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第 21 讲 数列通项公式的求解策略
【典型例题】
例1．（2024·高三·湖北·阶段练习）画 条直线，将圆的内部区域最多分割成（ ）
A． 部分 B． 部分
C． 部分 D． 部分
【答案】B
【解析】设画 条直线，将圆最多分割成 部分，
则 ， ，
因此 ，
相加得： ，
所以 ，
当 ， ，符合上式，所以 ，
故选：B.
例2．（2024·高三·湖北·阶段练习）已知数列 中， ， ， ，则下列说法不正确的
是（ ）
A． B．
C． 是等比数列 D．
【答案】D
【解析】由 ， ，得 ，
有 ， ， ， ， ，
所以 ，则 ，
故 ， ，故 ， ， 是等比数列，
，故A、B、C正确，D错误.
故选：D.
例3．（2024·高三·河南·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则
（ ）A．1056 B．1123 C．1315 D．2627
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
所以数列 是首项为1公差为1的等差数列，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：D
例4．（2024·黑龙江·二模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为 ，从第二题开始，若
甲同学前一题答错，则此题答对的概率为 ；若前一题答对，则此题答对的概率为 .记甲同学回答第 题
时答错的概率为 ，当 时， 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为回答第 题时有答对、答错两种情况，则回答第 题 时答错的概率
，
所以 ，
由题意知 ，则 ，
所以 是首项为 、公比为 的等比数列，
所以 ，即 .
显然数列 递减，所以当 时， ，
所以 的最小值为 .
故选：D.
例5．（2024·广东深圳·二模）已知正项数列 的前 项积为 ，且满足 ，则
.
【答案】【解析】由题意 ，且 ，所以 ，
又 ，且 ，
所以 ，则 ，又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故 ，
所以 .
故答案为： .
例6．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列 满足 ，则数列 的通
项公式为 ．
【答案】
【解析】数列 中， ， ，显然 ，
则有 ，即 ，而 ，
因此数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，即 ．
故答案为：
例7．（2024·高三·全国·专题练习）一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下
后，出现红球与绿球的概率都是 ，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的
概率分别为 、 ；若前次出现绿球，则下一次出现红球，绿球的概率分别为 、 ，记第
次按下按钮后出现红的概率为 ．
(1)求 的值；
(2)当 ，求用 表示 的表达式；
(3)求 关于 的表达式．
【解析】（1）若按钮第一次、第二次按下后均出现红球，则其概率为 ，若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿球、红球，则其概率为 ，
故所求概率为 .
（2）由题意可得第 次按下按钮后出现红球的概率为 ，
则出现绿球的概率为 ，
若第 次、第 次按下按钮后均出现红球，则其概率为 ，
若第 次、第 次按下按钮后依次出现绿球、红球，则其概率为 ，
所以 （其中 ）.
（3）由（2） 得 （其中 ），
又 ，所以 构成首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
例8．（2024·全国·模拟预测）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，且
.
求数列 的通项公式；
【解析】因为 ，所以当 时， ，
当 时， ，所以 ，即
.
（易错：利用公式 时，容易忽略 的情况）
当 时，得 ；当 时，得 .
当 时， ，
所以通项公式为 .例9．（2024·河北·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .
【解析】（1）由 ，①
当 时， ，所以 ，
当 时， ，②
由① ②得 ，
所以 ，
当 时，上式也成立，
所以 ；
（2） ，
因为 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时，
，
综上所述， .
例10．（2024·陕西西安·一模）已知数列 的前 项和为 ， ，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）根据题意， ，所以 ，由于 ，则 是以首项为1，公差为 的等差数列，
所以 ，所以 ，
当 时， .
验证 时 满足通项公式，故数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 .
设 的前 项和为 ，则当 为偶数时，
.
当 为奇数时， ，
设 的前 项和为 ，则 .
因为 ，所以
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）凸五边形有5条对角线，那么凸 边形有（ ）条对角线．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，
则得到在凸 的基础上，多一个顶点，则多 条对角线，
设凸 边形有 条对角线，
所以 ，
则 ， ，
累加得 ，则 ，
故选：D.
2．（2024·高二·河南·阶段练习）已知数列 的首项 ，且满足 ，则
中最小的一项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，
所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列，
即 ，
所以有 ，显然当 时， ，
因此 中最小的一项是 ，
故选：B
二、多选题
3．（2024·高三·江苏·专题练习）已知 是数列 的前 项和，且 ， （ ），
则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 不为等比数列
C． D．
【答案】BD
【解析】由题意得： ， ，
由于 ，故数列 不是等比数列，A错误；
则 ， ， ，
由于 ，故数列 不为等比数列，B正确；
当 时， ，即 ，
又 ，
故 为等比数列，首项为2，公比为3，
故 ，故 ， ，……， ，
以上20个式子相加得： ，C错误；
因为 ，所以 ，两式相减得：
，
当 时， ， ，……， ，
以上式子相加得： ，
故 ，而 也符和该式，故 ，
令 得： ，
当 时， ， ，……， ，
以上式子相加得： ，
故 ，而 也符号该式，故 ，
令 得： ，
综上： ，D正确.
