b b
b b +
=
+
+
+
L
，求
nT ．
【答案】(1)
4
2
na
n
=
+
；
(2)
12 2
3
n
n
T
n
=
+
.
【详解】（1）由
2
2
2
n
n
S
a
n
=
+
-
，得
2
2
1
1
1
2
1
2
2
4
n
n
n
S
a
n
a
n
n
+
+
+
=
+
+
-
=
+
+
，
两式相减得
1
1
4
2
n
n
n
a
a
a
n
+
+
=
-
+
+
，则
4
2
na
n
=
+
；
（2）由（1）可知
1
1
4
2
n
n
b
a
n
=
=
+
，则
1
1
1
1
1
4
2
4
6
8 2
1
2
3
n
n
b b
n
n
n
n
+
æ
ö
=
=
-
ç
÷
+
+
+
+
è
ø ，
所以
1 2
2 3
1
1
1
1
1
1
1
1
8
3
5
5
7
2
1
2
3
n
n
n
T
bb
b b
b b
n
n
+
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+×××+
=
-
+
-
+×××+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
1 1
1
8 3
2
3
12 2
3
n
n
n
æ
ö
=
-
=
ç
÷
+
+
è
ø
.
11．（2025·四川成都·一模）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
2
6
a =
，且
1
2
n
n
n
S
na +
+
=
.
(1)求
1S ，
2S ，
3S ；
(2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分）
①
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是等比数列；②
1
n
a
n
ì
ü
í
ý
+
î
þ 是等比数列.
(3)记
nT 为数列
n
S
的前n 项和，求
nT .
【答案】(1)
1
2
S =
，
2
8
S =
，
3
24
S =
(2)证明见解析
(3)
1
1 2
2
n
nT
n
+
=
-
×
+
，
*
nÎN
【详解】（1）（1）令
1
n = ，得
1
2
3S
a
=
.又
2
6
a =
，所以
1
2
S =
.
2
1
2
2
6
8
S
S
a
=
+
=
+
= .
令
2
n =
，得
2
3
4
2
S
a
=
.又
2
8
S =
，所以
3
16
a =
.
故
3
2
3
8 16
24
S
S
a
=
+
=
+
=
.
（2）若选择①：由已知，得
1
2
n
n
n
n
S
n S
S
+
+
=
-
.
故
1
2
1
n
n
n
S
nS +
+
=
，所以
1
2
1
n
n
S
S
n
n
+ =
´
+
，
*
nÎN .
故
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是首项和公比均为2 的等比数列.
若选择②：由已知，
1
2
n
n
n
S
a
n
+
=
+
.故当
2
n ³
时，
1
1
1
n
n
n
S
a
n
-
-
=
+
.
两式相减，得
1
1
2
1
n
n
n
n
n
a
a
a
n
n
+
-
=
-
+
+
.
化简并整理，得
1
2
2
1
n
n
a
a
n
n
+
=
+
+ （
2
n ³
，且
*
nÎN ）.
又
1
1
2
a = ，
2
2
3
a =
，所以
2
1
2
3
2
a
a
=
´
.
故
1
n
a
n
ì
ü
í
ý
+
î
þ 是以1 为首项，2 为公比等比数列.
（3）若选择①：由（2）知，
2n
n
S
n =
，故
*
2n
n
S
n
n
=
×
ÎN
.
若选择②：由（2）知，
1
2
1
n
na
n
-
=
+
，故
1
*
1 2n
na
n
n
-
=
+
×
ÎN
.
所以
*
1
2
2
n
n
n
n
S
a
n
n
n
+
=
=
×
Î
+
N
.
所以
1
2
1
1 2
2 2
1 2
2
n
n
nT
n
n
-
= ´
+ ´
+
+
-
×
+
×
L
.
则
2
3
1
2
1 2
2 2
1 2
2
n
n
nT
n
n
+
= ´
+ ´
+
+
-
×
+
×
L
.
两式错位相减，得
1
2
3
1
2
2
2
2
2
n
n
nT
n
+
-
=
+
+
+
+
-
×
L
1
1
2 2
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
+
+
=
-
- ×
=
-
×
-
.
所以
1
1 2
2
n
nT
n
+
=
-
×
+
，
*
nÎN
12．（24-25 高二下·甘肃张掖·期末）已知数列
na
的前n 项和
n
S 满足
1 1
2
n
n
S
a
=
-
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
n
n
n
b
a
+
=
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
1
3
n
na
æ
ö
= ç
÷
è
ø
(2)
1
2
1 3
3
4
n
n
n
T
+
+
-
=
【详解】（1）因为
1 1
2
n
n
S
a
=
-
，所以当
1
n = 时，
1
1
1
1 1
2
a
S
a
=
=
-
，解得
1
1
3
a =
.
当
2
n ³
时，
1
1
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
a
S
S
a
a
-
-
=
-
=
-
-
-
，整理得
1
1
3
n
n
a
a -
=
，
所以数列
na
是以1
3 为首项，1
3 为公比的等比数列，
所以
1
3
n
na
æ
ö
= ç
÷
è
ø
.
（2）由（1）得，
1
3
n
na
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，所以
1
1 3n
n
n
n
b
n
a
+
=
=
+
.
所以
2
3
1
2
3
2 3
3 3
4 3
1 3n
n
n
T
b
b
b
b
n
=
+
+
+
+
=
´ + ´
+ ´
+
+
+
L
L
，
2
3
4
1
3
2 3
3 3
4 3
1 3n
nT
n
+
=
´
+ ´
+ ´
+
+
+
L
，
两式相减，得
2
3
1
2
2 3
3
3
3
1 3
n
n
nT
n
+
-
=
´ +
+
+
+
-
+
L
1
1
3
1 3
2
1 3
3
3
1 3
1 3
2
2
n
n
n
n
n
+
+
´
-
+
=
+
-
+
=
-
-
，
所以
1
2
1 3
3
4
n
n
n
T
+
+
-
=
.
13．（24-25 高二下·广东汕尾·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
1
0
a =
，
1
2
n
n
a
S
n
+ +
=
，n
*
ÎN ．
(1)分别求出数列
na
中的
3a ，
4a ，
5a 的值；
(2)求数列
na
的通项公式．
【答案】(1)
3
0
a =
，
4
1
a = ，
5
0
a =
．
(2)
1
1
2
n
na
+ -
=
【详解】（1）（解法1）（1）当
2
n ³
时，
1
2
1
n
n
S
n
a
- =
- -
，
又∵
1
2
n
n
S
n
a +
=
-
，∴
1
1
n
n
a
a
+ +
= ，
当
1
n = 时，∵
1
1
S
a
=
，∴
2
1
2
1
a
a
+
= ，
∵
1
0
a =
，∴
2
1
a = ，
∴
3
2
1
0
a
a
= -
=
，
4
3
1
1
a
a
= -
= ，
5
4
1
0
a
a
= -
=
．
（解法2）：∵
1
0
a =
，
1
2
n
n
a
S
n
+ +
=
，n
*
ÎN ，
∴
2
1
2
1
a
a
+
= ，解得
2
1
a = ，
又∵
3
1
2
2
2
a
a
a
+
+
=
，∴
3
2
2
a +
=
，解得
3
0
a =
，
同理
4
1
2
3
2
3
a
a
a
a
+
+
+
=
，解得
4
1
a = ，
5
1
2
3
4
2
4
a
a
a
a
a
+
+
+
+
=
，解得
5
0
a =
，
故
3
0
a =
，
4
1
a = ，
5
0
a =
．
（2）（解法1）由（1）（解法一）知，
1
0
a =
，
2
1
a = ，
则
2
1
1
a
a
+
= ，故n
*
ÎN 时，有
1
1
n
n
a
a
+ +
= ，①
∴
2
1
1
n
n
a
a
+
+
+
= ，②
由①，②得，
2
0
n
n
a
a
+ -
=
，即
2
n
n
a
a
+ =
，
当n 为偶数时，
2
4
6
4
2
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
-
-
=
=
=
=
=
=
=
，
当n 为奇数时，
2
4
5
3
1
0
n
n
n
a
a
a
a
a
a
-
-
=
=
=
=
=
=
=
．
综上所述，数列
na
的通项公式为
0,
1,
n
n
a
n
ì
= í
î
为奇数
为偶数（或
1
1
2
n
na
+ -
=
，n
*
ÎN ）．
（解法2）由（1）（解法一）知，
1
0
a =
，
2
1
a = ，则
2
1
1
a
a
+
= ，
故n
*
ÎN 时，有
1
1
n
n
a
a
+ +
= ，
当n 为奇数时，由
2
1
1
a
a
+
= ，
3
2
1
a
a
+
= ，
4
3
1
a
a
+
= ，…，
1
1
n
n
a
a -
+
= ，
由以上各式可得
3
1
0
a
a
-
=
，
5
3
0
a
a
-
=
，…，
2
0
n
n
a
a -
-
=
，
可得
2
5
3
1
0
n
n
a
a
a
a
a
-
=
=
=
=
=
=
，故
0
na =
．
当n 为偶数时，由
2
1
1
a
a
+
= ，
3
2
1
a
a
+
= ，
4
3
1
a
a
+
= ，…，
1
2
1
n
n
a
a
-
-
+
= ，
以上各式两两相减，可得
3
1
0
a
a
-
=
，
5
3
0
a
a
-
=
，…，
1
3
0
n
n
a
a
-
-
-
=
，
可得
1
3
5
3
1
0
n
n
a
a
a
a
a
-
-
=
=
=
=
=
=
，
又∵
1
1
n
n
a
a -
+
= ，∴
1
na = ，
综上所述，数列
na
的通项公式为
0,
1,
n
n
a
n
ì
= í
î
为奇数
为偶数（或
1
1
2
n
na
+ -
=
，n
*
ÎN ）．
（解法3）由（1）知，
1
1
n
n
a
a
+ +
= ，且
1
0
a =
，
2
1
a = ，
3
0
a =
，
4
1
a = ，
5
0
a =
，
归纳上述结果，猜想
1
1
2
n
na
+ -
=
．
当
1
n = 时，
1
1
1
1
0
2
a
+ -
=
=
，猜想成立，
假设当n
k
=
时，
1
1
2
k
ka
k
*
+ -
=
ÎN
，
那么
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
k
k
k
k
k
a
a
+
+
+ -
- -
+ -
= -
= -
=
=
，
即
1
n
k
=
+ 时，猜想成立．
综上所述，对任意n
*
ÎN ，上述猜想都成立，
即
1
1
2
n
na
+ -
=
．
（解法4）当
2
n ³
时，
1
2
1
n
n
S
n
a
- =
- -
，
又∵
1
2
n
n
S
n
a +
=
-
，∴
1
1
n
n
a
a
+ +
= ，
当
1
n = 时，∵
1
1
S
a
=
，∴
2
1
2
1
a
a
+
= ，
∵
1
0
a =
，∴
2
1
a = ，即
2
1
1
a
a
+
= ，符合
1
1
n
n
a
a
+ +
= ，
∴n
*
ÎN 时，有
1
1
n
n
a
a
+ +
= ．
∴
2
1
1
a
a
+
= ，
3
2
1
a
a
+
= ，
4
3
1
a
a
+
= ，…，
1
1
n
n
a
a -
+
= ，
又由（1）知，
1
0
a =
，
2
1
a = ，
故当n 为奇数时，
0
na =
；当n 为偶数时，
1
na = ．
故数列
na
的通项公式为
0,
1,
n
n
a
n
ì
= í
î
为奇数
为偶数（或
1
1
2
n
na
+ -
=
，n
*
ÎN ）．
14．（2025·宁夏吴忠·二模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
2
n
n
a
S
=
+
．
(1)求数列
na
的通项公式．
(2)记
1
1
1
n
n
n
a
b
a +
-
=
- ，证明：
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
4
2
n
i
n
n
i
n
n
b
+
+
=
-
+
<
<
-
+
å
．
(3)记
2
3
2
n
n
c
a
=
+
（
*
nÎN ），证明：
1
4
7
n
i
i
c
=
<
å
．
【答案】(1)
2n
na =
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由
1
2
2
n
n
a
S
=
+
，可得
2
2
n
n
S
a
=
-
．
当
1
n = 时，
1
1
1
2
2
a
S
a
=
=
-
，解得
1
2
a =
，
当
2
n ³
时，
1
1
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S
a
a
a
a
-
-
-
=
-
=
-
-
-
=
-
，整理得
1
2
n
n
a
a -
=
（
2
n ³
），
∴数列
na
是以2 为首项、2 为公比的等比数列，
∴
1
2 2
2
n
n
na
-
=
×
=
.
