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第4 讲 范围、最值问题（新高考专用）
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................8
【考点一】范围、最值问题............................................................................................................8
【专题精练】...............................................................................................................................21
考情分析：
目录
1
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1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范围、最值问题，定点、定直线、定值
问题及探索性问题.
2.以解答题的形式压轴出现，难度较大．
一、解答题
1．（2024·上海·高考真题）已知双曲线
左右顶点分别为
，过点
的直线
交双曲线
于
两点.
(1)若离心率
时，求
的值．
(2)若
为等腰三角形时，且点
在第一象限，求点
的坐标．
(3)连接
并延长，交双曲线
于点
，若
，求
的取值范围．
2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆
的离心率
．左顶点为
，下顶点为
是
线段
的中点，其中
．
(1)求椭圆方程．
(2)过点
的动直线与椭圆有两个交点
．在
轴上是否存在点
使得
．若存在求出这
个
点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
3．（2023·全国·高考真题）已知直线
与抛物线
交于
两点，且
．
(1)求
；
(2)设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值．
4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆
．设A，B 是椭圆上异于
的两点，且点
真题自测
2
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在线段
上，直线
分别交直线
于C，D 两点．
(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求
的最小值．
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据离心率公式计算即可；
（2）分三角形三边分别为底讨论即可；
（3）设直线
，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.
【详解】（1）由题意得
，则
，
．
（2）当
时，双曲线
，其中
，
，
因为
为等腰三角形，则
①当以
为底时，显然点
在直线
上，这与点
在第一象限矛盾，故舍去；
②当以
为底时，
，
3
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设
，则
, 联立解得
或
或
，
因为点
在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；
（或者由双曲线性质知
，矛盾，舍去）；
③当以
为底时，
，设
，其中
，
则有
，解得
，即
．
综上所述：
.
（3）由题知
，
当直线的斜率为0 时，此时
，不合题意，则
，
则设直线
，
设点
，根据
延长线交双曲线
于点
，
根据双曲线对称性知
，
联立有
，
显然二次项系数
，
其中
，
①，
②，
4
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，
则
，因为
在直线上，
则
，
，
即
，即
，
将①②代入有
，
即
化简得
，
所以
, 代入到
, 得
, 所以
,
且
，解得
，又因为
，则
，
综上知，
，
．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设
，将其与双曲线方
程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.
2．(1)
(2)存在
，使得
恒成立.
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.
（2）设该直线方程为：
，
， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合
5
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韦达定理和向量数量积的坐标运算可用
表示
，再根据
可求的范围.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为
，故
，
，其中为半焦距，
所以
，故
，
故
，所以
，
，故椭圆方程为：
.
（2）
若过点
的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：
，
设
，
由
可得
，
故
且
而
，
故
6
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，
因为
恒成立，故
，解得
.
若过点
的动直线的斜率不存在，则
或
，
此时需
，两者结合可得
.
综上，存在
，使得
恒成立.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借
助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出
；
（2）设直线
：
，
利用
，找到
的关系，以及
的面
积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【详解】（1）设
，
由
可得，
，所以
，
所以
，
即
，因为
，解得：
．
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（2）因为
，显然直线
的斜率不可能为零，
设直线
：
，
，
由
可得，
，所以，
，
，
因为
，所以
，
即
，
亦即
，
将
代入得，
，
，
所以
，且
，解得
或
．
设点
到直线
的距离为
，所以
，
，
所以
的面积
，
而
或
，所以，
当
时，
的面积
．
【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到
的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关
系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.
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4．(1)
；
(2)
．
【分析】（1）设
是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出
，再根据二次
函数的性质即可求出；
（2）设直线
与椭圆方程联立可得
，再将直线
方程与
的方
程分别联立，可解得点
的坐标，再根据两点间的距离公式求出
，最后代入化简可得
，由柯西不等式即可求出最小值．
【详解】（1）设
是椭圆上任意一点,
,
，当且仅当
时取
等号，故
的最大值是
.
（2）设直线
,直线
方程与椭圆
联立,可得
,设
，所以
，
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因为直线
与直线
交于
,
则
,同理可得,
.则
，
当且仅当
时取等号，故
的最小值为
.
