解析几何：弦长问题、面积问题、中点弦问题专项训练
考点目录
弦长问题
三角形面积问题
四边形面积问题
中点弦问题
1．（25-26 高三上·河北保定·开学考试）已知椭圆E
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
：
的左、右焦点分别为
1
2
F
F
，，且
1
2
4
F F =
∣
∣
，
椭圆E 的离心率为
2
2 ．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)已知直线l 过点
1F ，且与椭圆E 交于点A，B，求证：
1
1
1
1
AF
BF
+
∣
∣∣
∣是定值.
2．（25-26 高三上·广东·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的离心率
1
2
e =
，椭圆上动点Q 到右焦点F
的距离最大值等于3．
(1)求C 的方程；
(2)设M 是坐标平面上的动点，且线段FM 的垂直平分线与C 恰有一个公共点
①求动点M 的轨迹方程；
②求线段MQ 的长度的取值范围．
考点一
弦长问题
3．（24-25 高二下·四川资阳·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，
,
A B 分别是椭圆C 的左、右顶点，
,
M N 是椭圆C 上异于
,
A B 的两个点，当四边形AMBN 为菱形时，四边形AMBN 的周长为4 5 ，面积为4.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)若MA ，NB 的斜率分别为
1k ，
2k ，且
2
1
3
k
k
=
，证明：直线MN 过定点.
(3)在（2）的条件下，若直线MA ，NB 交于点P ，直线NA，MB 交于点Q ，求PQ 的最小值.
4．（25-26 高三上·辽宁·阶段练习）已知双曲线
2
2
2
2
:
1,(0
)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
<
<
的焦距为4，左右焦点分别为
1
2
,
F F ，若点
P 为双曲线C 上一点，过点P 分别作双曲线C 两条渐近线的平行线
,
PM PN ，与两条渐近线分别交于点
,
M N ，四
边形OMPN 的面积为
3
2
．设点
,
A B 分别为双曲线C 的左右顶点，过点(4,0) 的直线与双曲线C 交于点
,
D E （不同
于点
,
A B ．设直线AD 与BE 交于点G，直线AE 与BD 交于点H，双曲线在点
,
D E 处的切线交于点R．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)试探究
GR
RH 是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由．
5．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C：
2
2
0
y
px p
=
>
的焦点F 关于直线l：
1
y
x
=
+ 对称的点F¢为
3
1, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø．
(1)求C 的方程；
(2)设原点为O，点P，Q 均在C 上若直线PQ 经过点
2,0 ，直线OP 与直线l¢：
4
x = - 相交于点M，点Q 在l¢上
的投影为R，设l¢与x 轴的交点为S，问：
MS
SR 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
6．（24-25 高二下·河南·开学考试）已知动点M 到点
0 2,
的距离比它到直线
4
0
y +
=
的距离小2 ，记动点M 的轨
迹为C .
(1)求轨迹C 的方程.
(2)已知直线:
5
l y
kx
=
+ 与轨迹C 交于A ，B 两点，以A ，B 为切点作两条切线，分别为1l ，2l ，直线1l ，2l 相交于
点P .若AB
AP
=
，求k .
7．（24-25 高二下·浙江温州·阶段练习）已知双曲线C：
2
2
1
4
x
y
-
= ．过y 轴正半轴上一点T 作射线TA，TB 交C
于点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，且
1
2
0
y y <
．
0,0
P x
为x 轴正半轴上一点，满足2
3
TA
TB
TP
+
=
uur
uur
uur
．
(1)若P 为C 的右焦点，求直线AB 的方程；
(2)求
0x 的取值范围；
(3)若T 在直线AB 上，且OP
OT
=
，是否存在
0x ，使得|
| |
| |
| |
|
PA
TB
PB
TA
×
=
×
？若存在，求
0x ；若不存在，请说
明理由．
8．（24-25 高二下·甘肃兰州·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的短轴长为2 2 ，点
2,1
P
在C 上．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知直线:
2
=
+
l y
kx
与椭圆C 交于A ，B 两点，且
6
AB =
，求k 的值．
1．（2024·河北·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴长是短轴长的2 倍，点
2, 2
E
在椭圆上，直
线l 与圆
2
2
4
x
y
+
= 相切，且与椭圆交于,
A B 两点，O 为坐标原点.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)①求证：OA
OB
^
；
②求
AOB
V
面积的取值范围.
