解析几何：三角形面积问题、四边形面积问题、周长问题专项训练
1．（24-25 高二下·河南鹤壁·期末）已知双曲线
2
2
2
:
1
0
y
E x
b
b
-
=
>
的左顶点为A ，右焦点为F .过点F 且垂直于x
轴的直线与E 交于B ，C 两点，其中B 位于第一象限，且AB
AC
^
.
(1)求E 的方程；
(2)过点F 且斜率为1
3 的直线l 与E 交于M ，N 两点，求BMN
V
的面积.
2．（24-25 高二下·云南昆明·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左､右焦点分别为
1F ，
2F ，过点
1F 作直线l
与C 交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方）.当l 的方程为
3
1
y
x
=
+
时，
2
2
AF =
.
(1)求C 的方程；
(2)若点M 为线段AB 的中点，求
1
2
MF F
△
面积的最大值.
考点一
三角形面积问题
3．（24-25 高二下·陕西西安·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，且长轴长为4．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆C 左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，求三角形OAB 面积的最大值．
4．（24-25 高二下·甘肃白银·期末）已知O 为坐标原点，P 为圆
2
2
20
x
y
+
=
上的动点，过点P 作直线l 垂直x 轴于点
Q ，点M 满足
2
QP
QM
=
uuur
uuuur
．
(1)求动点M 的轨迹C 的方程；
(2)若直线:
(
0)
l y
x
m m
=
+
与曲线C 交于
,
A B 两点，求三角形OAB 面积的最大值．
5．（24-25 高二上·安徽黄山·期末）已知顶点在坐标原点O ，焦点在坐标轴上的抛物线过点
2,4
P
．
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)过点P 作直线l 交抛物线于另一个交点Q （Q 在第四象限），设直线
,
OP PQ 的斜率分别为
1
2
,
k k ，若
1
2
2
0
k
k
+
=
，
求
OPQ
△
的面积．
6．（24-25 高二下·江苏南京·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
3
，左、右顶点分别为A 、B ，
点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，ABP
V
面积的最大值为
6 ．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线AP 、BQ 的斜率分别为
1k 、
2k ，且
1
2
2
k
k
=
．
①求证：直线PQ经过定点；
②设
PQB
△
和
PQA
△
的面积分别为
1S 、
2S ，求
1
2
|
|
S
S
-
的最大值．
7．（24-25 高二下·广东广州·期中）如图所示，椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
中，
0
0
2,
,
ab
P x
y
=
是椭圆上任一点，
O 是坐标原点，
2
PO
OM
=
uuur
uuuur
，过M 作直线交椭圆于
,
A B 两点，且AM
BM
=
，当P 在短轴端点时，
6
AB =
．
(1)求,a b 的值，并证明直线AB 的方程为
0
0
2
1
0
x x
y y
+
+ =
；
(2)探索PAB
V
的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
8．（24-25 高二下·湖南郴州·期末）已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的一条渐近线为y
x
=
，且右焦点F 到这条
渐近线的距离为2 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)O 为坐标原点，过点F 的直线l 与双曲线的右支交于A、B 两点，与渐近线交于C、D 两点，A 与C 在x 轴的上
方，B 与D 在x 轴的下方．设
1S 、
2S 分别为
AOC
△
的面积和BOD
V
的面积，求
1
2
S
S
+
的最大值．
1．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，且过点
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若斜率为
1
2 的直线l 与椭圆C 交于
,
M N 两点，且点M 在第一象限，点
,
A B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，求
四边形AMBN 面积S 的最大值.
2．（24-25 高二下·湖南长沙·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，焦距为2 .
(1)求E 的方程;
(2)过椭圆E 的右焦点F 作两条相互垂直的直线AB ，CD 与曲线E 分别交于
, ,
,
A B C D 四点，设线段
,
AB CD 的中点
分别为
,
M N .
(i)证明：直线MN 过定点；
(ii) 求四边形ACBD 面积的取值范围.
考点二
四边形面积问题
3．（24-25 高二下·河南濮阳·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，上顶点为
0,1
M
.