故选：BD
4．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和公式为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．数列 的首项为
B．数列 的通项公式为
C．数列 为递减数列
D．数列 为递增数列
【答案】ABC
【解析】对于A，因为 ，所以当 时， ，知A正确；
对于B，当 时， ，
当 时，也满足上式，故数列 的通项公式为 ，故B正确；
对于CD， ，
所以数列 为递减数列，故C正确，D错误.
故选：ABC.
5．（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有 的10个
小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次
抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进 步的概率为 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．小华一共前进3步的概率最大
【答案】BC
【解析】根据题意，小郡前进1步的概率和前进2步的概率都是 ，所以 ， ，
故选项A错误；
当 时，其前进几步是由两部分组成：先前进 步，再前进1步，其概率为 ，
或者先前进 步，再前进2步，其概率为 ，所以 ，
故选项B正确；
因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，即 ，
故选项C正确；
因为当 时， ，所以 ，又 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
所以 ，所以 .
当n为奇数时， 为偶数，则 ，此时数列 单调递增，所以 ；
当n为偶数时， 为奇数，则 ，此时数列 单调递减，
所以 ；
综上，当 时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故选项D错误.
故选：BC
6．（2024·高三·甘肃·开学考试）已知数列 满足 ，则（ ）
A． 是等差数列
B． 的前 项和为
C． 是单调递增数列
D．数列 的最小项为4
【答案】BC
【解析】由 ，得 ，因为 ，
所以 ，从而 ，
所以 是首项为1，公比为 的等比数列，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，所以A错误，B正确；
由 ，易知 是单调递增数列，C正确；当 时， ，
当 时， ，D错误.
故选：BC.
三、填空题
7．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列 ， 的前n项和分别为 ， ，且 ， ，
， ，则 ；若对任意的 ，
恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ， ，
易知 ， ， ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，
是首项为2，公差为2的等差数列，
所以 ， ，则 ．
解法一 因为对任意的 ， 恒成立，
所以 对任意的 恒成立，即 ．
记 ，易知 ，所以 ，
当 时， ，解得 或 ；
当 时， ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
因为 ， ， ，所以 ，
即实数 的取值范围为 ．解法二 因为对任意的 ， 恒成立，
所以 对任意的 恒成立．记 ，
则 ，令 ，则 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，所以 ，即 ，
故实数 的取值范围为 ．
故答案为：
四、解答题
8．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知 是数列 的前 项和，满足 ；正项数列 为等比数
列，数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式：
(2)令 ，数列 前 项和为 ，求 ．
【解析】（1）当 时， ，
当 时， 也满足上式，
故数列 的通项公式为 ，
设 的公比为q，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，又数列 为正项数列，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
（2）由（1）得 ，则
①，②
①—②得：
，
所以 .
9．（2024·山东菏泽·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ，求证： ．
【解析】（1）由 ①，
当 时， 解得 ，
当 时， ②，
①-②，得 ，
数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
．
经验证 符合上式，所以 ．
（2）由（1）知 ，
， ．
则 ，
故
，
所以 ， ， ，
故 .10．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，满足 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)设 的前 项和为 ，求 ．
【解析】（1）第一步：将已知等式递推、相减得到 之间的关系式
当 时，由 ，得 ，解得 ，
由 递推得 ，
两式相减得 ，
化简得 ．（方法：若给出的数列关系式中既含 又含 ，则往往利用 与 之间的关系
将 或 消去，再求解）
第二步：利用等比数列的定义证明数列 为等比数列
从而 ，
又 ，所以数列 是首项为4，公比为2的等比数列．
（2）第一步：根据等比数列的通项公式求
由（1）知 ，所以 ，
第二步：求
所以 ．（点拨： 由两项组成，第一项是常数，直接求和即可，第二项是等差 等比的
形式，故考虑利用错位相减法求和）
第三步：利用分组求和法、错位相减法求
所以 ．
令 ，
所以 ，
两式相减，得
，
则 ，所以 ．
11．（2024·高三·全国·专题练习）在①当 时， ，②数列 与 均为等差数列这
两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知正项数列 满足 ，______．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的前n项和，证明： ．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】（1）方案一：选条件①．
当 时，
，
又 ，符合上式，
因此数列 的通项公式为 ．
方案二：选条件②．
由数列 为等差数列，可设 ，
则 ，即 ，
因此 ．
又数列 为等差数列，因此 ，从而 ．
又 ，所以 ，
因此数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知， ，因此 ．
则 ， ，
当 时， ，因此 ，
从而 ．
综上， ．12．（2024·全国·模拟预测）已知定义域为 的函数 满足如下条件：①对任意的 ，总有
；② ；③当 ， ， 时， 恒成立．已
知正项数列 满足 ，且 ， ，令
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求证： （ ）．
【解析】（1）不妨设 ，则 ，
，
，
若 ，即 ，
此时有 ，与题设 矛盾，
故 ，
， 在区间 上单调递减，
， ．
又由 ，
两边同时除以 ，化简可得 ，即 ，
是以 为首项，4为公比的等比数列， ．
又 ， ，
当 时，
．
又当 时， ，故 ．
（2）由（1）可得 ．
当 时， ，且 ，
， ，
又 ，
，即 ，
，
，即 ，
，
．
13．（2024·高三·云南·阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且 .在数列 中， ，
.