【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思
路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较
难题．
【考点一】范围、最值问题
一、单选题
1．（2023·河南周口·模拟预测）已知椭圆
的一个焦点为F，点P，Q 是C 上关于原点对称的
两点．则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·全国·高考真题）设B 是椭圆
的上顶点，点P 在C 上，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
考点突破
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二、多选题
3．（2024·贵州贵阳·三模）双曲线
的左、右焦点分别为点
，斜率为正的渐
近线为，过点
作直线的垂线，垂足为点
，交双曲线于点
，设点
是双曲线
上任意一点，若
，则（ ）
A．双曲线
的离心率为
B．双曲线
的共轭双曲线方程为
C．当点
位于双曲线
右支时，
D．点
到两渐近线的距离之积为
4．（23-24 高三上·山东德州·期末）双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲
线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分
该点与两焦点连线的夹角．已知
分别为双曲线
的左，右焦点，过
右支上一点
作双曲线的切线交
轴于点
，交
轴于点
，则（ ）
A．平面上点
的最小值为
B．直线
的方程为
C．过点
作
，垂足为
，则
（
为坐标原点）
D．四边形
面积的最小值为4
三、填空题
5．（2022 高三·全国·专题练习）抛物线
上的点到直线
的最短距离是 ．
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6．（22-23 高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知抛物线
的焦点为F，点
在抛物线上，且满足
，设弦
的中点M 到y 轴的距离为d，则
的最小值为 ．
四、解答题
7．（2024·吉林长春·模拟预测）已知椭圆
的两焦点
，且椭圆
过
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设椭圆
的左右顶点分别为
､
，直线交椭圆
于
两点（
与
均不重合），记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，且
，设
，
的面积分别为
，求
的
取值范围
8．（21-22 高二上·上海长宁·期末）已知双曲线C 经过点
，它的两条渐近线分别为
和
.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)设双曲线C 的左右焦点分别为
､
､
，过左焦点
作直线l 交双曲线的左支于A､B 两点，求
周
长的取值范围.
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9．（2022·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系
中，一动圆经过点
且与直线
相切，设该
动圆圆心的轨迹为曲线K，P 是曲线K 上一点．
(1)求曲线K 的方程；
(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B、C 两点，若
且直线OP 与直线
交于Q 点．求
的值；
(3)若点D、E 在y 轴上，
的内切圆的方程为
，求
面积的最小值．
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
C
A
ACD
ABD
1．C
【分析】由对称性和椭圆定义得到
，从而表达出
，并计算
出
，从而得到最值，求出答案.
【详解】由对称性和椭圆定义可知
，其中
，
故
，
不妨设
，
，
，
则
，
故当
时，
取得最小值，最小值为4，
当
时，
取得最大值，最大值为64，
故
，
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故当
时，
取得最小值，最小值为51，
当
时，
取得最大值，最大值为
，
故
的取值范围是
.
故选：C
2．A
【分析】设点
，由依题意可知，
，
，再根据两点间的距离公式得到
，然后
消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点
，因为
，
，所以
，
而
，所以当
时，
的最大值为
．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数
的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B 最远的点，或者认为是椭圆的
长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量
的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
3．ACD
【分析】利用三角形面积公式得
，再利用余弦定理得
，则解出双曲线方程，再利用离心率定
义和共轭双曲线方程的含义即可判断AB；对C，计算得
，再根据
的范围即可
判断；对D，
，利用点到直线的距离公式并结合点双曲线上化简即可.
【详解】如图，因为
，所以
，
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，
则
，所以
，又
，
在
中，
，
化简得
，所以
，双曲线
方程为
，
对于A，双曲线
的离心率为
，A 正确；
对于B，双曲线
的共轭双曲线方程为
，B 错误；
对于C，
，因为
，
则
，即
，C 正确；
对于D，渐近线方程为
，设
，
点
到两渐近线的距离之积为
，D 正确，
故选：ACD.
