解析几何：定值问题专项训练
1．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，
2,0
P
为定点.
(1)若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；
(2)若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A
B
、是圆M 与y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线
C ，使AB 为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由.
2．（24-25 高二下·上海崇明·期末）如图，已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= 的左焦点为
1F ，点P 是椭圆C 上位于第一象限的
点，M， N 是y 轴上的两个动点（点M 位于x 轴上方），满足PM
PN
^
且
1
1
F M
F N
^
，线段PN 交x 轴于点Q．
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)若点M 的坐标为(0,2) ，求点P 的坐标；
(3)求证：
PQ
QN 为定值．
考点一
以线段长度为背景的定值问题
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
y
x
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的上下焦点分别为
1 0,
F
c 、
2 0,
F
c
-
，离
心率为
6
2
，点
1F 到渐近线的距离为1，过点
1F 且斜率为k 的直线1l 在第一象限交双曲线C 于点P ，过点
2F 且斜率
为k 的直线2l 在第四象限交双曲线C 于点Q ，
2
PF 与
1
QF 交于点M .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
1
2
2
PF
QF
-
=
，求k 的值；
(3)证明：
1
2
MF
MF
+
是定值.
4．（2025·安徽蚌埠·三模）已知
1
2
( 2,0), (2,0),
( 1,0),
(1,0)
A
B
F
F
-
-
，动点P 满足
3
4
PA
PB
k
k
×
= -
，动点P 的轨迹为曲线
1
, PF
t
交t 于另外一点
2
,
Q PF 交t 于另外一点R ．
(1)若
1
2
1
2
PF
PF
QF
RF
+
是定值，求该定值；
(2)求PQR
V
面积最大值．
5．（2025·湖北黄冈·三模）定义：一般地，当
0
l >
且
1
l ¹ 时，我们把方程
2
2
2
2
0
x
y
a
b
a
b
l
+
=
>
>
表示的椭圆Cl 称
为椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的相似椭圆，已知椭圆
2
2
:
1
4
x
C
y
+
= 的相似椭圆为
2
2
: 4
x
C
y
l
l
+
=
（
0
l >
且
1
l ¹ ）.
(1)求证：椭圆C 与椭圆Cl 的离心率相等；
(2)直线1l 、2l 与椭圆C 均有且只有一个公共点，且1l 、2l 的斜率之积为
1
4
-
，求证：1l 、2l 的交点在椭圆C 的相似椭
圆Cl 上；
(3)若P 为椭圆
3
4
C 上异于左、右顶点M 、N 的任意一点，直线PM 与椭圆C 交于A 、B 两点，直线PN 与椭圆C 交
于D 、E 两点，试探究AB
DE
+
的值是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由.
6．（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
W
a
b
a
b
+
=
>
>
过
0,2
A
，
3, 1
B -
-
两点．
(1)求椭圆W 的方程；
(2)求椭圆上的动点T 到
1,0
N
的最短距离；
(3)直线AB 与x 轴交于点
,0
M m
，过点M 作与AB 不重合的直线l ，l 与椭圆W 交于
,
C D 两点，直线
,
AC BD 分别
交直线x
m
=
于,
P Q 两点，证明：
PM
MQ 为定值．
7．（24-25 高二下·浙江杭州·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2
2 ,
,
2
F F 为C 的左，右焦点，M 为
C 的右顶点，P 为C 的上顶点，且
1
2
PFF
V
周长为4
2 2
+
，直线l 交C 于
,
A B 两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线
,
AM BM 的斜率之积恒为
3
2
-
，求证：直线AB 恒过定点．
(3)若直线l 恒过
2 3 ,0
3
E æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，则
2
2
1
1
|
|
|
|
AE
BE
+
uuur
uuur
是否为定值？若成立，请求出该定值：若不成立，请说明理由．
8．（2025·海南·模拟预测）在直角坐标系xOy 中，已知点
1
2,0
F -
，
2 2,0
F
，动点M 满足
1
2
2
MF
MF
=
+
，记动
点M 的轨迹为C ．
(1)求C 的标准方程；
(2)设直线
2
MF 与C 的另一个交点为N ，证明：
2
2
1
1
F M
F N
+
为定值．
1．（24-25 高二下·上海宝山·期末）已知椭圆
2
2
2
2
Γ :
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的图像经过点
3,0
(1)若椭圆G 的焦距为4 2 ，求椭圆G 的方程；
(2) F 为椭圆G 的右焦点，过点F 作x 轴的垂线与椭圆在第一象限交于点M ，点N 与点M 关于原点对称，连接
NM
NF
、
，当
MNF
Ð
取得最大值时，求椭圆G 的离心率；
(3)若椭圆G 经过点
0,1 ，点P 是椭圆上的动点，直线l 与椭圆交于A
B
、两点，Q 为AB 的中点，且满足
2
PO
OQ
=
uuur
uuur
，则PAB
V
的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.