（2）∵
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a
+
+
+
+
-
-
-
=
=
>
=
-
-
-
，
∴
2
3
1
1
1
1
1
1
4
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
i
n
n
i
n
n
b
+
+
=
é
ù
æ
ö
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ë
û
>
-
+
-
+
+
-
=
-
=
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
-
å
L
．
又
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
b
+
+
+
+
+
-
-
-
=
=
=
-
<
-
-
-
-
，
∴
3
4
2
2
1
1
1
1
8
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
1
2
n
n
i
n
n
i
n
n
b
+
+
=
é
ù
æ
ö
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ë
û
<
-
+
-
+
+
-
=
-
=
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
-
å
L
．结论得证.
（3）由题意知
1
1
2
1
1
3 2
2
3 2
1
3 2
n
n
n
n
c
-
-
=
=
<
×
+
×
+
×
，
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
...
3 1
3 2 1
3 2
1
3 2
1
4
7
3 2
1
3 2
1
n
i
n
n
i
c
-
-
=
\
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
´ +
´
+
´
+
´
+
´
+
å
2
2
1
2
1
1
1
1
1
11
1
1
11
1
1
1
11
1
11
1
4
2
4
1
1
28
3 2
3 2
28
3 2
2
28
3
28
3
1
1
2
2
n
n
n
-
-
-
æ
ö
-
ç
÷
æ
ö
è
ø
<
+
+
+
=
+
+
+
=
+
´
<
+
´
ç
÷
´
´
è
ø
-
-
L
L
47
48
4
84
84
7
=
<
=
，得证.
15．（24-25 高二下·河北秦皇岛·期末）已知数列
na
的前n 项和
2
2
n
n
n
S
+
=
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
2
1
1
3
1
n
n
n
n
a b
a b
a b
-
+
+
+
=
-
L
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
na
n
=
(2)
1
2 3
n
n
T
-
=
×
【详解】（1）当
1
n = 时，得
1
1
1
a
S
=
= ，
当
2
n ³
时，
2
2
1
1
1
2
1 1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S
n
-
-
+
-
+
- +
=
-
=
-
=
=
，
又
1
1
a = 满足上式，
所以
na
的通项公式为
na
n
=
；
（2）因
1
2
1
1
3
1
n
n
n
n
a b
a b
a b
-
+
+
+
=
-
L
L①，
则当
1
n = 时，
1 1
1
1
2
2
a b
b
T
=
Þ
=
=
当
2
n ³
时，
1
1
1
2
2
1 1
3
1
n
n
n
n
a b
a b
a
b
-
-
-
-
+
+
+
=
-
L
L②，
①②两式相减可得：
1
1
1
2
1
1
3
2
2
1
1
3
3
2 3
n
n
n
n
n
n
n
n
a b
a
a b
a
a
b
a
a
b
-
-
-
-
-
+
-
+
-
+
+
-
=
-
=
×
L
，
由（1）可得
2
1
3
2
1
1
n
n
a
a
a
a
a
a -
-
=
-
=
=
-
=
L
，
则
1
1
2
1
1
3
2
2
1
1
2 3n
n
n
n
n
n
n
a b
a
a b
a
a
b
a
a
b
T
-
-
-
-
+
-
+
-
+
+
-
=
=
×
L
，其中
2
n ³
.
又当
1
n = 时，
0
1
1
2
2 3
b
T
=
=
=
´
，
则
1
2 3
n
n
T
-
=
×
1．（24-25 高二下·山东德州·期中）已知数列
na
满足
1
2
0,
1
a
a
=
= ，若数列
1
n
n
a
a
+ -
是公比为3 的等比数列，则
2025
a
=（ ）
A．
2023
3
1
2
+
B．
2024
3
1
2
+
C．
2023 1
3
2
-
D．
2024
3
1
2
-
【答案】D
【详解】因数列
1
n
n
a
a
+ -
是公比为3 的等比数列，且
1
2
0,
1
a
a
=
= ，
则数列
1
n
n
a
a
+ -
的首项为
2
1
1
a
a
-
= ，
1
1
3n
n
n
a
a
-
+ -
=
，
1
1
2
2
1
1
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
=
-
+
-
+
+
-
+
L
1
0
1
2
2
1
1 3
1
3
3
3
3
(3
1)
1 3
2
n
n
n
-
-
-
-
=
+
+
+
+
=
=
-
-
L
，
故
2024
2025
3
1
2
a
-
=
.
故选：D.
2．（24-25 高二下·河北·期末）在数列
na
中，
1
0
a =
，
1
1
ln 1
n
n
a
a
n
+
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø ，则
na
的通项公式为（ ）
A．
ln
na
n
=
B．
1 ln
1
na
n
n
=
-
+
C．
ln
na
n n
=
D．
ln
1
na
n
n
=
+
-
【答案】A
【详解】由已知得
1
1
ln
ln
1
ln
n
n
n
a
a
n
n
n
+
+
æ
ö
-
= +
=
+
-
ç
÷
è
ø
，
1
ln
ln
1
n
n
a
a
n
n
-
-
=
-
-
1
2
ln
1
ln
2
n
n
a
a
n
n
-
-
-
=
-
-
-
3
2
ln3
ln 2
a
a
-
=
-
2
1
ln 2
ln1
a
a
-
=
-
将上述
1
n - 个等式相加，整理得
1
ln
ln1
ln
na
a
n
n
-
=
-
=
又因为
1
0
a =
，所以
ln
na
n
=
故选：A
考点二
累加法求数列通项
3．（24-25 高二下·安徽·期中）已知数列
na
满足
1
10
a =
，
1
2
n
n
a
a
n
+ -
=
，则
na
n 的最小值为（ ）
A．11
2
B．16
3
C．27
4
D．2 10
1
-
【答案】B
【详解】因为数列
na
满足
1
10
a =
，
1
2
n
n
a
a
n
+ -
=
，即
1
2
n
n
a
a
n
+ -
=
，
当
2
n ³
时，则有
1
2
1
n
n
a
a
n
-
-
=
-
，
所以
2
1
2
a
a
-
=
，
3
2
4
a
a
-
=
，，
1
2
1
n
n
a
a
n
-
-
=
-
，
上述等式全部相加得
2
1
2
2
2
1
2
4
2
1
2
n
n
n
a
a
n
n
n
+
-
-
-
=
+
+
+
-
=
=
-
L
，
所以
2
2
1
10
na
n
n
a
n
n
=
-
+
=
+
-
，
1
10
a =
也满足
2
10
na
n
n
=
+
-
，故对任意的n
*
ÎN ，
2
10
na
n
n
=
+
-
，
所以
2
10
10
1
na
n
n
n
n
n
n
+
-
=
=
+
- ，
由对勾函数的单调性可知，函数
10
1
y
x
x
=
+
- 在
0, 10 上单调递减，在
10,+¥ 上单调递增，
又因为3
10
4
<
<
，因为
3
10
16
3
1
3
3
3
a =
+
- =
，
4
5
11
4
1
2
2
a =
+
- =
，故
3
4
a
a
<
，
所以
na
n 的最小值为
3
16
3
3
a =
.
故选：B.
4．（24-25 高二下·辽宁·期中）若数列
na
满足
1
2
1
n
n
a
a
n
n
-
=
+
+
（
2
n ³
且
N
n
+
Î
），
1
1
2
a =
，则
2025
a
=（ ）
A．2022
2023
B．2023
2024
C．2024
2025
D．2025
2026
【答案】D
【详解】由
1
1
2
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
n
n
n
n
-
-
=
+
Þ
-
=
-
+
+ ，可得：
1
2
1
3
2
4
3
2025
2024
1
2
1
1
2
3
1
1
3
4
1
1
4
5
1
1
2025
2026
a
a
a
a
a
a
a
a
a
ì
=
ï
ï
ï
-
=
-
ï
ï
ï
-
=
-
ïí
ï
-
=
-
ï
ï
ï×××
ï
ï
-
=
-
ïî
，累计可得：
2025
1
2025
1
2026
2026
a
= -
=
，
故选：D.
5．（24-25 高三下·云南丽江·阶段练习）已知数列
na
满足
1
1
1
lg2
lg
2
n
n
n
a
a
a
n
n
-
+
=
-
=
³
，
，则
99
a
=
（ ）
A．3
B．2
C．lg99
D．lg101
【答案】B
【详解】因为
1
1
1
lg2,
lg
2
n
n
n
a
a
a
n
n
-
+
=
-
=
³
，
所以当
2
n ³
时，
1
2
1
3
2
1
3
4
1
lg2
lg
lg
lg
lg
1
2
3
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
-
+
=
+
-
+
-
+
+
-
=
+
+
+
+
=
+
L
L
，则
99
2
a
=
，故B 正确.
故选：B.
6．（2025·江西·三模·多选）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，数列
3
na +
的前n 项积为
1
,
1
nT a = ，
1
1
2n
n
n
a
a
+
+ -
=
，则
（ ）
A．
3
12
a =
B．
1
2
3
n
na
+
=
-
C．
5
109
S =
D．
3
2
2
n n
nT
+
=
【答案】BCD
【详解】因为
1
1
1
1,
2n
n
n
a
a
a
+
+
=
-
=
，所以
2
1
3
2
4,
8
a
a
a
a
-
=
-
=
，解得
2
3
5,
13
a
a
=
=
，故A 错误；当
2
n ³
时，
1
1
1
2
3
2
2
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
=
-
+
-
+
+
-
+
-
L
1
2
3
1
1
4 1
2
2
2
2
2
2
4
1
2
n
n
n
n
-
-
+
-
=
+
+
+
+
=
=
-
-
L
，
则
1
2
3
n
na
+
=
-
，且
1
1
a = 也符合
1
2
3
n
na
+
=
-
，故B 正确；
6
5
3
4
7
2
3
1
2
5
4
2
2
2
2
15
15
109
1 2
S
a
a
a
a
a
-
=
+
+
+
+
=
+
+
+
-
=
-
=
-
L
，故C 正确；
1
3
2n
na
+
+
=
，则
2
1
3
2
3
1
2 3
1
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n n
n
n
nT
+ +
+
+
+ +
+ +
=
´
´
´
=
=
=
L
L
，故D 正确.
