解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练
1．（2025 高三下·甘肃白银·学业考试）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
，点
1 0,
3
A
-
，
2
3
3, 2
A æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
3
1
0, 2
A æ
ö
ç
÷
è
ø ，
4
1 ,0
4
A æ
ö
ç
÷
è
ø中恰有两点在C 上.
(1)求C 的方程；
(2)C 的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，过点
1F 且斜率存在的直线l 与C 交于P，Q 两点.
（i）若
2
PQF
V
的面积为24
13 ，求l 的斜率；
（ii）过点P 作直线l¢：
4
x = - 的垂线PR，垂足为R，试问直线OR 是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若
不过定点，请说明理由.
2．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线C：
2
2
y
px
=
经过点
3,2 2
Q p
p ，C 的焦点F 在x 轴的正半轴上，
点A，B 在C 上运动．
(1)求C 的方程．
(2)若直线AB 的方程为
2
y
x
=
-
，求
ABF
△
内切圆的半径r．
(3)设点
3,1
E
，且EF 平分
AFB
Ð
，试问直线AB：
1
x
my
n n
=
+
¹
是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，
请说明理由．
考点一
定点问题
3．（24-25 高二下·山西·期末）已知抛物线
2
1 :
2
0
C
y
px p
=
>
的焦点为F ，
2,
D
d 是
1
C 上一点，且
3
DF = .椭圆
2
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F ，
3
1, 2
E æ
ö
ç
÷
è
ø 是
2
C 上一点.
(1)求
1
C ，
2
C 的方程；
(2)已知R 为
2
C 上的一点（异于A，B 两点），直线AR ，BR 分别与直线
4
x =
相交于P，Q 两点，求PQ 的最小值；
(3)已知直线
:
0
l x
my
t m
=
+
¹
与
2
C 交于M，N 两点，直线FM 和FN 的斜率分别为
1k ，
2k ，且
1
2
0
k
k
+
=
，证明:
直线l 过定点，并求出该定点的坐标.
4．（24-25 高二下·陕西西安·期末）已知双曲线
2
2
2
:
1
0
y
C x
b
b
-
=
>
的左顶点为M ，右焦点为F ，A ，B 是C 上的
两点，线段AB 的中点为H ．当BF
MF
^
时，tan
2
BMF
Ð
=
．
(1)求C 的标准方程；
(2)若
1 8
,
7 7
H æ
ö
ç
÷
è
ø，求直线AB 的斜截式方程；
(3)若M ，A ，B 三点不共线，且
2
AB
MH
=
，证明：直线AB 过定点．
5．（24-25 高二下·浙江·期末）已知抛物线
2
:
2
(
0)
E
y
px p
=
>
，且过抛物线焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两
点，弦长AB 最小值为4
(1)求抛物线E 的方程；
(2)过点A 作直线AC 交抛物线于点C ，且直线AC 过定点
(3,0)
P
，连接直线CF 并交抛物线于点D ，请问直线BD 是
否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由.
6．（24-25 高二下·云南·期末）已知双曲线
2
2
2
:
1
0
7
x
y
C
b
b
-
=
>
的离心率为2,O为坐标原点，过点O 的直线l 交C
于P ，Q 两点，其中点P 在第一象限.
(1)求C 的标准方程.
(2)设
5
OP =
.
①求直线l 的方程.
②过点P 作斜率分别为
1
2
,
k k 的两条直线1
2
,
l l ，且直线1l 与C 交于另一点A ，直线2l 与C 交于另一点B .若
1
2
3
k
k
+
=
，证明直线AB 过定点，并求该定点坐标.
7．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知
1
2
,
F F 分别是双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左､右焦点，A 是C 的右顶
点，
1
3
AF =
，且C 与椭圆
2
2
1
5
x
y
+
= 有相同的焦点.
(1)求C 的方程；
(2)若直线:
1
l y
kx
=
+ 与C 的公共点个数为1，求k 的值；
(3)已知
,
M N 是C 上不同的两点，直线
,
AM AN 的斜率分别为
1
2
,
,
k k
A不在直线MN 上，且
1 2
3
k k =
，证明：直线MN
过定点.
8．（2025·河北邢台·三模）椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
y
x
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，点
3 , 3
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
在C 上.
(1)求C 的方程；
(2)圆Q ：
2
2
2
(
3)
x
y
t
+
-
=
在椭圆C 内，过C 的右顶点P 作圆Q 的两条切线1l ，2l ，斜率分别为
1k ，
2k ，且分别与
C 交于A ，B 两点（均不与点P 重合）.
