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专题2-4 构造函数以及切线归类
目录
题型01 切线求参...................................................................................................................................................................1
题型02 求“过点”型切线方程..........................................................................................................................................3
题型03“过点”切线求参......................................................................................................................................................5
题型04“过点”切线条数的判断..........................................................................................................................................7
题型05 由切线条数求参......................................................................................................................................................8
题型06 公切线....................................................................................................................................................................10
题型07 特殊构造：幂积型构造........................................................................................................................................12
题型08 特殊构造：幂商型构造........................................................................................................................................15
题型09 特殊构造：ex的积型构造.................................................................................................................................... 16
题型10 特殊构造：ex的商型构造.................................................................................................................................... 18
题型11 特殊构造：对数型构造.........................................................................................................................................21
题型12 特殊构造：正弦型构造.........................................................................................................................................23
题型13 特殊构造：余弦型构造.........................................................................................................................................26
题型14 复合型构造.............................................................................................................................................................28
高考练场.............................................................................................................................................................................. 30
题型01 切线求参
【解题攻略】
求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程：
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．
(2)切线方程为：y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．
1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)
2、y0=f(x0)
3、y＝f′(x)
k=f′(x0)
4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)
1
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【典例1-1】（2023 春·重庆·高二校联考期中）若函数
的图象在
处的切线与直线
垂直，则
的值为（ ）
A．
B．2 或
C．2
D．1 或
【答案】B
【分析】由两线垂直可知
处切线的斜率为5，利用导数的几何意义有
，即可求
的值.
【详解】由题意知：直线
的斜率为
，则在
处切线的斜率为5，
又∵
，即
，
∴
，解得
或
，故选：B．
【典例1-2】(山东省烟台市2021-2022 学年高三数学试题)已知曲线
在点（0，1）处的切线与曲线
只有一个公共点，则实数a 的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】A
【分析】先求出
导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由切线与曲线
只有一个公
共点，进而联立得到
的值.
【详解】
的导数
，曲线
在
处切线斜率
，则曲线
在
处切线方程
为
，即
由于切线与曲线
只有一个公共点，
联立
，得
即
解得
故选: A.
【变式1-1】（河南省郑州市2021-2022 学年高三考试数学（理科）试题）若曲线
在点
处的切线与直线
平行，则
___________.
【答案】
【分析】令
，利用导数的几何意义得出
的值.
【详解】令
，
则
所以
，
，当
时，
又该函数在点
处的切线与直线
平行，所以
故答案为：
【变式1-2】（河南省许昌市2021-2022 学年高三数学文科试题）已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
___________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义可得
，根据切点坐标可得
，列方程求解．
2
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【详解】
，则
∵
在点
处的切线方程为
∴可得
，解得
则
故答案为：
．
【变式1-3】已知函数
，函数
（
且
）的图象过定点
，若曲线
在
处的切线经过点
，则实数
的值为______．
【答案】
##0.5
【分析】先求出
（
且
）所经过的定点
的坐标，然后根据导数的几何意义求出
在
处的切线方程，最后把点
的坐标代入切线方程，即可得
值．
【详解】函数
（
且
）的图象恒过点
，
因为
，
则
在
处的切线的斜率为
，又
，
所以切线方程为
，因为切线经过点
，
所以
，解得
．故答案为：
题型02 求“过点”型切线方程
【解题攻略】
1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)
2、y0=f(x0)
3、y＝f′(x)
k=f′(x0)
4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)
5、过（a,b）,代入y-y0＝k(x－x0)，得
【典例1-1】（2023 下·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考）已知曲线
，过点
作曲线的切线，则切线方程 ．
【答案】
【分析】设切点坐标为
，求出切线方程，代入点
求出
，从而可得切线方程.
【详解】设切点坐标为
，由
，得
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
因为切线过点
，所以
，解得
.
所以切线方程为
.故答案为:
.
【典例1-2】（2023 下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线
，过点
作曲线的切线，则切线的方程为 .
【答案】
【分析】设切点坐标为
，根据切线所过的点得到
的方程，解出
后可得所求的切线方程.
【详解】设切点坐标为
，
,则切线的斜率
，
故切线方程为
，又因为点
在切线上， 所以
，整
3
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理得到
，
解得
，所以切线方程为
．故答案为:
.
【变式1-1】）（云南民族大学附属中学2022 届高三高考押题卷二数学（理）试题）函数
过原点
的切线方程是_______.
【答案】
.
【分析】设切点为
，根据导数的几何意义求出函数切点为
的切线方程，再根据切线过原
点求出
，即可得解.
【详解】解：设切点为
，
，则
，故切点为
的切线方程为
，
又因此切线过原点，所以
，解得
，所以函数
过原点的切线方程是
，即
.故答案为：
.
【变式1-2】（2023 春·河北邢台·高三统考）过点
作曲线
的切线，则该切线的斜率为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设切点为
，然后表示出切线方程，再将
代入可求出
，然后将
代入导函数中可求
得结果.
【详解】设切点为
，由
，得
所以切线方程为
，即
，
将
代入得
，解得
，
所以切线的斜率为
.故选：C
【变式1-3】（（天津市北京师范大学天津附属中学2022-2023 学年高三线上检测数学试题））过点
作曲线
的切线，则切线方程是__________．
【答案】
【分析】求解导函数，设切点坐标，求解
，从而设出切线方程，代入点
计算，即可求出答
案.
【详解】函数定义域为
，
，
设切点为
，
，
所以切线方程为
，
代入
，得
，
解得：
，所以切线方程为
，
整理得：
．故答案为：
.
题型03“过点”切线求参
【典例1-1】（2023 上·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期中）已知曲线
过点
处
的切线与曲线
相切，则
4
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【答案】8
【分析】设切点
，并应用导数几何意义求可得切线为
，将切点代入求得
得切线方程，再由切线与曲线
相切，讨论参数a，联立方程有
求参数.
【详解】设过点
处的切线在曲线
上的切点为
，
而
，故切线斜率为
，所以切线方程为
，故
，
所以
，故切线方程为
，又切线与曲线
相切，
联立方程，得
有且仅有一个解，
当
时上述方程无解；当
时，
，可得
.综上，
.故答案为：
【典例1-2】（2023 下·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）已知函数
，过点
作与
轴平行的直线交函数
的图象于点
，过点
作
的切线交
轴于点
，则
面积
的最小值 .
【答案】
【分析】求出
的导数，令x＝a，求得P 的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，
令y＝0，可得B 的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP 面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得
到所求值．
【详解】函
的导数为
，
由题意可令
，解得
，可得
，
即有切线的斜率为
，切线的方程为
,
令
，可得
，即
，
在直角三角形PAB 中，
，
，
则△ABP 面积为
，
，
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
即有
处S 取得极小值，且为最小值
．故答案为：
．
【变式1-1】（2023·河北保定·统考二模）已知函数
，过点
且平行于
轴的直线
与曲线
的交点为
，曲线
过点
的切线交
轴于点
，则
面积的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知求得
点坐标，利用导数求出过
点的切线方程，再求出
点坐标，写出三角形
的
面积，再由导数求最值得答案．
5
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【详解】
，把
代入，可得
，即
，
则
,
，
由
，得
，则
，
曲线
过点
的切线方程为
，取
，得
．
．
令
，则
．
则
，可得
或
（舍），
时，
，函数
单调递减，
时，
，函数
单调递增，
当
时，
．故选：D．
【变式1-2】（2023 上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知曲线
，过点
作该曲线的两
条切线，切点分别为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【分析】求得切线方程为
，根据题意，转化为关于
的方程
有
两个不同的解
，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，
设切点坐标为
，所以
，
所以切线方程为
，
所以
，即
，
因为过点
作该曲线的两条切线，
所以关于
的方程
有两个不同的解
，
即关于
的方程
有两个不同的解
，所以
.故选：D.
【变式1-3】.直线
是曲线
的切线，则
______.
【答案】
【分析】设切点坐标为
，利用导数写出切线的方程，与直线方程
对比，可出关于、
的
方程，解之即可.
【详解】设切点坐标为
，其中
，对函数
求导得
，
所以，切线斜率为
，所以，曲线
在
处的切线方程为
，即
6
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，所以，
，解得
.故答案为：
.
题型04“过点”切线条数的判断
【解题攻略】
”过点型“切线条数判断：
1. 有几个切点横坐标，就有几条切线。
2. 切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。
【典例1-1】.（湖南省邵阳市武冈市2022-2023 学年高三上学期数学试题）已知
是奇函数，则过点
向曲线
可作的切线条数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．不确定
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出a，再求出函数
的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程
求解作答.
【详解】因函数
是奇函数，则由
得
恒成立，则
，
即有
，
，
设过点
向曲线
所作切线与曲线
相切的切点为
，
而点
不在曲线
上，则
，整理得
，
即
，解得
或
，即符合条件的切点有3 个，
所以过点
向曲线
可作的切线条数是3.故选：C
【典例1-2】已知曲线
，则过点
可向引切线，其切线条数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设切点为
，利用导数求出曲线在切点
处的切线方程，再将点
的坐标代入切
线方程，可得出关于的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求.
【详解】设在曲线上的切点为
，
，则
，
所以，曲线在点
处的切线方程为
，
将点
的坐标代入切线方程得
，即
，解得
，
，
.
因此，过点
可向引切线，有三条.故选：C.