(1)求E 的方程；
(2)过点
2,1
N -
的直线l 与E 交于
,
A B 两点，点A 在第二象限，点B 在x 轴的下方，直线
,
MA MB 分别与x 轴交于点
,
C D .
（ⅰ）证明：NC
ND
=
；
（ⅱ）求四边形ACBD 面积的最大值.
4．（2025·江苏南通·模拟预测）已知椭圆
2
C 以双曲线
2
2
1 :
1
4
x
C
y
-
= 的实轴为长轴，且过点
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
(1)求椭圆
2
C 的标准方程；
(2)若直线
1
:
2
l y
kx
t k
æ
ö
=
+
±
ç
÷
è
ø 与双曲线
1
C 交于
,
A B 两点，与椭圆
2
C 交于
,
C D 两点，直线
1
1 :
l
y
k x
=
平分线段
2
2
,
:
AB l
y
k x
=
平分线段CD .
（i）求
2
1
k
k 的值；
（ii）求直线1
2
,
l l 与椭圆
2
C 的交点构成的四边形面积的取值范围.
5．（2025·河北保定·二模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 在C 上运动，G 是
1
2
PFF
V
的重心，且点G 到点
3 ,0
3
Ræ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
与到点
3 ,0
3
S æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
的距离之和为4
3 ．
(1)求C 的方程；
(2)设
,
A B 分别为C 的左、右顶点，动点Q 在直线
4
x =
上，直线QA与C 的另一个交点为M ，直线QB 与C 的另一个
交点为N ．
（ⅰ）证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标；
（ⅱ）求四边形ANBM 面积的最大值．
6．（2025·河南信阳·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，焦距为2.
(1)求E 的方程；
(2)若
10
F
,
，过F 作两条相互垂直的直线AB ，CD 与曲线E 分别交于A，B，C，D 四点，设线段AB ，CD 与的
中点分别为M，N.
（i）证明：直线MN 过定点；
（ii）求四边形ACBD 面积的取值范围.
7．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，已知抛物线
2
:
2
(
0)
y
px p
G
=
>
的焦点为
,
F O 为坐标原点．过F 作两条直线
1
2
,
l l ，这两条直线与抛物线G 分别交于A
B
、和C
D
、
两点．当AB 垂直于x 轴时，|
| 4
AB =
．
(1)求抛物线G 的方程；
(2)若AB
CD
^
，求四边形ACBD 面积的取值范围；
(3)将
OAB
△
绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值．
8．（2025·海南·模拟预测）19 世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立
发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙
日圆，且蒙日圆的半径为
2
2
a
b
+
（a 为椭圆的长半轴长，b 为椭圆的短半轴长）．已知椭圆E 上任一点到点
2 0
,
的距离与到直线
3 2
2
x =
的距离之比为
6
3
，椭圆E 的蒙日圆为圆O ．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)已知点O 为坐标原点，点P 是椭圆E 上的任意一点，
1
2
,
F F 是椭圆左右焦点，直线OP 与圆O 相交于
,
M N 两点，
求证：
1
2
PM
PN
PF
PF
×
是定值；
(3)过点
1 0
Q
,
作直线1l 交圆O 于A 、B 两点，作直线2l 交椭圆E 于C 、D 两点，且1
2
l
l
^
，求四边形ADBC 面积的
最小值．
1．（24-25 高二上·江苏镇江·期末）已知动点P 到定点
( ,0)
F c
的距离与它到定直线
2
a
x
c
=
的距离之比为常数c
a ．其
中
0
a >
，
0
c >
，且a
c
，记点P 的轨迹为曲线C．
(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；
(2)当
1,
3
a
c
=
=
时，记C 的左、右顶点分别为
1
2
,
A A ，过点( 2,0)
-
的直线与C 的左支交于D，E 两点，直线
1
DA 与
2
EA 交于点Q，求证：点Q 在定直线上；
(3)当
2,
1
a
c
=
= 时，设
( 1,0)
F ¢ -
，若C 上两动点M，N 均在x 轴上方，F M
FN
¢
∥
，且F N
¢ 与FM 相交于点R，求
证：
RF F¢
△
的周长为定值．
2．（24-25 高三下·陕西咸阳·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