2．（24-25 高二下·上海青浦·期末）已知椭圆
2
2
1
2
2
2
Γ :
1
0 ,
,
x
y
a
b
B B
a
b
+
=
>
>
分别是椭圆短轴的上下两个端点，
1F 是
椭圆左焦点，M 是椭圆上异于点
1
2
,
B B 的点，
1
1
2
B F B
V
是边长为2 的等边三角形.
(1)写出椭圆Γ 的标准方程和离心率；
(2)当直线
1
MB 的一个法向量是
1,1
-
时，求以
1
MB 为直径的圆的标准方程；
(3)设点P 满足:
1
1
2
2
,
PB
MB PB
MB
^
^
，求证:
1
2
1
2
:
MB B
PB B
S
S
V
V
为定值.
考点二
以面积为背景的定值问题
3．（24-25 高三上·福建厦门·阶段练习）已知双曲线
2
2
1
2
:
1
0
y
C
x
b
b
-
=
>
的渐近线与圆
2
2
:
2 2
1
0
M x
y
x
+
-
+ =
相
切．
(1)求双曲线
1
C 的方程．
(2)已知双曲线
2
2
2
2
:
4
y
C
x
b
-
=
，
,
A B （A 在x 轴上方，B 在x 轴下方）是
2
C 右支上两个不同的点，直线AB 与
1
C 的
一个交点为D ，
2
AB
BD
=
，连接
,
OA OB （O 为坐标原点）分别交
1
C 于点
,
E G ．
①判断四边形BDGE 的形状；
②证明ABE
V
的面积为定值，并求出这个定值．
4．（2025·江苏淮安·模拟预测）椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2
3
,
2
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，离心率为
2
2 .过原点的直线l 交椭
圆于A，B 两点，点C，D 在椭圆E 上，且满足
2
AB
CD
=
uuur
uuur ，设直线AC 与BD 交于点F.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)求F 点的轨迹方程；
(3)设直线AB 与F 点的轨迹交于M，N 两点，求证：MNF
V
的面积为定值.
5．（2025·内蒙古包头·二模）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
2
2
1
2
:
1
0
x
C
y
a
a -
=
>
的离心率为2 3
3
，点P 是
1
C
上任意一点．抛物线
2
2 :
2
0
C
x
py p
=
>
的焦点到准线的距离是1．
(1)求
1
2
,
C C 的方程；
(2)过点P 作
1
C 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于
,
A B 两点，求证：平行四边形PAOB 的面积为定
值；
(3)
,
PC PD 是
2
C 的两条切线，
,
C D 是切点，求
PCD
△
面积的最小值．
6．（2025·陕西汉中·二模）已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为2 2
3
，点
2 2
1,
3
E æ
ö
-
ç
÷
è
ø
在该椭圆上，, ,
A B C 均
为该椭圆上的动点．
(1)求该椭圆的方程；
(2)若ABE
V
的重心是坐标原点O ，求直线AB 的方程；
(3)若
ABC
V
的重心是坐标原点O ，证明：
ABC
V
的面积是定值．
7．（24-25 高二上·安徽黄山·期中）若椭圆：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
上的两个点
,
,
,
M
M
N
N
M x
y
N x
y
满足
2
2
0
M
N
M
N
x x
y y
a
b
+
=
，则称M，N 为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N 互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点
M ，总有两个共轭点
1
2
,
N N .已知椭圆
2
2
:
1
8
4
x
y
C
+
= ，点
0
0
,
A x
y
是椭圆C 上一动点，点A 的两个共轭点分别记为
1
1
1
2
2
2
,
,
,
B
x y
B
x
y
.
