文档文本内容
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（高效培优综合训练）
（全国通用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知命题p：“ ， ”，则命题p的真假及命题p的否定分别为（ ）
A．真命题， ， B．真命题， ，
C．假命题， ， D．假命题， ，
【答案】B
【分析】求出 的解，即可得出命题p的真假，进而写出命题p的否定.
【详解】由题意，
在命题p：“ ， ”中，
因为 ，所以 或 ，
故命题p为真命题，C，D错误；
命题p的否定为“ ， ”，A错误，B正确．
故选：B.
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，求出集合 ，再利用集合的运算，即可求解.
【详解】由 ，解得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故选：C.
3．“ ”是“函数 的图象关于 对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若函数 的图象关于 对称，根据正切函数的对称性可得 ，再
根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.
【详解】若函数 的图象关于 对称，
则 ，解得 ，
因为 是 的真子集，
所以“ ”是“函数 的图象关于 对称”的充分不必要条件.
故选：A.
4．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果 克糖水中含有 克糖 ，再添
加 克糖 （假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可求解.
【详解】加入 克糖 后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了.
加糖之前，糖水的浓度为 ；加糖之后，糖水的浓度为 ，所以 .
故选：A.
5．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在
天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天
平平衡，则两次称得重物的总重量（ ）
A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关
【答案】C
【分析】设天平左臂长为a，右臂长为b，第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，由题意得
， ，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为天平两臂不等长，所以设天平左臂长为a，右臂长为b，则 ．
设第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，则 ， ，故 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
但 ，等号不成立，所以 ，故两次称得重物的总重量大于20g．
故选：C.
6．已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ，则 的最小值为
（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】由题意可知： ， 是方程 的两根，利用韦达定理可得 ，再利用基本不
等式求最值即可.
【详解】由题意可知： ， 是方程 的两根，且 ，
则 ，可得 ， ，
则 ，当且仅当 时取等号，
所以的最小值为 .
故选：C.
7．已知等比数列 的公比为 ，关于 的不等式 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，不等式的解集为
B．当 时，不等式的解集为
C．当 时，存在公比 ，使得不等式的解集为
D．存在公比 ，使得不等式的解集为
【答案】C
【分析】结合等比数列通项变形一元二次不等式，分类求解并判断.
【详解】不等式 ，若 ，则 ，当 或 时， 或 ；
当 或 时， 或 ，当 时， ；
若 ，则 ，当 或 时， ，
当 或 时， ，当 时，不等式无解，
因此当 时，不等式无解，C正确，ABD错误；.
故选：C
8．已知 对所有正实数 都成立，则实数 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】将原不等式常变量分离，通过换元法，结合一元二次方程根的判别式法进行求解即可.
【详解】将不等式 变形为 ，记 ，则问题转化为求 的
最大值问题．
中分子、分母同时除以正数 ，变形得 ，
令 ，则 ，整理得 ，
将方程看成关于 的一元二次方程，
因为 ，所以方程一定有正实数解，
所以 ，
由 ，得 ，解得 ，
由 ，得 ，
由 ，得 或 ，
所以 ，所以 的最大值为9，则 ，即 的最小值为9．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于命题 “ ”，下列说法正确的是（ ）
A．该命题是全称量词命题，且为真命题 B．该命题是存在量词命题，且为假命题
C． D．
【答案】AD
【分析】解不等式判断命题的真假，结合全称量词、存在量词命题的概念及全称量词命题的否定为存在量
词命题得出答案.
【详解】对于A，B，命题 “ ”为全称量词命题，
不等式 的解集为 ，
则 成立，所以该命题为真命题，故A正确，B错误；
对于C，D， ，故C错误，D正确．
故选：AD.
10．已知正实数 ， 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，直接利用基本不等式即可判断；对于B，消元法可求出 的范围，即可判断；对于
C，利用常值代换法，利用基本不等式即可求解；对于D，消元后利用基本不等式求得 的范围即
可判断.
【详解】对于A，因 ，则 ，即得 ，当且仅当 时，等号成立，
故A正确；
对于B ，因 ，由 可得 ，故 在 时取得最小值
， ，故B错误；对于C，由 ，当且仅当 时，等号成立，
故C正确；
对于D，因 ，由 ，当且仅当 时等号成立，由上分析 ，故有
，即D正确.
故选：ACD.
11．非空数集 ，同时满足如下两个性质：（1）若 ，则 ；（2）若 ，则 ．称
A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ）
A．若A为一个“封闭集”，则
B．若A为一个“封闭集”，且 ，则
C．若 都是“封闭集”，则 是“封闭集”的充要条件是 或
D．若 都是“封闭集”，则 是“封闭集”的充要条件是 或
【答案】ABD
【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反
证法证明必要性成立，得到D正确.
【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若 ，则 ，那么 ，A正
确．
对于B，因为A为一个“封闭集”， ，所以 ，所以 ，B正确．
对于C，不妨取“封闭集” ，
则 也是“封闭集”，显然 或 不成立，C错误．
对于D，充分性： 都是“封闭集”，
若 或 ，则 或 ，则 是“封闭集”．
必要性：若 是“封闭集”，令 ，
假设 或 不成立，则存在 ，同时 ，
因为 是“封闭集”，所以 ，
分两类情况讨论，
若 ，又当 时， ，所以 ，这与假设矛盾，若 ，又当 时， ，所以 ，这与假设矛盾，
故假设不成立，原结论 是“封闭集”，则 或 成立，即必要性成立．D正确．
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】已知 ，则 或 ，结合集合中元素的互异性分情况讨论即可.
