第9讲 外接球、内切球、棱切球问题
一、单选题
1．（2025·高三·安徽·阶段练习）在 中， ， ，E，F，G分别为三边 ， ，
的中点，将 ， ， 分别沿 ， ， 向上折起，使得A，B，C重合，记为 ，
则三棱锥 的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ，由题设 .
三棱锥 中， ， ， ，
将 放在棱长为x，y，z的长方体中，如图，
则有 ，
三棱锥 的外接球就是长方体的外接球，
所以 ，
由基本不等式 ，当且仅当 时等号成立，
所以外接球表面积 .
故选：B.
2．（2025·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气
体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面
都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面
体 的棱长为 ，下列说法中正确的个数有（ ）①异面直线 与 所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为 ；
③若点 为棱 上的动点，则 的最小值为 ；
④若点 为四边形 的中心，点 为此八面体表面上动点，且 ，则动点 的轨迹长度为
.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】对①：连接 ，取 中点 ，连接 、 ，
由题意可得 、 为同一直线， 、 、 、 四点共面，
又 ，故四边形 为菱形，
故 ，故异面直线 与 所成的角等于直线 与 所成的角，
即异面直线 与 所成的角等于 ，故①错误；
对②：由四边形 为正方形，有 ，
故四边形 亦为正方形，即点 到各顶点距离相等，即此八面体的外接球球心为 ，半径为 ，
设此八面体的内切球半径为 ，
则有 ，化简得 ，
则此八面体的外接球与内切球的体积之比为 ，故②正确；
对③：将 延 折叠至平面 中，如图所示：
则在新的平面中， 、 、 三点共线时， 有最小值，
则 ，故③错误.
对于④，设三角形 的内切圆半径为 ，则由等面积法，有 ，
解得 ，
由②可知，点 到平面 的距离为 ，
所以 ，
这表明当点 在平面 内时，点 在三角形 的内切圆上运动，
它的周长是 ，根据对称性可知动点 的轨迹长度为 ，故④正确.
正确的编号有②④.
故选：B.
3．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）在四面体 中， ，且 与 所
成的角为 .若该四面体 的体积为 ，则它的外接球半径的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】依题意，可将四面体 补形为如图所示的直三棱柱 .
因为 与 所成的角为 ，所以 或 .
设 ，外接球半径记为 ，外接球的球心如图点 .
易知 平面 ，所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
于是 ，所以 .
在 中， ，
在 中，由余弦定理得 ，
显然当 时，外接球的半径会更小，此时 ，
所以 ，
所以 ，故它的外接球半径的最小值为2.
故选：B.4．（2025·黑龙江·二模）已知正四棱锥 的侧棱长为 ，且二面角 的正切值为 ，则
它的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正方形 中心为 ，取 中点 ，连接 、 、 ，
则 ， ， 平面 ，
所以 为二面角 的平面角，即 ，
设正方形 的边长为 ，则 ，
又 ， ，所以 ，
即 ，解得 （负值已舍去），
则 ， ，设球心为 ，则球心在直线 上，设球的半径为 ，
则 ，解得 ，
所以外接球的表面积 .
故选：A5．（2025·湖北·二模）已知正方体 的棱长为 为线段 上的动点，则三棱锥
外接球半径的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接 ，交 于点 ，易得 为 的外心．
连接 ．交于点 ，易知 平面 ，则三棱锥 的外接球球心 在 上．
设 的外接圆圆心为 平面 ，
由正方体中棱 平面 ,得 ,又易得 分别是 中点，
所以 ．
设 的外接圆半径为 ，三棱锥 的外接球半径为 ．则 ，
设 ， ，
，又 ，
．设 ，则 ，
设 ，则 ，
在 单调递增，又 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，又 ，
所以 ．
故选：C．
6．（2025·高三·山东青岛·期中）如图，已知直三棱柱 的底面是等腰直角三角形， ，
，点 在上底面 （包括边界）上运动，则三棱锥 外接球表面积的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 为等腰直角三角形， ，
所以 的外接圆的圆心为 的中点 ，且 ，
设 的中点为 ，连接 ，则 ，则 平面 ，
设三棱锥 外接球的球心为 ，由球的性质可得 在 上，设 ， ，外接球的半径为 ，
因为 ，所以 ，
即 ，又 ，则 ，
因为 ，所以
所以三棱锥 外接球表面积的最大值为 .
故选：B.
7．（2025·福建厦门·二模）已知正方体 的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，
且满足 平面 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点 ，内切球半径 .
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，同理可得 平面 ，
∵ 平面 ， ，∴平面 平面 ，∵ 平面 ，∴ 平面 ，故点 的轨迹是平面 与正方体内切球的交线，此交线为圆，
记圆心为 .
如图，以 为原点建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
∴ ， ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，故 ，
∴点 到平面 的距离为 ，
∴圆 的半径为 ，
由 得， ，∴ ，
∴ 的最小值为 .
故选：A.
8．（2025·高三·重庆·期末）在正四棱台 中， ，且正四棱台存在内切球，
则此正四棱台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形 的内切圆，圆心为 ，
设上下底面的中心分别为 ．
过 作 于 ，连接 ，
由图可知 ，
则 ，
过 作 于 ， ，
即四棱台的高为 ，
设外接球球心为 ，设外接球的半径为 ，
则，
解得 ，
则外接球表面积为 ．
故选：A.
9．（2025·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切
球．在四棱锥 中，侧面 是边长为1的等边三角形，底面 为矩形，且平面 平面
．若四棱锥 存在一个内切球，设球的体积为 ，该四棱锥的体积为 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ，
因 是正三角形，则 ，又 是矩形，有 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
因此 平面 ， 平面 ，
又 ，则 平面 ， 平面 ，则 ， ，
， 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，
所以 ，而 ，则 ，显然 ，
由球的对称性和正四棱锥 的特征知，平面 截四棱锥 的内切球 得截面大圆，
此圆是 的内切圆，切 ， 分别于 ， ，有四边形 为正方形，
设 ，又 ， ，则球的半径 ，
又四棱锥 的表面积为 ，
由 ，解得 ，， ，
所以 .
故选：C.