4．ABD
【分析】对A，利用双曲线定义将
转化为
可得解；对B，设出直线
的方程为
与双曲线联立，根据
化简运算得解；对C，由双曲线的光学性质可知，
平分
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，延长
与
的延长线交于点
，则
垂直平分
，即
，
为
的中点，进而
得
得解；对D，求出
点坐标，根据
，结合基本不等式可求解.
【详解】对于A，由双曲线定义得
，且
，
则
，
所以
的最小值为
.故A 正确；
对于B，设直线
的方程为
，
，
联立方程组
，消去
整理得，
，
，化简整理得
，解得
，
可得直线
的方程为
，即
，故B 正确；
对于C，由双曲线的光学性质可知，
平分
，延长
与
的延长线交于点
，
则
垂直平分
，即
，
为
的中点，
又
是
中点，所以
，故C 错误；
对于D，由直线
的方程为
，令
，得
，则
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
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所以四边形
面积的最小值为4，故D 项正确.
故选：ABD.
.
【点睛】关键点睛：C 项中，结合已知给出的双曲线的光学性质，即可推出
垂直平分
，
.
5．
【分析】设出抛物线上的点坐标，利用点到直线的距离公式求解作答.
【详解】设抛物线
上的点
，则点P 到直线
的距离：
，当且仅当
时取等号，
所以所求最短距离为
.
故答案为：
6．1
【分析】设
,利用余弦定理表示出
，利用抛物线定义结合梯形中位线性
质表示出
，从而可得
的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案.
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【详解】由抛物线
可得准线方程为
，
设
，由余弦定理可得
,
由抛物线定义可得P 到准线的距离等于
，Q 到准线的距离等于
，
M 为
的中点，由梯形的中位线定理可得M 到准线
的距离为
，
则弦
的中点M 到y 轴的距离
，
故
，
又
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为1，
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：本题综合性较强，涉及到余弦定理和抛物线定义以及基本不等式等，解答的关键是
利用抛物线的定义表示出弦
的中点M 到y 轴的距离，结合余弦定理表示出
的表达式，进而转
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化为利用基本不等式求最值问题.
7．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得：
，求解即可；
（2）先确定直线
的斜率必不为0，设其方程为
，联立椭圆方程，结合韦达定理，结
合题意可得直线
恒过
轴上一定点
.从而可求得
，进而可
求解.
【详解】（1）由题意可得：
，解得
，所以椭圆的方程为：
；
（2）依题意，
，设
，直线
斜率为
.
若直线
的斜率为0，则点
关于
轴对称，必有
，不合题意.
所以直线
的斜率必不为0，设其方程为
，
与椭圆
的方程联立
得
，
所以
，且
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因为M (x1, y1)是椭圆上一点，满足
，
所以
，
则
，即
.
因为
所以
，此时
，
故直线
恒过
轴上一定点
.
因此
，
所以
，
20
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令
，
当
即
时，
取得最大值
.
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
8．(1)
(2)
【分析】（1）设双曲线C 的方程为
，代入
坐标可得答案；
（2）当直线l 的斜率不存在时
，可得A､B 的坐标及
的周长；当直线l 的斜率存在，设直线l
的方程为
，与双曲线方程联立，
的周长利用韦达定理得到
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，设
，根据的范围可得答案.
【详解】（1）设双曲线C 的方程为
，
代入点
，得
，
所以双曲线C 的标准方程为
.
（2）双曲线C 的左焦点为
，
设
､
，
①若直线l 的斜率不存在，则
，得A､B 的坐标分别为
和
，
此时
的周长为
.
②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为
，
由
得
，
因为直线l 交双曲线的左支于A､B 两点，
所以
，
得
设
的周长为z，
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，
设
，由
，得
，
，
，
所以
，
综上，由①②可得
的周长的取值范围
.