故选：BCD
7．（2025·山东泰安·模拟预测·多选）已知数列
na
的前n 项的和
n
S ，
1
1
1
1
n
n
n
S
nS
n
n n
-
-
=
+
-
+
，
*
2,
N
n
n
³
Î
若
1
20
a =-
，则下列说法正确的是（ ）
A．
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 为等差数列
B．
3
5
a = -
C．
n
S 能取得最小值
3
39
S = -
D．当
4
n =
时，
n
n
a
S 取得最小值
【答案】BC
【详解】对于选项A，
1
1
1
1
n
n
n
S
nS
n
n n
-
-
=
+
-
+
两边同除以
1
n
n
-
，
得
1
1
1
n
n
S
S
n
n
n
-
-
=
+
-
，故选项A 错误；
对于选项B，由
1
1
1
n
n
S
S
n
n
n
-
-
=
+
-
，
可得
3
1
2
1
2
3,
4,
,
1
2
1
3
2
1
n
n
S
S
S
S
S
S
n
n
n
-
-
=
-
=
-
=
+
-
，
累加法得
2
3
44
2
n
n
n
n
S
+
-
=
，代入
1
n
n
n
a
S
S -
=
-
2
n ³
，
得
2
3
3
46
2
n
n
n
a
+
-
=
2
n ³
，又
1
20
a =-
满足上式，
故
2
3
3
46
2
n
n
n
a
+
-
=
*
N
nÎ
，
3
5
a = - ，故选项B 正确；
对于选项C，令
3
2
1
3
44
2
f x
x
x
x
=
+
-
0
x >
，
则
2
1 3
6
44
2
f
x
x
x
¢
=
+
-
，
由
0
f
x
¢
>
得
141
1
3
x > - +
，
由
0
f
x
¢
<
得
141
0
1
3
x
<
< - +
，
所以当
141
1
3
x = - +
时
( )
f x 取得最小值，
经验证
3
n =
时，
n
S 能取得最小值
3
39
S = -
，故选项C 正确；
对于选项D，由
2
3
44
2
n
n
n
n
S
+
-
=
，
2
3
3
46
2
n
n
n
a
+
-
=
，
所以
2
3
2
3
3
46
3
44
n
n
n
n
n
n
n
a
S
+
-
=
+
-
，
由
0
nS <
得1
5
n
£
£
，由
0
na <
得1
3
n
£
£
，
由上可知
n
n
a
S 的最小值在
4
n =
或5 时取得，
当
4
n =
时，
4
4
48 12
46
14
0.218
64
48 176
64
a
S
+
-
=
=
» -
+
-
-
，
当
5
n =
时，
5
5
75 15
46
44
2.2
125
75
220
20
a
S
+
-
=
=
» -
+
-
-
，
经验算
5
n =
时取得最小值，故选项D 错误.
故选：BC
8．（24-25 高二下·海南省直辖县级单位·期中）若数列
na
满足
1
1
2
1
n
n
a
a
n n
-
-
=
+
（
2
n ³
，且
*
nÎN ），
1
3
4
a =
，
则
na =
.
【答案】2
1
2
2
n
n
+
+
【详解】因为
1
1
1 1
1
2
1
2
1
n
n
a
a
n n
n
n
-
æ
ö
-
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø （
2
n ³
，且
*
nÎN ），
1
3
4
a =
，
所以
1
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
=
-
+
-
+
+
-
+
L
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
1
2
1
1
3
4
2
3
4
2
2
n
n
n
n
n
n
é
ù
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
+
-
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
+
-
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
L
；
经验证，
1
n = 时，2 1 1
3
2 1
2
4
´ +
=
´ +
，符合条件.
故答案为：2
1
2
2
n
n
+
+
.
9．（24-25 高二下·广东广州·期末）已知数列
na
的首项
1
3
2
a =
，且
1
1
1
2
n
n
n
a
a
+
+
-
= -
，则
na
的通项公式为
；
若不等式
1
2
3
n
a a a
a
m
××
<
×
（
N
mÎ
）恒成立，则m 的最小值为
．
【答案】
1
1
2
n
n
a =
+
3
【详解】
1
3
2
a =
，且
1
1
1
2
n
n
n
a
a
+
+
-
= -
，再由累加法得：
1
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
=
-
+
-
+
+
-
+
L
1
2
1
1
1
3
2
2
2
2
n
n-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
+ -
+
+ -
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
L
1
1
1
3
1
4
2
1
1
2
2
1
2
n
n
+
-
-
+
=
+
-
．
设=ln
1
g x
x
x
-
+ ，则
1
1
1
x
g
x
x
x
-
=
- =
¢
，
1
0
g¢
=
，
当
0,1
xÎ
时，
0
g
x
¢
>
，
g x 为增函数，
当
1,
x
¥
Î
+
时，
0
g
x
¢
<
，
g x 为减函数，
所以
max
1
0
g x
g
=
=
，即ln
1
x
x
£
- ，当且仅当
1
x = 时等号成立，
所以
1
1
ln
ln
1
2
2
n
n
n
a
æ
ö
=
+
<
ç
÷
è
ø
，
所以
1
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
ln
ln
ln
1
1
1
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
a
a
a
é
ù
æ
ö
´
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
æ
ö
ë
û
+
+
+
<
+
+
+
=
= -
<
ç
÷
è
ø
-
L
L
，
即
1
2
ln
1
n
a a
a
<
L
，所以
1
2
3
e
n
a a a
a
×××
<
，又
1
2
3
3
5
9
135
2
2
4
8
64
a a a =
´
´
=
>
，
故不等式
1
2
3
n
a a a
a
m
××
<
×
（
N
mÎ
）恒成立，则m 的最小值为3.
故答案为：
1
1
2
n
n
a =
+ ，3
10．（24-25 高二下·福建福州·期中）已知数列
na
满足：
1
1
a = ，
*
1
2n
n
n
a
a
n
+ =
+
ÎN
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
nb
的前n 项和为
n
S ，若
2
2
1
2
2
1
1
log
1 log
1
n
n
n
b
a
a
-
+
=
+
×
+
，求证：
1
2
n
S <
．
【答案】(1)
*
2
1
n
na
n
=
-
ÎN
(2)证明见解析
【详解】（1）数列
na
满足
1
1
a = ，
*
1
2n
n
n
a
a
n
+ =
+
ÎN
，
所以当
2
n ³
时，
1
1
2n
n
n
a
a
-
-
=
+
，…，
2
3
2
2
a
a
=
+
，
2
1
2
a
a
=
+
，
上述各式相加得
2
1
1
2
2
2n
na
a
-
=
+
+
+
+
，
又
1
1
a = ，所以
2
1
1 2
1
2
2
2
2
1(
2)
1 2
n
n
n
na
n
-
-
= +
+
+
+
=
=
-
³
-
L
，
又
1
1
a = 满足上式，故
*
2
1
n
na
n
=
-
ÎN
．
（2）由（1）可知
2
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
log
1 log
1
(2
1)(2
1)
2 2
1
2
1
n
n
n
b
a
a
n
n
n
n
-
+
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
+
×
+
-
+
-
+
è
ø，
所以
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
2
1
2
1
n
S
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+¼+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
-
+
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
1
1
1
2
2
1
n
æ
ö
=
-
ç
÷
+
è
ø．
因为
1
0
2
1
n
>
+
，所以
1
1
1
1
2
2
1
2
n
S
n
æ
ö
=
-
<
ç
÷
+
è
ø
．
11．（24-25 高二下·广东广州·期末）已知数列
na
的首项为
1
1
a = ，且满足
*
1
1,
n
n
a
a
n
n
+ -
=
+
ÎN ．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
2
3
1
1
1
1
9
5
n
a
a
a
a
+
+
+ ×××+
<
，求满足条件的最大整数n ．
【答案】(1)
1
2
n
n n
a
+
=
(2)8
【详解】（1）当
2
n ³
时，
1
2
1
3
2
1
,
2,
3,
,
n
n
n
n
a
a
n a
a
a
a
a
a
n
-
-
-
=
-
=
-
=
×××
-
=
，
将以上等式两边分别累加，可得
1
2
1
2
3
2
n
n
n
a
a
n
+
-
-
=
+
+ ×××+
=
，
2
1
1
2
1,
1
2
2
n
n n
n
n
a
a
+
+
-
= \
= +
=
Q
，
当
1
n = 时，也符合上式．
1
2
n
n n
a
+
\
=
．
（2）
1
2
1
1
2
1
1
na
n n
n
n
æ
ö
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø
Q
，
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 1
2 1
2
2
3
3
4
1
1
n
a
a
a
a
n
n
n
æ
ö
æ
ö
\
+
+
+ ×××+
=
-
+
-
+
-
+ ×××+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø ，
1
2
3
1
1
1
1
9
5
n
a
a
a
a
+
+
+ ×××+
<
Q
，
1
9
1
9
2 1
,1
1
5
1
10
n
n
æ
ö
\
-
<
-
<
ç
÷
+
+
è
ø
，
1
10
9
n
n
\ + <
\
<
，
*,
n
n
Î
\
N
Q
的最大值为8.
12．（2025·山东枣庄·二模）在数列
na
中，
1
1
20,
2
2
n
n
n
a
a
a
+
=
=
+
-
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
2n
n
n
b
a
=
-
，求数列
nb
的前n 项和
n
S 的最大值.
【答案】(1)
2
2
20
n
na
n
=
-
+
；
(2)90.
【详解】（1）依题意，当
2
n ³
时，
1
1
2
2
n
n
n
a
a
-
-
-
=
-
，则
1
2
1
3
2
1
(
)
(
)
(
)
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a -
=
+
-
-
-
+
+
+
L
1
2
3
1
2
3
1
20
(2
2)
(2
2)
(2
2)
(2
2)
(2
2
2
2
)
2(
1)
20
n
n
n
-
-
=
+
-
+
-
+
-
+
+
-
=
+
+
+
+
-
-
+
L
L
1
2(1 2
)
2
22
2
2
20
1 2
n
n
n
n
-
-
=
-
+
=
-
+
-
，
1
20
a =
满足上式，
所以
na
的通项公式为
2
2
20
n
na
n
=
-
+
.
（2）由（1）得
2
2
20
n
n
n
b
a
n
=
-
= -
+
，数列
nb
是递减等差数列，
由
0
nb ³
，得
10
n £
，则数列
nb
前10 项均为非负数，从第11 项起为负数，
而
10
0
b
=
，因此数列
nb
前10 项和与前9 项和相等，都最大，
所以数列
nb
的前n 项和
n
S 的最大值为
10
9
18
0 10
90
2
S
S
+
=
=
´
=
.