10．（2025·江西新余·模拟预测）“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大
中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近
似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球 ）.如图：已知粽子三棱锥 中，
， 、 、 分别为所在棱中点， 、 分别为所在棱靠近 端的三等分点，小
玮同学切开后发现，沿平面 或平面 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的
比为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
如图所示，取 中点为 ， ，
为方便计算，不妨设 ，
由 ，可知 ，
又 、 分别为所在棱靠近 端的三等分点，
则 ，
且 ， 、 ， ， 平面 ，
即 平面 ，
又 平面 ，则平面 平面 ，
设肉馅球半径为 ， ，
由于 、 、 分别为所在棱中点，且沿平面 切开后，截面中均恰好看不见肉馅，
则 到 的距离 ， ， ，
又 ，解得： ，
故 ，
又 ，
解得 ， ，
所以： ，解得 ， ，
由以上计算可知： 为正三棱锥，故 ，
所以比值为 .
故选：B.
11．（2025·湖北·模拟预测）已知四棱锥 的底面为矩形， ， ，侧面 为正三
角形且垂直于底面 ，M为四棱锥 内切球表面上一点，则点M到直线 距离的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r，取 的中点为H， 的中点为N，连接 ， ， ，
球O为四棱锥 的内切球，
底面 为矩形，侧面 为正三角形且垂直于底面 ，
则平面 截四棱锥 的内切球O所得的截面为大圆，
此圆为 的内切圆，半径为r，与 ， 分别相切于点E，F，
平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，
为正三角形，有 ， 平面 ，
平面 ， ，
， ，则有 ， ， ，
则 中， ，解得 .
所以，四棱锥 内切球半径为1，连接 .
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ， ，平面 ， 平面 ，可得 ，
所以内切球表面上一点M到直线 的距离的最小值即为线段 的长减去球的半径，
又 .
所以四棱锥 内切球表面上的一点M到直线 的距离的最小值为 .
故选：B.
12．（2025·浙江温州·二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双
双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某
重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相
切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，则模型中九个球的表面
积和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ， ，则 ， ，
过点 作 ⊥底面 ，垂足在 上，且 ，
所以 ，故 ，
点 为最大球的球心，连接 并延长，交 于点 ，则 ⊥ ，
设最大球的半径为 ，则 ，
因为 ∽ ，所以 ，即 ，解得 ，
即 ，则 ，故设最小球的球心为 ，中间球的球心为 ，则两球均与直线 相切，设切点分别为 ，
连接 ，则 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为 ，
则 ，则 ，
又 ，所以 ，解得 ，
又 ，故 ，解得 ，
所以 ，
模型中九个球的表面积和为 .
故选：B
13．（2025·四川·一模）一正四棱锥 ， ，当其外接球半径 与内切球半径 之比最小时，
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，正四棱锥中 ，正方形 的对角线相交于点 ，则 平面 ，
如图所示，设正四棱锥 外接球的球心为 ， ，
连接 ，则 ，因为 ，所以 ,
在 中， ,即 ，
如图所示，设正四棱锥 内切球的球心为 ， ，
取 的中点 ，连接 ,
设内切球 与面 切于点 ,与面 切于点 ,易知 , ,
则 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立， 取得最小值，所以 ，
所以 ，
故选：D
14．（2025·四川德阳·模拟预测）圆锥的表面积为 ，其内切球的表面积为 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，圆锥内切球半径为 ，
如图作出圆锥的轴截面，其中设 为外接圆圆心， 为切点， 为圆锥母线，
连接 .
设 ， ， .
， ， ，又 ，
， ，
，
则圆锥表面积 ，圆锥内切球表面积 ，所求比值为 ，
令 ，则 ，
则 ，且当 时， 取得最大值 ，
故 ，即 的取值范围是 .
故选：B.
15．（2025·天津·一模）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒
洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛
四面体中，正四面体 的棱长为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．勒洛四面体最大的截面是正三角形
B．若 、 是勒洛四面体 表面上的任意两点，则 的最大值为
C．勒洛四面体 的体积是
D．勒洛四面体 内切球的半径是
【答案】D
【解析】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体 表面的截面，如图1所示，
故A不正确；
将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如下图所示：
连接 ，交 于中点 ，交 于中点 ，连接 ，易得 ,则 ，
而 ，
所以 ，
故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于4，故B错误，
如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心 是正四面体 外接球的球心，
连接 并延长交勒洛四面体的曲面于点 ，则 就是勒洛四面体内切球的半径.
如图3, 在正四面体 中， 为 的中心， 是正四面体 外接球的球心，
连接 、 、 ，由正四面体的性质可知 在 上.
因为 , 所以 ，则 .
因为 ，
即 ，解得 ，
则正四面体 外接球的体积是 ，
而勒洛四面体 的体积小于其外接球的体积，C错误；
因为 ，所以 ,
所以，勒洛四面体 内切球的半径是 ，则 D正确.
故选：D.16．（2025·全国·模拟预测）在正三棱锥 中， ， ，若半径为 的球 与三棱锥
的六条棱均相切，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取 的中心 ，连接 ，则 平面 ，且与棱均相切的球的球心 在 上.
连接 并延长交 于 ，则 为 的中点， ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
过 作 ，交 于点 ，设球 的半径为 ，
则 ，因为 ， ，所以 ， ， ，
由勾股定理得 ，
在 中， ，所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，从而 ，
所以 （负值已舍去），所以 ；
故选：D.17．（2025·高三·陕西西安·阶段练习）已知四面体 中， ， ， ，
，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图， 是 的中心，
根据对称性，球心 在 上，球 与 、 的切点分别为 ， ，
且 ， ， 为球的半径．
由勾股定理易得 ，由正弦定理可求得 ，
由勾股定理可求得 ．
∵ ， 均为球 的切线，∴ ，
∵ 与 相似，∴ ，即 ，∴ ，
∴球的体积为 ．
故选：B．
18．（2025·高三·河南·阶段练习）在正三棱锥 中， ，若球 与三棱锥 的
六条棱均相切，则球 的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取 的中心 ，连接 ，
则 平面 ，且与棱均相切的球的球心 在 上，
连接 并延长交 于 ，则 为 的中点， ，
连接 ，易证 ，
过 作 ，交 于点 ，
设球 的半径为 ，则 ，
由题意易求得 ，
由勾股定理得 ，在 中， ，所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，从而 ，所以 ，
所以 ，
故球 的表面积为 .
