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第 25 讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理
1.向量的有关概念
(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．
(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．
2.向量的加法
前提 已知非零向量a,b
作法 在平面内任取一点A,作⃗AB=a,⃗BC=b,再作向量⃗AC
结论 向量⃗AC叫做a与b的和,记作 a + b ,即a+b=⃗AB+⃗BC=⃗AC
三角形法
则
图形
记忆口诀:首尾相连连首尾
前提 已知不共线的两个向量a,b
作法 在平面内任取一点O,以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作▱OACB
结论 对角线⃗OC就是a与b的和
平行四边
形法则
图形
记忆口诀:公共起点对角线
3.向量的数乘
(1)定义:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa.
长度:|λa|=|λ||a|.
方向:当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意.
(2)几何意义:λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长(|λ|>1)或缩短(|
λ|<1)为原来的|λ|倍.
(3)运算律:设λ,μ为实数,a,b为向量,则有
①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.
4.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意
实数 ,恒有 .
5.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
6.平面向量基本定理如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ,λ,使
1 2
叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.任一向量都可以由同一个基底唯一表示.
7.常用结论
(1)在 中，若 为 的中点，则 ；
(2)若 三点共线， ，则 .
考点一 利用图形关系进行向量加减、数乘运算
考点二 定理法解决向量共线问题
考点三 利用基底法解决平面向量基本定理问题
考点一：利用图形关系进行向量加减、数乘运算
例1．如图，向量 ，则向量 可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.
【详解】根据向量运算法则可得 ，
又 ，
所以 ，
故选：C.
例2．八卦是中国文化中的哲学概念，图 是八卦模型图，其平面图形记为图 中的正八边形 ，其中 ，给出下列结论：
① ； ② ；
③ ； ④ .
其中正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】C
【分析】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可.
【详解】对于①， ，①错误；
对于②，由正八边形性质知： ， ，设 ，
， 为 中点， ，
， ， ，
又 ， ，②正确；
对于③， ，
由正八边形性质知： 且 ，即 ，，又 ，
，③正确；
对于④， ，
④正确.
故选：C.
考点二：定理法解决向量共线问题
例3．已知 （ 不共线），则下列说法中正确的是（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】D
【分析】利用向量共线的充要条件判定即可.
【详解】对于A项，若 三点共线，则有 ，即 ，所以 ，显然
不存在 满足要求，故A错误；
对于B项，若 三点共线，则有 ，即 ，所以 ，显然不存在
满足要求，故B错误；
对于C项，若 三点共线，则有 ，即 ，所以 ，显然
不存在 满足要求，故C错误；
对于D项， ，所以 和 共线，又 和 有公共点 ，
即 三点共线，故D正确；
故选：D．
例4．在 中，点 是边 上一点，若 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】利用向量共线定理设 ， ，通过线性运算得 ，结合题目条件
得到方程组，解出即可.
【详解】作出如图所示图形：
三点共线，故可设 ， ，
则 ，
， ，解得 .
故选：D.
考点三：利用基底法解决平面向量基本定理问题
例5．在 中，D为 中点，连接 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】以 为一组基底，利用平面向量的线性运算得到 的表达式，进而得到
，由此得解.
【详解】因为 为 边的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，因此有 ，则 .
故选：C
例6．如图， 中， ，CD与BE交于F，设 ，则
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量共线定理与线性运算，从两个不同的角度表示出 ，从而得到关于 的方程组，解
之即可得解.
【详解】 ，
，
同理：
，
因为平面向量基本定理可知向量 用不共线的两个向量线性表示是唯一的，
所以 ，解得 ，所以 ，即 为 .
故选：A.
一、单选题
1．在 中，设 ， ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】运用向量线性运算即可求得结果.
【详解】∵ ，∴D为BC的中点，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ .
故选：A.
2．（2023·贵州·统考模拟预测）已知在 中，点D为边BC的中点，若 ，则
（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】D【分析】结合几何关系，利用向量的线性运算法则即可将 用 来表示，从而得到答案.
【详解】因为点D为边BC中点，
所以 ，
所以 ， ， .
故选：D.
3．如图，在 OAB中，点P在边AB上，且 ．则 （ ）
△
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.
【详解】由于 ，所以 ，
所以
.