2．（24-25 高二下·海南海口·期末）已知A，F 是椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的右顶点和左焦点，椭圆E 过点
3
1, 2
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，且焦距为2．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)直线FB 与E 交于M 点（不与B 点重合），求ABM
V
的面积．
考点二
三角形面积问题
3．（24-25 高二下·贵州安顺·期末）已知平面内一动点
,
P x y 到点
10
F
,
的距离与它到直线
4
x =
的距离之比为
1
2 ，
过点F 的直线l 与动点P 的轨迹C 相交于
,
A B 两点．
(1)求动点P 的轨迹C 的方程．
(2)是否存在直线l ，使得
AOB
V
的面积为
3 ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
4．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知动点P 到
1, 0
F
的距离比点P 到直线
2
x = - 的距离小1，动点P 的轨
迹为C ．
(1)求C 的方程；
(2)设
, 4
P a
，过点F 的直线交C 于,
A B 两点（异于点P ）．
（i）若PA
PB
^
，求直线AB 的方程；
（ii）过点F 与直线AB 垂直的直线交C 于
,
D E 两点，设线段
,
AB DE 的中点分别为
,
,
M N O 是坐标原点，求OMN
V
面积的最小值．
5．（24-25 高二下·安徽滁州·期末）在圆
2
2
4
x
y
+
= 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，垂足为D ．点Q 在
线段PD 上，且满足
3
2
DQ
DP
=
uuur
uuur
．当点P 在圆上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的标准方程．
(2)过点
10
F
,
的直线l 交曲线C 于
,
A B 两点，过点F 与l 垂直的直线交曲线C 于D ，E 两点，其中,
A D在x 轴上
方，M ，N 分别为AB ，DE 的中点．
（ⅰ）证明：直线MN 过定点；
（ⅱ）求FMN
V
面积的最大值．
6．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，圆
2
2
:
1
16
E
x
y
+
+
=
，
10
F
,
是圆E 内一个定点，M 是圆E 上任意一点.线
段MF 的垂直平分线和半径EM 相交于点N ，当点M 在圆上运动时，记动点N 的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程；
(2)记C 的左顶点为A ，直线l 与C 交于,
P Q 两点，直线
,
AP AQ 的斜率之积为
1
4
-
.
（i）证明：直线l 过定点；
（ii）若P 在x 轴上方，直线PE 与圆E 交于点B ，点B 在x 轴上方，是否存在点P ，使得
PBF
△
与
QEF
△
的面积
之比为3:5?若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由.
7．（24-25 高二下·广东深圳·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，右焦点
(1,0)
F
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线:
(
0)
l y
kx k
=
¹
与椭圆E 交于P，A 两点，过点
0
0
,
P x
y
作PC
x
^
轴，垂足为点C，直线AC 交椭圆E 于
另一点B．
（i）证明：AP
BP
^
．
（ⅱ）求ABP
V
面积的最大值．
8．（25-26 高三上·云南临沧·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
y
x
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的上焦点F 也是抛物线
2
:
4
C x
y
=
的焦
点，E 的上顶点为A ，下顶点为B ，且|
| 4
AB =
.
(1)求E 的方程.
(2)过点F 作一条斜率为k 的直线l ，与E 交于P ，Q 两点，与C 交于M ，N 两点.
（i）若
2
|
|
|
|
t
PQ
MN
+
为定值，求t 的值.
（ii）是否存在实数k ，使得BMN
V
的面积恰好是
APQ
△
的面积的3 倍？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明
理由.
1．（24-25 高二下·上海金山·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴为MN ，椭圆的离心率
3
2
e =
，左右
焦点分别记作
1F 、
2F ，且
1
1
1
MF
NF
×
= ，过
1F 、
2F 分别作直线1l 、2l 交椭圆于AB 、CD （,
B C 在x 轴上方），且
1
2
l
l
// ；
(1)求此椭圆方程．
(2)当直线1l 的斜率
1k 与直线BC 的斜率
2k 都存在时，求证：
1
2
k
k
×
为定值．
(3)求四边形
1
2
AF F D 面积的最大值．
2．（24-25 高二下·江西宜春·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的焦距为2，点
3
1, 2
Aæ
ö
ç
÷
è
ø 在C 上，F 是C
的右焦点．
(1)求C 的方程；
(2)如果直线:
(
0,
R)
l x
my
t m
t
=
+
<
Î
与C 相交于P，Q 两点，且射线FA 平分
PFQ
Ð
．
（ⅰ）求m 的取值范围，并证明l 过定点；
（ⅱ）求四边形FPAQ 的面积S 的取值范围．
考点三
四边形面积问题
3．（25-26 高三上·湖北武汉·开学考试）已知点Q 是圆
2
2
2 :
1
8
F
x
y
-
+
=
上的任意一点，点
1
1,0
F -
，线段
1
QF 的垂
直平分线交
2
QF 于点P .
(1)求动点P 的轨迹
1
C 的方程；
(2)分别过
1F ，
2F 作平行直线m ，n ，若直线m 与
1
C 交于A ，B 两点，直线n 与
1
C 交于C ，D 两点，其中点A ，D
在x 轴上方.
（ⅰ）若
1
2
4
AF F
p
Ð
=
，求
1
2
AF
DF
+
的值；
（ⅱ）求四边形
1
2
AF F D 的面积的取值范围.
4．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）在平面直角坐标系中，分别以x 轴和y 轴为实轴和虚轴建立复平面，已知复数
,
z
x
yi x y
R
=
+
Î
，在复平面内满足
1
1
z
z
+
+
- 为定值的点z 的轨迹为曲线G ．且点
2,0
P
在曲线G 上．
(1)求G 的方程；
(2) AB 是过G 右焦点的弦（AB 不是长轴），AB 的中点为G，过点A，B 分别作直线l：
4
x =
的垂线，垂足分别为
C，D，l 与x 轴的交点为E．
（ⅰ）证明：AE
GD
∥
；
（ⅱ）记CG 与AE 的交点为M，DG 与BE 的交点为N，求四边形MGNE 面积的最大值．
5．（2025·山西·模拟预测）已知点
(1,0)
F
，P 为平面内一动点，以PF 为直径的圆与y 轴相切，点P 的轨迹记为C .
