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专题2-4 构造函数以及切线归类
目录
题型01 切线求参...................................................................................................................................................................1
题型02 求“过点”型切线方程..........................................................................................................................................2
题型03“过点”切线求参......................................................................................................................................................3
题型04“过点”切线条数的判断..........................................................................................................................................3
题型05 由切线条数求参......................................................................................................................................................4
题型06 公切线......................................................................................................................................................................4
题型07 特殊构造：幂积型构造..........................................................................................................................................5
题型08 特殊构造：幂商型构造..........................................................................................................................................6
题型09 特殊构造：ex的积型构造...................................................................................................................................... 6
题型10 特殊构造：ex的商型构造...................................................................................................................................... 7
题型11 特殊构造：对数型构造...........................................................................................................................................8
题型12 特殊构造：正弦型构造...........................................................................................................................................9
题型13 特殊构造：余弦型构造.........................................................................................................................................10
题型14 复合型构造.............................................................................................................................................................11
高考练场.............................................................................................................................................................................. 12
题型01 切线求参
【解题攻略】
求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程：
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．
(2)切线方程为：y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．
1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)
2、y0=f(x0)
3、y＝f′(x)
k=f′(x0)
4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)
【典例1-1】（2023 春·重庆·高二校联考期中）若函数
的图象在
处的切线与直线
1
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垂直，则
的值为（ ）
A．
B．2 或
C．2
D．1 或
【典例1-2】(山东省烟台市2021-2022 学年高三数学试题)已知曲线
在点（0，1）处的切线与曲线
只有一个公共点，则实数a 的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【变式1-1】（河南省郑州市2021-2022 学年高三考试数学（理科）试题）若曲线
在点
处的切线与直线
平行，则
___________.
【变式1-2】（河南省许昌市2021-2022 学年高三数学文科试题）已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
___________.
【变式1-3】已知函数
，函数
（
且
）的图象过定点
，若曲线
在
处的切线经过点
，则实数
的值为______．
题型02 求“过点”型切线方程
【解题攻略】
1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)
2、y0=f(x0)
3、y＝f′(x)
k=f′(x0)
4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)
5、过（a,b）,代入y-y0＝k(x－x0)，得
【典例1-1】（2023 下·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考）已知曲线
，过点
作曲线的切线，则切线方程 ．
【典例1-2】（2023 下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线
，过点
作曲线的切线，则切线的方程为 .
【变式1-1】）（云南民族大学附属中学2022 届高三高考押题卷二数学（理）试题）函数
过原点
的切线方程是_______.
【变式1-2】（2023 春·河北邢台·高三统考）过点
作曲线
的切线，则该切线的斜率为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式1-3】（（天津市北京师范大学天津附属中学2022-2023 学年高三线上检测数学试题））过点
作曲线
的切线，则切线方程是__________．
.
2
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题型03“过点”切线求参
【典例1-1】（2023 上·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期中）已知曲线
过点
处
的切线与曲线
相切，则
【典例1-2】（2023 下·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）已知函数
，过点
作与
轴平行的直线交函数
的图象于点
，过点
作
的切线交
轴于点
，则
面积
的最小值 .
【变式1-1】（2023·河北保定·统考二模）已知函数
，过点
且平行于
轴的直线
与曲线
的交点为
，曲线
过点
的切线交
轴于点
，则
面积的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023 上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知曲线
，过点
作该曲线的两
条切线，切点分别为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【变式1-3】.直线
是曲线
的切线，则
______.
题型04“过点”切线条数的判断
【解题攻略】
“过点型”切线条数判断：
1. 有几个切点横坐标，就有几条切线。
2. 切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。
【典例1-1】.（湖南省邵阳市武冈市2022-2023 学年高三上学期数学试题）已知
是奇函数，则过点
向曲线
可作的切线条数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．不确定
【典例1-2】已知曲线
，则过点
可向引切线，其切线条数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（湖南省长沙市长郡中学2021 届高三第一次暑假作业检测数学试题）已知函数
，过点
可作曲线
切线的条数为
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式1-2】（2021-2022 学年广东省东莞市高三数学A 卷）已知函数
，则过点
（0，0）可作曲线
的切线的条数为( )
3
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A．3
B．0
C．1
D．2
【变式1-3】（北京市北京理工大学附属中学通州校区2019-2020 学年高三年级考试数学试题）已知过点
且与曲线
相切的直线的条数有（ ）条.