故选：B
4．如图，在 中， ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：A
5．（2023·北京房山·统考一模）在 中， ， 为 所在平面内的动点，且
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知求出点 的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出 ， 的最大值
即圆心到定点 的距离加上半径，代入化简求值即可．
【详解】由题意， 可得，点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，
取 的中点 ，则 ，
所以 ，
故选：D
6． 中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且 ， .
则 （ ）.A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量基本定理得到 ，结合平面向量共线定理得推论得到 ，求出
.
【详解】因为点M是BC的中点，所以 ，
故 ，则 ，
故 ，
因为 三点共线，所以存在 使得 ，
即 ，则 ，
所以 ，解得： .
故选：A
7．已知 ， 是平面内两个不共线的向量， ， ， ， ，则A，B，C三点共
线的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三点共线的充要条件列方程，化简求得正确答案.
【详解】 三点共线的充要条件是存在 ，使 ，
即 ，
所以 ， .所以 三点共线的充要条件是 .
故选：B
8．在 中，点 为 的中点， 与 交于点 ，且满足 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把 用 表示，然后由 三点共线定理得出结论．
【详解】由题意
，
因为 三点共线，所以 ，解得 ．
故选：C．
9．（2023·山东聊城·统考一模） 是 内的一点，若 ， ，则
（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】利用各向量的几何关系及已知条件可得 ，且 ，即可得结果.
【详解】由 ，则 ，
所以 ，即 ，又 ，
故 ，故 .故选：D
10．已知圆O为长方形ABCD的外接圆， ， ，若点P是该圆上一动点，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】设AB的中点为M，CD的中点为N，得到 ，结合平面向量基本定理和数量积公式得到
答案.
【详解】设AB的中点为M，CD的中点为N，圆O的半径为r．
由题可得 ，
由题意得： ，
则
．
故选：D．
11．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.
【详解】由题可知 ，
∵点F在BE上，∴ ，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
故选：C．
12．如图， 是 上靠近 的四等分点， 是 上靠近 的四等分点， 是 的中点，设 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量基本定理，结合向量线性运算求解即可.
【详解】因为 是 上靠近 的四等分点， 是 上靠近 的四等分点， 是 的中点，
所以 .
故选：C.
13．在如图 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.
【详解】因为 为 边上的中线，
所以 ，
因为 为 的中点，
所以可得 ，
故选: B.
14．如图所示的矩形 中， 满足 ， 为 的中点，若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】将 作为基底，根据平面向量基本定理结合已知条件把 用 表示，从而可求出
的值.
【详解】连接 ，
由题可知 ，
又因为 为 的中点，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：A.
二、填空题
15．如图，在四边形ABCD中， ，且 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.
【详解】因为 ，所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形，
又因为 ，所以四边形ABCD是菱形，
且 ，所以 ．
故答案为：
16．如图，正六边形 的边长为1， ______．
【答案】-1
【分析】由正六边形性质，结合向量线性运算及数量积运算即可
【详解】由正六边形性质， ，.
故答案为：-1.
17．已知 ， 是平面内两个不共线向量， ， ，且 ， ， 三点共线，则实数
的值为______．
【答案】
【分析】由向量共线定理得出实数 的值.
【详解】因为 ， ，且 ， ， 三点共线，
所以唯一的实数 ，使得 ，即 .
解得： .
故答案为：
18．设 ， 是不共线向量， 与 共线，则实数 为__________．
【答案】 ##
【分析】根据向量平行列出方程组，求出实数 的值.
【详解】因为 ， 是不共线向量， 与 共线，
所以存在实数 使得 ，所以 ，
解得： .
故答案为：
19．（2023·贵州·统考模拟预测）在 中，点 为边 中点，若 ，则
______.【答案】
【分析】利用平面向量的加减法法则运算即可.
【详解】因为点 为边 中点，所以 ，
所以 ， ， .
故答案为： .
20．如图，在菱形ABCD中， ， ，若菱形的边长为6，则 的取值范围为
__________．
【答案】
【分析】利用向量的运算法则以及向量的数量积，结合三角函数的有界性，求解即可.
【详解】依题意，
因为在菱形ABCD中， ， ，
所以 ，
所以
，
因为 ，所以 .
故答案为： .
