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第2 讲 三角恒等变换与解三角形（新高考专用）
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】三角恒等变换................................................................................................................3
【考点二】正弦定理、余弦定理及综合应用....................................................................................5
【考点三】解三角形的实际应用.....................................................................................................7
【专题精练】.................................................................................................................................9
考情分析：
目录
1
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1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，
将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.
2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·高考真题）在
中,内角
所对的边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·高考真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国·高考真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
5．（2023·全国·高考真题）已知
为锐角，
，则
（ ）．
A．3−√5
8
B．
C．
D．
6．（2023·全国·高考真题）在
中，内角
的对边分别是
，若
，且
，
则
（ ）
真题自测
2
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A．
B．
C．
D．
7．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，
，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
8．（2023·全国·高考真题）在
中，
，
的角平分线交BC 于D，
则
．
三、解答题
9．（2024·全国·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
10．（2023·全国·高考真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
11．（2023·全国·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
面积．
12．（2023·全国·高考真题）在
中，已知
，
，
.
(1)求
；
(2)若D 为BC 上一点，且
，求
的面积.
【考点一】三角恒等变换
一、单选题
1．（2023·江苏·三模）已知
，则
（ ）
考点突破
3
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A．
B．
C．
D．
2．（2024·湖北武汉·二模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2024·新疆喀什·三模）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
的最小正周期为
C．
是函数
图象的一条对称轴
D．函数
的图象可由
的图象向右平移
个单位长度得到
4．（2024·云南昆明·一模）已知函数
，则（ ）
A．y = f (x)的最大值为2
B．y = f (x)的图象关于点
对称
C．y = f (x)在
上单调递增
D．直线
是y = f (x)图象的一条对称轴
三、填空题
5．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）在
中，角
的对边分别为
，已知
．则角
.
4
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6．（2024·吉林白山·一模）化简
．
核心梳理：
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
2 单+2 多+2 填+2 解 （有的加） 0.85-0.65
规律方法：
三角恒等变换的“4 大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β 等．
(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
【考点二】正弦定理、余弦定理及综合应用
一、单选题
1．（2024·广东江门·一模）在
中，
，
，则角A 的大小为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
2．（2023·广东茂名·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和
游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线
长为
m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为
的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为
（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（23-24 高二上·浙江·期末）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
，
，下面说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
是锐角三角形
D．
的最大内角是最小内角的
倍
4．（23-24 高一下·江苏南京·期中）对于
有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若
，则
为钝角三角形
B．若
，则
的面积为
C．在锐角
中，不等式
恒成立
D．若
且
有两解，则
的取值范围是
三、填空题
5．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知椭圆
，
、
分别是其左，右焦点，P 为椭圆C 上非长
轴端点的任意一点，D 是x 轴上一点，使得
平分
．过点D 作
、
的垂线，垂足分别为A、
B．则
的最大值是 ．
6
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6．（23-24 高二上·广东汕头·期中）如图，圆锥底面半径为
，母线PA＝2，点B 为PA 的中点，一只蚂蚁
从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，其最短路线长度为 ，其中下坡路段长为 ．
四、解答题
7．（2024·广东湛江·一模）已知在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若
外接圆的直径为
，求
的取值范围．
8．（23-24 高三下·山东济南·开学考试）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
.
(1)求
；
(2)若
，且
边上的高为
，求
的周长.
9．（2024·北京东城·一模）在
中，
.
(1)求
；
(2)若
为
边的中点，且
，求
的值.
核心梳理：
1．正弦定理：在△ABC 中，＝＝＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin
C 等．
7
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2．余弦定理：在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
2 单+2 多+2 填+2 解 （有的加） 0.85-0.65
规律方法：
解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略
(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b 与ab 相互转化求最值范围．
(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围．
【考点三】解三角形的实际应用
一、单选题
1．（22-23 高一下·辽宁沈阳·期中）在
中，若
，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
2．（2024·广东梅州·一模）已知
是锐角三角形，角
，
，
所对的边分别为
，
，，为
的面积，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2024·河南·模拟预测）已知
的内角
所对的边分别为
，若
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的三边
一定构成等差数列
B．
的三边
一定构成等比数列
C．
面积的最大值为
D．
周长的最大值为
8
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4．（2024·江西新余·模拟预测）将锐角三角形
置于平面直角坐标系中，
，
为
轴
上方一点，设
中
的对边分别为
且
，则
的外心纵坐标可能落
在以下（ ）区间内.
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向
通过路口
后转向西北方向
，
围绕道路
打造了一个半径为
的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道
，则
的
最小值为
．
6．（2021·宁夏石嘴山·三模）某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位：
)进行测量，方案如下：如
图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a 米两处分别观测山顶的仰角
和
(
)，多次测量相关数
据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型
；多次测量取平均值是
中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n 次测量，其误差
近似满足
，
为使误差
在
的概率不小于0.9973，至少要测量 次.参考数据：若占
，
则
.
9
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核心梳理：
解三角形应用题的常考类型
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解
够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程
(组)得出所要求的解．
2 单+2 多+2 填+2 解 （有的加） 0.85-0.65
规律方法：
解三角形实际问题的步骤
一、单选题
1．（2023·江苏南通·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·北京·高考真题）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递增
专题精练
10
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C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
3．（2023·河南·模拟预测）将函数
的图象向右平移
个单位
长度后得到函数
的图象．若
是函数
的一个极值点，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·湖北武汉·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，若角A 的内角平分线AD 的长为3，则
的最小值为（ ）
A．12
B．24
C．27
D．36
6．（2023·青海·模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对应的边分别是a，b，c，若
的面积是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（22-23 高三·湖南娄底·阶段练习）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，则
的外接圆的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（21-22 高一下·河南安阳·阶段练习）某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A
处测得
，沿土坡向坡顶前进
后到达D 处，测得
．已知旗杆
，土坡对于地平面的坡角为
，则
（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2023·广东广州·一模）已知函数
的图像关于直线
对称，则（ ）
A．函数
的图像关于点
对称
B．函数
在
有且仅有2 个极值点
C．若
，则
的最小值为
D．若
，则
10．（2023·湖南·一模）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于直线
轴对称
B．
的图象关于点
中心对称
C．
的所有零点为
D．
是以
为周期的函数
11．（2021·湖南衡阳·模拟预测）已知函数
，则 （ ）
12
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A．
在
上有两个零点
B．
在
上单调递增
C．
在
的最大值是1
D．
的图像可由
向右移动
得到
三、填空题
12．（22-23 高三下·福建南平·阶段练习）已知
为锐角，
，则
．
13．（2023·江苏·三模）如图，在△ABC 所在平面内，分别以AB，BC 为边向外作正方形ABEF 和正方形
BCHG．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为S．已知
，且asinA＋csinC＝
4asinCsinB，则FH＝ ．
14．（2024·广东·一模）
中，角A，B，C 对边分别为a，b，c，且
，D 为边
AB 上一点，CD 平分
，
，则
．
四、解答题
15．（2021·天津·高考真题）在
，角
所对的边分别为
，已知
，
．
（I）求a 的值；
（II）求
的值；
（III）求
的值．
13
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16．（2024·河北·一模）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
，
，求
的面积．
17．（23-24 高三上·河南信阳·阶段练习）在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角C；
(2)求
的取值范围.
18．（2023·广东广州·二模）记
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
.
(1)求
；
(2)若点
在
边上，且
，
，求
.
19．（2023·江苏南通·一模）在
中，
的对边分别为
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
的平分线
交
于点
，求
长度的取值范围.
14