13．（24-25 高二下·北京·期中）在数列
na
中，
1
2
a =
，
1
2n
n
n
a
a
+ =
+
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足对任意
*
N
nÎ
，
1
2
2 n
n
n
b
b
b
+
+
=
+
，且
1
3
b =
，
3
3
1
b
a
=
+ ，设其前n 项和为
n
S ．
（ⅰ）设数列
1
n
S
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
nT ，求证：
2
3
nT <
；
（ⅱ）若对任意
*
N
nÎ
，
5
n
n
b
a
l
- ≤
恒成立，写出实数l 的最小值．（结论不要求证明）
【答案】(1)
2n
na =
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
1
2
【详解】（1）因为
1
2n
n
n
a
a
+ =
+
，即
1
2n
n
n
a
a
+ -
=
，
所以
1
2
1
2
a
a
-
=
，
2
3
2
2
a
a
-
=
，…，
1
1
2n
n
n
a
a
-
-
-
=
将这
1
n - 个等式累加，
得
1
2
1
1
2 1
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
na
a
-
-
-
-
=
+
+
+
=
=
-
-
L
，
又
1
2
a =
，所以
2n
na =
，
因为
1
2
a =
也满足
2n
na =
，所以
2n
na =
．
（2）（ⅰ）因为
1
2
2 n
n
n
b
b
b
+
+
=
+
，所以
nb
为等差数列，
设公差为d ，又
1
3
b =
，
3
3
1
9
b
a
=
+ =
，所以
3
1
3
3 1
b
b
d
-
=
=
-
，
所以
3
nb
n
=
，则
3
3
2
n
n n
S
+
=
；
所以
1
2
2 1
1
3
3
3
1
n
S
n n
n
n
æ
ö
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø ，
所以
2 1
1
2 1
1
2 1
1
3 1
2
3 2
3
3
1
nT
n
n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
è
ø
è
ø
è
ø
L
2 1
1
1
1
1
1
3 1
2
2
3
1
n
n
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
ç
÷
+
è
ø
L
2
1
2
1
3
1
3
n
æ
ö
=
-
<
ç
÷
+
è
ø
；
（ⅱ）因为对任意
*
N
nÎ
，
5
n
n
b
a
l
- ≤
恒成立，
即对任意
*
N
nÎ
，3
5
2n
n
l
-
£
×
恒成立，
所以对任意
*
N
nÎ
，
3
5
2n
n
l
-
³
恒成立，
令
3
5
2
n
n
n
c
-
=
，则
1
1
1
1
3
2
2 3
5
3
2
3
5
8
3
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
c
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
=
-
=
=
，
所以当1
2
n
≤
≤时
1
0
n
n
c
c
+ -
>
，当
3
n ³
时
1
0
n
n
c
c
+ -
<
，
所以
1
2
3
4
5
c
c
c
c
c
<
<
>
>
>L，
所以
max
1
2
nc
=
，所以
1
2
l ³
，则实数l 的最小值
1
2 .
14．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1 的正项数列
na
满足
2
2
1
8
n
n
a
a
n
+ -
=
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)令
1
1
1
2
n
n
n
n
n
a
a
b
a
a
+
+
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
（
*
nÎN ），求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
2
1
na
n
=
-
(2)
2
2
1
n
n
S
n
n
=
+
+
【详解】（1）令
2
n
n
e
a
=
，
2
1
1
1
e
a
=
= ，又由
2
2
1
8
n
n
a
a
n
+ -
=
有
1
8
n
n
e
e
n
+ -
=
，
则有
1
1
1
2
3
2
2
1
n
n
n
n
n
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
-
-
-
-
=
-
+
-
+×××+
-
+
-
8
1
8
2
8 2
8 1
n
n
=
-
+
-
+×××+ ´ + ´
8 1
2
3
2
1
4
1
n
n
n n
=
+
+ +×××+
-
+
-
=
-
，
所以
2
2
2
2
1
4
1
4
4
1
2
1
2
1
n
n
n
e
n n
e
n
n
n
a
n
- =
-
Þ
=
-
+ =
-
Þ
=
-
．
又因为数列
na
的各项均为正数，所以
2
1
na
n
=
- ．
（2）由
1
1
1
1 2
1
2
1
2
2 2
1
2
1
n
n
n
n
n
a
a
n
n
b
a
a
n
n
+
+
æ
ö
+
-
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
-
+
è
ø
è
ø
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
æ
ö
=
+
-
= +
-
ç
÷
-
+
-
+
è
ø
，
知
1
2
3
1
1
1
1
1
1 1
1
1
3
3
5
2
1
2
1
n
n
S
b
b
b
b
n
n
=
+
+
+×××+
= + -
+ +
-
+×××+ +
-
-
+
1
1
1
1
1
2
1 1
1
1
3
3
5
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
=
+ +×××+
+ -
+
-
+×××+
-
=
+
-
+
+ ．
15．（24-25 高二下·辽宁辽阳·期末）在数列
na
中，
1
1
3,
2
3
n
n
a
a
a
n
+
=
-
=
+ ．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
n
n
b
a
=
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
2
2
na
n
n
=
+
(2)
3
2
3
4
2
1
2
n
n
S
n
n
+
=
-
+
+
【详解】（1）因为
1
2
1
3
2
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a -
=
+
-
+
-
+
+
-
L
，
所以
2
3
2
1
3
5
7
9
2
1
2
2
n
n
n
a
n
n
n
+
+
é
ù
ë
û
=
+
+
+
+
+
+
=
=
+
é
ù
ë
û
．
（2）因为
1
1
1 1
1
2
2
2
n
n
b
a
n n
n
n
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø ，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
4
2
2
2
1
2
n
S
n
n
n
n
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
=
+
-
-
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
è
ø
L
3
2
3
4
2
1
2
n
n
n
+
=
-
+
+
．
1．（24-25 高二下·辽宁大连·期中）已知
n
S 为数列
na
的前n 项和，若
2
1
S = ，2
n
n
S
na
=
，则
25
a 的值为（ ）
A．23
B．24
C．25
D．26
【答案】B
【详解】当
1
n = 时，
1
1
1
1
1
0
2
2
S
a
a
a
a
=
Þ
=
Þ
=
，
由
2
1
2
2
1
1
S
a
a
a
=
+
= Þ
= ，
由2
n
n
S
na
=
，得
1
1
2
1
n
n
S
n
a
+
+
=
+
，
两式相减得，
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S
n
a
na
a
n
a
a
a
n
n
n
+
+
+
+
+
+
-
=
-
Þ
=
=
+
-
Þ
- ，
所以
2
25
2
2
24
3
5
4
3
2
3
24
1
24
1
2
23
a
a
a
a
a
a
a
a
=
×
×
×
= ´
´
´
´
=
L
L
，
故选：B
2．（23-24 高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列
na
满足，
1
1
a = ，
1
(2
2)
n
n
na
n
a
+ =
+
，则
100
2
3
4
100
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
L
（ ）
A．50
101
B．51
101
C．50
99
D．51
99
【答案】C
【详解】由
1
(2
2)
n
n
na
n
a
+ =
+
，得
1
1
2
n
n
a
n
a
n
+
+
=
×
，
所以
1
2
1
n
n
a
n
a
n
-
=
×
- ，
1
2
1
2
2
n
n
a
n
a
n
-
-
-
=
×
-
，
2
3
2
2
3
n
n
a
n
a
n
-
-
-
=
×
-
，，
2
1
2
2 1
a
a =
×
（
2
n ³
，
*
N
nÎ
），
累乘可得
1
1
2
1
n
na
n
a
-
=
×
，又
1
1
a = ，得
1
2n
na
n
-
=
×
.
设
0
1
2
3
99
1
2
3
100
1 2
2 2
3 2
4 2
100 2
S
a
a
a
a
=
+
+
+
+
= ×
+
×
+ ×
+
×
+
+
×
L
L
①，
则
1
2
3
4
100
2
1 2
2 2
3 2
4 2
100 2
S = ×
+
×
+ ×
+
×
+
+
×
L
②，
①-②得
2
3
99
100
1
2
2
2
2
100 2
S
-
= +
+
+
+
+
-
×
L
，
100
100
100
1
2
2
100
99 2
1
1
2
S
-
-
=
-
×
= -
×
-
-
，
100
99 2
1
S
\
=
×
+ ，
99
100
100
2
3
4
100
100 2
50
99 2
99
a
a
a
a
a
×
\
=
=
+
+
+
+
×
L
.
故选：C.
考点三
累乘法求数列通项
3．（24-25 高二下·河南南阳·期中）在数列
na
中，
1
1
1
1,
n
n
n
a
a
a
n
+
+
=
=
，则
1
2
100
a
a
a
+
+
+
=
L
（ ）
A．5050
-
B．2025
-
C．2025
D．5050
【答案】D
【详解】因为
1
1
n
n
n
a
a
n
+
+
=
，所以
1
1
n
n
a
n
a
n
+
+
=
，
当
2
n ³
时，
3
2
1
2
1
3
2
,
,
,
1
2
1
n
n
a
n
a
a
a
n
a
a
-
=
¼
=
=
-
，
以上( n
)
1
-
个式子左右两边分别相乘得
1
3
2
1
2
2
1
1
3
2
1
2
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
n
n
a
a
a
a
n
n
-
-
-
-
×
×
×
=
´
´
´
´
-
-
L
L
，
即
1
na
n
a =
，
又
1
1
a = ，所以
*
N
na
n n
=
Î
，
所以
1
2
100
100
(100
1)
5050
2
a
a
a
´
+
+
+
+
=
=
L
．
故选：D.
4．（2025·江西·模拟预测）设数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
1,
n
n
a
a
nS
=
=
，则
2025
2024!a
= （ ）
A．2024
B．2025
C．2024
-
D．2025
-
【答案】B
【详解】由
1
1,
n
n
a
a
nS
=
=
可得
1
,
2
n
n
n
S
n
S
nS
-
-
³
=
，
即
1
1
n
n
n S
S -
-
=
，因此
1
1
1
n
n
S
S
n
-
= -
；
因此
1
1
2
2
1
1
2
3
1
1
1
1
1
1 1
1
2
3
1
1 !
n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
n
n
n
n
-
-
-
-
-
-
-
=
×
×
×××
×
=
×
×
×××
× =
-
-
-
-
-
，
可得
1
1 !
1
n
n
n
S
-
-
= -
，
所以
2024
2025
2025
2024!
2025 2024!
2025
1
2025
a
S
=
´
=
´ -
=
.