(1)当点A 坐标为( 2, 3) 时，求
1
2
B B ；
(2)当直线
1
2
,
AB AB 斜率存在时，记其斜率分别为
1
2
,
k k ，其中
1
2
0
k k ¹
，求
1
2
k
k
+
的最小值；
(3)证明：
1
2
AB B
V
的面积为定值.
8．（24-25 高三上·江苏南京·阶段练习）如图所示，椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
中，
0
0
2,
,
ab
P x
y
=
是椭圆上任一
点，O 是坐标原点，
2
PO
OM
=
uuur
uuuur
，过M 作直线交椭圆于
,
A B 两点，且AM
BM
=
，当P 在短轴端点时，
6
AB =
．
(1)求,a b 的值，并证明直线AB 的方程为
0
0
2
1
0
x x
y y
+
+ =
；
(2)探
索PAB
V
的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
1．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
经过
4 3 ,1
3
M æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
(4, 3)
N
-
两点，
(1)求C 的方程；
(2)若直线:l y
kx
b
=
+
交C 于P ，Q 两点，点
(4,3)
A
（异于点P ，Q ），
PAQ
Ð
的平分线与x 轴垂直，求证：l 的倾
斜角为定值．
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
:
1
0
x
E
y
a
a -
=
>
过点
2,1
M
，MP ，MQ 分别为圆
2
2
2
3
:
2
0
3
C
x
y
r
r
æ
ö
-
+
=
<
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
的两条切线，且分别交双曲线E 于点,
P Q .
(1)证明：直线PQ的斜率为定值；
(2)当
π
3
PMQ
Ð
=
时，求PMQ
V
的面积.
考点三
以倾斜角与斜率为背景的定值问题
3．（24-25 高二下·河南周口·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2,1
A
，且离心率
3
2
e =
，过点
4,0
B
的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 与直线
4
x =
分别交于点P ，Q .
(1)求C 的方程.
(2)记直线AM ，AN 的斜率分别为
AM
k
，
AN
k
，证明：
AM
AN
k
k
+
为定值.
(3)是否存在实数l ，使得
PMN
QMN
S
S
l
=
△
△
（S 表示面积）恒成立？若存在，请求出l 的值；若不存在，请说明理
由.
4．（24-25 高二下·贵州黔南·期末）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的一条渐近线方程为
3
y
x
=
，实轴长
为4.
(1)求双曲线C 的标准方程.
(2)若直线l ：y
kx
m
=
+
与双曲线C 交于不同的两点A ，B （点A ，B 均在第一象限，且点A 在点B 上方），直线l 与
直线y
x
=
交于点N ，O 为坐标原点，且
AON
BON
Ð
= Ð
，设直线OA，OB 的斜率分别为
1k ，
2k .
（i）判断
1
2
k
k
×
是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
（ii）若
1
m = - ，求k 的值.
5．（24-25 高二下·湖南·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的上、下顶点分别为A，B，以AB 为直径的圆E
过椭圆C 的两个焦点
1F ，
2F ，且
1
2
F AF
V
的面积为1．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点A 的直线l 分别交圆E、椭圆C 于M，N 两点（异于点A），若直线l 的斜率存在．
（ⅰ）证明：
BM
BN
k
k
为定值；
（ⅱ）求MN
BM
∣
∣
∣
∣的最大值，并求取得最大值时直线l 的方程．
6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
:
1(
0)
x
E
y
a
a -
=
>
过点
2,1 ,
,
M
MP MQ 分别为圆C ：
2
2
2
3
(
2)
0
3
x
y
r
r
æ
ö
-
+
=
<
<
ç
÷
è
ø
的两条切线，且分别交双曲线E 于点,
P Q ．
(1)求双曲线E 的离心率；
(2)证明：直线PQ的斜率为定值．
7．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，
1
2
2 5
F F =
，且
点
2F 到C 的渐近线的距离为2．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左顶点为A ，过点
(2,0)
E
的直线l 与C 交于
,
M N 两点（异于点A ）．
（ⅰ）证明：直线
,
AM AN 的斜率之积为定值；
（ⅱ）过点E 分别作直线
,
AM AN 垂线，垂足分别为,
P Q ，记
AEP
△
，
AEQ
△
的面积分别为
1
2
,
S S ，求
1
2
S S 的最大
值．
8．（2025·辽宁·模拟预测）已知动圆E 与x 轴相切于点
2,0
N
，过点
1
1,0
F -
，
2 1,0
F
分别作动圆E 的异于x 轴
的切线1l ，2l ，记1l ，2l 的交点M 的轨迹为曲线C.过
1F 的直线l 与C 交于A，B 两点，直线
2
AF 与C 交于另一点
D，直线
2
BF 与C 交于另一点R.