【变式1-1】（湖南省长沙市长郡中学2021 届高三第一次暑假作业检测数学试题）已知函数
，过点
可作曲线
切线的条数为
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义及切线所过点求出切点个数，从而可得答案.
【详解】设切点为
，所以
，整理得
；
7
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令
，由
，得
，当
时，
为单调递增函
数；
当
时，
为单调递减函数；所以
；
又
，
，
所以
有两个不同的根，即切线的条数为2，故选：C.
【变式1-2】（2021-2022 学年广东省东莞市高三数学A 卷）已知函数
，则过点
（0，0）可作曲线
的切线的条数为( )
A．3
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】分析可得
不是切点，设切点
，根据导数的几何意义，求得切线的斜
率k，根据点P 和点
坐标，可求得切线斜率k，联立即可得答案.
【详解】∵点
不在函数
的图象上，∴点
不是切点，设切点为
（
），
由
，可得
，则切线的斜率
，
∴
，解得
或
，故切线有2 条.故选:D．
【变式1-3】（北京市北京理工大学附属中学通州校区2019-2020 学年高三年级考试数学试题）已知过点
且与曲线
相切的直线的条数有（ ）条.
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】设出切点的坐标，然后根据导数的几何意义求出曲线
的切线，根据切线过点
，结合
关于切点横坐标的方程解的个数进行求解即可.
【详解】设曲线
的切点的坐标为
，由
，
因此该曲线切线的斜率为
，
所以该曲线切线的方程为：
，该切线过点
，
所以有
，解得
或
，
因此过点
且与曲线
相切的直线的条数有2 条.故选：C
题型05 由切线条数求参
【典例1-1】若过点
可作出曲线
的三条切线，则实数的取值范围是___________
【答案】
【分析】根据函数切线的求解方法，设切点求切线方程，代入点
，根据方程与函数的关系，将问题转化
为两个函数求交点问题，利用导数，作图，可得答案.
【详解】由已知，曲线
，即令
，则
，
设切点为
，切线方程的斜率为
，
所以切线方程为：
，将点
代入方程得：
，整理得
，
设函数
，过点
可作出曲线
的三条切线，
可知两个函数图像
与
有三个不同的交点，
8
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又因为
，由
，可得
或
，
则当
或
时，
；当
时，
，
所以函数
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的极大值为
，函数
的极小值为
，
如图所示，
当
时，两个函数图像有三个不同的交点．故
答案为：
．
【典例1-2】（福建省福州华侨中学2023 届高三上学期第二次考试数学试题）若曲线
有两条过
坐标原点的切线，则a 的取值范围为__________．
【答案】
或
.
【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义得到
，再根据曲线
有两
条过坐标原点的切线得到方程
有两个解，让
，解不等式即可.
【详解】由
得
，设切点坐标为
，则
，
整理得
，因为曲线
有两条过坐标原点的切线，所以方程
有两个解，
故
，解得
或
.故答案为：
或
.
【变式1-1】过点
作曲线
的切线，若切线有且只有两条，则实数
的取值范围是
___________.
【答案】
【分析】利用导数几何意义，求得切线方程，根据该方程过点
，且方程有两个根，再构造函数，利用导
数研究函数的性质，即得.
【详解】因为
，则
，设切点为(
)，
，
所以切线方程为
，代入
，得
，
即
这个关于
的方程有两个解，令
(
)，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，所以当
时，函数
有最大值，
，
且
，
，所以
.故答案为：
.
【变式1-2】若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．
【答案】
【分析】设出切点横坐标
，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于
的方程，
根据此方程应有两个不同的实数根，求得
的取值范围.
【详解】∵
，∴
，设切点为
,则
,切线斜率
,
9
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切线方程为：
,
∵切线过原点，∴
,整理得：
,
∵切线有两条，∴
,解得
或
,
∴
的取值范围是
,故答案为：
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知过点
作曲线
的切线有且仅有两条，则实数a
的取值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设切线切点为
，后由切线几何意义可得切线方程，代入
，可得
，则
过点
作曲线
的切线有且仅有两条，等价于关于
的方程
有两个不同实根，即
可得答案.
【详解】设切线切点为
，因
，
则切线方程为：
，代入
，
得
，因
，则
.
因过点
作曲线
的切线有且仅有两条，则
有且仅有两个不等实根，则
或
.则
符合题意.故选：D
题型06 公切线
【解题攻略】
交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点（切点）
对函数
，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
) 和
再令
，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即
可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
【典例1-1】已知直线
是函数
与函数
的公切线，若
是直线
与函数
相切的切点，则
____________．
【答案】
【分析】求出导函数
，
，由
得切线方程
，设
图象上的切点为
，由
导数几何意义得切线方程，两直线重合求得
，从而得
值．
10
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【详解】
，
，又
，
所以切线的方程为
，即
，
设直线与
相切的切点为
，
，
所以切线方程为
，即
，
所以
，解得
，所以
．故答案为：
．
【典例1-2】（2023 春·高三课时练习）已知直线：
既是曲线
的切线，又是曲线
的切线，则
（ ）
A．0
B．
C．0 或
D．
或
【答案】D
【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为
，通过等量关系可
得到
的取值.
【详解】
,
,
，设切点分别为
，
则曲线
的切线方程为：
，化简得，
，
曲线
的切线方程为：
，化简得，
，
，故
，解得
e 或
.当
e，切线方程为
，故
.
当
，切线方程为
，故
，则
.
故
的取值为
或
.故选：D
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）若直线
是曲线
的切线，也是
的切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设直线
与
和
的切点分别为
，
，
分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到
的值.
【详解】设直线
与
和
的切点分别为
，
，
则切线方程分别为，
，
，化简得，
依题意上述两直线与
是同一条直线，
所以，
，解得
，所以
．故选：C．
【变式1-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）曲线
过点
的切线也是曲线
的切线，则
；若此公切线恒在函数
的图象上方，则a
的取值范围是 .
【答案】
11
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【分析】根据导数的几何意义可求出
；将此公切线恒在函数
的图象上方，
转化为
恒成立，再构造函数
，利用导数求出最小值即可得解.
【详解】由
得
，
设曲线
过点
的切线的切点为
，
则切线的斜率为
，切线方程为
，
由于该切线过点
，所以
，
设该切线与曲线
切于
，因为
，所以
，所以该切线的斜率为
，
所以切线方程为
，将
代入得
，得
，
所以
，所以
，所以
，所以
.
由以上可知该公切线方程为
，即
，
若此公切线恒在函数
的图象上方，
则
，即
恒成立，
令
，则
，
令
，得
，得
，
令
，得
，得
或
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
时，
，所以当
时，
取得最小值
.所以
.
【变式1-3】若曲线
与曲线
存在2 条公共切线，则a 的值是_________．
【答案】
【分析】设公切线在
上的切点为
，在
上的切点为
，利用导数的几何意
义求出对应的切线方程，有
，整理得
，构造函数
，利用导
数研究
的单调性，结合图像即可得出结果.
【详解】设公切线在
上的切点为
，在
上的切点为
，
则曲线在切点的切线方程的斜率分别为
，
，
对应的切线方程分别为
、
，
即
、
，所以
，得
，有
，
则
，整理，得
，
12
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设
，则
，
，
令
，令
或
，
所以函数
在
上单调递减，在
和
上单调递增，
因为两条曲线有2 条公共切线，所以函数
与
图像有两个交点，
又
，且
，如图，所以
，解得
.故答案为：
.
.
题型07 特殊构造：幂积型构造
【解题攻略】
幂函数积形式构造：
1.对于
构造
2.对于
构造
【典例1-1】设定义在
的函数
的导函数为
，且满足
，则关于x 的不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
构造函数
,再根据题意分析
的单调性,
再化简
可得
,再利用函数的单调性与定义域求解即可.
解：令
,
,所以
在
上单调递增,
,即
,
所以
,
,所以
,故选：A.
【典例1-2】已知定义域为
的奇函数
的导函数为
，当
时，
，若
，则
的大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13
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【答案】B
【分析】
利用条件构造函数
，然后利用导数研究函数
的单调性，利用函数的单调性比较大小．
【详解】
解：根据题意，设
，
若
为奇函数，则
，则函数
为偶函数，
当
时，
，
又由当
时，
，则
，则函数
在
上为减函数，
，
（2），
，
且
，则有
；故选
．
【变式1-1】已知定义在R 上的偶函数
，其导函数为
．当
时，恒有
，
若
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据
为偶函数，则
也为偶函数，利用导数可以判断
在
为减函数，则不等式
可转化为
，解不等式即可得到答案．
【详解】
解：
是定义在R 上的偶函数，
．
时，恒有
，
又
，
在
为减函数．
为偶函数，
也为偶函数
在
为增函数．
又
，
，即
，化简得
，得
．故选
A．
【变式1-2】.已知奇函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，当
时，有
，则不等式
的解集为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
构造新函数
，根据条件可得
是奇函数，且单调增，将所求不等式化为
，即
，解得
，即
【详解】设
，因为
为
上奇函数，所以
，
14
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即
为
上奇函数对
求导，得
，而当
时，有
故
时，
，即
单调递增，所以
在
上单调递增不等式
，
即
所以
，解得
故选A 项.