故选：B
5．（24-25 高二下·辽宁·期中·多选）已知数列
na
满足
1
6
a =
，
1
3
n
n
n
a
a
n
+
+
=
，则（ ）
A．
*
N
n
" Î
，
3
1
na
n
<
+
B．
*
N
n
" Î
，
2025
na ¹
C．
*
N
n
$ Î
，
na 为完全立方数
D．
*
N
n
" Î
，数列
na
的前n 项和
1
2
3
4
n
n n
n
n
S
+
+
+
=
【答案】ABD
【详解】由题意可得
0
na ¹
，
1
3
n
n
a
n
a
n
+
+
=
，
所以当
2
n ³
时，
1
2
1
n
n
a
n
a
n
-
+
=
-
，…，
2
3
5
2
a
a =
，
2
1
4
1
a
a =
，
以上
1
n - 个式子左右两边分别相乘得
3
2
1
2
1
2
5
4
...
...
1
2
1
n
n
a
a
a
n
a
a
a
n
-
+
´
´
´
=
´
´
´
-
，
即
1
2 !
2
1
3!
1 !
6
n
n
n
n
n
a
a
n
+
+
+
=
=
´
-
，将
1
6
a =
代入解得
1
2
na
n n
n
=
+
+
，
当
1
n = 时满足
1
6
a =
，所以数列
na
的通项公式为
1
2
na
n n
n
=
+
+
，
因为
2
2
1
1
0
f n
n n
n
=
+
-
+
= - <
对
*
N
n
" Î
恒成立，
所以
3
1
2
1
n
n n
n
a
n
+
+
=
<
+
对
*
N
n
" Î
恒成立，A 说法正确；
易知数列
na
是递增数列，且
11
1716
a
=
，
12
2184
a
=
，所以
*
N
n
" Î
，
2025
na ¹
，B 说法正确；
因为
3
3
1
n
n
a
n
<
<
+
，所以不存在
*
N
nÎ
使得
na 为完全立方数，C 说法错误；
下证
*
N
n
" Î
，数列
na
的前n 项和
1
2
3
4
n
n n
n
n
S
+
+
+
=
，
当
1
n = 时，
1
1 2 3 4
6
4
S
´ ´ ´
=
=
成立，
假设当n
k
=
时，
1
2
3
4
k
k k
k
k
S
+
+
+
=
成立，
则当
1
n
k
=
+ 时，
1
1
2
3
1
2
3
4
k
k
k k
k
k
S
a
k
k
k
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
1
1
2
3
4
4
k
k
k
k
k
S +
+
+
+
+
=
=
成立，
所以
*
N
n
" Î
，数列
na
的前n 项和
1
2
3
4
n
n n
n
n
S
+
+
+
=
，D 说法正确；
故选：ABD
6．（24-25 高二下·辽宁·期中·多选）已知数列
na
满足
1
1
2
a =
，
*
1
2
1
N
n
n
na
n
a
n
+
=
+
Î
，则（ ）
A．
na
是递减数列
B．
2
n
n
n
a =
C．当
2
1
2
n
n
n a
ì
ü
-
í
î ×
ý
þ
的前n 项和取得最小值时，
6
n =
D．对任意
*
N
nÎ
，不等式
1
1
n
n
n
ma
a +
-
£
，则
1
1
4
3
m
-
£
£
【答案】ACD
【详解】对于A，由题，
1
1
1
1
1
2
1
2
1
n
n
a
n
a
n
n
+
æ
ö
=
=
-
<
ç
÷
+
+
è
ø
，
又
1
1
0
2
a =
>
，由递推式可得
0
na >
，所以
na
是递减数列，故A 正确；
对于B，由上面可知，当
2
n ³
时，
1
2
1
2
1
1
2
1
,
,
,
2
2
1
4
n
n
n
n
a
a
a
n
n
a
n
a
n
a
-
-
-
-
-
=
=
=
-
L
，
将上式累乘得，
1
3
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2 3
2 2
n
n
n
n
a
a
a
a
n
n
a
a
a
a
n
n
-
-
-
-
-
×
×
×
×
=
×
×
×
´
-
´
´
L
L
，
整理得
1
1
1
2
n
n
a
a
n
-
=
×
，又
1
1
2
a =
，所以
1
2
n
n
a
n
=
×
，故B 错误；
对于C，设
2
2
1
2
2
2
n
n
n
b
n
n
n a
=
-
=
-
×
，则
1
2
2
0
b =
-
=
，
2
2
2
2 4
4
b =
- ´
= - ，
3
2
3
2
2 3
10
b =
- ´
= -
，
4
16
b = -
，
5
18
b = -
，
6
8
b = - ，
7
30
0
b =
>
，
由指数函数
2x
y =
与函数
2
2
y
x
=
的增长速度可知，当
7
n ³
时，
0
nb >
，
所以当数列
2
1
2
ì
ü
-
í
ý
î
þ
×
na
n
n
的前n 项和取得最小值时，
6
n =
，故C 正确；
对于D，当n 为偶数时，不等式转化为
1
1
1
1
2
1
n
n
a
m
a
n
+
æ
ö
£
=
-
ç
÷
+
è
ø，又
min
1
2
1
1
3
n
æ
ö
-
=
ç
÷
+
è
ø
，
所以
1
3
m £
，
当n 为奇数时，不等式转化为
1
1
1
1
2
1
n
n
a
m
a
n
+
æ
ö
³ -
=
-
ç
÷
+
è
ø ，又
max
1
1
1
1
2
n
æ
ö
-
= -
ç
÷
+
è
ø
，
所以
1
4
m ³ -
，
综上，
1
1
4
3
m
-
£
£
，故D 正确.
故选：ACD.
7．（24-25 高二下·四川广安·阶段练习）数列
na
中，若
1
2
a =
,
1
1
n
n
n
a
a
n
+ =
+
，则
2025
2024a
= .
【答案】4048
2025
【详解】若
1
2
a =
，
1
1
n
n
n
a
a
n
+ =
+
，则
0
na ¹
且
1
1
n
n
a
n
a
n
+ =
+ ，
所以
1
2
2
1
1
2
3
1
1
2
3
1
2
·
·
...
·
...
2
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
n
n
n
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
-
-
-
-
-
-
-
-
=
=
´
´
´
=
-
-
，
所以
2025
2
4048
2024
2024
2025
2025
a
=
´
=
.
故答案为：4048
2025 .
8．（2025·四川德阳·二模）数列
na
中，满足
1
1
a = ，
*
1
2
n
n
na
a
n
n
+ =
Î
+
N
，则
1
2
2025
a
a
a
+
+
+
L
．
【答案】2025
1013 / 1012
11013
【详解】因为
1
2
n
n
na
a
n
+ =
+
，所以
1
2
n
n
a
n
a
n
+ =
+
.
所以
2
1
1
3
a
a =
，
3
2
2
4
a
a =
，
4
3
3
5
a
a
=
，…，
1
1
1
n
n
a
n
a
n
-
-
=
+ （
2
n ³
）.
各式相乘，可得：
1
2
1
na
a
n n
=
+
Þ
1
1
2
1
na
n
n
æ
ö
=
-
ç
÷
+
è
ø，
显然
1
1
a = 满足上式，则
1
1
2
1
na
n
n
æ
ö
=
-
ç
÷
+
è
ø，
所以数列
na
的前n 项和为
1
1
1
1
1
1
1
2 1
2
2
3
3
4
1
n
S
n
n
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+
+
-
ç
÷
+
è
ø
L
1
2 1
1
n
æ
ö
=
-
ç
÷
+
è
ø
2
1
n
n
=
+ ，
所以
1
2
2025
a
a
a
+
+
+
L
2 2025
2025 1
´
=
+
2025
1013
=
.
故答案为：2025
1013 .
9．（24-25 高三上·山东日照·开学考试）已知数列
na
满足
1
2
a =
，
1
1
n
n
a
n
a
n
+
+
=
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
4
n
n
n
b
a
a +
=
×
，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)
2
na
n
=
(2)
3
2
3
4
2
1
2
n
n
S
n
n
+
=
-
+
+
【详解】（1）由题意知：当
2
n ³
时，
1
1
n
n
a
n
a
n
-
=
- ，
3
2
1
1
2
1
3
2
2
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
n
a
a
n
a
a
a
n
-
\
=
××××××
×
×
=
´×××´
´
´
=
-
；
当
1
n = 时，
1
2
a =
满足
2
na
n
=
；
综上所述：
2
na
n
=
.
（2）由（1）知：
2
4
4
1
1 1
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
b
a
a
n
n
n n
n
n
+
æ
ö
=
=
=
=
-
ç
÷
×
×
+
+
+
è
ø ，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
4
3
5
1
1
2
n
S
n
n
n
n
æ
ö
\
=
-
+
-
+
-
+×××+
-
+
-
ç
÷
-
+
+
è
ø
1
1
1
1
3
2
3
1
2
2
1
2
4
2
1
2
n
n
n
n
n
+
æ
ö
=
+
-
-
=
-
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
.
10．（23-24 高三上·贵州安顺·期末）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
1
1
a = ，且
*
n
" ÎN ，
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
a a
a S
a
S
+
+
+
-
=
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
2
1
1
n
n
n
n
n
b
a a +
+
+
=
，
nb
的前n 项和为
nT ，求
nT 的最小值.
【答案】(1)
na
n
=
(2) 3
2
【详解】（1）∵
*
n
" ÎN ，
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
a a
a S
a
S
+
+
+
-
=
，∴
*
1
1
1
2
n
n
n
n
S
S
n
a
a
+
+
-
=
ÎN
，
∵
1
1
a = ，∴数列
ì
ü
í
ý
î
þ
n
n
S
a
是首项为1，公差为
1
2 的等差数列，
则
1
1
1
1
2
2
n
n
S
n
n
a
+
= +
-
=
，
即
2
1
n
n
S
n
a
=
+
，
1
1
2
2
n
n
S
na
n
-
-
=
³
，
两式作差得
1
2
1
n
n
n
a
n
a
na -
=
+
-
，
即
1
2
1
n
n
a
n
n
a
n
-
=
³
-
，∴
3
2
1
2
1
3
2
1
2
1
n
n
a
a
a
n
a
a
a
n
-
´×××´
´
=
´×××´
´
-
，
即
1
na
n
a =
，
2
na
n n
=
³
，
∵
1
1
a = 符合上式，∴
na
n
=
.
（2）
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
b
a a
n n
n n
n
n
+
+
+
+
+
=
=
= +
= +
-
+
+
+ ，
所以，
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
1
1
nT
n
n
n
n
n
æ
ö
=
+
-
+
-
+×××+
-
=
+ -
ç
÷
+
+
è
ø
.
∵
1
1
1
1
2
1
1
0
2
1
1
2
n
n
T
T
n
n
n
n
n
n
+
é
ù
é
ù
-
=
+
-
-
+
-
= +
>
ê
ú
ê
ú
+
+
+
+
ë
û
ë
û
，
∴数列
nT
为递增数列，∴
1
min
3
2
nT
T
=
=
.
11．（23-24 高二下·江西抚州·期末）已知数列
na
的首项
1
2
a =
，且
1
1
0
2
n
n
n
a
na
n
-
+
-
=
³
.
(1)求数列
na
的通项公式：
(2)若数列
2
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
nT ，证明：
1
nT < .
【答案】(1)
1
na
n
=
+
(2)证明见详解.