(1)求C 的方程；
(2)证明：直线DR 过定点；
(3)若直线AB ，DR 的斜率
1k ，
2k 都存在，试判断
1
2
k
k 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
1．（24-25 高二下·上海·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
a
b
a
b
G
+
=
>
>
的左右焦点分别为
1
2
F
F
、
，点( 2 5,1)
T -
在椭圆
G 上，且
1
2
10
TF
TF
+
=
．
(1)求椭圆G 的标准方程．
(2)点P、Q 在椭圆G 上，O 为坐标原点，且直线OP、OQ 的斜率之积为1
5 ，求证：
2
2
|
|
|
|
OP
OQ
+
为定值；
(3)直线l 过点( 1,0)
-
且与椭圆G 交于A、B 两点，问在x 轴上是否存在定点M，使得MA MB
×
uuur uuur 为常数？若存在，求
出点M 坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由．
2．（2025·河北邢台·二模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为2，过点
1,1
P
的直线l 与C 相交于
,
A B 两点，且当l 的斜率为0 时，
2 39
3
AB =
．
(1)求C 的方程；
(2)是否存在l ，使得
,
A B 两点关于直线
2
y
x
=
+
对称？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由；
(3)l 与直线
:3
12
0
l
x
y
-
-
=
交于点Q ，设
,
QA
AP QB
BP
l
m
=
=
uuur
uuur uuur
uuur
，问：l
m
+
是否为定值？若为定值，求出该定值；
若不为定值，请说明理由．
考点四
以向量为背景的定值问题
3．（24-25 高三下·青海玉树·开学考试）如图所示，已知抛物线
2
:
4
C y
x
=
的焦点为F，
6,0
M
，过点F 的直线l
与抛物线C 交于
,
A B 两点，直线
:
4
m x =
与抛物线C 交于
,
C D 两点，AC 与BD 交于点.
P
(1)求
4
AF
BF
+
取得最小值时直线l 的方程；
(2)若直线l 与直线m 相交于点Q，求证：MP MQ
×
uuur uuuur
为定值.
4．（24-25 高二下·上海金山·期中）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为2，实轴长为4，过点
1,1
P
的直线l 与C 相交于A，B 两点．
(1)求C 的方程；
(2)是否存在l，使得P 恰好是线段AB 的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由；
(3)l 与直线
:3
12
0
l
x
y
-
-
=
交于点Q，设QA
AP
l
=
uuur
uuur
，QB
BP
m
=
uuur
uuur
，问：l
m
+
是否为定值？若为定值，求出该定
值；若不为定值，请说明理由．
5．（24-25 高三下·天津·阶段练习）已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C 过点
1
15
,
2
4
Aæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
与点
2,0
B
，过点
,0
t
的
直线l 与椭圆C 交于P，Q 两点，直线BP，BQ 分别交直线
3
x =
于E，F 两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)是否存在
( 2,2)
t Î -
，使PE QF
×
uuur uuur
为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
6．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆C ：
2
2
1
4
x
y
+
= ，
,
A B 是椭圆C 的左、右顶点，点P 是椭圆上异
于
,
A B 的任意一点.
(1)证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；
(2)设经过
(1,0)
D
且斜率不为0 的直线交椭圆于，两点，直线与直线交于点Q ，求证：OA OQ
×
uuur uuur
为定值.
7．（24-25 高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
3
1, 2
Dæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，离心率为
3
2
，左、右焦点分
别为
1F 、
2F ，右顶点为B ．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点D 的直线m 与椭圆C 的另外一个交点为E ，当
BDE
V
的面积最大时，求直线m 的方程；
(3)若点M 、N 是直线l 上不同的两点，则向量MN
uuuur
以及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，当直线
l
l
^ 时，直线l的方向向量称为直线l 的法向量．设k 、h 为实数，直线:
=
+
l y
kx
h 的一个法向量为tr ，H 为直线
l 上任一点，点T 为坐标平面内的定点，我们把t HT
t
×
uuur
r
r
称为点T 在直线l 上的投影数量．当l 与椭圆C 相切时，点
1F 、
2F 在直线l 上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