(1)求C 的标准方程.
(2)过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，过点A 且垂直于l 的直线交x 轴于点M ，过点B 且垂直于l 的直线交x 轴
于点N .当四边形MANB 的面积最小时，求l 的方程.
6．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，且过点
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若斜率为
1
2 的直线l 与椭圆C 交于
,
M N 两点，且点M 在第一象限，点
,
A B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，求
四边形AMBN 面积S 的最大值.
7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2 ，点
1,1
A
在椭圆上，直线
1 :
l
y
kx
m
=
+
与C 交于,
P Q 两点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若
0
OP OQ
×
=
uuur uuur
，
①证明：
2
2
1
m
k
=
+ ；
②若直线2l 经过原点，与椭圆C 交于,
R S 两点，且
OR
OP
OQ
+
uuur
uuur
uuur
∥
，求四边形PRQS 面积的取值范围．
8．（24-25 高二下·云南·期末）已知两条平行直线1l ，2l 分别与双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右两支相
切，且1l 交C 的两条渐近线于A ，B 两点，2l 交C 的两条渐近线于D ，E 两点，点A ，D 都在x 轴上方，当且仅当
1l 与x 轴垂直时，
2
4
AD
AB
=
=
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)证明：四边形ADEB 的面积为定值8 2 ．
1．（24-25 高二下·陕西汉中·期末）已知A 、B 分别是椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右顶点，C 的离心率为
3
2
，且AB
4
=
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知D 是线段AB 上一点（异于A 、B ），过点D 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点（异于A 、B ），直线BM 、
BN 分别交直线
3
x =
于E 、F 两点.
（i）若MN 的中点为1 1
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，求l 的方程；
（ii）是否存在点D ，使得ME NF
×
uuur uuur
为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.
2．（24-25 高二下·河南·期末）设椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
3
2
2
1,
,
,
2
2
2
A
B
a
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若过点
1,0
-
且斜率为
1
2 的直线l 与椭圆C 交于
,
M N 两点，求线段MN 中点P 的坐标．
考点四
中点弦问题
3．（24-25 高二下·上海·阶段练习）已知直线:
0
l x
y
k
+
-
=
与曲线
2
2
:
2
1
C x
y
+
= .
(1)若l 与C 有公共点，求实数k 的取值范围；
(2)若l 与C 有两个不同的公共点
,
M N ，且线段MN 中点P 的横坐标为
2
3
-
，求实数k 的值.
4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的渐近线为
2
y
x
= ±
，双曲线的左顶点为
( 1,0)
P -
，直线:l y
kx
m
=
+
与双曲线C 相交于A，B（异于点P）两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若AB 的中点为
2,1
M
，求直线l 的方程；
(3)若以AB 为直径的圆恒过点P，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明
理由．
5．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线
2
2
2
:
1
y
C x
b
-
=
0
b >
的左顶点为M ，离心率为3，
,
A B 是C 上的两
点.
(1)求C 的标准方程；
(2)若线段AB 的中点为
1 8
,
7 7
æ
ö
ç
÷
è
ø ，求直线AB 的方程；
(3)若
0
MA MB
×
=
uuur uuur
（M 不在直线AB 上），证明：直线AB 过定点.
6．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
:
1
y
W x
b
-
= 的左顶点为A ，右焦点为F ，,
P Q 是W 上的两点，线段PQ的
中点为R ．当直线PA 的倾斜角为π
4 时，有PF
AF
=
．
(1)求双曲线W 的离心率；
(2)若
1 3
,
2 2
Ræ
ö
ç
÷
è
ø ，求直线PQ的一般式方程；
(3)若, ,
A P Q 三点不共线，且2 AR
PQ
=
，求证：直线PQ过定点．
7．（24-25 高二上·广东深圳·阶段练习）已知抛物线C：
2
2
0
y
px p
=
>
的焦点为F ，且抛物线的焦点到准线的距
离为2．
(1)求该抛物线的方程；
(2)在抛物线C 上求一点T ，使得点T 到直线
4
y
x
=
+
的距离最短；
(3)过点
3,1
Q
的直线l 与抛物线C 交于
,
A B 两点，且Q 为AB 的中点，求直线l 的方程．
8．（2025·浙江台州·二模）已知抛物线G ：
2
2
0
y
px p
=
>
的焦点为
1,0
F
，直线l 与抛物线G 交于A，B 两点，
且
5 ,1
2
M æ
ö
ç
÷
è
ø 为线段AB 的中点．
(1)求抛物线G 的标准方程；
(2)求直线l 的方程；
(3)过点
,1
0
Q m
m <
作抛物线G 的两条切线，分别交l 于C，D 两点，求QCD
V
面积的最小值.