【变式1-3】已知奇函数
的导函数为
，当
时，
，若
，
，则
的大小关系正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
令
，则
，根据题意得到
时，函数
单调递增，求得
，再由函数的奇偶性得到
，即可作出比较，得到答案．
【详解】
由题意，令
，则
，
因为当
时，
，所以当
时，
，
即当
时，
，函数
单调递增，
因为
，所以
，
又由函数
为奇函数，所以
，
所以
，所以
，故选D．
题型08 特殊构造：幂商型构造
【解题攻略】
幂函数商形式构造：
1.对于
构造
2. 对于
构造
【典例1-1】（江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020 学年高三第一次月考数学试题）已知函数f（x）是
定义在R 上的奇函数，f′（x）为f（x）的导函数，且满足当x＜0 时，有xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f
（x）﹣xf（1）＞0 的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）
B．（﹣∞，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D．（﹣1，0）∪（0，1）
【答案】A
【分析】
构造函数
,则
,所以
在
单调递减,由
是奇函数,可得
是
15
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偶函数,所以
在
上单调递增,进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反。故建立不
等式组，解不等式组求得结果.
【详解】设
,则
,所以
在
单调递减,又
是奇函数，所以
是偶函数，所以
在
上单调递增，当
时,
等价于
，即
,所以
，当
时，
等价于
,即
，所以
.故选:
.
【典例1-2】（2020 届高三1 月）》函数
在定义域
内恒满足
，其中
为
导函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
分别构造函数
，
，
，
，利用导数研究其单调性即可得出．
解：令
，
，
，
，
恒成立，
，
，
，
函数
在
上单调递增，
，即
，
；
令
，
，
，
，
恒成立，
，
函数
在
上单调递减，
，即
，
，综上可得
故选：
．
【变式1-1】（四川省宜宾市第四中学校2019-2020 学年高三考试数学试题）设函数
是定义在
上
的可导函数，其导函数为
，且有
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据
得到
的单调性，再变形不等式根据
单调性求解集.
【详解】
设
，则
，所以
在
上单调递增，又
，所以
，则有
，即
.
故选B.
【变式1-2】（湖北省仙桃市汉江中学2018-2019 学年高三试题）已知定义在
上的函数
的导函数为
，若
， 则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
16
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不等式的
的解集等价于函数
图像在
下方的部分对应的x 的取值集合，那就需
要对函数
的性质进行研究，将
还原为
，即
，在R 上单调递减，且
，故当
，
,即可解得不等式解集.
解：令
因为
所以，
故
故
在R 上单调递减，又因为
所以，
所以当
，
，即
的解集为
故选B.
【变式1-3】（甘肃省张掖市第二中学2019-2020 学年高三4 月线上测试数学（理）试卷）已知定义在
上的函数
满足
，其中
是函数
的导函数
若
，则实数m 的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
令
，
，求出函数的导数，根据函数的单调性求出m 的范围即可．
解：令
，
，则
，
，
，
函数
在
递减，
，
，
，
，即
，故
，解得：
，
故
，故选C．
题型09 特殊构造：ex的积型构造
【解题攻略】
ex 函数积形式构造：
1.对于
构造
2. 对于
构造
【典例1-1】（江西省上饶中学2019-2020 学年高三上学期第二次月考数学试题）已知函数
是定义在
上的可导函数，
，且
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据题设条件构造函数
，根据已知不等式分析
的单调性，再根据特殊值判断
需
满足的不等式，即可求出解集.
【详解】由
可得
，
设
，则
，
，
在
上为减函数，又由
，可得
，
.故选A.
【典例1-2】（2023 春·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知定义在
上的函数
的导函
17
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数为
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，求导分析，可得
在
上单调递减，不等式
可等价转
化为
，根据单调性可得答案．
【详解】令
，
，
，
在
上单调递减，又
，
，
不等式
可化为
，
，故选：B.
【变式1-1】（2023 春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考）设函数
的定义域为R，
是其导函数，若
，
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，由
的单调性求解，
【详解】构造函数
，则
，
故
在R 上单调递增，
，
可化为
，
故原不等式的解集为
，故选：B
【变式1-2】（2023 春·河南洛阳·高三统考）设
是定义在
上的函数
的导函数，且
．
若
（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先构造函数
，利用导数判断函数的单调性，解不等式.
【详解】设
，
，
所以函数
在
上单调递减，
若
，则
，即
，
所以
，得
.故选：A
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知定义在
上的函数
的导函数为
，满足
．当
时，
．当
时，
，且
，其中是自
然对数的底数．则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
18
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【分析】根据题意，构造函数
和
，对于
，由题意可得
，利用导
数分析可得在区间
上单调递增，进而有
，对其变形可得
，同理分析
的单
调性可得
，综合即可得答案．
【详解】根据题意，设
，（
），
，（
）
∵
，∴
，
即
，∴
对于
，其导数
，
∵
，
，则有
在区间
上单调递增；
所以
，即
，变形可得
；
对于
，其导数
，
∵
时，
，则
在区间
上单调递减；
则有
，即
，变形可得
，
综合可得：
，即
的范围为
.故选：B.
题型10 特殊构造：ex的商型构造
【解题攻略】
ex 函数商形式构造：
1.
，
2.
【典例1-1】定义在
上的函数
的导函数为
，满足：
，
，且当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由给定的不等式构造函数
对
求导，根据已知条件可判断
非得单调性，将所求解不等
式转化为
有关的不等式，利用单调性脱去
即可求解.
19
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【详解】令
，则
可得
所以
是
上的
奇函数，
，
当
时，
，所以
，
是
上单调递增，
所以
是
上单调递增，因为
，
由
可得
即
，
由
是
上单调递增，可得
解得：
，
所以不等式
的解集为
，故选：A.
【典例1-2】已知在
上的可导函数
的导函数为
，满足
，且
为偶函数，
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
分析：构造新函数
，利用已知不等式确定
的单调性，
详解：设
，则
，由已知
得
，
∴
是减函数．∵
是偶函数，∴
的图象关于直线
对称，
∴
，
，
的解集为
，即
的解集为
．故选
A．
【变式1-1】已知定义在
上的函数
的导函数为
，且满足
，
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题设
，由已知得函数
在R 上单调递增，且
，根据函数
的单调性建立不等式可得选项.
【详解】由题可设
，因为
，则
，
所以函数
在R 上单调递增，又
，不等式
可转化为
，
∴
，所以
，解得
，
(0,
)
R
( )
f x
f
x
( )
0
f
x
f x
2022
(2022)
e
0
f
4
1 ln
4
f
x
x
6063
e
,
2022
0,e
8088
e
,
8088
0,e
( )
( )
x
f x
F x
e
( )
F x
1 ln
1
(2022)
4
F
x
F
( )
( )
ex
f x
F x
( )
0
f
x
f x
2
( )e
( )e
( )
( )
( )
0
e
e
x
x
x
x
f
x
f x
f
x
f x
F x
( )
F x
2022
(2022)
(2022)
1
e
f
F
4
1 ln
4
f
x
x
1 ln
4
1 ln
4
1
e
x
f
x
1 ln
1
(2022)
4
F
x
F
1 ln
2022
4
x
8088
0
e
x
20
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所以不等式
的解集为
．故选：D.
【变式1-2】设函数f(x)的导函数为
，f(0)=1，且
,则
的解集是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
构造函数
，计算
，
，故
为常函数，
，代入不等式得到答案.
【详解】构造函数
，
，故
.
，故
为常函数.
故
，
，
，
，即
，解得
.故选：
.
【变式1-3】已知定义在
上的函数
的导函数为
，若
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
构造函数
，利用导数判断出函数
的单调性，将不等式
变形为
，
结合函数
的单调性可解出该不等式.
【详解】构造函数
，则
，所以，函数
在
上单调递减，
由
，可得
，即
，解得
，
因此， 不等式
的解集为
，故选C.
题型11 特殊构造：对数型构造
【解题攻略】
1.
2.授课时，可以让学生写出y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果
4
1 ln
4
f
x
x
8088
0,e
'( )
f
x
3 ( )
'( )
3
f x
f
x
4 ( )
'( )
f x
f
x
ln 4
(
,
)
3
ln 2
(
,
)
3
3
(
,
)
2
(
,
)
3
e
3
1
x
f x
g x
e
0
0
1
0
2
f
g
e
3
'
3
3
'
0
x
f
x
f x
g
x
e
g x
3
2
1
x
f x
e
3
1
x
f x
g x
e
0
1
f
0
0
1
0
2
f
g
e
3
3
2
3
3
'
3
1
'
3
3
'
0
x
x
x
x
f
x e
f x
e
f
x
f x
g
x
e
e
g x
3
1
2
x
f x
g x
e
3
2
1
x
f x
e
3
'
6
x
f
x
e
4 ( )
'( )
f x
f
x
3
3
8
4
6
x
x
e
e
ln 2
3
x
B
R
f x
f
x
2
0
f x
f
x
1
f
e
2
1
1
x
f x
e
,1
,e
1,
,e
2x
f x
g x
e
y
g x
2
1
1
x
f x
e
1
g x
g
y
g x
2x
f x
g x
e
2
2
0
x
f
x
f
x
g
x
e
y
g x
R
2
1
1
x
f x
e
2
2
1
1
x
f x
f
e
e
e
1
g x
g
1
x
2
1
1
x
f x
e
1,
( )
l
( )ln x
0
x
n x f
0
x
f
f
g x
x
x
（）
对于
（
），构造
21
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【典例1-1】（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数
满足
（其中
是
的导数），若
，
，
，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件构造函数
，利用导数法求函数的单调性及指数函数的单调性，结合
不等式的性质即可求解.