19．（2025·高三·广东茂名·阶段练习）已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则
该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，作正三棱柱 的中截面正△ ，作上下底面三角形内切圆，
与正三棱柱的所有棱都相切的球必过△ 的外接圆和上下底面内切圆，
取上下底面内切圆心 、 ，连接 ，取 中点 ， 为△ 的外心，
以 为球心，以 为半径的球，此球即为与正三棱柱 所有棱都相切的球，
∴ ， ， ，
在直角△OMN中，由 得， ， ，
∴球的半径 ，
∴球的体积 .
故选：B.二、多选题
20．（2025·高三·海南海口·期末）在棱长为2正方体 中， 、 分别为棱 、 的中
点，过直线 的平面截该正方体外接球所得的截面面积为 .下列选项正确的是（ ）
A． 与 所成的角为
B． 的最大值为
C．当 取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形
D． 的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，连接 ，如下图所示：
由于 、 分别为棱 、 的中点，所以 ，
所以 与 所成的角与 与 所成的角相等，即为 （或其补角）；
易知 为正三角形，所以 ，
因此 与 所成的角为 ，可得A错误；对于B，设正方体外接球的半径为 ，则 ，
解得 ,
因此当截面过球心时，截面圆半径最大，为球的半径 ,
此时 的最大值为 ，即B正确；
对于C，由选项B可知当 取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形，如下图所示：
图中六边形 均为所在棱的中点，因此C正确；
对于D，当球心到截面的距离最大时，截面面积最小，
设正方体外接球的球心为 ，如下图：
显然 为边长为 的正三角形，所以 到 的距离为 ，
即可知当球心到截面的距离为 时，截面半径为 ，
此时 的最小值为 ，即D正确.
故选：BCD
21．（2025·高三·河北邢台·阶段练习）如图，圆锥的底面直径 ，母线 ，点 是母线 的中点．
以下结论正确的是（ ）A．沿圆锥的侧面从点 到达点 的最短距离为
B．圆锥的外接球表面积为
C．过点 作平行于母线 的平面，截圆锥所得抛物线的焦准距为3
D．过点 作动直线 ，满足与母线 成角 ，直线 形成的图形被圆锥底面所在平面截得的图形为椭
圆
【答案】ABD
【解析】A选项，将圆锥侧面展开，如下图，连接 ，
则沿圆锥的侧面从点 到达点 的最短距离即为 的长，
直径 ，母线 ，则 ，则 ，
故 ，
所以 为等边三角形， ，A正确；
B选项：设外接球的半径为 ， ，圆锥的高 ，所以 ，
由勾股定理得 ，即 ，解得 ，
故外接球表面积 ，B正确；
C选项，点 为母线 中点，过点 与母线 的平面必过底面圆圆心，交底面圆于 、 ，
如下图， ，设底面圆心为 ，则 ，
以 为坐标原点， 所在直线为建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 ，
将 代入得， ，解得 ，则焦准距为 ，C错误；
D选项，如图所示，动直线 轨迹是一个圆锥，其中此圆锥的轴为 ，故圆锥 的底面与动直线 轨迹圆锥底面不平行，
且 ，而 ，故 ， ，
故直线 的轨迹被圆锥底面截得的椭圆，D正确.
故选：ABD
22．（2025·高三·广东深圳·开学考试）如图，四棱锥 底面 是边长为4的正方形，若点M
在四边形 内（包含边界）运动，N为 的中点， ， ，则（ ）．
A．当M为 的中点时，异面直线 与 所成角为
B．当 平面 时，点M的轨迹长度为
C．当 与平面 所成的角是 时，点M到 的距离可能为
D．点Q是四棱锥外接球上的一点，则 的最大值是
【答案】ACD
【解析】对于A，因为 为正方形，连接 与 ，相交于点O，连接 ，
则 ， ， 两两垂直，
故以 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，， ， ， ， ，
N为 的中点，则 ．
当M为 的中点时， ， ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
， ，故 ，A正确；
对于B，设Q为 的中点，N为 的中点，
则 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ， ， 平面 ，
又 ，设 ，
故平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，则 ，
则H为 的中点，点M在四边形 内（包含边界）运动，则 ，
点M的轨迹是过点O与 平行的线段 ，长度为4，B不正确；
对于C，即点M的轨迹以 中点K为圆心，半径为 的圆在四边 内（包含边界）的一段弧（如
图），K到 的距离为3，弧上的点到 的距离最小值为 ，
因为 ，所以存在点M到 的距离为 ，C正确；
对于D， ， 的最大值 ，D正确．
故选：ACD．
23．（2025·高三·重庆渝中·阶段练习）柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何
体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图
实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体 ．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙
任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（ ）
A．该正八面体的外接球的体积为
B．平面 截该正八面体的外接球所得截面的面积为
C．甲能构成正三角形的概率为
D．甲与乙均能构成正三角形的概率为
【答案】ABD
【解析】A：由棱长为2，得正八面体上半部分的斜高为 ，高为 ，则正八面体的体积为 ．
则正八面体的外接球的球心为 ，半径为 ，
所以外接球的体积为 ，故A正确；
B：由于 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
在 中，过 作 的垂线，垂足为 ，则 平面 ．
由 ，得 ，
平面 截正八面体的外接球所得截面是圆，半径 ，
所以所得截面的面积为 ，故B正确；
C：甲随机选择的情况有 种，甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：
甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有 种，
甲构成正三角形的概率为 ，故C错误；
D：乙随机选择的情况有 种，乙构成正三角形，只有一种情况：
上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，
或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，
共有 种，概率为 ；又甲能构成正三角形的概率为 ，
所以甲与乙均能构成正三角形的概率为 ，故D正确.