【详解】（1）因为
1
1
2,(
1)
0(
2)
n
n
a
n
a
na
n
-
=
+
-
=
³
，
所以
1
1(
2)
n
n
a
n
n
a
n
-
+
=
³
，
即
2
3
4
1
2
3
1
3
4
5
1
,
,
,
,
2
3
4
n
n
a
a
a
a
n
a
a
a
a
n
-
+
=
=
=
=
L
，
将上述
1
n - 个式子相乘得
1
1
2
na
n
a
+
=
，
所以
1
na
n
=
+ ，当
1
n = 时，成立，
故
1
na
n
=
+ .
（2）由（1）得
1
na
n
=
+ ，所以
2
2
1
1
1
1
1
(
1)
(
1)
1
na
n
n n
n
n
=
<
=
-
+
+
+ ，
所以
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(1
)
(
)
(
)
1
1
2
2
3
1
1
n
n
T
a
a
a
n
n
n
=
+
+
+
<
-
+
-
+
+
-
= -
<
+
+
L
L
，
即
1
nT < .
12．（24-25 高二下·湖北荆州·开学考试）已知数列
na
，其前n 项和为
1
,
2,3
(
2)
n
n
n
S
a
S
n
a
=
=
+
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
n
n
b
a
n
=
+
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
(
1)
na
n n
=
+
(2)
3
1
1
1
4
2
1
2
nT
n
n
æ
ö
=
-
+
ç
÷
+
+
è
ø
【详解】（1）因为3
(
2)
n
n
S
n
a
=
+
，当
2
n ³
时
1
1
3
(
1)
n
n
S
n
a
-
-
=
+
，
所以
1
1
3
3
(
2)
(
1)
n
n
n
n
S
S
n
a
n
a
-
-
-
=
+
-
+
，
即
1
3
(
2)
(
1)
n
n
n
a
n
a
n
a -
=
+
-
+
，所以
1
(
1)
(
1)
n
n
n
a
n
a -
-
=
+
，
即
1
1
1
n
n
a
n
a
n
-
+
=
- ，所以
3
5
2
4
1
2
3
4
1
3
4
5
6
1
,
,
,
,
,
(
2)
1
2
3
4
1
n
n
a
a
a
a
a
n
n
a
a
a
a
a
n
-
+
=
=
=
=
=
³
-
LL
，
累乘可得
1
(
1)
1 2
na
n n
a
+
=
´
，又
1
2
a =
，所以
(
1)
na
n n
=
+
，
当
1
n = 时
(
1)
na
n n
=
+
也成立，所以
(
1)
na
n n
=
+
；
（2）由（1）可得
1
1
1 1
1
(
2)
2
2
n
n
b
a
n
n n
n
n
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
+
+
+
è
ø ，
所以
1 1
1
1 1
1
1 1 1
1 1
1
1 1
1
2 1
3
2 2
4
2 3 5
2 4
6
2
2
nT
n n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
2 1
3
2
4
3
5
4 6
2
n n
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+
+
+
ç
÷
+
è
ø
L
1
1
1
1
3
1
1
1
1
2
2
1
2
4
2
1
2
n
n
n
n
æ
ö
æ
ö
=
+
-
-
=
-
+
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
è
ø
1．（24-25 高二下·四川凉山·期中）已知数列
na
满足
1
4
a =
，且
1
2
3
n
n
a
a
+ =
- ，则
211
a
=（ ）
A．
210
2
3
-
B．
211
2
3
+
C．
210
2
3
+
D．
211
2
1
+
【答案】C
【详解】因为
1
2
3
n
n
a
a
+ =
- ，所以
1
3
3
2
n
n
a
a
+
=
-
-
．
因为
1
3
1
a -
= ，所以数列
3
na -
是首项为1，公比为2 的等比数列，
所以
1
3
2n
na
-
-
=
，所以
1
2
3
n
na
-
=
+
，
故
210
211
2
3
a
=
+ ．
故选：C
2．（24-25 高二下·广西防城港·阶段练习）已知数列
na
满足
1
1
3
4,
7
n
n
a
a
a
+ =
+
=
，则
211
a
=（ ）
A．
211
3
1
-
B．
212
3
1
-
C．
211
3
2
-
D．
212
3
2
-
【答案】D
【详解】∵
1
3
4
n
n
a
a
+ =
+
，∴
1
2
3
2
n
n
a
a
+ +
=
+
，即
1
2
3
2
n
n
a
a
+ +
=
+
，
∴数列
2
na +
是首项为
1
2
9
a +
=
，公比为3的等比数列，
∴
1
1
2
9 3
3
n
n
na
-
+
+
=
´
=
，故
1
3
2
n
na
+
=
-
，
∴
212
211
3
2
a
=
-
.
故选：D.
3．（24-25 高二下·山西晋中·阶段练习）若数列
na
的首项
1
1
a = ，且满足
1
2
1
n
n
a
a
+ =
+ ，则数列
na
的通项公式为
（ ）
A．
2
1
n
na =
-
B．
1
2
1
n
na
-
=
-
C．
1
2
1
n
na
+
=
-
D．
2
2
n
n
a =
-
【答案】A
1
1
2
1
n
n
a
a
+ + =
+
，
考点四
构造法求数列通项
∴数列
1
na +
是以
1
1
2
a + =
为首项，以2 为公比的等比数列，
∴
1
1
2 2
2
n
n
na
-
+ =
´
=
，
∴
2
1
n
na =
- .
故选：A.
4．（24-25 高二下·浙江·期中）设数列
na
的前n 项和为
n
S ，
2
2n
n
n
S
a
=
-
，则（ ）
A．
8
9
5
4
a
a
>
B．
8
9
5
4
a
a
<
C．
8
9
5
4
S
a
>
D．
8
9
5
4
S
a
<
【答案】B
【详解】因为数列
na
的前n 项和为
n
S ，
2
2n
n
n
S
a
=
-
，
当
1
n = 时，
1
1
1
2
2
a
S
a
=
=
-
，解得
1
2
a =
，
当
2
n ³
时，由
2
2n
n
n
S
a
=
-
可得
1
1
1
2
2n
n
n
S
a
-
-
-
=
-
，
上述两个等式作差可得
1
1
2
2
2n
n
n
n
a
a
a
-
-
=
-
-
，整理可得
1
1
2
2n
n
n
a
a
-
-
-
=
，
等式
1
1
2
2n
n
n
a
a
-
-
-
=
两边同时除以2n 可得
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
a
a -
-
-
=
，
所以，数列2
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ是首项为
1
1
2
a = ，公差为
1
2 的等差数列，
故
1
1
1
2
2
2
n
n
a
n
n
-
+
= +
=
，所以
1
1 2n
na
n
-
=
+
×
，
故
7
7
8
5
5 9 2
45 2
a = ´ ´
=
´
，
8
7
9
4
4 10 2
80 2
a =
´
´
=
´
，故
8
9
5
4
a
a
<
，A 错B 对；
由题意可得
2
2
1 2
2
2
n
n
n
n
n
n
S
a
n
n
=
-
=
+
×
-
=
×
，
所以
8
7
8
9
5
5 8 2
80 2
4
S
a
= ´ ´
=
´
=
，CD 都错.
故选：B.
5．（2025·天津河北·二模）设
n
S 数列
na
的前n 项和，若
3
2
n
n
S
a
n
+
=
+
，则
10
S
= （ ）
A．3059
B．2056
C．1033
D．520
【答案】C
【详解】由题设
1
1
3
2
1
n
n
S
a
n
+
+
+
=
+
+ ，则
1
1
3
2(
)
1
n
n
n
S
S
n
S
+
+
=
-
+
+
+ ，
所以
1
2
2
n
n
S
S
n
+ =
-
+
，则
1
2
1)]
(
1 1)
[
(
n
n
S
n
n
S
+ -
+ -
-
=
-
又
1
1
1
3
2
1
2
S
a
S
+
=
+ Þ
=
，则
1
(1 1)
2
S -
-
=
，
所以{
}
1)
(
n
S
n
-
-
是首项、公比均为2 的等比数列，则
1)
2
(
n
n
S
n
=
-
-
，
所以
2
1
n
n
S
n
=
+
- ，则
1
10
0
2
10 1 1024 10 1 1033
S
=
+
- =
+
- =
.
故选：C
6．（24-25 高二下·河南南阳·期中）已知数列
na
中，
1
2
a =
，且
1
2
2
n
n
n
a
a
a
+ =
+
，则
na =
．
【答案】2
n
【详解】由
1
2
2
n
n
n
a
a
a
+ =
+
，可得
1
2
1
2
n
n
n
a
a
a
+
+
=
，即
1
1
1
1
2
n
n
a
a
+
-
=
，
又
1
2
a =
，
所以数列
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
是以
1
2 为首项，
1
2 为公差的等差数列，
所以
1
1
1 (
1)
2
2
n
n
a =
+
-
，即
1
2
n
n
a =
，所以
2
na
n
=
．
故答案为：2
n
7．（2025·山东泰安·模拟预测）数列
na
满足
1
2
1
n
n
a
a
+ -
= ， 且
1
1
a = ，
na
的前n 项和为
n
S ，则满足不等式
100
+
<
n
S
n
的n 的最大值是
.
【答案】5
【详解】Q
1
2
1
n
n
a
a
+ -
= ，\
1
1
2
1
n
n
a
a
+ + =
+
，且
1
1
2
a + =
，
\
1
na +
是以2 为首项, 2 为公比的等比数列.
\
1
1
2 2
2
n
n
na
-
+ =
=
g
,
2
1
n
na =
- .
\
1
2 1
2
2
2
1
2
n
n
n
S
n
n
+
-
=
-
=
-
-
-
,
\
1
2
2
100
+
+
=
-
<
n
n
S
n
，即
1
2
102
n+ <
，
\
2
1
log 102
+ <
n
,
1
6
+ £
n
,
\ n 的最大值是5 .
故答案为：5.
8．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2 数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
2
2n
n
n
S
S
+
+ =
+
．若
2
30
n
S
n
n
>
+
，则n 的
最小值为
．
【答案】6
【详解】由
1
1
2
2n
n
n
S
S
+
+ =
+
，得
1
1
1
2
2
n
n
n
n
S
S
+
+ =
+ ，
所以数列{
}
2
n
n
S
是首项为
1
1
2
2
1
S
a
=
= ，公差为1 的等差数列，
所以2
n
n
S
n
=
，即
2n
nS
n
=
×
，故
2
(
30 )
(2
30)
n
n
S
n
n
n
n
-
+
=
-
-
，
令
2
30
n
nc
n
=
- -
，则
1
1
2
(
1)
30
(2
30)
2
1
0
n
n
n
n
n
c
c
n
n
+
+ -
=
-
+
-
-
-
-
=
- >
，
所以数列
nc
是递增数列，
因为
5
5
2
5 30
3
0
c =
- -
= - <
，
6
6
2
6 30
28
0
c =
- -
=
>
，
所以当1
5
n
£
£
时，
2
5
(
30)
0
n
n
S
n
nc
nc
-
+
=
£
<
，即
2
30
nS
n
n
<
+
，
当
6
n ³
时，
2
6
(
30 )
0
n
n
S
n
n
nc
nc
-
+
=
³
>
，即
2
30
n
S
n
n
>
+
，
所以n 的最小值为6．
故答案为：6
9．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列
na
中，
1
1
2
a =
，
1
π
π
2
3cos(
)
3
6
n
n
n
a
a
+ =
-
-
．
(1)证明：数列
π
{
cos
}
3
n
n
a -
为常数列；
(2)求数列
n
na
的前2024 项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 2021
2
.