【详解】由
，得
，令
，
，则
，所以
在
上恒成立，
所以
在
上为减函数，因为
，且
在
上单调性递增；
所以
，所以
，
所以
，所以
，即
．故选：A.
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）设函数
是奇函数
的导函数，
时，
，则使得
成立的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，
，根据已知条件可得当
时，
单调递减，且
，根据单调性和奇偶性可得
时，
；当
时，
，
再分情况讨论即可求解.
【详解】令
，
，则
对于
恒成立，
所以当
时，
单调递减，又因为
，
所以当
时，
；此时
，所以
；当
时，
，此时
，
所以
；
又因为
是奇函数，所以
时，
；当
时，
；
因为
，所以当
时，
，解得
；①
当
时，
，解得
；②
综合①②得
成立的
的取值范围为
，故选：A.
【变式1-1】（2020 上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数
是奇函数
的导函数，且满足
时，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
f x
1
ln
0
f
x
x
f x
x
f
x
f x
1
2
e
a
f
1
3e
b
f
1
4
e
c
f
6
4
3
a
b
c
6
3
4
a
c
b
4
6
3
b
a
c
4
3
6
b
c
a
ln
g x
f x
x
1
ln
0
f
x
x
f x
x
ln
0
f x
x
ln
g x
f x
x
0,
x
1
ln
0
g
x
f
x
x
f x
x
0
g
x
0,
g x
0,
1
1
1
2
3
4
ex
y
R
1
1
1
3
2
4
e
e
e
1
1
1
3
2
4
e
e
e
g
g
g
1
1
1
1
1
1
3
3
2
2
4
4
e
ln e
e
ln e
e
ln e
f
f
f
1
1
1
2
3
4
a
b
c
6
4
3
a
b
c
f
x
f x
R
x
0
x
1
ln xf
x
f x
x
2
9
0
x
f x
x
3,0
3,
, 3
3,
3,0
0,3
, 3
0,3
ln
g x
f x
x
0
x
0
x
ln
g x
f x
x
1
0
g
0,1
1,
x
0
f x
, 1
1,0
x
U
0
f x
ln
g x
f x
x
0
x
1
ln
0
g
x
f
x
x
f x
x
0
x
0
x
ln
g x
f x
x
1
1 ln1
0
g
f
0,1
x
0
g x
ln
0
x
0
f x
1,
x
0
g x
ln
0
x
0
f x
f x
1,0
x
0
f x
, 1
x
0
f x
2
9
0
x
f x
0
x
2
9
0
x
3
0
x
0
x
2
9
0
x
3
x
2
9
0
x
f x
x
3,0
3,
( )
f
x
( )(
)
f x xR
0
x
1
ln
( )
( )
0
xf
x
f x
x
(
2019) ( )
0
x
f x
( 1,0)
(1,2019)
( 2019, 1)
(1,2019)
22
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C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，构造函数
，
，利用
的导数与函数单调性的关系分析可
得
在
上为减函数，分析
的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间
和
上，都有
，结合函数的奇偶性进而将不等式
变形转化求出不等式的解集
即可．
【详解】设
，
，可知函数
在
时单调递减，
又
，可知函数
在
大于零，且
，可知
，
同理在
上，
，可知函数
在
和
均有
，
又
为奇函数，则在区间
和
上，都有
，
由
得
或
，
可知不等式的解集为
．故选C．
【变式1-2】（2023 上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知函数
的定义域为
，导函数为
，不等式
恒成立，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，
，则由题意可知
，设
，
，则有
，不等式等价于
，利用单调性求解即可.
【详解】设
，
，不等式
恒成立，可知
，
设
，
，则
，
，
且
，
于是
在
上单调递增，注意到
，
不等式
，等价于
，
即
，得
，解出
.故选：A．
【变式1-3】（2022·广东梅州·统考二模）已知
是定义在
上的奇函数，
是
的导函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，根据题意可得函数
在
上递增，从而可得出函数
在
上的符号分布，从而可得函数
在
上的符号分布，再结合
是定义在
上的奇函数，
即可得出函数在
上的符号分布，从而可得出答案.
【详解】令
，则
，所以函数
在
上递增，
又因
，所以当
时，
，当
时，
，
(0,2019)
( 1,1)
( )
ln
( )
g x
x f x
(
0)
x
( )
y
g x
( )
y
g x
(0,
)
( )
y
g x
( 0, 1)
(1,
)
( )
0
f x
(
2019) ( )
0
x
f x
( )
ln
( )
g x
x f x
1
( )
( )
ln
( )
0
g x
f x
x f
x
x
( )
g x
0
x
(1)
0
g
( )
ln
( )
g x
x f x
( 0, 1)
ln
0
( )
0
f x
(1,
)
( )
0
f x
( )
f x
( 0, 1)
(1,
)
( )
0
f x
( )(
)
y
f x x
R
( 1,0)
(
, 1)
( )
0
f x
(
2019) ( )
0
x
f x
2019
0
0
x
x
2019
0
0
x
x
(0,2019)
( )
f x
( 1,
)
( )
f
x
( )
ln(
1)
( )
1
f x
x
f
x
x
ln(
1)
( )
x
f x
4e
(4)
ln5
f
2
ln(
3)
(
2)
ex
x
f x
[2,
)
( 1,2]
[0,
)
(0,2]
( )
ln(
1)
( )
g x
x
f x
1
x
( )
( )
g x
g x
( )
e
( )
x
h x
g x
1
x
( )
0
h x
(
2)
(4)
h x
h
( )
ln(
1)
( )
g x
x
f x
1
x
( )
ln(
1)
( )
1
f x
x
f
x
x
ln(
1)
( )
x
f x
( )
( )
g x
g x
( )
e
( )
x
h x
g x
1
x
( )
h x
e
ln(
1)
( )
x
x
f x
1
x
( )
( )
ln(
1)
( )
ln(
1)
( ) e
0
1
x
f x
h x
x
f
x
x
f x
x
( )
h x
( 1,
)
4
(4)
e
ln5
(4)
1
h
f
2
ln(
3) (
2)
ex
x
f x
2
e
ln(
3) (
2)
1
x
x
f x
(
2)
(4)
h x
h
2
4
x
2
x
f x
R
f
x
f x
0
x
ln 2
0
f x
f
x
x
x
1
0
2
f
2
0
x
f x
,0
0,2
0,2
2,
,0
2,
ln 2
g x
f x
x
g x
0,
g x
0,
f x
0,
f x
R
R
ln 2
g x
f x
x
ln 2
0
f x
g
x
f
x
x
x
g x
0,
1
0
2
g
1
0, 2
x
0
g x
1 ,
2
x
0
g x
23
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又因当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
，当
时，
，又因为
，所以当
时，
，
因为
是定义在
上的奇函数，所以
，当
时，
，由不等式
，
得
或
，解得
，所以不等式
的解集是
.故选：B.
题型12 特殊构造：正弦型构造
【解题攻略】
三角函数形式构造：
1.
，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
【典例1-1】（2023 春·四川成都·高三阶段练习）记函数
的导函数为
，若
为奇函数，且当
时恒有
成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
，构造函数
，利用其单调性结合
奇函数性质比
较.
【详解】令
，则
，
当
时恒有
，所以
，
则
在
上单调递增，
所以
，则
，即
，选项A 错误；
，则
，即
，选项B 正确；
，则
，又
为奇函数，所以
，选项C 错误；
由
得
，选项D 错误；故选：B
1
0, 2
x
ln 2
0
x
1 ,
2
x
ln 2
0
x
1
0, 2
x
0
f x
1 ,
2
x
0
f x
1
0
2
f
0
x
0
f x
f x
R
0
0
f
0
x
0
f x
2
0
x
f x
2
0
0
x
f x
2
0
0
x
f x
0
2
x
2
0
x
f x
0,2
sinx
( )
cosx
( )
0
0
g
x =f
x sinx
f
x
f x
对于
（
），构造（）（）
f
x
sinx
( )-cosx
( )
0
0
g
x = sinx
f
x
f x
（）
对于
（
），构造（）
( )
f x
( )
f
x
( )
f x
π ,0
2
x
( )cos
( )sin
0
f x
x
f
x
x
π
π
2
6
4
f
f
π
π
3
6
3
f
f
π
π
3
2
3
4
f
f
π
π
2
3
4
3
f
f
( )cos
( )sin
0
f x
x
f
x
x
sin
g x
f x
x
( )
f x
sin
g x
f x
x
( )cos
( )sin
g
x
f x
x
f
x
x
π ,0
2
x
( )cos
( )sin
0
f x
x
f
x
x
0
g
x
sin
g x
f x
x
π ,0
2
π
π
6
4
g
g
1
π
2
π
2
6
2
4
f
f
π
π
2
6
4
f
f
π
π
6
3
g
g
1
π
3
π
2
6
2
3
f
f
π
π
3
6
3
f
f
4
π
π
3
g
g
π
π
3
2
3
4
f
f
( )
f x
π
π
3
2
3
4
f
f
π
π
3
2
3
4
f
f
π
π
3
2
3
4
f
f
24
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【典例1-2】（2021·贵州遵义·高三遵义航天高级中学阶段练习）已知定义在
上的函数，
为其导
函数，且
恒成立，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
,则
,所以
在
上单调递增,因此
,
,所以选C.