故选：ABD．24．（2025·高三·吉林·期末）如图， 中， ， ， 是 中点， 是 边上
靠近 的四等分点，将 沿着 翻折，使点 到点 处，得到四棱锥 ，则（ ）
A． 到平面 的距离的最小值为
B．存在点 使得平面 平面
C． 中点的运动轨迹长度为
D．四棱锥 外接球表面积的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，当点 与点 无限接近时， 到平面 的距离趋近去 ，
所以 到平面 的距离没有最小值，故A错误；
对于B，连接点 与 中点 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
由题意可得 为 中点， 是 中点，
故 ，所以 ，
故 ， ，
又 ， 、 平面 ，
故 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
则当 时，
又 、 平面 ， ，故有 平面 ，
又 平面 ，故平面 平面 ，即需 ，由题意可得 ，
， ，
即当 时，有 ，
由 ，故存在点 ，使 ，故B正确；
对D：由 ，故 ，由 ，故 ，
即四边形 四点共圆，连接 ， 为该圆直径，
故四棱锥 外接球球心必在过 中点，且垂直平面 的直线上，
则当球心在 中点时，四棱锥 外接球半径最小，
此时 中点到点 的距离等于 一半，故 ，
由 ，有 平面 ，
又 平面 ，故 ，
故球心可在 中点，
由 是 中点，故 ，则 ，
则半径为 ，此时表面积为 ，
即四棱锥 外接球表面积的最小值为 ，故D正确；
对于C，如图，以点 为原点，建立平面直角坐标系，
，
设线段 的中点坐标为 ， ，
由 ，得 ，所以 ，即 ，
由 ，
得 ，整理得 ，
所以 中点的轨迹为以 为圆心， 为半径的半圆，
所以 中点的运动轨迹长度为 ，故C正确.
故选：BCD.
25．（2025·四川成都·二模）如图，在直棱柱 中，
， 是 中点.过 作与平面 平行的平面 ，若
平面 平面 ，则（ ）
A． 四点共面B．棱柱 没有外接球
C．直线 所成的角为
D．四面体 与四面体 的公共部分的体积为
【答案】ABD
【解析】在直棱柱 中， 平面 ，又 ，则直线 两两垂直，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
对于A， ，即 ，又 直线 ，
因此 ，即 四点共面，A正确；
对于B，在梯形 中， ，则 为锐角， ，
因此 ，梯形 无外接圆，则棱柱 没有外接球，B正确；
对于C， 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
则 ，令 ，连接 ，平面 平面 ，同理 ，
因此直线 所成的角等于直线 所成的角，由 ，得 ，则 ， ， ，
直线 所成的角不为 ，C错误；
对于D，令 ，
则点 是直棱柱 所在侧面矩形的中心，
，四边形 是平行四边形，
平面 ，则 平面 ，同理 平面 ，而 ，
A B C D A B C D
平面 1 1 1 1，因此平面 平面 1 1 1 1，同选项C得 ，
A B C D
而 ，则四边形 为平行四边形， ，则 平面 1 1 1 1，
平面 ，四边形 的面积 ，
四面体 与四面体 的公共部分为八面体 ，
所以四面体 与四面体 的公共部分的体积为 ，D正确.
故选：ABD
26．（2025·陕西咸阳·一模）已知正方体 的棱长为2，点P，Q满足 ，
，则（ ）．A．存在Q，使得 与平面 所成的角为
B．若 ，则点Q的轨迹长度为
C．平面 截正方体所得截面的面积为
D．直线 被正方体 的外接球所截得的线段长度为
【答案】ACD
【解析】由 ，即 是正方体底面 （含边界）内任意一点，
若 为 中点，易知 ，故面 即为面 ，如下图示，
若 与 重合，则 与平面 所成的角为 ，
若 与 重合，则 与平面 所成的角为 ，
故 与平面 所成角的一个可取范围为 ，
又 ，则 ，
所以 ， ，
故存在Q，使得 与平面 所成的角为 ，A对；
构建如下图示的空间直角坐标系，则 且 ，
所以 ， ， ，所以 ，则 ，显然直线过 ， ，
所以点Q的轨迹长度为 ，B错.
若 为 的中点，则 ，故 四点共面，如下图，
所以四边形 即为平面 截正方体所得截面，且 为等腰梯形，
， ，故梯形的高为 ，
所以截面的面积为 ，C对；
由正方体 的外接球球心为正方体的中心 ，如下图，
， ，且 ，则 到直线 的距离 ，
又外接球半径是正方体体对角线的一半，为 ，
故直线 被正方体 的外接球所截得的线段长度为 ，D对.
故选：ACD
27．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体 中，E，F分别是棱
A B C D
的中点，P是正方形
1 1 1 1
内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 平面CEF，则点P的轨迹长度为
B．若 ，则点P的轨迹长度为
A B C D
1 1 1 1
C．若P是正方形 的中心，Q在线段EF上，则 的最小值为
D．若P是棱 的中点，三棱锥 的外接球球心为O，则平面 截球O所得截面的面积为
【答案】ACD
【解析】如图，取 的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE， ，所以 ，又E，F分别是棱 的中点，
所以 ，所以 ，
平面CEF， 平面CEF，
∴ 平面CEF，
因为N，E分别是棱 的中点，所以 ，且 ，
所以四边形CDNE为平行四边形，
所以 ，又 平面CEF， 平面CEF，
∴ 平面CEF，
又 ，MN， 平面BDNM，
所以平面 平面CEF，
A B C D
1 1 1 1
点P是正方形 内的动点，且 平面CEF，
所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得 ，故A正确；
如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，
由题意得 ，设 ，
，所以 ，所以点P的轨迹为 为圆心，半径为1的 个圆，
所以点P的轨迹长度为 ，故B错误：
A B C D
1 1 1 1
如图，将平面CEF翻折到与平面 共面，
连接PC，与EF交于点Q，此时 取到最小值，
∵ ，且 ，
所以点Q为EF的中点，所以 ，
所以 ，
即 的最小值为 ，故C正确：
如图，连接PF，交 于点 ，连接PE，设三棱锥 的外接球的半径为 ，
若P是棱 的中点，则 ，
所以FP是 外接圆的一条直径，所以 是 外接圆的圆心，
过点 作平面ABCD的垂线，则三棱锥 的外接球的球心O一定在该垂线上，连接OP，设 ，则 ，
连接OC， ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
点 到平面 的距离为 ，
则球心 到平面 的距离为 ，
则截面圆的半径为 ，
所以截面的面积为 ，故D正确；
故选：ACD．
28．（2025·高三·湖北·阶段练习）如图，长方体 中， ，点 是半圆弧
上的动点（不包括端点），点 是半圆弧 上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A． 的取值范围是
B．若 与平面 所成的角为 ，则
C． 的最小值为D．若三棱锥 的外接球表面积为 ，则
【答案】BCD
【解析】如图， ，
连接 ，在 中， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 的取值范围是 ，故A错误；
连接 ，由于 平面 ，所以 与平面 所成的角为 ，如图，
所以 ，因为 ，所以 ，故B正确；
设 在底面的射影为 ， 为 中点，连接 ，
则 ，又 ，
则 ，而 ，
所以 ，故 ，故C正确；
以 为坐标原点，直线 为 轴， 为 轴， 为 轴，如图，则 点的坐标满足 ，可设 的坐标为 ，
由球心在BC的中垂线（即过 外接圆圆心且与底面垂直的直线）上，可设球心坐标为 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，故 ，所以外接球的半径 ，
所以 ，故D选项正确.