【详解】（1）依题意，
(
1)π
π
1
π
3
π
π
cos
2cos
cos
sin
2cos
3
3
2
3
2
3
3
n
n
n
n
n
+
-
=
-
-
3
π
3
π
cos
s
( π
π
cos
)
3
6
in
3
2
3
2
3
n
n
n
= -
-
= -
-
，
则
1
π
π
2
3cos(
)
3
6
n
n
n
a
a
+ =
-
-
化为
1
(
1)π
π
cos
2(
cos
)
3
3
n
n
n
n
a
a
+
+
-
=
-
，
而
1
1
2
a =
，则
1
π
cos
0
3
a -
=
，因此
π
cos
0
3
n
n
a -
=
，
所以数列
π
{
cos
}
3
n
n
a -
为常数列.
（2）由（1）知，
π
cos 3
n
n
a =
，由
2π
6
π
3
=
，即{
}
na
是以6 为周期的周期数列，令
π
cos 3
n
n
n
b
na
n
=
=
，
6
5
6
4
6
3
6
2
6
1
6
5π
4π
(6
5)cos(
)
(6
4)cos(
)
3
3
n
n
n
n
n
n
b
b
b
b
b
b
n
n
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
=
-
-
+
-
-
2π
π
(6
3)cos( π)
(6
2)cos(
)
(6
1)cos(
)
6 cos0
3
3
n
n
n
n
+
-
-
+
-
-
+
-
-
+
1
1
1
1
(6
5)
(6
4)
(6
3)
(6
2)
(6
1)
6
3
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
=
-
-
-
-
-
-
-
+
-
+
=
所以数列
n
na
的前2024 项和
1
2
2024
2023
2024
337 3
b
b
b
b
b
+
+
+
=
´ +
+
L
2023π
2024π
1
1
2021
1011
2023cos
2024cos
1011
2023
2024
3
3
2
2
2
=
+
+
=
+
´
-
´
=
.
10．（24-25 高二下·辽宁大连·期中）已知数列
na
满足
1
2
a =
，
1
1
2
3 2n
n
n
a
a
+
+ =
+ ×
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
(
1)
3
2
n
n
n
a
b
n
+
=
-
，记数列
nb
的前n 项和为
n
S ．
①求
n
S ；
②若
*
n
" ÎN ，
1
3n
n
S
m
+
<
×
成立，求m 的取值范围．
【答案】(1)
(3
2) 2n
na
n
=
-
×
(2)①
1
2n
n
S
n
+
=
×
；②16
(
,
)
27
¥
+
【详解】（1）由
1
1
2
3 2n
n
n
a
a
+
+ =
+ ×
，得
1
1
3
2
2
n
n
n
n
a
a
+
+ -
=
，
因此数列{
}
2
n
n
a
是以
1
1
2
a = 为首项，3 为公差的等差数列，
1
(
1) 3
3
2
2
n
n
a
n
n
= +
-
× =
-
，
所以数列
na
的通项公式
(3
2) 2n
na
n
=
-
×
.
（2）①由（1）得，
(
1)
(
1) 2
3
2
n
n
n
n
a
b
n
n
+
=
=
+
×
-
，
1
2
3
1
2 2
3 2
4 2
2
(
1) 2
n
n
n
S
n
n
-
=
×
+ ×
+ ×
+×××+
×
+
+
×
，
于是
2
3
4
1
2
2 2
3 2
4 2
2
(
1) 2
n
n
n
S
n
n
+
=
×
+ ×
+ ×
+×××+
×
+
+
×
，
则
1
2
3
1
1
2
3
1
2 2
2
2
2
(
1) 2
2
2
2
2
(
1) 2
2
n
n
n
n
n
S
n
n
+
+
-
=
×
+
+
+×××+
-
+
×
=
+
+
+×××+
-
+
×
+
，
1
1
1
1
2(1 2 )
(
1) 2
2
2
2
(
1) 2
2
2
1 2
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
-
=
-
+
×
+
= - +
-
+
×
+
= - ×
-
，
所以
1
2n
n
S
n
+
=
×
.
②由
n
*
" ÎN ，
1
3n
n
S
m
+
<
×
，得
n
*
" ÎN ，
1
2
( )
3
n
n
m
+
×
<
令
1
2
( )
3
n
nc
n
+
=
×
，不妨设
nc
的第n 项取得最大值，
由
1
1
2
2
2
( )
(
1) ( )
3
3
2
2
( )
(
1) ( )
3
3
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+
ì ×
³
-
×
ïïí
ï ×
³
+
×
ïî
，解得2
3
n
£
£
，即数列
nc
的最大值为
2
3
16
27
c
c
=
=
，
所以
16
27
m >
，即m 的取值范围是16
(
,
)
27
¥
+
.
11．（2025·云南昆明·模拟预测）设
n
S 为数列
na
的前n 项和，当
2
n ³
时，
2
1
1
5
8
4
n
n
n
n
S
S
S
S
+
+
-
=
-
+
，已知
1
1
a = ，
2
4
a =
，
3
12
a =
．
(1)证明：数列
1
2
n
n
a
a
+ -
为等比数列；
(2)求数列
na
的通项公式；
(3)求
n
S ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
1
2n
na
n
-
=
´
(3)
2
1
1
n
n
S
n
=
-
+
【详解】（1）当
2
n ³
时，
2
1
1
5
8
4
n
n
n
n
S
S
S
S
+
+
-
=
-
+
，
即
2
1
1
1
4
4
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
+
+
+
-
-
=
-
-
-
，
则
2
1
4
4
n
n
n
a
a
a
+
+
=
-
，而
1
2
3
1,
4,
12
a
a
a
=
=
=
，则
3
2
1
4
4
a
a
a
=
-
，
于是
*
N
n
" Î
时，
2
1
4
4
n
n
n
a
a
a
+
+
=
-
，整理得
2
1
1
2
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
-
=
-
，
又
2
1
2
2
0
a
a
-
=
¹
，
所以数列
1
2
n
n
a
a
+ -
是首项和公比都是2 的等比数列．
（2）由（1）知，数列
1
2
n
n
a
a
+ -
是首项和公比都是2 的等比数列，
则
1
2
2n
n
n
a
a
+ -
=
，因此
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
a
a
+
+ -
=
，
所以数列2
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ是首项为
1
2 ，公差为
1
2 的等差数列，
1
1
1
1
2
2
2
2
n
n
a
n
n
=
+
-
=
，
所以数列
na
的通项公式
1
2n
na
n
-
=
´
．
（3）由（2）知，
0
1
2
1
1 2
2 2
3 2
2n
n
S
n
-
= ´
+ ´
+ ´
+
+ ´
，
1
2
1
2
1 2
2 2
1
2
2
n
n
n
S
n
n
-
= ´
+ ´
+
+
-
´
+
´
，
两式相减得，
1
2
1
1 2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1 2
n
n
n
n
n
n
S
n
n
n
-
-
-
= +
+
+
+
- ´
=
- ´
= - +
-
´
-
L
，
则
2
1
1
n
n
S
n
=
-
+ ．
12．（24-25 高二下·河南郑州·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
2
2
a = ，
*
2
(
1)
2,
N
n
n
S
n
a
n
n
=
+
³
Î
.
(1)求
na ；
(2)记
1
n
n
b
S
=
，数列
nb
的前n 项和
nT ，证明：1
2
nT
£
<
.
【答案】(1)
na
n
=
(2)证明见解析
【详解】（1）因为
*
2
(
1)
2,
N
n
n
S
n
a
n
n
=
+
³
Î
，①
所以当
2
n =
时，
1
2
2
2
(2 1)
a
a
a
+
=
+
，且
2
2
a = ，所以
1
1
a = .
当
3
n ³
时，
1
1
2
n
n
S
na
-
-
=
，②
由①②得，
1
2
(
1)
n
n
n
a
n
a
na -
=
+
-
，整理得到
1
(
1)
- =
-
n
n
na
n
a ，
所以
1
1
n
n
a
a
n
n
-
=
- ，故
2
1
2
na
a
n =
= ，
故当
3
n ³
时，
na
n
=
，而
1
2
1,
2
a
a
=
=
也符合，
综上，当
*
N
nÎ
时，
na
n
=
.
（2）由（1）知
(
1)
2
n
n n
S
+
=
，则
1
2
(
1)
n
S
n n
=
+
，即
2
1
1
2
(
1)
1
nb
n n
n
n
æ
ö
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø ，
所以
1
1
1
1
1
1
2
1
2 1
2
2
2
3
1
1
nT
n
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+¼¼+
-
=
-
<
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
.
又因为
nT
为递增数列，所以
1
1
nT
T =
≥
，
故1
2
nT
£
<
.
13．（24-25 高二下·河南南阳·期末）数列
na
满足
1
1
2
a =
，
1
3
1
n
n
n
a
a
a
+ =
+ .正项等比数列
nb
满足
1
2
b =
，
3
2
4
b
b
=
+
.
(1)证明数列
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
为等差数列，并求数列
na
的通项公式；
(2)令
n
n
n
b
c
a
=
，求数列
nc
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)证明见解析，
1
3
1
na
n
=
-
(2)
1
3
4
2
8
n
n
S
n
+
=
-
´
+
【详解】（1）由题意得，
1
3
1
1
1
3
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
=
=
+
，即
1
1
1
3
n
n
a
a
+
-
=
，且
1
1
2
a =
，
所以
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
是以2 为首项，3为公差的等差数列，
1
2
3
1
3
1
n
n
n
a =
+
-
=
- ，
1
3
1
na
n
\
=
- .
（2）设
nb
的公比为q ，Q
1
2
b =
，
3
2
4
b
b
=
+
，
则
2
2
2
4
q
q
=
+
，解得
2
q =
或1
- （舍去），
2n
nb
\
=
，
2
3
1
n
n
n
n
b
c
n
a
\
=
=
-
.
1
2
3
2 2
5 2
8 2
3
1
2n
n
S
n
=
´
+ ´
+ ´
+
+
-
´
L
，①
2
3
1
2
2 2
5 2
3
4
2
3
1
2
n
n
n
S
n
n
+
=
´
+ ´
+
+
-
´
+
-
´
L
，②
①-②，得
1
2
3
1
2 2
3
2
2
2
3
1
2
n
n
n
S
n
+
-
=
´
+ ´
+
+
+
-
-
´
L
1
1
1
4 1
2
4
3
3
1
2
4
3
2
8
1
2
n
n
n
n
n
-
+
+
-
=
+ ´
-
-
´
=
-
´
-
-
，
所以
1
3
4
2
8
n
n
S
n
+
=
-
´
+ .