A．0
B．1
C．2
D．3
题型05 由切线条数求参
【典例1-1】若过点
可作出曲线
的三条切线，则实数的取值范围是___________
【典例1-2】（福建省福州华侨中学2023 届高三上学期第二次考试数学试题）若曲线
有两条过
坐标原点的切线，则a 的取值范围为__________．
【变式1-1】过点
作曲线
的切线，若切线有且只有两条，则实数
的取值范围是
___________.
【变式1-2】若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知过点
作曲线
的切线有且仅有两条，则实数a
的取值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 公切线
【解题攻略】
交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点（切点）
对函数
，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
) 和
再令
，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即
可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
【典例1-1】已知直线
是函数
与函数
的公切线，若
是直线
4
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与函数
相切的切点，则
____________．
【典例1-2】（2023 春·高三课时练习）已知直线：
既是曲线
的切线，又是曲线
的切线，则
（ ）
A．0
B．
C．0 或
D．
或
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）若直线
是曲线
的切线，也是
的切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）曲线
过点
的切线也是曲线
的切线，则
；若此公切线恒在函数
的图象上方，则a
的取值范围是 .
【变式1-3】若曲线
与曲线
存在2 条公共切线，则a 的值是_________．
.
题型07 特殊构造：幂积型构造
【解题攻略】
幂函数积形式构造：
1.对于
构造
2.对于
构造
【典例1-1】设定义在
的函数
的导函数为
，且满足
，则关于x 的不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】已知定义域为
的奇函数
的导函数为
，当
时，
，若
，则
的大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】已知定义在R 上的偶函数
，其导函数为
．当
时，恒有
，
若
，则不等式
的解集为
A．
B．
5
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C．
D．
【变式1-2】.已知奇函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，当
时，有
，则不等式
的解集为( )
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】已知奇函数
的导函数为
，当
时，
，若
，
，则
的大小关系正确的是
A．
B．
C．
D．
题型08 特殊构造：幂商型构造
【解题攻略】
幂函数商形式构造：
1.对于
构造
2. 对于
构造
【典例1-1】（江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020 学年高三第一次月考数学试题）已知函数f（x）是
定义在R 上的奇函数，f′（x）为f（x）的导函数，且满足当x＜0 时，有xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f
（x）﹣xf（1）＞0 的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）
B．（﹣∞，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D．（﹣1，0）∪（0，1）
【典例1-2】（2020 届高三1 月）》函数
在定义域
内恒满足
，其中
为
导函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（四川省宜宾市第四中学校2019-2020 学年高三考试数学试题）设函数
是定义在
上
的可导函数，其导函数为
，且有
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（湖北省仙桃市汉江中学2018-2019 学年高三试题）已知定义在
上的函数
的导函数为
，若
， 则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（甘肃省张掖市第二中学2019-2020 学年高三4 月线上测试数学（理）试卷）已知定义在
上的函数
满足
，其中
是函数
的导函数
若
，则实数m 的取值范围为
6
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A．
B．
C．
D．
题型09 特殊构造：ex的积型构造
【解题攻略】
ex 函数积形式构造：
1.对于
构造
2. 对于
构造
【典例1-1】（江西省上饶中学2019-2020 学年高三上学期第二次月考数学试题）已知函数
是定义在
上的可导函数，
，且
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2023 春·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知定义在
上的函数
的导函
数为
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023 春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考）设函数
的定义域为R，
是其导函数，若
，
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023 春·河南洛阳·高三统考）设
是定义在
上的函数
的导函数，且
．
若
（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知定义在
上的函数
的导函数为
，满足
．当
时，
．当
时，
，且
，其中是自
然对数的底数．则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 特殊构造：ex的商型构造
【解题攻略】
ex 函数商形式构造：
1.
，
7
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2.
【典例1-1】定义在
上的函数
的导函数为
，满足：
，
，且当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】已知在
上的可导函数
的导函数为
，满足
，且
为偶函数，
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】已知定义在
上的函数
的导函数为
，且满足
，
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】设函数f(x)的导函数为
，f(0)=1，且
,则
的解集是
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】已知定义在
上的函数
的导函数为
，若
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11 特殊构造：对数型构造
【解题攻略】
1.