故选：BCD.
29．（2025·高三·安徽池州·阶段练习）如图，正四棱柱 中， ，动点 满足
，且 ．则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，三棱锥 的体积为B．当 时， 的最小值为
C．若直线 与 所成角为 ，则动点 的轨迹长为
D．当 时，三棱锥 外接球半径的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A，取 相交于点 的中点为 ，如下图所示：
当 时，即 ，
由平面向量线性运算法则可知，点 在线段 上，又 ,
；即A不正确；
对于B，当 时，由 ，利用共线定理可得， 三点共线，即点 在线段 上；
由对称性可知，线段 上的点到 两点之间的距离相等，所以 ；
取平面 进行平面距离分析，如下图所示：所以 ，当且仅当 三点共线时，等号成立，
此时点 为线段 的中点，即 的最小值为 ，故B正确；
对于C，由图可知， 与 所成角都为 ，由 可知，点 在平面 内，
若直线 与 所成角为 ，在线段 上取点 ，使 ，则直线 与 所成角为 ；
则点 的轨迹是以 为圆心，半径为 ，且在平面 内的半圆弧 ，如下图所示：
所以动点 的轨迹长为 ，故C正确；
对于D，当 时，取 的中点为 ，即 ；
由 可知， 三点共线，即点 在线段 上，如下图所示：易知三棱锥 外接球球心在直线 上，设球心为 ；
作 于点 ，设 ，易知 ，
因为 ，则 ，得 ，则 ，
设外接球半径为 ，则 ，解得 ；
所以 ，
由二次函数的性质可知，当 时，半径最小为 ；当 时，半径最大为 ；
又 ，所以半径的取值范围是 ，即D正确.
故选：BCD.
30．（2025·湖南长沙·三模）已知四面体ABCD中， 面BCD， ，E、F分别是棱AC、AD上
的点，且 ， .记四面体ABEF、四棱锥 、四面体ABCD的外接球体积分别是 、
、 ，则 的值不可能是（ ）
A．1 B． C． D．【答案】AB
【解析】设四面体ABEF、四棱锥 、四面体ABCD的外接球的半径分别是 、 、 ，分别取
AD、BD的中点M、N，
因为 ， ，所以易知 的中点到点 的距离相等，所以 .
又 面 ， 面 ， ，
， ， 面 ，
平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，从而 .
因为 ， 为 中点，则 为 的外心，
因为 ， 面 ，所以 面 ，
则四棱锥 外接球的球心在直线MN上，
因为 ，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 ，
， 面 ，
所以 平面ACD， 平面 ，
所以 ，于是 ，又因为 ，
故点N就是四棱锥 外接球的球心，所以 .
设 ， ， ，则 ， ， ，
所以 .
，
令 ，则 ， .
记 ， ，
则 ，所以 在 上单调递减，
故 ，
而 ， ， ， ，
故选：AB.
31．（2025·高三·山东潍坊·期末）已知圆柱 的高为2， 为下底面圆 的一条直径， 为上底面圆
上任意一点，球 内切于圆柱 ，则（ ）
A．球 的体积为 B．直线 ， 为异面直线
C．直线 与圆柱上底面所成的角为 D．平面 截球 所得截面面积最小值为
【答案】ACD
【解析】因为圆柱 的高为2，且球 内切于圆柱 ，
所以球 的半径 ，
对于A，球 的体积 ，故A正确；对于B，设平面 截圆柱 所得截面为 ，
当 点在截面 内时，直线 与直线 共面，故B错误；
对于C，因为 平面 ，所以 即为直线 与圆柱下底面所成的角，如图：
又 ，所以 为等腰直角三角形，即 ，
因为圆柱的上下底面平行，所以直线 与圆柱上底面所成的角为 ，故C正确；
对于D，设过点 的圆柱的轴截面为 ，
过点 在平面 内作 ，垂足为 ，如图：
易知 ， ， ，
由勾股定理可得 ，
因为 与 相似，所以 ，
即 ，设 到平面 的距离为 ，平面 截得球的截面圆的半径为 ，
因为 平面 ，当 平面 时， 取最大值 ，即 ，
所以 ，
所以平面 截得球的截面面积最小值为 ，故D正确.
故选：ACD.
32．（2025·高二·辽宁·开学考试）化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面
体），如六氟化硫（化学式 ）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体
（如图1），已知正八面体 的（如图2）棱长为4，则（ ）
A．正八面体 的外接球体积为
B．正八面体 的内切球表面积为
C．若点 为棱 上的动点，则 的最小值为
D．若点 为棱 上的动点，则三棱锥 的体积为定值
【答案】BCD
【解析】对于A项，设该正八面体外接球的半径为 ，由图知， 是正方形，,
在 中， ，利用对称性知 ，故点 为正八面体外接球的球心，则
，
所以正八面体外接球的体积为 ，故A项错误；
对于B项，设该正八面体内切球的半径为 ，由内切球的性质可知正八面体的体积
，
解得 ，故它的内切球表面积为 ，故B项正确；
对于C项，如图，因 与 是边长为4的全等的正三角形，可将 翻折到 ，使其与
共面，从而得到一个菱形 .
连接 与 相交于点 ，此时 ，则 ，因此 取得最
小值为 ，故C项正确；
对于D项，易知 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 ，故D项正确.
故选：BCD.33．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，M为平面ABCD内一动
点，则（ ）
A．若M在线段AB上，则 的最小值为
B．平面 被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若 与AB所成的角为 ，则点M的轨迹为椭圆
D．对于给定的点M，过M有且仅有3条直线与直线 ， 所成角为
【答案】ABD
【解析】对于A，延长 到 使得 ，则 ，等号在
共线时取到；故A正确；
对于B，由于球的半径为 ，球心到平面 的距离为 ，故被截得的圆的半径为 ，故面
积为 ，故B正确；对于C， 与 所成的角即为 和 所成角，所以 ，易知 平面 ，
当 位于线段 上时，则 平面 ，得 ，所以 的轨迹为直线 ，故C错误；
对于D，显然过 的满足条件的直线数目等于过 的满足条件的直线 的数目，
在直线 上任取一点 ，使得 ，不妨设 ，
若 ，则 是正四面体，所以 有两种可能，直线 也有两种可能，
若 ，则 只有一种可能，就是与 的角平分线垂直的直线，
所以直线 有三种可能，故D正确.