【变式1-1】（2023 春·重庆·高三统考）设
是函数
的导函数，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用三角函数公式化简已知，再构造函数
，利用函数单调性依次判断选项.
【详解】
，
设
在
单调递增，
，所以A 错误；
，
所以
，所以B 正确；
，所以C 错误；
，
(0,
)
2
'( )
f
x
'
( )
( )
sin
cos
f x
f
x
x
x
(
)
2 (
)
2
6
f
f
3 (
)
2 (
)
4
3
f
f
3 (
)
(
)
6
3
f
f
(1)
2 (
)sin1
6
f
f
( )
( )
sin
f x
g x
x
2
( )sin
( )cos
( )
0
sin
f
x
x
f x
x
g x
x
( )
g x
0, 2
π
π
( )
( )
π
π
π
π
6
3
( )
( )
3 ( )
( )
π
π
6
3
6
3
sin
sin
6
3
f
f
g
g
f
f
π
π
( )
( )
π
π
π
π
3
4
( )
( )
3 ( )
2 ( )
π
π
4
3
4
3
sin
sin
4
3
f
f
g
g
f
f
π
π
( )
( )
π
π
π
π
6
2
( )
( )
2 ( )
( )
π
π
6
2
6
2
sin
sin
6
2
f
f
g
g
f
f
π
( )
π
(1)
π
6
( )
(1)
2sin1 ( )
(1)
π
6
sin1
6
sin 6
f
f
g
g
f
f
f
x
f x
π π
,
2 2
x
cos2
sin2
x f x
x f
x
f x
π
0
6
f
π
π
0
6
6
f
f
π
π
3
2
3
4
f
f
1
1
0
f
f
sin
g x
x f x
cos2
sin2
,
x f x
x f
x
f x
2
(2cos
1)
2sin cos
( )
0
x
f x
x
x f
x
f x
cos
sin
0
x f x
x f
x
sin
,
0,
g x
x f x
g
x
g x
π π
,
2 2
π
π
0
0
0
6
6
g
g
f
π
π
π
π
π
π
1
π
1
π
sin
sin(
)
6
6
6
6
6
6
2
6
2
6
g
g
f
f
f
f
π
π
0
6
6
f
f
π
π
π
π
π
π
π
π
sin
sin
3
2
3
4
3
3
4
4
3
4
g
g
f
f
f
f
0
1
sin 0
0
sin( 1)
1
0
sin1
1
1
0,
g
g
f
f
f
f
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，所以D 错误.
故选：B
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知可导函数
是定义在
上的奇函数．当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，并依据函数
的单调性去求解不等式
的解集.
【详解】当
时，
，则
则函数
在
上单调递增，又可导函数
是定义在
上的奇函数
则
是
上的偶函数，且在
单调递减，
由
，可得
，则
，
则
时，不等式
可化为
又由函数
在
上单调递增，且
，
，
则有
，解之得
故选：D
【变式1-3】（2021 下·江西·高三校联考）已知
是定义域为
的奇函数
的导函数，当
时，都有
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依题意可构造函数
，由条件可知，
是偶函数，且
在区间
上是增
函数，在区间
是减函数，再根据
，即可由单调性解出不等式．
1
0
sin1
1
sin 0
0
1
0
g
g
f
f
f
f x
π π
,
2 2
π
0, 2
x
tan
0
f
x
f
x
x
π
cos
sin
0
2
x f
x
x f
x
π
π
,
2
6
π ,0
6
π
π
,
2
4
π ,0
4
sin xf x
sin xf x
π
cos
sin
0
2
x f
x
x f
x
π
0, 2
x
tan
0
f
x
f
x
x
cos
sin
0
xf x
f
x
x
sin xf x
π
0, 2
f x
π π
,
2 2
sin xf x
π π
,
2 2
π ,0
2
π
π
π
2
2
2
π
π
2
2
x
x
π ,0
2
x
π
π
0,
2
2
x
π
0, 2
x
π ,0
2
x
π
cos
sin
0
2
x f
x
x f
x
π
π
sin
sin
2
2
x
f
x
x
f
x
sin xf x
π
0, 2
π
0, 2
x
π
π
0,
2
2
x
π
π
0
2
2
x
x
π
0
4
x
f
x
,
2 2
f x
0
2
x
cos
f x
x
f
x
sin
0
x
2
4
f
1
sin
f
x
x
,
,
2
4
4 2
,0
0,
4
4
,
0,
2
4
4
,0
,
4
4 2
sin
h x
f
x
x
h x
h x
0, 2
,0
2
1
4
4
h
h
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【详解】因为
是奇函数，所以
是偶函数．设
，
∴当
时，
，∴
在区间
上是增函数，∴
在区间
是减函数，∵
．
当
时，不等式
等价于
，
当
时，不等式
等价于
，
∴原不等式的解集为
．故选：D．
题型13 特殊构造：余弦型构造
【解题攻略】
三角函数形式构造：
1.
，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
【典例1-1】（2020 下·安徽六安·高二六安一中校考期中）设奇函数
的定义域为
，且
的图
象是连续不间断，
，有
，若
，则的取值范围是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，先研究函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性，然后将
转化为
，即
，最后求出的取值范围即可.
【详解】令
，
，
因为
为奇函数，所以
，
则函数
是定义在
上的奇函数，则
，
因为当
时，
，所以
，
则函数
在
上单调递减，则函数
在
上是奇函数且单调递减，
又因为
等价于
，即
，
f x
sin
f
x
x
sin
h x
f
x
x
0
2
x
cos
sin
0
h x
f x
x
f
x
x
h x
0, 2
h x
,0
2
sin
1
4
4
4
4
h
h
f
0
2
x
1
sin
f
x
x
1
4
sin
h
f x
x
0
2
x
1
sin
f
x
x
1
4
sin
h
f x
x
,0
,
4
4 2
cosx
( )-sinx
( )
0
0
g
x =f
x cosx
f
x
f x
对于
（
），构造（）（）
f
x
cosx
( )+sinx
( )
0
0
g
x = cosx
f
x
f x
（）
对于
（
），构造（）
( )
f x
,
2 2
( )
f x
,0
2
x
( )cos
( )sin
0
f
x
x
f x
x
1
( )cos
2
3
f t
t
f
t
,
2 3
0, 3
,
2
3
,
3 2
( )
( )cos
g x
f x
x
1
( )cos
2
3
f t
t
f
( )cos
cos
3
3
f t
t
f
( )
3
g t
g
t
( )
( )cos
g x
f x
x
,
2 2
x
( )
f x
(
)
(
)cos(
)
( )cos
( )
g
x
f
x
x
f x
x
g x
( )
g x
,
2 2
( )
( )cos
( )sin
g x
f
x
x
f x
x
,0
2
x
( )cos
( )sin
0
f
x
x
f x
x
( )
0
g x
( )
g x
,0
2
( )
g x
,
2 2
1
( )cos
2
3
f t
t
f
( )cos
cos
3
3
f t
t
f
( )
3
g t
g
27
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所以
，且
，所以
.故选：D.
【典例1-2】（2020 下·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）已知奇函数
的定义域为
，其
导函数为
，当
时，有
成立，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，由已知可得
在
上单调递增，且
，而
等价于
，从而可求出结果
【详解】设
，则
，
因为当
时，有
成立，
所以当
时，
，所以
在
上单调递增，
因为
为奇函数，所以
，
所以
为奇函数，所以
在
上单调递增，且
，
所以
等价于
，即
，
所以
，所以得
所以不等式的解集为
．故选：A
【变式1-1】（2020 下·广西桂林·高二校考阶段练习）函数
定义在
上，
是它的导函数，
且
在定义域内恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，利用所给不等式判断
的符号推出
的单调性，利
用
的单调性即可比较函数值的大小.
3
t
2
2
t
,
3 2
t
( )
f x
,
2 2
( )
f
x
0
2
x
( )cos
( )sin
0
f
x
x
f x
x
x
( )
2
cos
4
f x
f
x
∣
∣
,
4 4
,
,
2
4
4 2
,0
0,
4
4
,0
,
4
4 2
( )
( )
cos
f x
g x
x
( )
g x
,
2 2
(0)
0
g
|
( ) |
2
cos
4
f x
f
x
|
( ) |
4
g x
g
( )
( )
cos
f x
g x
x
'
'
2
( )cos
( )sin
( )
cos
f
x
x
f x
x
g x
x
0
2
x
( )cos
( )sin
0
f
x
x
f x
x
0
2
x
'( )
0
g x
( )
( )
cos
f x
g x
x
0, 2
( )
f x
(
)
( )
( )
(
)
( )
cos(
)
cos
cos
f
x
f x
f x
g
x
g x
x
x
x
( )
( )
cos
f x
g x
x
( )
g x
,
2 2
(0)
0
g
|
( ) |
2
cos
4
f x
f
x
( )
4
cos
cos 4
f
f x
x
( )
4
g x
g
( )
4
4
g
g x
g
4
4
x
,
4 4
f x
0, 2
f
x
tan x f x
f
x
2
4
3
f
f
3
6
3
f
f
3
cos1
1
2
6
f
f
2
3
4
6
f
f
( )
cos
( ),
0, 2
g x
x f x x
( )
g x
( )
g x
( )
g x
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【详解】因为
，所以
，
由
可得
，即
，
令
，则
，
所以函数
在
上为减函数，则
，
则
，
所以
.故选：D
【变式1-2】（2020 下·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知函数
是定义在R 上的奇函数，
且对于任意的
，都有
(其中
是函数
的导函数)，则下列不等式成
立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．
【详解】解：因为
是定义在
上的奇函数，
由函数
对于任意的
满足
，
令
，则
为奇函数；
故
，
故
在
单调递增，又
是奇函数，所以
在
上单调递增，
，可得
，故B 正确；
故选：B．
【变式1-3】（2021 下·江苏·高二期中）已知函数
的定义域为
，其导函数是
.有
，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，根据题设条件，求得
，得到函数
在
内的单调递减
函数，再把不等式化为
，结合单调性和定义域，即可求解.