14．（24-25 高二下·重庆·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
1
1
a = ，
3
6
S =
且
2
1
3
n
n
n
n
S
S
a
a
n
*
+
+
-
=
-
ÎN
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
1
11
b = -
，
1
1
1
1
13
n
n
n
n
b
b
a a
+
+
-
=
.求
nb
的前13 项和.
【答案】(1)
na
n
=
(2)7
【详解】（1）因
*
2
1
2
1
3
n
n
n
n
n
n
S
S
a
a
a
a
n
+
+
+
+
-
=
+
=
-
ÎN
，则
*
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
n
+
+
+
-
=
-
ÎN
，
所以数列
na
是首项为
1
1
a = 的等差数列，
由于
3
2
3
6
S
a
=
=
，得
2
2
a = ，则公差为
2
1
1
a
a
-
= ，所以
1
1
na
n
n
= +
- =
，
则
na
的通项公式为
na
n
=
.
（2）解法一：由（1）知，
na
n
=
，故
1
1
1
13
1
1
13
1
1
n
n
b
b
n n
n
n
+
æ
ö
-
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø，
所以，当
2
n ³
时，
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
13 1
n
n
n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
n
-
-
-
æ
ö
-
=
-
+
-
+
+
-
=
-
ç
÷
è
ø
L
，
又因为
1
1
11
b = -
，代入化简可得
2
13
n
n
b
n
=
-
（
2
n ³
，
*
nÎN ）.
因为
1
1
11
b = -
也符合上式，所以
*
2
13
n
n
b
n
n
=
Î
-
N
，
注意到
13
13
1
2
13
2 13
13
n
n
n
n
b
b
n
n
-
-
+
=
+
=
-
-
-
，
所以
nb
的前13 项和为
1
12
2
11
6
7
13
13
6
6 1
7
b
b
b
b
b
b
b
b
+
+
+
+
+
+
+
=
+
=
+ =
L
.
解法二： 由（1）知，
na
n
=
，故
1
1
1
13
1
1
13
1
1
n
n
b
b
n n
n
n
+
æ
ö
-
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø，
即
1
1
13
1
13
1
n
n
b
n
b
n
+
+
=
+
+
，
又因为
1
1
11
b = -
，所以数列
1
13
nb
n
ì
ü
+
í
ý
î
þ
是各项为
1
1
13
2
b +
=
的常数列，即
1
13
2
nb
n
+
=
，
所以
*
2
13
n
n
b
n
n
=
Î
-
N
，
注意到
13
13
1
2
13
2 13
13
n
n
n
n
b
b
n
n
-
-
+
=
+
=
-
-
-
，
所以
nb
的前13 项和为
1
12
2
11
6
7
13
13
6
6 1
7
b
b
b
b
b
b
b
b
+
+
+
+
+
+
+
=
+
=
+ =
L
.
15．（2025·山西·模拟预测）已知数列
na
中，
1
1
a = ，
*
1
(
)
2
n
n
n
a
a
n
a
+ =
Î
+
N
.
(1)求
na ；
(2)数列
nb
满足
2
1
n
n
n
na
b
a
=
+ ，设
nT 为数列
nb
的前n 项和，证明：
4
nT <
.
(3)设
4
2
n
n
T
c
n
-
=
+
，证明：数列
nc
中任意不同的三项都不能构成等差数列.
【答案】(1)
1
2
1
n
n
a =
-
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）在数列
na
中，由
*
1
2
n
n
n
a
a
n
a
+ =
Î
+
N
，得
1
2
1
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
=
=
+ ，
则
1
1
1
1
2
1
n
n
a
a
+
æ
ö
+ =
+
ç
÷
è
ø
，所以数列
1
1
na
ì
ü
+
í
ý
î
þ
是以
1
1
1
2
a + =
为首项，以2 为公比的等比数列，
则
1
1
1
2 2
2
n
n
na
-
+ =
´
=
，解得
1
2
1
n
n
a =
- .
（2）由（1）知
1
2
n
n
n
b
-
=
，
0
1
2
2
1
1
2
3
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
T
-
-
-
=
+
+
+
+
+
L
，
1
2
3
1
1
1
2
3
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
T
-
-
=
+
+
+
+
+
L
，
两式相减得
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
T
-
-
+
= +
+
+
+
-
=
-
=
-
-
L
，
因为
*
nÎN ，所以
1
2
4
4
2
n
n
n
T
-
+
=
-
<
.
（3）由题
1
4
1
2
2
n
n
n
T
c
n
-
-
=
=
+
.
假设数列
nc
中存在不同的三项
p
c ，
qc ，
rc （p
q
r
<
<
，
*
, ,
p q r ÎN ）构成等差数列，
则2 q
p
r
c
c
c
=
+
，即
1
1
1
2
1
1
2
2
2
q
p
r
-
-
-
=
+
，
两边同时乘以
1
2r- ，得2 2
2
1
r q
r
p
-
-
´
=
+ .
因为p
q
r
<
<
，
*
, ,
p q r ÎN ，所以
1
r
q
-
³ ，
2
r
p
-
³
，
则2 2r q
-
´
是2 的倍数，2
1
r
p
- + 除以2 余1，等式不成立.
所以假设不成立，即数列
nc
中任意不同的三项都不能构成等差数列.
16．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列
na
满足
1
2
3n
n
n
a
a
+ -
=
，
2
13
a =
，
3n
n
n
b
a
=
-
．
(1)求
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
a
b
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
n
S ，是否存在实数l ，，使得
9
4
log
n
S
n
l
ì
ü
+
+
í
ý
î
þ
是等差数列，若存在，求l ，的
值，若不存在，说明理由；
(3)记
1
1
,
2 ,
k
n
n
k
k
k n
a
c
c
k a
n
a
-
+
=
ì
= í
+
<
<
î
，
*
k ÎN ,求
1
1
1
an
i
i an
c
i
i
b
-
+
=
=
å
å
．
【答案】(1)
2n
nb =
(2)存在，
1
l = - ，
3
=
(3)
2
(2 3
2 )
1
2
2
n
n
n
×
+
+ -
【详解】（1）因为
1
2
3n
n
n
a
a
+ -
=
，两边同除于
1
2n+ ，则
1
1
1 3
2
2
2 2
n
n
n
n
n
a
a
+
+
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以
1
1
1
1 3
2
2
2 2
n
n
n
n
n
a
a
-
-
-
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
2
1
2
1
2
1
3
2
2
2 2
n
n
n
n
n
a
a
-
-
-
-
-
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，，
2
3
2
3
2
1 3
2
2
2 2
a
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
累加可得
1
2
3
2
2
2
1 3
1 3
1 3
1 3
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
n
n
n
n
n
a
a
-
-
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
+
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
，
所以
2
2
2
1 3
1 3
3
9
13
3
2 2
2 2
1
3
2
2
2
4
4
2
1
2
n
n
n
n
n
a
a
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
æ
ö
æ
ö
è
ø
è
ø
=
+
=
-
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
-
，
则当
3
n ³
时，
3
2n
n
n
a =
+
，
又当
2
2,
13
n
a
=
=
；当
2
1
3
1,
5
2
a
n
a
-
=
=
=
也适合上式，
故
3
2n
n
n
a =
+
，则
3
2
n
n
n
n
b
a
=
-
=
.
（2）由（1）可知，
3
2n
n
n
a =
+
，
2n
nb =
，所以
3
2
3
1
2
2
n
n
n
n
n
n
a
b
+
æ
ö
=
=
+
ç
÷
è
ø
则
n
n
a
b
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
1
1
1
3
3
3
3
3
2
2
1
3
3
3
2
2
2
1
2
n
i
i
n
n
n
n
i
i
S
n
n
n
+
=
=
æ
ö
-ç
÷
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
è
ø
=
+
=
+
=
+
=
- +
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
-
å
å
要使得
9
4
log
n
S
n
l
ì
ü
+
+
í
ý
î
þ
是等差数列，所以
9
9
4
4
3
log
log
3
3
2
n
n
S
n
n
n
l
l
é
ù
æ
ö
+
+
=
- +
+
+
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
要使得
1
9
9
9
1
4
4
4
3
3
3
3
3
2
log
3
3
log
3
3
1
log
2
2
3
3
3
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
l
l
l
l
l
l
-
-
é
ù
æ
ö - +
+
+
ê
ú
ç
÷
ù
é
ù
é
æ
ö
æ
ö
è
ø
ê
ú
- +
+
+
-
- +
- +
-
+
=
ú
ê
ú
ê
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
æ
ö
û
ë
û
ë
- +
- +
-
+
ê
ú
ç
÷
è
ø
ë
û
为一
个常数，
令
1
3
3
3
2
3
3
3
1
2
n
n
n
n
t
n
n
l
l
l
-
æ
ö - +
+
+
ç
÷
è
ø
=
æ
ö
- +
- +
-
+
ç
÷
è
ø
，则
0
3
2
1
3
)
2
(1
)(
3
( 4
)
n
t
n
t
t
l
l
æ
ö
-
ç
÷
è
+
+
-
+ -
- -
+
ø
+
=
对任意
*
nÎN 恒成立，
则
2
3
0
1
(
1)
0
3
4
0
t
t
t
l
l
ì
-
=
ï
+
-
=
í
ï
- +
- -
+
=
î
，解得
3
2
1
3
t
l
ì =
ïïí
= -
ï
ï
=
î
.
所以存在存在实数l ，，使得
9
4
log
n
S
n
l
ì
ü
+
+
í
ý
î
þ
是等差数列，且
1,
3
l
= -
=
.
（3）由（1）知
1
1
1
3
2
5
a =
+
=
,
1
1
2
2
2
n
n
n
n
b
b
-
-
=
=
，
则
*
1
1
,
,
2 ,
k
n
n
k
k
k n
a
c
k
c
k a
n
a
-
+
=
ì
=
Î
í
+
<
<
î
N .
当
1
k
k
a
n
a +
<
<
时，
1
2
n
n
c
c
k
-
-
=
，
则
2(
)
n
k
c
k
n
a k
=
+
-
；
则
1 1
2
1
1
3
5
2(
1
)
(
)
k
k
a
i
k
k
k
k
i a
c
k
k
k
k
a
a k
k a
a
+ -
+
+
=
=
+
+
+
+
+
- -
=
-
å
L
，
则
1 1
2
2
1
1
3
5
2(
1
)
(
)
(2 3
2 )
n
n
a
n
n
i
n
n
n
n
i a
c
n
n
n
n
a
a n
n a
a
n
+ -
+
+
=
=
+
+
+
+
+
- -
=
-
=
×
+
å
L
，
故
1
1
2
1
1
1
2
(2 3
2 )
1
2
1
2
2
2
an
i
i an
n
n
an
i
i an
c
n
i
c
i
b
b
b
b
-
+
=
-
+
=
×
+
=
å
=
+
+
+
=
+
+
+
å
å
L
L
.
2
2
(2 3
2 )
(2 3
2 )
1
2
2 2
2
2
1 2
n
n
n
n
n
n
×
+
×
+
+
- ×
=
=
-
-
.