故选：ABD
34．（2025·高一·安徽宣城·期末）如图，在正三棱锥 中， ， 分别是棱
的中点， 是棱 上的任意一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．异面直线 与 所成角的余弦值为C． 的最小值为
D．三棱锥 内切球的半径是
【答案】ACD
【解析】对于A，如图1所示，连接 ， ，
由正三棱锥的性质可知 ， ，
因为 为 中点，
所以 ， ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面
所以 ，故A正确；
对于B，如图①，取 中点 ，连接 ， ，
因为 、 分别为 ， 的中点，
所以 ， ，
所以 即为异面直线 和 所成角或其补角，
因为 、 分别为 ， 的中点，
所以 ，
由选项A知， ，同理可得 ，
所以 ，
所以 ,
所以 ，
所以 ，
即异面直线 和 所成角的余弦值为 ，故B错误；
对于C，将平面 和平面 平铺展开，形成四边形 ，
如图②所示，连接 ，交 于点 ，此时 是最小值，连接 ，则 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理知，
，
所以 ，
即 的最小值是 ，故C正确；
对于D，如图③所示，设内切球的球心为 ，点 在平面 内的投影为 ， 为 的重心，
球 与平面 相切于点 ，则 在 上，且 ，
在 中， ，
在 中， ,
因为 为 的重心，所以 ，
在 中， ，
设三棱锥 内切球的半径为 ，
由 相似于 ，得 ,
即 ，解得 ，故D正确；
故选：ACD.35．（2025·广东惠州·三模）在四面体 中， ， ， ， ， 分
别是棱 ， ， 上的动点，且满足 均与面 平行，则（ ）
A．直线 与平面 所成的角的余弦值为
B．四面体 被平面 所截得的截面周长为定值1
C．三角形 的面积的最大值为
D．四面体 的内切球的表面积为
【答案】CD
【解析】对于A，取 中点 ， 中点 ，连接 ,
由于 ，故 ，
而 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
则 即为直线 与平面 所成的角，
又 ,而 ，故 ，则 ,所以 ，故错误；
对于B，设平面 棱 的交点为 ，
因为 ∥平面 且 平面 ,平面 平面 ,
所以 ∥ ，
由题意可知 ，否则 ， 重合，不合题意，
故四边形 为梯形，同理可得四边形 为梯形，
所以 ， ，又 ，
所以 ，所以 ，
又 ∥ ，同理可证 ∥ ，则 ∥ ，同理可证 ∥ ，
则四边形 为平行四边形，故四边形 的周长为2，
即四面体 被平面 所截得的截面周长为定值2，故错误；
对于C，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
而 ∥ ，所以 ，
同理可证 ∥ ，所以 ，结合 ,
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
即三角形 的面积的最大值为 ，故正确；
对于D，由以上分析可知 ,
所以 ，
而 平面 ， ，故 ，而 ,
设四面体 的内切球的半径为 ，则
即 ，解得 ，
故四面体 的内切球的表面积为 ，故正确.
故选：CD.
36．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）在棱长为2的正方体 中，M为 边的中点，下列
结论正确的有（ ）
A． 与 所成角的余弦值为
B．过三点A、M、 的截面面积为
C．四面体 的内切球的表面积为
D．E是 边的中点，F是 边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形．
【答案】AD
【解析】对于A，以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
，则 ,则 ，
与 所成角的范围为 ，故 与 所成角的余弦值为 ，A正确；
对于B，设N为 的中点，连接MN，则 ，且 ，
则梯形 即为过三点A、M、 的截面，
，则梯形高为 ，
故梯形面积为为 ，B错误；
对于C，如图，四面体 的体积等于正方体体积减去四个角上的直三棱锥的体积，
即 ，
该四面体的棱长为 ，其表面积为 ，设四面体内球球半径为r，则 ，
故四面体 的内切球的表面积为 ，C错误；
对于D，如图，延长ME和 的延长线交于J，则 ≌ ，
则 ，设H为 的中点，则 ，
连接HJ，则 ≌ ，则 ，
故G为 的中点，故 ，
同理延长 交于L，连接LH，交 于K，
K即为 的中点，则K，E在 确定的平面内，
则六边形 即过E、M、F三点的截面，是六边形，D正确，
故选：AD
37．（2025·海南·模拟预测）在四面体 中， 都是边长为6的正三角形，棱 与平面
所成角的余弦值为 ，球 与该四面体各棱都相切，则（ ）
A．四面体 为正四面体
B．四面体 的外接球的体积为
C．球 的表面积为D．球 被四面体 的表面所截得的各截面圆的周长之和为
【答案】ABD
【解析】对A：取 中点 ，连接 、 ，由 都是边长为6的正三角形，
则 ，且 ，
又 平面 ， ，
则 平面 ，又 平面 ，故 ，
故 为棱 与平面 所成角，
则 ，故四面体 所有棱长相等，
故四面体 为正四面体，故A正确；
对B：作 于点 ，由四面体 为正四面体，
故 为底面中心，且四面体 的外接球与球 共球心，
有 ， ,
设四面体 的外接球的半径为 ，
则有 ，即 ，
即 ，则 ，故B正确；
对C：作 于点 ，由正四面体对称性可得 即为球 半径，由 ，则 ，又 ，
设球 的半径为 ，则 ，
则 ，故C错误；
对D：由正四面体对称性可得，
球 被四面体 的表面所截得的各截面圆周长相等，
到各面距离为 ，
又 ，则球 被四面体 的表面所截得的各截面圆的半径为：
，则其周长之和为 ，故D正确.
故选：ABD.