【详解】由题意，函数
满足
，
令
，则
0, 2
x
sin
0 cos
0
x
x
，
tan x f x
f
x
( )cos
( )sin
f
x
x
f x
x
( )cos
( )sin
0
f
x
x
f x
x
( )
cos
( ),
0, 2
g x
x f x x
( )
( )cos
( )sin
0
g x
f
x
x
f x
x
g x
0, 2
(1)
6
4
3
g
g
g
g
cos
cos
cos(1) (1)
cos
6
6
4
4
3
3
f
f
f
f
3
2
2cos(1) (1)
6
4
3
f
f
f
f
y
f x
0,
x
cos
sin
f
x
x
f
x
x
f
x
f x
3
3
6
f
f
2
4
3
f
f
2
3
4
6
f
f
3
3
6
f
f
( )
( )cos
g x
f x
x
( )
f x
R
( )
y
f x
(0, )
x
( )cos
( )sin
f
x
x
f x
x
( )
( )cos
g x
f x
x
( )
( )cos
g x
f x
x
( )
( )cos
( )sin
0
g x
f
x
x
f x
x
( )
g x
(0, )
( )
g x
( )
g x
(
,0)
(
)
(
)
4
3
g
g
2 (
)
(
)
4
3
f
f
f x
,
2 2
( )
f
x
( )cos
( )sin
0
f
x
x
f x
x
3 ( )
2
cos
6
f x
f
x
,
3 2
,
6 2
,
6
3
,
2
6
cos
f x
F x
x
F'
0
x
cos
f x
F x
x
,
2 2
6
cos
cos 6
f
f x
x
f x
'
cos
sin
0
f
x
x
f x
x
cos
f x
F x
x
2
'
cos
sin
'
0
cos
f
x
x
f x
x
F
x
x
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函数
是定义域
内的单调递减函数，
由于
，关于
的不等式
可化为
，
即
，所以
且
，解得
，
不等式
的解集为
.故选：B
题型14 复合型构造
【典例1-1】已知定义在
上的函数
关于
轴对称，其导函数为
，当
时，不等式
.若对
，不等式
恒成立，则正整数
的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
构造函数
，求出
，由题可得
是在
上的奇函数且在
上
为单调递增函数，将
转化成
，利用
在
上为单调递增函数可得：
恒成立，利用导数求得
，解不等式
可得
，问题得解．
【详解】因为
，所以
，令
，则
，
又因为
是在
上的偶函数，所以
是在
上的奇函数，所以
是在
上的单调递增函数，
又因为
，可化为
，
即
，又因为
是在
上的单调递增函数，所以
恒成立，
令
，则
，因为
，所以
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，则
，所以
.
所以正整数
的最大值为2.故选B
【典例1-2】定义在
上的偶函数
的导函数为
，若对任意的实数
，都有
恒成
立，则使
成立的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由题意构造函数
，结合函数的单调性和函数的奇偶性求解实数
的取值范围即可.
【详解】
是
上的偶函数，则函数
也是
上的偶函数，
对任意的实数
，都有
恒成立，则
.
cos
f x
F x
x
,
2 2
cos
0
x
x
3 ( )
2
cos
6
f x
f
x
6
cos
cos 6
f
f x
x
6
F x
F
2
2
x
6
x
2
6
x
3 ( )
2
cos
6
f x
f
x
,
6 2
R
f x
y
f
x
0
x
1
xf
x
f
x
x
R
0
x
x
x
e f e
e
ax
axf ax
a
1
2
3
4
1
F x
x f x
'
'
1
F
x
xf
x
f
x
F x
R
R
0
x
x
x
e f e
e
ax
axf ax
1
1
x
x
e
f e
ax f ax
F x
R
0
xe
ax
min
ln
xe
ax
a
a a
ln
0
a
a a
0
a
e
'
1
xf
x
f
x
'
1
0
xf
x
f
x
1
F x
x f x
'
'
1
0
F
x
xf
x
f
x
f x
R
F x
R
F x
R
x
x
x
e f e
axf ax
e
ax
1
1
x
x
e
f e
ax f ax
x
F e
F ax
F x
R
0
xe
ax
x
g x
e
ax
'
x
g
x
e
a
0
a
g x
,lna
ln ,a
min
ln
0
g x
a
a a
1
ln
0
a
0
a
e
a
R
( )
f x
'( )
f
x
x
2 ( )
'( )
2
f x
xf
x
2
2
( )
(1)
1
x f x
f
x
x
{ |
1}
x x
(
, 1)
(1,
)
( 1,1)
( 1,0)
(0,1)
2
2
g x
x f x
x
x
f x
R
2
2
g x
x f x
x
R
x
2
'
2
f x
xf
x
'
2
'
2
g
x
x
f x
xf
x
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当
时，
，当
时，
，即偶函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
不等式
即
，据此可知
，则
或
.
即实数
的取值范围为
.本题选择B 选项.
【变式1-1】设函数
时定义在
上的奇函数，记其导函数为
当
时，
恒成立，
则关于
的不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
分析：根据题意，构造函数
，结合题意对其求导可得
在
上
为增函数，由函数
时定义在
上的奇函数可得
在
上为增函数，将不等式
变形可得
，进而分析可得
，解可得x 的取值范围，
即可得到答案.
详解：根据题意，构造函数
，其导数
，
又由
时，
，则
，函数
在
上为增函数，由函数
时定义在
上的奇函数，
可得
在
上为增函数，不等式
变形可得
，
可得
，解得
，即该不等式的解集为
.故选：A.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数
定义域为R，导函数为
，
满足下列条件：
①任意
，
恒成立，②
时，
恒成立，则关于t 的不等
式：
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设函数
，利用已知条件判断函数
的单调性及对称性，根据所得结论化简不
等式求其解集.
【详解】设函数
，则
，又
时，
恒成立，
所以当
时，
，所以函数
在
单调递增，
又
因为任意
，
恒成
立，
所以
，所以
，所以函数
的图象关于
对称，因为
可化为
，
所以
，所以
所以
，所以
，
所以不等式：
的解集为
，故选：A.
