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第 18 讲 妙用正余弦定理解决三角形或多边形问题
【典型例题】
例1．（2024·青海·一模）在梯形ABCD中， ， ， ， ， ，E，F分别为
AD，BC的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·江苏徐州·一模）在△ABC中，已知 ， ， ，D为垂足，
，则 （ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）在直四棱柱 中，底面ABCD为平行四边形， ，
， ， ，过点B作平面截四棱柱所得截面为正方形，该平面交棱 于点
M，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例4．（2024·广西来宾·一模）在 中，D为边 上一点，满足 ，且 .
(1)证明： .
(2)若 ，求 .
例5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在 中， ，D是斜边 上的一点， ，
.
(1)若 ，求 和 ；
(2)若 ，证明： .例6．（2024·福建·模拟预测）在 中，D为BC的中点，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
例7．（2024·甘肃陇南·一模）在 中，内角A，B，C的对边分别为 .已知
(1)求b；
(2)D为边 上一点， ，求 的长度和 的大小.
例8．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形 为梯形， ， ， ，
．
(1)求 的值；
(2)求 的长．
例9．（2024·高三·河南·专题练习）在 中， 均在线段 上， ，若
，且 ， .(1)求 的值；
(2)求 的长度.
例10．（2024·高三·江西·期末）如图，在△ABC中， ，D为△ABC外一点， ，
记 ， .
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值.
例11．（2024·云南大理·模拟预测）如图所示，在平行四边形 中，有：
.
(1)求 的大小；
(2)若 ，求平行四边形 的面积.例12．（2024·高三·全国·专题练习）已知 中， ，在 的内部有一点 满足
且 ．
(1)若 为等边三角形，求 的值；
(2)若 ，求 的长．
例13．（2024·高一·全国·专题练习）如图，在 中， ，D为AC边上一点且
．
(1)若 ，求 的面积；
(2)求 的取值范围．
例14．（2024·山东滨州·一模）在平面四边形 中， ， ，对角线 与 交于点 ，
是 的中点，
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）如图，平面四边形A､B､C､D，己知 ，
， ， ，则A､B两点的距离是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
2．（2024·陕西·模拟预测）已知在 中， ，点D，E是边BC上的两点，点 在
B，E之间， ，则 .
3．（2024·四川凉山·二模）如图，在平行四边形 中，E，F分别是AD，CD的中点，且 ，
， ，则平行四边形 的面积为 ．
4．（2024·高三·全国·专题练习）已知AD是 的 角平分线， ， ， ，
则 .
三、解答题
5．（2024·高三·广东佛山·阶段练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，
，D是BC上的中点， .
(1)求 的大小；
(2)E是AB上一点， ，求DE的长度.
6．（2024·高三·江苏扬州·阶段练习）如图，在 中，角A，B，C所对的边分别为 ， ， ，且
．(1)求 ；
(2)已知 ， 为边 上的一点，若 ， ，求 的长．
7．（2024·高三·安徽六安·阶段练习）在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 ;
(2)已知 ， 为边 上的一点，若 ， ，求 的长.
8．（2024·全国·模拟预测）在① ；② 这两个条件中任选
一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．
(1)求C；
(2)点D在边AB上，且 ， ，求 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
9．（2024·高三·广东汕头·期中）在凸四边形 中，对角线 交于点 ，且
.(1)若 ，求 的余弦值；
(2)若 ，求边 的长.
10．（2024·高三·广东珠海·期末）在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)已知 ，D为边 上的一点，若 ， ，求 的长．
11．（2024·高三·广西柳州·阶段练习）如图某公园有一块直角三角形 的空地，其中
长 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域 建文化景观区，其中
分别在 上．设 ．(1)若 ，求 的边长；
(2)求 的边长最小值．
12．（2024·高三·山东德州·期中）现有一空地，将其修建成如图所示的八边形 形状的公园．
已知图中四边形 （ ）是周长为4的矩形， 与 ， 与 均关于直线 对称，直线
交 于点 ，直线 交 于点 ．设 ，四边形 的面积为 ．根据规划，图中四边形
区域所示的地面将硬化，剩余区域即图中阴影部分将种植树木和草皮．
(1)求 关于 的函数关系式；
(2)当 取何值时，阴影部分区域面积最大．
13．（2024·高三·浙江杭州·期中）已知四边形 内接于 ，若 ， ， ．(1)求线段 的长．
(2)若 ，求 的取值范围．
14．（2024·四川泸州·一模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)已知 ， ，边BC上有一点D满足 ，求AD．
15．（2024·高三·黑龙江·阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ， ，
．
(1)判断 的形状，并给出证明；
(2)若 ，点D在边 上，且 的周长为 ，求 的周长．
16．（2024·高三·山西·阶段练习）在钝角 中，内角 所对的边分别为 ，且有
．
(1)求 ；
(2)若点 在边 上， ，求 ．17．（2024·高一·江苏连云港·期中）如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半
圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.
(1)点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？
(2)点B在什么位置时，线段 的长度最大？
18．（2024·高三·河南·阶段练习）已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角 的平分线，CB与
AD相交于点O， ， ， .
(1)求CO的长；
(2)若 ，求 的面积.