38．（2025·高三·河北沧州·阶段练习）已知棱长为1的正方体 的棱切球（与正方体的各条
棱都相切）为球 ，点 为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球 的表面积为
B．球 在正方体外部的体积大于
C．球 内接圆柱的侧面积的最大值为
D．若点 在正方体外部（含正方体表面）运动，则
【答案】ABD
【解析】解析：对于A．如图所示，正方体的棱切球 的半径 ，则球 的表面积为 ，故A正确；
对于B．若球体､正方体的体积分别为 ．
球 在正方体外部的体积 ，故B正确；
对于C，球 的半径 ，设圆柱的高为 ，
则底面圆半径 ，
所以 ，
当 时取得最大值，且最大值为 ，所以C项错误；
对于D，取 中点 ，可知 在球面上，可得 ，
所以 ，
点 在球 上且在正方体外部（含正方体表面）运动，
所以 （当 为直径时， ），
所以 ．故D正确．
故选ABD．三、填空题
39．（2025·江西·模拟预测）在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，侧面 是以
为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥 体积的最小值为 ，则二面角 的取值范围是
；该四棱锥外接球表面积的最小值是 .
【答案】
【解析】
在四棱锥 中，可得： ， ，
又 ， 面 ， 面 ， 面 ，
即为二面角 的平面角，设 ，则 .
过点 作 交 于点 . 面 ， .
又 ， ， 面 ， 面 ， 面 .
， ， .
， ，即二面角 的取值范围为 .
在 中， ， ，所以 的外接圆半径 .
将该四棱锥补成一个以 为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径 ，
所以 .
， ， ， ．故该四棱
锥外接球表面积的最小值为 .
故答案为： ；
40．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可
构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全
等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个
柏拉图多面体之一．如果把 按 计算，则该正二十面体的外接球半径与棱长的比为 ；该正
二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于 ．
【答案】 / /
【解析】如图，这个正二十面体上方的一个正五棱锥：则正二十面体的外接球就是这个五棱锥的外接球.
不妨设正二十面体的棱长为2.
如图：
正五边形 的外接圆半径就是黄金 的外接圆半径，
设为 ，则 .
则 到正五边形 中心 的距离为： .
设正二十面体的外接球半径为 ，则 .
所以正二十面体的外接球半径与棱长的比为： .
正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比： .
故答案为： ；
41．（2025·高三·江苏南通·期末）在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝3 ，BC＝CD＝3，BC⊥CD，将
△ABD沿BD折起，使点A到达A′，且 ，则四面体A′BCD的外接球O的体积为 ；若点E
在线段BD上，且BD＝4BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为 .
【答案】 π【解析】第一空：由题意知， ， ， ，由勾股定理可知，
， ，所以 ， ，
取 的中点O，所以 ，所以四面体A′BCD的外接球O在斜边 的中点处，四面体
A′BCD的外接球O的半径 ，
外接球O的体积 .
第二空，根据题意可知，将四面体A′BCD可放在棱长为3的正方体内，如图所示，
过点E作球O的截面，若要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半径最小，设球O到截面的距离d, 只
需球心到截面的距离d最大即可，而当且仅当OE与截面垂直时，球心到截面的距离d最大，即 ，
取BD的中点F， ，所以 ,
所以截面圆的半径为 .故答案为：① π，② .
42．（2025·高三·全国·专题练习）已知菱形 的各边长为2， ．如图所示，将 沿
折起，使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时 ．则三棱锥 的体积
为 ， 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球上运动，且始终保持 ，则点
的轨迹的周长为 ．
【答案】
【解析】取 中点 ，则 ， 平面 ,
∴ 平面 ， ，又 ，
∴ ，
则三棱锥 的高 ，
三棱锥 体积为 ；
作 ，设点 轨迹所在平面为 ，
则平面 经过点 且 ，设三棱锥 外接球的球心为 的中心分别为 ，
易知 平面 平面 ，且 四点共面，
由题可得 ， ，
解Rt ，得 ，又 ，
则三棱锥 外接球半径 ，
易知 到平面 的距离 ，
故平面 截外接球所得截面圆的半径为 ，
∴截面圆的周长为 ，即点 轨迹的周长为 .
故答案为： ； .
43．（2025·广东茂名·二模）如图，在梯形 中， ，将
沿直线 翻折至 的位置， ，当三棱锥 的体积最大时，过点 的平面
截三棱锥 的外接球所得的截面面积的最小值是 .【答案】
【解析】当三棱锥 的体积最大时，由于底面 的面积是定值，
所以此时 到底面 的距离最大，平面 平面 ，
且平面 平面 ，
取 的中点 ，则 ，故 平面 ，
取 的中点 ，则 ，又 ，且 ，则 ，
又∵ ，
故 是三棱锥 的外接球球心，且该外接球的半径 ；
显然，当且仅当过点 的平面与 垂直时，截外接球的截面面积最小，
此时，截面的圆心就是点 ，记其半径为 ，则 ；
由于 ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，则 ，则 ，
在 中， ，故 ；
又 ，故 ，又 ，
故由余弦定理有 ，
∴ ，故所求面积为 .
故答案为：44．（2025·高二·四川·期中）在三棱锥 中，平面 平面 ，
， ，点 为 的中点， 是 上的一个动点，则三棱锥 外接球表面积的最
小值为 .
【答案】
【解析】因为平面 平面 ， ,
且平面 平面 ， 平面 ,
所以 平面 ， 平面 ,
所以 .
在△ 中，因为 ， ，
∴ ， ，所以
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴，过 且垂直于平面ABC的直线为 轴，建立空间直
角坐标系.
∵ 点 为 的中点， 是 上的一个动点，∴ ， ，
设△ 的重心为 ，则 ，
三棱锥 外接球的球心为 ，则 ，
则有 ，即
则 ，
∴ ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
设三棱锥 外接球半径为 ，表面积为 ，则
所以 .
故答案为： .
45．（2025·高三·河北石家庄·阶段练习）已知球 是正四面体 的外接球， 为棱 的中点，
是棱 上的一点，且 ，则球 与四面体 的体积比为 .
【答案】
【解析】如图，正四面体 中，顶点 在底面的射影为 ，球心 在 上，
设正四面体的棱长为 ，可得 ，
则正四面体高 ，设外接球半径为 ，在直角三角形 中， ，
即 ，解得 ，
令 ，在 中，由余弦定理得 ①，
同理，在 中，由余弦定理得 ②
由题设 ，解得 ，
由于 到平面 的距离与 到平面 的距离相等，都等于 ， ，
故 ，
，
所以 .
故答案为： .