1
2
1,0 ,
1,0
F
F
-
，动点P 到点
1F 和
2F 的
距离之和为4．记动点P 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的方程；
(2)设直线l 与曲线C 交于
,
D E 两点．
①若点
0, 3
A
，直线l 过点
1F 且与直线
2
AF 垂直，求
ADE
V
的周长；
②若OD
OE
^
，求ODE
V
面积的取值范围．
考点三
周长问题
3．（24-25 高三下·云南·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，离心率为
1
2 .点
,
,
M N T 为椭圆C 上不同的三个点.当点
,
,
M N T 为椭圆的顶点时，
MNT
△
的面积为2 3 .经过点
1F 且斜率为
0
k k >
的直线l 与椭圆交于
,
A B 两点（其中点A 在x 轴上方），将平面xOy 沿x 轴向上折叠，使二面角
1
2
A
F F
B
-
-
为直二
面角，如图所示，折叠后
,
A B 在新图形中对应点记为
,
A B
¢
¢.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)当
3
k =
时，求平面
1
2
A F F
¢
和平面
2
A B F
¢ ¢
夹角的余弦值；
(3)是否存在k ，使得折叠后
2
A B F
¢ ¢
V
的周长是折叠前
2
ABF
△
周长的15
16 ？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理
由.
4．（2025·安徽·一模）已知抛物线
2
:
C y
ax
=
的准线方程为
3
2
y = -
，直线y
x
m
=
+
与C 交于
,
A B 两点.
(1)求C 的标准方程.
(2)若
6
m =
，O 为坐标原点，证明：OA
OB
^
.
(3)若F 为C 的焦点，且
ABF
△
的周长为11
2 30
+
，求m 的值.
5．（24-25 高二下·上海黄浦·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
，依次连接椭圆E 的四个顶点构成的四边形
面积为4 3 ．
(1)若
2
a =
，求椭圆E 的标准方程；
(2)当
2
a =
时，设直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，设MN 的中点为
,
G O为坐标原点，直线l
OG
、
的斜率分别为
k 、
OG
k
，求证：
OG
k k
×
为定值；
(3)在第（2）小题的前提下，设点F 为椭圆E 的右焦点，
2,0
A -
，若l 与E 的交点M 、N 均不与点A 重合，直线
l
AM
AN
、
、
的斜率分别为
1
2
k
k
k
、、，若
1
2
3
0
kk
kk
+
+
=
，求FMN
V
的周长．
6．（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= 的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，经过点
1F 且倾斜角为
0
2
p
q
q
æ
ö
<
<
ç
÷
è
ø 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点( 其中点A 在x 轴上方).连接
2
AF ，
2
BF .
将平面xOy 沿x 轴向上折叠，使二面角
1
2
A
F F
B
-
-
为直二面角，折叠后A，B 在新图形中对应点记为A¢，B¢.
(1)当
3
p
q =
时，
①求三棱锥
1
2
A
B F F
¢
¢
-
的外接球的表面积；
②求三棱锥
1
2
A
B F F
¢
¢
-
的体积；
(2)是否存在
0
2
p
q
q
æ
ö
<
<
ç
÷
è
ø ，使得折叠后
2
A B F
¢ ¢
V
的周长为15
2 ？若存在，求tanq 的值；若不存在，请说明理由.
7．（2025·山东淄博·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
，离心率
5
2
e =
，点
1
5, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø 在双曲线上.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)点
1F ，
2F 分别是双曲线C 的左右焦点，过点
2F 的直线l 与双曲线的右支交于A，B 两点，若
1
ABF
V
的周长为
12，求直线l 的方程.
8．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）已知抛物线
2
:
2
0
E y
px p
=
>
的焦点为F ，点F 与圆
2
2
:
4
1
M
x
y
+
+
= 上点
的距离的最小值为4.
(1)求E 的方程；
(2)已知
ABC
V
的三个顶点都在抛物线E 上，且
ABC
V
的重心为点F .
①若直线AB 的斜率为2，求
ABF
△
的周长；
②求
ABC
V
的面积的最大值.