①求
1
2
k
k
×
的值；
②当t 变化时，证明：直线AB 与x 轴交于定点.
1．（24-25 高二下·江西新余·期末）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的左顶点为A ，离心率为
5
2
，过点
2, 2
-
-
作直线l 与交于B ，C 两点，当直线l 的斜率为0 时，
ABC
V
的面积为4 5 ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若AB
AC
^
，求直线l 的方程；
(3)若直线AB ，AC 分别与直线
2
x =
交于D ，E 两点，试探究在直线
2
x =
上是否存在定点P ，使得
PD
PE 为定值？
若存在，求出定点P 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
2．（24-25 高二下·广西崇左·期末）已知双曲线Ω ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的焦距为2 6 ，
0,
B
b ，且点
,
2 2
b b
Aæ
ö
ç
÷
è
ø在Ω 上．
(1)求Ω 的方程；
(2)若直线l ：
1
y
t x
=
+
与Ω 的右支交于点
,
E
E
E x
y
（
2
E
x >
），求
2t 的取值范围；
(3)若M ，N 是Ω 上不同的两点（异于点A ），
MAN
Ð
的平分线垂直于OB （O 为坐标原点），证明：直线MN 的倾
斜角为定值．
考点二
定值问题
3．（24-25 高二下·上海闵行·期末）在直角坐标系xOy 中，已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的长轴长为2 3 ，离
心率为
6
3
，直线l 与x 轴交于点
,0
M m
，与相交于A 、B 两点．
(1)求的标准方程；
(2)若l 的斜率为1，且
0
OA OB
×
=
uuur uuur
，求m 的值；
(3)是否存在m ，使
2
2
1
1
MA
MB
+
恒为定值l ？若存在，请求出m 与l 的值，若不存在，请说明理由．
4．（2025·安徽芜湖·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，离心率为2，过点
0,
0
M
m
m >
且倾斜角为45 度的直线1l 交双曲线于A ，B 两点（A 在y 轴右侧）且
3
AM
MB
=
uuuur
uuur
，
3
OA OB
×
=
uuur uuur
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线2l 是过C 的右支上点P 的切线，且2l 不与x 轴垂直，过
1F ，
2F 分别作直线2l 的垂线，垂足为
1T ，
2T ．
①求证：点
1T ，
2T 均在以O 为圆心的定圆上，且
1
2
//
OT
PF ，
2
1
//
OT
PF ；
②求证：
1 1
2
2
FT
F T
×
是定值．
5．（24-25 高二下·上海青浦·期末）已知椭圆
2
2
1
2
2
2
Γ :
1
0 ,
,
x
y
a
b
B B
a
b
+
=
>
>
分别是椭圆短轴的上下两个端点，
1F 是
椭圆左焦点，M 是椭圆上异于点
1
2
,
B B 的点，
1
1
2
B F B
V
是边长为2 的等边三角形.
(1)写出椭圆Γ 的标准方程和离心率；
(2)当直线
1
MB 的一个法向量是
1,1
-
时，求以
1
MB 为直径的圆的标准方程；
(3)设点P 满足:
1
1
2
2
,
PB
MB PB
MB
^
^
，求证:
1
2
1
2
:
MB B
PB B
S
S
V
V
为定值.
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆
2
2
1 :(
1)
1
F
x
y
+
+
= ，圆
2
2
2 :(
1)
9
F
x
y
-
+
=
.若动圆C 与圆
1F 外切，且与圆
2F
内切，设动圆圆心C 的轨迹为E .不过原点O 的动直线l 与曲线E 交于
,
A B 两点，平面上一点D 满足OA
AD
=
uuur
uuur ，连
接BD 交E 于点F （点F 在线段BD 上且不与端点重合），若
1
4
FAB
OAB
S
S
D
D
=
.