(1)求 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【解析】（1）由题知，当 时， ，
当 时， ，
因为 ，所以 .因为 ，所以 ，
则
，
时符合，故 ，
综上， ， .
（2）由（1）知
所以 的前n项和 , ,①，
②，
①−②得 ，
所以 . ,当 ,满足题意，故
14．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“
型数列”．
(1)若数列 满足 ，判断 是否为“ 型数列”，并说明理由；
(2)已知正项数列 为“ 型数列”， ，数列 满足 ， ， 是等比数列，公比
为正整数，且不是“ 型数列”，求数列 的通项公式．
【解析】（1）易知当 时，可得 ，即 ；
而当 时， ，可得 ；
此时 ，不满足“ 型数列”定义，
猜想：数列 不是“ 型数列”，
证明如下：
由 可得，当 时， ，
两式相减可得 ，可得 ，此时从第二项起，每一项与它前一项的比为 ，因此 不是“ 型数列”；
（2）设数列 的公比为 ，易知 ，
又因为数列 不是“ 型数列”，可得
可得 ，即得 ；
又数列 为“ 型数列”，可得 ；
易知“ 型数列”为递增数列，因此当 趋近于正无穷大时， 趋近于 ，即可得 ；
综上可得 ，即 ，可得 ；
所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列；
即可得 ，可得 ；
所以数列 的通项公式为 .
15．（2024·四川成都·二模）已知数列 的前n项和 ，且 的最大值为 ．
(1)确定常数 ，并求 ；
(2)求数列 的前15项和 ．
【解析】（1）由数列 的前n项和 ，
根据二次函数的性质，可得当 时， 取得最大值，
即 ，解得 ，所以 ，
当 时， ，
当 时， （符合上式），
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，可得 ，
且当 且 时，可得 ；当 且 时，可得 ，所以数列 的前15项和： ．
16．（2024·全国·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)给定 ，记集合 中的元素个数为 ，若 ，试求 的最小
值.
【解析】（1）依题意 ，①
当 时， ，②.
①②两式相减得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 是公差为1的等差数列，
又 ，故数列 的通项公式为 .
（2）依题意 ，即 ，因为 ，
所以满足不等式的正整数个数为 ，即 ，.
，
因为 ，所以 单调递增，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的最小值为11.
17．（2024·四川泸州·二模）已知数列 的前 项和 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 ，与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，若 ，求数列
的前 项和 ．
【解析】（1）因为 ，
当 时 ，解得 ，当 时 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
（2）因为 ， ，
所以 ，
所以 ，则 ，
所以
.
18．（2024·广西柳州·三模）已知数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)对任意 ．将数列 中落入区间 内的项的个数记为 ，求数列 的前m项和 ．
【解析】（1）当 时，由 ，得
当 时，
两式相减，得
当 时，
综上可知，
（2）由题意
,故 ， ,19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列 的前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 的 和 项之间插入 个数，使得这 个数成等差数列，其中 ，将所有插入
的数组成新数列 ，设 为数列 的前 项和，求 ．
【解析】（1）当 时， ，所以 ，
当 时， ，即 ，
所以 ，
当 时，符合 ，
所以 ；
（2）依题意， ，
，
，
︙
．
所以 ，
即 ，①
则 ，②
由① ②可得，
，
所以 ．
20．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 的首项为1，公差 ，且 成等比数列，数
列 的前 项和 满足 .(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）因为 成等比数列，所以 .
又 ，则 ，整理得 ，
解得 或 ，又 ，则 ，
所以 .
因为 ，所以当 时，有 ，解得 .