【详解】因为 ，
所以 或 ，
当 时， ，此时 ，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当 时，解得 或 （同上，舍去），
此时 ．
综上 ．
故答案为： .
13．已知 ，则 的最小值为 ．
【答案】3
【分析】根据已知条件得到 ，代入到要求的式子中，再利用基本不等式求解最小值即可.
【详解】 ， ，则 ，当且仅当
，即 时等号成立，故 的最小值为3．
故答案为： .
14．若 ，且满足 ，则 的最小值为 ； 的最小值为 ．
【答案】 6 3
【分析】利用基本不等式 得 ，解不等式即得 的最小值；令
，结合题设条件，通过换元将问题转化为：由 ， ，求 的最小值，
再利用基本不等式即可得解.【详解】∵ ，
∴ ，即 ，
故 ，解得 或 ，
∵ ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为6．
令 ，
由 ，得 ，
即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
故 的最小值为3．
故答案为：6；3.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知集合 ，集合 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，且 是 的必要不充分条件，求m的取值范围.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）由 解出集合B及集合A，再求 及 ；
（2）由 先算集合B，再由 是 的必要不充分条件，得集合A与集合B的包含关系，再解不
等式组得到范围.
【详解】（1）当 时， ，
∵ ，
∴ ，∴ 或 .
（2）当 时， ，
∵ 是 的必要不充分条件，∴ 真包含于 ，如图.
∴ 其中等号不同时成立，
解得 .
故 的取值范围是 .
16．定义关于 的新运算： ，其中 ， 为非零常数.
(1)当 ， 时，求 的值；
(2)当 时，求不等式组 的解集.
【答案】(1) ；
(2) 或 .
【分析】（1）由新运算定义结合题意可得答案.
（2）由 ，可得 .则可将 化为：
，据此可得答案.
【详解】（1）由题可知 ， ，
解得 .
（2）由题可知 ，即 .
又 ，
即 ，解得 ；
，
整理得 ，解得 或 ，所以解集为 或 .
17．2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项
目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办
世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假
设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购
进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司
合作，以全新方式进行销售，此时利润 （万元）与销量 （万件）的关系为 .
(1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润 销售收入 成本）
(2)写出利润 （万元）关于购进产品数量 （万件）的函数解析式；
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
【答案】(1)200万元
(2)
(3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元
【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固
定投入300万元，由此根据利润 销售收入 成本计算即可；
（2）依题意，分三段：当 时，当 时，当 时，写出函数解析式，其中，当
时，需要设降价 元，并用含 的式子表示 .
（3）计算出各段函数的最大值进行比较.当 时，根据一次函数的单调性求解最大值；当
时，根据二次函数的最值求解最大值；当 时，根据基本不等式求解最大值.
【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是 万元.
（2）当 时， ；
当 时，不妨设降价 元，则 ，得到 ，
所以 ；
当 时， ；
所以 .（3）由（2）知，当 时， ，函数单调递增，
当 时，利润最大，此时利润是450万元；
当 时， ，
当 时，利润最大，此时利润是500万元；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时，利润最大，此时利润是910万元.
因为 ，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元.
18．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集 ，
定义 ，将 称为“ 与 的笛卡尔积”．
(1)若 ， ，求 和 ．
(2)若集合 是有限集，将集合 的元素个数记为 ．已知 ，且存在实数 满足
对任意 恒成立，求 的取值范围，并指明当 取到最值时 和 满足的关
系式及 应满足的条件．
【答案】(1) ，
(2) ， ， ， ．
【分析】（1）根据新定义直接运算求解；
（2）设 ， ， ， ，则 ， ， ，先化简
，再运用基本不等式求 的范围，即可求解．
【详解】（1）由题意可得， ，
．
（2）设 ， ， ， ，
则 ， ， ，
可得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以实数 的取值范围为 ．
若 取到最大值，则 ，即 ，
可得 ，即 ，所以 ， ．
19．对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若 ，那么称点 是点 的
“上位点”，同时点 是点 的“下位点”．
(1)试写出点 的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点 是点 的“上位点”，判断点 是否是点 的“下位点”，并证明你的
结论；
(3)设正整数 满足以下条件：对集合 内的任意元素 ，总存在正整数 ，使得点
既是点 的“下位点”，又是点 的“上位点”，求满足要求的一个正整数 的值，并说明
理由．
【答案】(1)“上位点”为 ，“下位点”为 ；
(2)是，证明见解析；
(3) ，理由见解析.
【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标.
（2）先由点 是点 的“上位点”得 ，作差化简得 ，结合所得结论、定义，利用
作差法即可判断出点 是否是点 的“下位点”.
（3）借助（2）的结论证明点 既是点 的“上位点”，又是点 的“下位点”，再利
用所证结论即可得到满足要求的一个正整数 的值.
【详解】（1）根据题设中的定义可得点 的一个“上位点”坐标为 ，一个“下位点”坐标为
．
（2）点 是点 的“下位点”．
证明如下： 点 是点 的“上位点”， ．
又 均大于0， ， ，，即 ，
点 是点 的“下位点”．
（3）若点 是点 的“上位点”，可证点 既是点 的“上位点”，又是点 的
“下位点”．
证明如下： 点 是点 的“上位点”， ，
均大于0， ， ，
，
即 ， 点 是点 的“上位点”．
同理可得 ，即 ，
点 是点 的“下位点”．
点 既是点 的“上位点”，又是点 的“下位点”．
要使点 是 的“上位点”，则 ，解得 ，，所以当
时，点 是 的“上位点”，
根据题意知，点 既是点 的“下位点”，又是点 的“上位点”对
恒成立，
根据上述结论可知，当 ， 时，满足条件．
故 ．