(1)求轨迹E 的方程；
(2)试问：直线OA，OB 的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
(3)试问：四边形
F
OA B 的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
7．（24-25 高二下·北京顺义·期中）椭圆
2
2
1
4
3
x
y
+
= 的左、右顶点分别为A，B 过右焦点F 的直线l 与椭圆交于C，
D 两点（与A，B 重合），设
1
2
,
AC
BD
k
k k
k
=
=
．
(1)求椭圆的离心率e 与右焦点F 的坐标．
(2)求证：
1
2
k
k 为定值．
8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
:
1(
0)
x
E
y
a
a -
=
>
过点
2,1 ,
,
M
MP MQ 分别为圆C ：
2
2
2
3
(
2)
0
3
x
y
r
r
æ
ö
-
+
=
<
<
ç
÷
è
ø
的两条切线，且分别交双曲线E 于点,
P Q ．
(1)求双曲线E 的离心率；
(2)证明：直线PQ的斜率为定值．
1．（24-25 高二下·广西桂林·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的右焦点为
1,0
F
，左、右顶点分别为A ，
B ，且
3
AF
FB
=
．
(1)求C 的方程；
(2)设过点F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点（不与A ，B 两点重合）．
（i）若
APQ
△
的面积为15 ，求l 的方程；
（ii）若直线AP 与直线BQ 交于点T ，证明：T 在一条定直线上．
2．（24-25 高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，A，B 分别为椭圆的左，右顶
点，C 为椭圆的上顶点，且
3
CA CB
×
= -
uuur uuur
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点
1,0
E
作斜率不为0 的直线交椭圆于M，N 两点，直线MA 与NB 相交于点P .
（i）证明：点P 在定直线上；
（ii）求
APB
Ð
的最大值.
考点三
定直线问题
3．（2025·甘肃白银·三模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，上、下顶点分别为
1B ，
2
B ，四边形
1
1
2
2
B F B F 为正方形，点
2 ,0
E
a
，且
1
2
B EB
V
的面积为4 2 .
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过
2 ,0
2
b
F æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
的直线l 与C 交于M ，N 两点，求证：
ME
MF
NE
NF
=
；
(3)已知直线:
2
l y
kx
=
+
交椭圆C 于P ，Q 两点，直线
1
PB ，
2
QB 相交于点A .试判断点A 是否在定直线上，若在，
请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
4．（2025·安徽蚌埠·三模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，点
3
3, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点
(0,6)
Q
的直线（非y 轴）交椭圆于A，B 两点，过点A 作y 轴的垂线与直线BP 相交于点D，求证：线段
AD 的中点在定直线上．
5．（24-25 高二下·重庆渝中·期中）已知双曲线
2
2
2
2
Γ :
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率和焦距分别为2 和2 2 ，设点
A B C
､､
的坐标分别为
,0 ,
,0 , 2 ,0
a
a
a
-
.
(1)求双曲线Γ 的方程；
(2)已知M 是双曲线Γ 的左支上异于点A 的一个动点，直线CM 交Γ 的右支于点,
P O 是坐标原点.
（i）记ABM
V
和
OCP
△
的面积分别为
1
2
,
S S ，且
1
2
6
S
S
-
=
，求直线CM 的方程；
（ii）设直线AM 与直线BP 的交点为N ，证明：点N 在一条定直线上.
6．（24-25 高二下·上海宝山·阶段练习）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
2 5,0 ，离心率为
5 ．记C
的左、右顶点分别为
1A 、
2
A .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)双曲线上任意一点E （不与
1A 、
2
A 重合），求证：
1
2
A E
A E
k
k
×
为定值；
(3)过点
4,0
-
的直线与C 的左支交于M 、N 两点，直线
1
MA 与
2
NA 交于点P ．证明：点P 在定直线上．
7．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
=
>
的焦点为F，点
( ,2)
E n
是C 上一点，且|
| 5
EF =
，记O 为
坐标原点，过点F 的直线1l 与C 相交于A，B 两点．
(1)求抛物线C 的方程与准线l 的方程；
(2)求4 |
|
|
|
AF
BF
+
的最小值；
(3)已知P，M 分别是抛物线C 与准线l 上的动点，若C 在点P 处的切线2l 交y 轴于点Q，且MN
MP
MQ
=
+
uuuur
uuur
uuuur
，试
判断点N 是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．
8．（2025·湖南岳阳·三模）已知抛物线E 的顶点在坐标原点O 处，对称轴为x 轴，且过点
2, 4
T
-
，A ，B 是E 上
两个动点．
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)已知C 是E 上一点，且E 的焦点F 为
ABC
V
的重心，设C 的横坐标为t ，求t 的取值范围；
(3)已知P 为直线OT 在第二象限内一点，直线PA ，PB 与抛物线E 分别相切于A ，B 两点，设PA ，PB 与y 轴分别
交于M ，N 两点，证明：直线AN 与直线BM 的交点在定直线上．