0
x
'
0
g
x
0
x
'
0
g
x
g x
,0
0,
2
2
1
1
x f x
f
x
2
2
2
2
1
1
1
x f x
x
f
1
g x
g
1
x
1
x
x
, 1
1,
( )
f x
R
'( ),
f
x
0
x
2 ( )
'( )
f x
xf
x
x
x
3 (
2017)
2017
f x
x
-
-2017
，
-2017 2017
，
-2017 0
，
-2017
，
2
3
1
3
g x
x f x
x
2
3
1
3
g x
x f x
x
0,
f x
R
2
3
1
3
g x
x f x
x
,
3
2017
2017
f x
x
2017
0
g x
g
2017
0
x
2
3
1
3
g x
x f x
x
2
2
2
2
1
g
x
xf x
x f
x
x
x
f x
xf
x
0
x
2
'
f x
xf
x
x
'
0
g
x
g x
0,
f x
R
2
3
1
3
g x
x f x
x
,
3
2017
2017
f x
x
2017
0
g x
g
2017
0
x
2017
x
, 2017
f x
f
x
f x
R
x
2
2
2
f x
f
x
x
1,
x
2
1
f
x
x
2
2
2
3
5
2
f
t
f t
t
t
0,2
0,1
1,1
1,2
2
( )
( )
F x
f x
x
x
( )
F x
2
( )
( )
F x
f x
x
x
( )
( )
2
1
F x
f
x
x
1,
x
2
1
f
x
x
1,
x
( )
0
F x
2
( )
( )
F x
f x
x
x
1,
2
2
( )
(2
)
( )
(2
)
(2
)
(2
)
F x
F
x
f x
x
x
f
x
x
x
R
x
2
2
2
f x
f
x
x
2
2
( )
(2
)
2
2
(2
)
(2
)
0
F x
F
x
x
x
x
x
x
( )
(2
)
F x
F
x
2
( )
( )
F x
f x
x
x
1
x
2
2
2
3
5
2
f
t
f t
t
t
2
2
2
(2 )
2
2
2
2
2
f
t
t
t
f t
t
t
2
2
F
t
F t
|
2 1| | 2
1|
t
t
2
3
6
0
t
t
0
2
t
2
2
2
3
5
2
f
t
f t
t
t
0,2
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【变式1-3】已知函数
，其中
为自然对数的底数.若
是
的导函数，函数
在区间
内有两个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由
，得
，所以
，又
＝
，令
，则
，
，所以
，所以：（1）若
时，则
，函数
在
内单调递减，故
在
内至多有一个零点；（2）若
时，则
，函数
在
内单调
递增，故
在
内至多有一个零点；（3）若
时，当
时，
，当
时，
，所以函数
在
上递减，在
上递增，所以
＝
．令
＝
（
），则
，当
时，
，
为增函数，当
时，
，
为减函数，所以
，即
恒成立，所以函数
在
内有两个零点，则
，解得
．综上所述
的取值范围为
，故选A．
高考练场
1.（湖南省永州市2022 届高三下学期第三次适应性考试数学试题已知直线:
，函数
，若
存在切线与关于直线
对称，则
__________．
【答案】
【分析】先求与关于直线
对称的直线
，再利用切点是切线与曲线的公共点以及导数的几何意义即
可求解
【详解】在直线：
上取两点
，
点
，
关于
对称的点分别为
，
点
关于直线
对称的点为
）设直线关于直线
对称的直线为
，则
过点
，
则
，直线
的方程为
，即
由
得
,
因为函数
存在切线与关于直线
对称，即
存在切线方程为
设切点为
，则
解得
故答案为：
2.过点
作曲线
的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
2
2
1
x
f x
e
ax
bx
,
,
a b
R e
1
0,
f
f
x
f x
( )
f
x
(
)
0,1
a
2
2
3,
1
e
e
2
3,
e
2
,2
2
e
2
2
2
6,2
2
e
e
(1)
0
f
2
1
0
e
a
b
2
1
b
a
e
( )
f
x
2
2
2
x
e
ax
b
( )
g x
2
2
2
x
e
ax
b
2
( )
4
2
x
g x
e
a
(0,1)
x
2
2
4
4
4
x
e
e
2
2
a
e
( )
0
g x
( )
g x
(0,1)
( )
g x
(0,1)
2
a
( )
0
g x
( )
g x
(0,1)
( )
g x
(0,1)
2
2
2
a
e
1
0
ln
2
2
a
x
( )
0
g x
1 ln
1
2
2
a
x
( )
0
g x
( )
g x
1
(0,
ln
)
2
2
a
1
(
ln
,1)
2
2
a
min
1
( )
(
ln
)
ln
2
2
2
a
a
g x
g
a
a
b
2
2
ln
1
2
a
a
a
e
2
( )
2
ln
1
2
x
h x
x
x
e
2
2
ln
ln 2
1
x
x
x
x
e
2
2
2
x
e
( )
ln
1 ln 2
h x
x
(2,2 )
x
e
( )
0
h x
( )
h x
2
(2 ,2
)
x
e
e
( )
0
h x
( )
h x
2
max
( )
(2 )
2
1
0
h x
h
e
e
e
min
( )
0
g x
( )
g x
(0,1)
2
2
2
(0)
2
1
0
{
(1)
2
2
1
0
g
a
e
g
e
a
a
e
2
2
3
1
e
a
e
a
2
2
(
3,
1)
e
e
l
3
2
y
x
1
ln
3
f x
x
ax
f x
l
y
x
a
2
3
l
y
x
l
l
3
2
y
x
0,2
1,5
0,2
1,5
y
x
2,0
5,1
,a b
y
x
,b a
l
y
x
l
l
2,0
5,1
1 0
1
5
2
3
lk
l
1
0
2
3
y
x
3
2
0
x
y
1
ln
3
f x
x
ax
1
f
x
a
x
0,
x
f x
l
y
x
f x
3
2
0
x
y
0
0
,
x
y
0
0
0
0
0
0
0
1
1
3
1
ln
3
3
2
0
f
x
a
x
y
x
ax
x
y
0
0
1
1
3
2
3
x
y
a
2
3
1,0
e
x
y
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【答案】
【分析】考虑
与
时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将
代入，得到相应的斜率，相
加得到答案.
【详解】
时，
，设切点
，则
，切线
过
，
，
，
时，
，切点
，
，切线
过
，
，
，
故
.故答案为：
.
3.（2022·全国·高三专题练习）过曲线
上一点
且与曲线在
点处的切线垂直的直线的方程
为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，可得切线斜率k，进而可得所求直线斜率
，代入点斜式方程，整理即可
得答案.
【详解】由题意得
，
所以在点
处切线斜率
，
则所求直线斜率
，
所以直线方程为
，整理得
.故选：A
4.（2023 春·陕西宝鸡·高三统考）若过点
可作曲线
的两条切线，则点
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设切点的坐标为
，求得切线方程为
，把点
代入得
，根据题意得到
有两个不等的实根，结合
，得到
，
根据选项逐项验证，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，
设切点的坐标为
，则在切点处的切线方程为
，
把点
代入，可得
，
整理得
，因为过点
可作曲线
的两条切线，
则方程
有两个不等的实根，
所以
，即
，
分别把点
代入验证，可得只有
满足，
所以点
可以是
.故选：D.
5.已知直线
是曲线
与
的公切线，则
__________.
【答案】
【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算
.
2e
1
0
x
0
x
1,0
0
x
ex
y
1
1,ex
x
1
1
e ,
ex
x
y
k
1
1
1
1
:
e
e
x
x
l
y
x
x
1,0
1
1
1
e
e
1
x
x
x
2
1
1
2,
e
x
k
0
x
e x
y
2
2,e x
x
2
2
e
,
e x
x
y
k
2
2
2
2
:
e
e
x
x
l
y
x
x
1,0
2
2
2
e
e
1
x
x
x
2
2
0,
1
x
k
2
1
2
e
1
k
k
2e
1
cos
y
x
1
,
3 2
P
P
2
3
2
3
0
3
2
x
y
2
1
2
0
3
2
x
y
2
3
2
3
0
3
2
x
y
2
1
2
0
3
2
x
y
k
sin
y
x
1
,
3 2
P
3
sin 3
2
k
1
2 3
3
3
2
k
1
2 3
2
3
3
y
x
2
3
2
3
0
3
2
x
y
( , )
a b
2
2
y
x
x
( , )
a b
(0,0)
(1,1)
(2,0)
(3,2)
2
( ,
2 )
t t
t
2
(2
2)(
)
2
y
t
x
t
t
t
( , )
a b
2
2
2
0
t
at
a
b
2
2
2
0
t
at
a
b
0
2
2
0
a
a
b
2
2
y
x
x
2
2
y
x
2
( ,
2 )
t t
t
2
(2
2)(
)
2
y
t
x
t
t
t
( , )
a b
2
(2
2)(
)
2
b
t
a
t
t
t
2
2
2
0
t
at
a
b
( , )
a b
2
2
y
x
x
2
2
2
0
t
at
a
b
2
4
4(2
)
0
a
a
b
2
2
0
a
a
b
(0,0),(1,1),(2,0),(3,2)
(3,2)
( , )
a b
(3,2)
y
kx
b
ln 1
y
x
2
ln
y
x
k
b
3
ln2
k
b
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【详解】设曲线
上切点
，
，
切线斜率
，切线方程
，
即
同理，设曲线
上切点
，
，
切线斜率
，切线方程
，
即
，
所以
，解得
，
所以
，
，
.
故答案为：
.
6.（内蒙古赤峰市、呼伦贝尔市等2022-2023 学年高三上学期开学考试数学（文）试题）若直线
是
曲线
与
的公切线，则
______.
【答案】
【分析】假设切点坐标，利用导数几何意义分别求得在切点处的切线方程，由切线方程相同可构造方程组
求得
，即为公切线的斜率
.
【详解】设
与
，
分别相切于点
，
，
，
，
，
，
切线方程为
，
，
即
，
，
，即
，
解得：
，即
.
故答案为：
.
7.（重庆大学城第一中学校2021-2022 学年高三下学期第一次月考数学（理）试题）函数
是定义在区
间
上可导函数，其导函数为
，且满足
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
构造函数
，求得
的导函数，结合题目所给条件，得到
的单调性，由此求得不等
ln 1
y
x
1
1
,ln 1
A x
x
1
1
y
x
1
1
1
k
x
1
1
1
1
ln 1
1
y
x
x
x
x
1
1
1
1
1
ln 1
1
1
x
y
x
x
x
x
2
ln
y
x
2
2
,2
ln
B x
x
1
y
x
2
1
k
x
2
2
2
1
2
ln
y
x
x
x
x
2
2
1
1 ln
y
x
x
x
1
2
1
1
2
1
1
1
1
ln(1
)
1 ln
1
x
x
x
x
x
x
1
2
1
2
1
2
x
x
2
k
1 ln 2
b
3
ln 2
k
b
3
ln 2
y
kx
b
2
ex
f x
2022
e
2022
x
g x
k
1011
1012
2 2022
ex
k
y
kx
b
f x
g x
1 2
1,ex
x
2 2022
2,e
2022
x
x
2
ex
f
x
2022
ex
g
x
1 2
1
ex
f
x
2 2022
2
ex
g
x
1
1
2
2
1
e
e
x
x
y
x
x
2
2
2022
2022
2
e
2022
e
x
x
y
x
x
1
1
2
2
1
e
1
e
x
x
y
x
x
2
2
2022
2022
2
e
1
e
2022
x
x
y
x
x
1
2
1
2
2
2022
2
2022
1
2
e
e
1
e
1
e
2022
x
x
x
x
x
x
2
1
2
2022
2
1
2
2022
e
2022
x
x
x
x
x
2 2022
2022
1011
e
2024
1012
x
1011
1012
k
1011
1012
f x
0,
'
f
x
'
2
0
xf
x
f x
2019
2019
5
5
5
2019
x
f x
f
x
2014
x x
{ | 2019
2014}
x
x
{ | 0
2014}
x
x
{ |
2014}
x x
2
F x
x
f x
F x
F x
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式的解集.