2.授课时，可以让学生写出y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果
【典例1-1】（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数
满足
（其中
是
的导数），若
，
，
，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）设函数
是奇函数
的导函数，
时，
，则使得
成立的
的取值范围是（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2020 上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数
是奇函数
的导函数，且满足
时，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023 上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知函数
的定义域为
，导函数为
，不等式
恒成立，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2022·广东梅州·统考二模）已知
是定义在
上的奇函数，
是
的导函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型12 特殊构造：正弦型构造
【解题攻略】
三角函数形式构造：
1.
，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
【典例1-1】（2023 春·四川成都·高三阶段练习）记函数
的导函数为
，若
为奇函数，且当
时恒有
成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2021·贵州遵义·高三遵义航天高级中学阶段练习）已知定义在
上的函数，
为其导
函数，且
恒成立，则
9
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A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023 春·重庆·高三统考）设
是函数
的导函数，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知可导函数
是定义在
上的奇函数．当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2021 下·江西·高三校联考）已知
是定义域为
的奇函数
的导函数，当
时，都有
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型13 特殊构造：余弦型构造
【解题攻略】
三角函数形式构造：
1.
，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
【典例1-1】（2020 下·安徽六安·高二六安一中校考期中）设奇函数
的定义域为
，且
的图
10
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象是连续不间断，
，有
，若
，则的取值范围是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2020 下·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）已知奇函数
的定义域为
，其
导函数为
，当
时，有
成立，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2020 下·广西桂林·高二校考阶段练习）函数
定义在
上，
是它的导函数，
且
在定义域内恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2020 下·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知函数
是定义在R 上的奇函数，
且对于任意的
，都有
(其中
是函数
的导函数)，则下列不等式成
立的是
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2021 下·江苏·高二期中）已知函数
的定义域为
，其导函数是
.有
，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
11
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题型14 复合型构造
【典例1-1】已知定义在
上的函数
关于
轴对称，其导函数为
，当
时，不等式
.若对
，不等式
恒成立，则正整数
的最大值为
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】定义在
上的偶函数
的导函数为
，若对任意的实数
，都有
恒成
立，则使
成立的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】设函数
时定义在
上的奇函数，记其导函数为
当
时，
恒成立，
则关于
的不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数
定义域为R，导函数为
，
满足下列条件：
①任意
，
恒成立，②
时，
恒成立，则关于t 的不等
式：
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】已知函数
，其中
为自然对数的底数.若
是
的导函数，函数
在区间
内有两个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
高考练场
1.（湖南省永州市2022 届高三下学期第三次适应性考试数学试题已知直线:
，函数
，若
存在切线与关于直线
对称，则
__________．
2.过点
作曲线
的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
3.（2022·全国·高三专题练习）过曲线
上一点
且与曲线在
点处的切线垂直的直线的方程
为
12
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A．
B．
C．
D．
4.（2023 春·陕西宝鸡·高三统考）若过点
可作曲线
的两条切线，则点
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.已知直线
是曲线
与
的公切线，则
__________.
6.（内蒙古赤峰市、呼伦贝尔市等2022-2023 学年高三上学期开学考试数学（文）试题）若直线
是
曲线
与
的公切线，则
______.
7.（重庆大学城第一中学校2021-2022 学年高三下学期第一次月考数学（理）试题）函数
是定义在区
间
上可导函数，其导函数为
，且满足
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
8.
是定义在非零实数集上的函数，
为其导函数，且
时，
，记
,
,
则（ ）
A．
B．
C．
D．
9.（内蒙古赤峰二中2021-2022 学年高三4 月月考数学试题）已知定义在
上的可导函数
满足：
，则
与
的大小关系是
A．
B．
C．
D．不确定
10.定义在
上的函数
的导函数为
，若
，则不等式
的解集
是
A．
B．
C．
D．
11.已知
是定义在
上的奇函数，
是
的导函数，
且满足:
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
12.（贵州省遵义航天高级中学2018 届高三第五次模拟考试数学试题）已知定义在
上的函数，
为其导函数，且
恒成立，则
13
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A．
B．
C．
D．
13.（2021 下·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考）已知奇函数
的定义域为
，且
是
的导函数，若对任意
，都有
则满足
的
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
14.（河北省武邑中学2019 届高三下学期第一次质检数学（理）试题）已知函数
的导函数为
，
若
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
14