46．（2025·高三·全国·专题练习）已知球 是棱长为2的正方体 的内切球， 是 的中
点， 是 的中点， 是球 的球面上任意一点．①若 ，则动点 的轨迹长度为 ；②三棱锥 的体积的最大值为 ；③ 的
取值范围是 ；④若 ，则 的大小为定值；所有正确结论的序号是 （把
所有正确命题的序号都填在横线上）．
【答案】①③④
【解析】对于①，由正方体性质得 面 ，且内切球半径 ，
分别取 、 、 中点 、 、 ，如图所示，
因为 、 的中点为 、 ，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， 的中点为 ，所以四边形 为矩形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ， ，
所以平面 平面 ，
由正方体的性质可知， 平面 ，
所以 平面 ，则点 轨迹为平面 与内切球 的交线，即为截面圆的周长，
因为球心 面 ，则 到面 的距离为面 与面 的距离 ，所以截面圆半径为 ．
故点 轨迹长度为 ，故①正确；
对于②，以 为原点，分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所
示，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，所以 ，
所以 到平面 距离为 ，
因为 面 ， 面 ，所以 ，
又 ，
所以三棱锥 的体积的最大值为 ，故②错误；
对于③，取 中点 ，连接 、 、 ，如图所示，则 ，
所以 ，
平面 截球 的截面图如图所示，
又 ， ，则 ，
所以当 位于 时，
所以当 位于 时， ，
则 ，所以 ，即 的范围为 ，故③正确；
对于④，由题意知， ，
又 ，
所以点 在以 、 为焦点，长轴长为3的椭球面上，
又因为点 在以 为球心，1为半径的球面上，
所以点 在椭球面与球面的交线处，
则平面 截球 与椭球的截面图如图所示，由椭圆与圆的对称性可知，点 位于 、 、 、 时， 为定值，故④正确；
故答案为：①③④．
47．（2025·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知正三棱柱 的底面边长为 ，线段 是该三棱柱内
切球的一条直径，点 是该正三棱柱表面上的动点，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由正三棱柱 的底面边长为 可得底面三角形外接圆半径为 ；
若该三棱柱有内切球，则三棱柱的高刚好为外接圆的直径，即为 ，
设内切球球心为 ，如下图所示：
易知球心 在正三棱柱的中心处，且半径为1，即
所以 ，
又点 是该正三棱柱表面上的动点，所以 ，
所以 .故答案为：
48．（2025·高三·福建·阶段练习）已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为 ，则当
圆锥的内切球体积最大时， ．
【答案】
【解析】设扇形面积为 ，圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，内切球半径为 ，
而 ，由勾股定理得 ，
而圆锥的内切球在轴截面中与等腰三角形三边相切，
我们以内切球的球心为顶点，向等腰三角形三边作垂线，
可将其分割为三个小三角形，其中两个小三角形以母线 为底，内切球半径 为高，
另一个小三角形以底面圆直径 为底，内切球半径 为高，
由题意得圆锥轴截面的面积与以内切球的球心为顶点分割出的小三角形面积之和相等，
而轴截面面积为 ，
而以内切球的球心为顶点分割出的小三角形面积之和为
，
故 ，解得 ，
则该圆锥的内切球半径 ，
由扇形面积公式得 ，即 ，
且记 为定值，故 ，即 ，而 ，
因为
，
由基本不等式得 ，而 ，
即 ，当且仅当 时取等，此时 ，
设圆锥的内切球体积为 ，而由球的体积公式得 ，
由幂函数性质得当圆锥的内切球体积最大时，圆锥的内切球半径 最大，
而 ，解得 ，
当 最大时，由弧长公式得 .
故答案为： .
49．（2025·高三·湖南·期中）三棱锥 中， ，平面 平面 ，且
.记 的体积为 ，内切球半径为 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】设三棱锥 的高为 ，依题意，可取 中点 ，
连接 ， ，则 ,
由于 ，则 ,
则 ，
由于平面 平面 ，且交线为 , 平面 ，
故 平面 ，故 ,
则 的面积为 , 的面积 ，
由 可得 和 的面积为
，于是三棱锥 的表面积为 ，
由等体积可知 ，
所以 ，
故 = .
设函数 ，且 ，
则 ，
当 单调递减，
， 单调递增，
所以 ，
所以 时， 取得最小值 ，
故答案为： ．
50．（2025·广西·二模）在三棱锥 中， ， ， ， 的面积分别3，4，12，13，且 ，则其内切球的表面积为 ．
【答案】 /
【解析】因为 ，所以类比勾股定理由面推及到空间几何体可知三棱锥 是一个墙角
模型，
所以 ，
设三棱锥的三条侧棱PA，PB，PC长分别为PA=x，PB=y，PC=z，
则由题意有 ①，所以有 ， ，
所以代入①式 ，
所以 ，
设三棱锥的内切球半径为 ，则
，
所以 ， ，所以内切球的表面积为 .
故答案为： .
51．（2025·高三·全国·专题练习）有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球 ，内部是8个半径均为
1的小球 （球壁厚度均忽略不计），其中 两两相切， 两两相切，
两两相切， 两两相切， 两两相切，且 ， 均与球 相切，
则球 的半径为 .
【答案】
【解析】连接 ， ， ， ， ， ，由题可得三棱锥 是棱长为2的正四面体，
连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
因为 两两相切， 两两相切， 两两相切，
两两相切，所以三棱锥 ､三棱锥 ､
三棱锥 ､三棱锥 分别是以三棱锥 的四个面为底面，
且棱长均为2的正四面体，又 均与球 相切，
所以三棱锥 的外接球球心就是大球的球心 .
作出三棱锥 和三棱锥 的示意图如图所示，
连接 ，则球 的半径为 .
易得正四面体的高 ，
到平面 的距离即三棱锥 内切球的半径 ，
易得 ，得 ，则 ，所以球 的半径为 .
52．（2025·高三·四川内江·阶段练习）已知正四棱锥 的底面边长为3，正四棱锥内部的球与其所
有面均相切，若球面上仅有一点 满足 且 ，则球的表面积为 ．
【答案】【解析】连接AC，BD，设交点为O，如图建立以O为原点的空间直角坐标系.
因底面边长为3，则 ，设 .
则 ， ， .
因 ，则 ，又 ，
则 ，则 ，
因球面上仅有一点 满足 且 ，则 为球体上顶点，
则 ，则球体半径为 .
注意到正四棱锥体积为： ，其中 为四棱锥表面积，
如图，取BC中点为F，连接OF，PF，则 .
则 ，则
又正四棱锥体积为： ，则
.
则 ，则球体表面积为： .
故答案为： .