【详解】
构造函数
，依题意可知，当
时，
，故函数
在
上为增函数.由于
，故所求不等式可化为
，所以
，解得
.故选B.
8.
是定义在非零实数集上的函数，
为其导函数，且
时，
，记
,
,
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
本题可以先设
，然后求出
的导数，
然后可以通过“
时，
”判断出
的单调性，
最后通过比较
的大小得出答案．
【详解】设
则有
因为
时，
，
所以
时，
为减函数，因为
所以
，所以
故选A．
9.（内蒙古赤峰二中2021-2022 学年高三4 月月考数学试题）已知定义在
上的可导函数
满足：
，则
与
的大小关系是
A．
B．
C．
D．不确定
【答案】A
【详解】
令
，则
，所以函数
在
上单调递减.
因为
，所以
，选A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅
助函数常根据导数法则进行：如
构造
，
构造
，
构造
，
构造
等
10.定义在
上的函数
的导函数为
，若
，则不等式
的解集
是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
2
F x
x
f x
0
x
2
0
F
x
x xf
x
f x
F x
0,
0
x
2
2
2019
2019
5
5
x
f x
f
0
2019
5
x
2019
2014
x
( )
f x
( )
f
x
0
x
( )
( )
0
xf
x
f x
0.2
0.2
2
2
a
f
2
3
3
2
b
f
2
2
log 3
log 3
f
c
c
b
a
b
a
c
c
a
b
a
b
c
f x
g x
x
g x
0
x
0
xf
x
f x
g x
0.2
2
3
2
log 3
2
、、
f x
g x
x
，
´
2
f x
xf
x
f x
g
x
x
x
，
0
x
0
xf
x
f x
0
x
0
g
x
g x
，
0.2
2
3
0
2
log 3
2
，
0.2
2
3
2
log 3
2
g
g
g
2
0.2
0.2
2
log 3
2
3
2
2
3
2
log 3
f
f
f
，
R
( )
f x
'( )
( )
0
f
x
f x
2
2
1
(
)
m
m
f m
m
e
(1)
f
2
2
1
(
)
(1)
m
m
f m
m
f
e
2
2
1
(
)
(1)
m
m
f m
m
f
e
2
2
1
(
)
(1)
m
m
f m
m
f
e
( )
( )
x
g x
e f x
( )
[
( )
( )]
0
x
g x
e
f
x
f x
( )
g x
R
2
1
0
m
m
2
2
2
2
2
2
1
1
(
)
1
(
)
(1)
(
)
(1)
(1)
m m
m
m
f m
m
m
m
g m
m
g
e
f m
m
e f
f
e
( )
( )
f
x
f x
( )
( )
x
f x
g x
e
( )
( )
0
f
x
f x
( )
( )
x
g x
e f x
( )
( )
xf
x
f x
( )
( )
f x
g x
x
( )
( )
0
xf
x
f x
( )
( )
g x
xf x
R
f x
f
x
f
x
f x
4
2
3
4
xe
f
x
e
f
x
,2
2,
4,
,4
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根据
构造出
，从而得到
在
上单调递减；将所求不等式转化为
，根据
单调性可得
，求解得到结果.
【详解】
由题意得：
，即
故函数
在
上单调递减
，即
即
，解得
。本题正确选项：
11.已知
是定义在
上的奇函数，
是
的导函数，
且满足:
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据给定含导数的不等式构造函数
，由此探求出
在
上恒负，在
上恒正，
再解给定不等式即可.
【详解】
令
，
，则
，
在
上单调递减，而
，
因此，由
得
，而
，则
，由
得
，而
，则
，又
，
于是得在
上，
，而
是
上的奇函数，则在
上，
，
由
得：
或
，即
或
，解得
或
，
所以不等式
的解集为
.故选：D
12.（贵州省遵义航天高级中学2018 届高三第五次模拟考试数学试题）已知定义在
上的函数，
为其导函数，且
恒成立，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
令
,则
,所以
在
上单调递增,因此
,
0
f
x
f x
0
x
f x
e
x
f x
g x
e
R
2
3
4
2
3
4
x
x
f
x
f
x
e
e
g x
2
3
4
x
x
0
f
x
f x
2
0
x
x
x
e
f
x
e f x
e
0
x
f x
e
∴
x
f x
g x
e
R
4
2
3
4
xe
f
x
e
f
x
4
3
3
2
3
4
x
x
x
e
f
x
e
f
x
e
e
2
3
4
2
3
4
x
x
f
x
f
x
e
e
∴
2
3
4
g
x
g
x
2
3
4
x
x
4
x
D
( )
f x
(
,0)
(0,
)
( )
f
x
( )
f x
(1)
0,
f
( )
( ) ln
0,
f x
f
x
x
x
(
1)
( )
0
x
f x
(1,
)
(
, 1)
(0,1)
,1
(
,0
1
)
,
( )
( )ln
g x
f x
x
( )
f x
(0,
)
(
,0)
( )
( )ln
g x
f x
x
0
x
( )
( )
( )ln
0
f x
g x
f
x
x
x
( )
g x
(0,
)
(1)
0
g
( )
0
g x
0
1
x
ln
0
x
( )
0
f x
( )
0
g x
1
x
ln
0
x
( )
0
f x
(1)
0
f
(0,
)
( )
0
f x
( )
f x
(
,0)
(0,
)
(
,0)
( )
0
f x
(
1)
( )
0
x
f x
1
0
( )
0
x
f x
1
0
( )
0
x
f x
1
0
x
x
1
0
x
x
0
x
1
x
(
1)
( )
0
x
f x
(
,0)
(1,
)
(0,
)
2
'( )
f
x
'
( )
( )
sin
cos
f x
f
x
x
x
(
)
2 (
)
2
6
f
f
3 (
)
2 (
)
4
3
f
f
3 (
)
(
)
6
3
f
f
(1)
2 (
)sin1
6
f
f
( )
( )
sin
f x
g x
x
2
( )sin
( )cos
( )
0
sin
f
x
x
f x
x
g x
x
( )
g x
0, 2
π
π
( )
( )
π
π
π
π
6
3
( )
( )
3 ( )
( )
π
π
6
3
6
3
sin
sin
6
3
f
f
g
g
f
f
π
π
( )
( )
π
π
π
π
3
4
( )
( )
3 ( )
2 ( )
π
π
4
3
4
3
sin
sin
4
3
f
f
g
g
f
f
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,所以选C.
13.（2021 下·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考）已知奇函数
的定义域为
，且
是
的导函数，若对任意
，都有
则满足
的
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，结合已知条件判断函数的奇偶性与单调性，将
变形为
，即
，利用函数单调性解不等式即可.
【详解】设
，
因为
为奇函数，
为偶函数，所以
为奇函数；
因为对任意
，都有
，
而
，所以
在
单调递减，又因为
为奇函数，所以
在
单调递减，当
时，
，因为
，所以
，所以
，所以
，
故选：D.
14.（河北省武邑中学2019 届高三下学期第一次质检数学（理）试题）已知函数
的导函数为
，
若
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
结合题意构造函数
，求导后可得函数
在
上为增函数，且
．然后将不
等式变形为
，进而根据函数的单调性得到不等式的解集．
【详解】设
，
则
，
π
π
( )
( )
π
π
π
π
6
2
( )
( )
2 ( )
( )
π
π
6
2
6
2
sin
sin
6
2
f
f
g
g
f
f
π
( )
π
(1)
π
6
( )
(1)
2sin1 ( )
(1)
π
6
sin1
6
sin 6
f
f
g
g
f
f
f x
,
2 2
f
x
f x
,0
2
x
cos
sin
0
f
x
x
f x
x
2cos
3
f
f
,
2 3
,
,
2 3
3 2
,
3 3
,
3 2
,
,
cos
2 2
f x
g x
x
x
2cos
3
f
f
3
cos
3
f
f
cos
3
g
g
,
,
cos
2 2
f x
g x
x
x
f x
cos
y
x
g x
,0
2
x
cos
sin
0
f
x
x
f x
x
2
cos
sin
0
cos
f
x
x
f x
x
g
x
x
g x
,0
2
g x
g x
,
2 2
,
2 2
x
cos
0
x
2cos
3
f
f
3
cos
3
f
f
cos
3
g
g
3
2
f x
f
x
2
2,
0
5
f x
f
x
f
2
4
1
x
f x
e
1,
,0
,0
1,
0,
2
2
( )
( )
4
x
x
F x
e
f x
e
( )
F x
R
(0)
0
F
2
2
( )
4
0
x
x
e
f x
e
2
2
( )
( )
4
x
x
F x
e
f x
e
2
2
2
2
( )
2
( )
( )
2
[2 ( )
( )
2]
0
x
x
x
x
F x
e
f x
e
f
x
e
e
f x
f
x
37
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所以函数
在
上为增函数．又
，所以
．
又不等式
等价于
，
即
，解得
，所以不等式的解集为
．故选D．
2
2
( )
( )
4
x
x
F x
e
f x
e
R
0
5
f
(0)
(0) 1 4
0
F
f
2
4
1
x
f x
e
2
2
( )
4
0
x
x
e
f x
e
( )
0
F x
0
x
0,
38