当 时，有 两式相减得 ，即 ，
所以数列 是首项为2，公比为3的等比数列，故 .
（2）由（1）得 ，
所以 ，
，
两式相减得
，
故 .
21．（2024·四川·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ，且当 时，
.
(1)求 ；
(2)设数列 的前n项和为 ，证明： .
【解析】（1）由 ， ，得 ，
当 时， ，故 ，
即 ，
所以 ， ， ， ，…， ，
将各等式左、右两边分别相加得，
.， 符合上式，
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .得证.
22．（2024·湖南·二模）已知数列 的前 项和为 ，满足 ；数列 满足 ，
其中 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)对于给定的正整数 ，在 和 之间插入 个数 ，使 ， 成等差
数列.
（i）求 ；
（ii）是否存在正整数 ，使得 恰好是数列 或 中的项？若存在，求出所有满足条件
的 的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由 ①，当 时， ②，
得 ，
当 时， ，
是首项为1，公比为 的等比数列，故 ，
由 ③.由
得 ，又 ④.
④-③得 ，
的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：
所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.
得 .
综上可得 ；（2）（i）在 和 之间新插入 个数 ，使 成等差数列，
设公差为 ，则 ，
则 .
⑤
则 ⑥
⑤-⑥得： ，
所以可得
（ii）由（1） ，又 ，
由已知 ，
假设 是数列 或 中的一项，
不妨设 ，
因为 ，所以 ，而 ，
所以 不可能是数列 中的项.
假设 是 中的项，则 .
当 时，有 ，即 ，
令 ，
当 时， ；当 时， ，
由 知 无解.
当 时，有 ，即 .
所以存在 使得 是数列 中的第3项；
又对于任意正整数 均有 ，所以 时，方程 均无解；
综上可知，存在正整数 使得 是数列 中的第3项.
23．（2024·甘肃兰州·一模）若一个平面多边形任意一边所在的直线都不能分割这个多边形，则称这样的
多边形为凸多边形，凸多边形不相邻两个顶点的连线段称为凸多边形的对角线．用 表示凸 边形
对角线的条数．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前n项和为 ，求数列 的前n项和 ，并证明 ．
【解析】（1）从 个顶点中任选两个顶点共有 种选法，减去凸 边形 的边数即为该凸
边形 对角线的条数，所以 ；
（2）设数列 的前n项和 ，则 ，
当 时， ，
当 时 满足 ，∴数列 的通项公式为 ，
∵ ，∴ ，
.
24．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知数列 ，______．在①数列 的前 项和为 ， ；②
数列 的前 项之积为 这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如
果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”）(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，设数列 的前 项和为 ，求证： ．
【解析】（1）选①，当 时， ，即 ，
当 时， ①
②
① ②得： ，
即 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以 ．
选②，当 时， ，即 ，
当 时， ，
即 ，
当 时， 符合上式，
所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
，
因为 ，所以 ．
25．（2024·辽宁·二模）如果数列 ，其中 ，对任意正整数 都有 ，则称数列
为数列 的“接近数列”．已知数列 为数列 的“接近数列”．
(1)若 ，求 的值；(2)若数列 是等差数列，且公差为 ，求证：数列 是等差数列；
(3)若数列 满足 ，且 ，记数列 的前 项和分别为 ，试判断是否
存在正整数 ，使得 ？若存在，请求出正整数 的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：
）
【解析】（1）由题：令 则 ，即 ，故 ，
得 ，又 ，同理可得， .
（2）由题意 ，
故 ，
从而 ，即 ，
因为 ，所以 即 ，故数列 是等差数列.
（3）因为 ,则 ，解得 ，
又 ，故 是以 为首项，公比为 的等比数列，
则 ，即 ，
当n为奇数时， ，易知 单调递减，
故 ，得 ，进一步有 ；
当n为偶数时， ，易知 单调递增，
故 ，即 ，得 ，进一步有 ；
综上， ，
易知当n为偶数时， 由 ，得 即 ，无解；
当n为奇数时，
由 ,得 即 ，
故 ，所以存在正整数 ，使得 ，正整数 的最小值为17.
26．（2024·高三·河南驻马店·期末）一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数
字2.现将此正四面体任意抛掷 次，落于水平的桌面，记 次底面的数字之和为 .
(1)当 时，记 为 被3整除的余数，求 的分布列与期望；
(2)求 能被3整除的概率 .
【解析】（1）由题可知，正四面体与桌面接触的数字为1和2的概率均为 ，
的取值可能为0，1，2.
，
，
，
则 的分布列为
0 1 2
.
（2）由题可知 ，当 时， 次底面的数字之和能被3整除的概率为 ，
所以 ，则 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，即 .