9．(1)
(2)
(3)8
【分析】（1）由题意动圆的轨迹满足抛物线的定义，所以得出抛物线的轨迹方程即可，
（2）联立直线l 与抛物线，求出
的值，又
，设出OP 的方程，再联立抛物线求出
的值，
再求出
，得出
的值；
（3）由于D、E 在y 轴上，设出D、E 坐标，并求出
，P 点的横坐标即为
的高，再求
面
积的最小值即可．
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【详解】（1）由题意可知圆心到
的距离等于到直线
的距离，
由抛物线的定义可知，曲线K 的轨迹方程为
，
（2）设直线l 的方程为
，
联立
，消y 得
，
∴
，∴
，
设
，∴
,
又
，
∴
∵
，∴设直线OP 的方程为
，
联立
，消y 得
，
∴
，∴
，∴
，
令
，则
，∴
，∴
，
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∴
，
故
的值为
，
（3）设
，
直线PD 的方程为
，
又圆心
到PD 的距离为1，即
，
整理得
，
同理可得
，
所以，可知b，c 是方程
的两根，
所以
，
，
依题意
，即
，则
，
因为
，所以
，
所以
，
25
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当且仅当
，即
时上式取等号，
所以
面积的最小值为8．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数
的最值或范围．
规律方法：
求解范围、最值问题的常见方法
(1)利用判别式来构造不等关系．
(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系．
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式．
(4)利用基本不等式．
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知直线
与椭圆
交于
两点，
是椭圆上
异于
的一点．若椭圆
的离心率的取值范围是
，则直线
，
斜率之积的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2 ．（23-24 高二上· 山东菏泽· 阶段练习）已知点P 是椭圆
上的动点，则点P 到直线
的距离最小值为（ ）
A．
B．5
C．
D．
专题精练
26
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3．（22-23 高三上·河北石家庄·期末）已知双曲线
：
的左右焦点分别是
，
，
左右顶点分别是
，
，离心率为2，点P 在
上，若直线
，
的斜率之和为
，
的面积
为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
4．（2022 高三·全国·专题练习）已知点
是双曲线
上的动点，
，
为该双曲线的左右焦点，
为坐标原点，则
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
5．（22-23 高二下·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线
的焦点为
，直线与抛物线
交于
两点，
，线段
的中点为
，过点
作抛物线
的准线的垂线，垂足为
，则
的最
小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
6．（23-24 高三上·重庆渝中·阶段练习）已知抛物线C：
，点M 在C 上，直线l：
与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，若
面积的最小值为
，则
（ ）
A．44
B．4
C．4 或44
D．1 或4
7．（22-23 高二上·北京延庆·期末）已知点P 在抛物线
上，且
，则
的最小值为（ ）．
A．2
B．
C．3
D．4
27
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8．（2023·山东日照·一模）已知椭圆
：
的左、右焦点为
，
，点
为椭圆
内一点，点
在双曲线
：
上，若椭圆上存在一点
，使得
，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）过椭圆
的中心任作一直线交椭圆于P，Q 两点，
，
是椭圆的左、
右焦点，A，B 是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．
周长的最小值为18
B．四边形
可能为矩形
C．若直线PA 斜率的取值范围是
，则直线PB 斜率的取值范围是
D．
的最小值为-1
10．（22-23 高二上·山东济宁·期末）已知
为双曲线
的右焦点，直线
与该双曲线相
交于
两点（其中
在第一象限），连接
，下列说法中正确的是（ ）
A．
的取值范围是
B．若
，则
C．若
，则点
的纵坐标为
D．若双曲线的右支上存在点
，满足
三点共线，则
的取值范围是
28
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11．（23-24 高三上·浙江·阶段练习）已知抛物线
上的两个不同的点
关于直线
对称，直线
与
轴交于点
，下列说法正确的是（ ）
A．
的焦点坐标为
B．
是定值
C．
是定值
D．
三、填空题
12．（21-22 高二上·江苏镇江·期中）若点O 和点F 分别为椭圆
的中心和左焦点，点P 为椭圆上
任意一点，则
·
的取值范围为 .
13．（21-22 高二上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆
，双曲线
与椭圆
共焦点，且与椭圆
在四
个象限的交点分别为
，则四边形
面积的最大值是 .
14．（2023·江苏南通·模拟预测）已知点
是抛物线
上的动点，则
的最小
值为 .
四、解答题
15．（22-23 高三上·天津南开·期末）已知椭圆C：
的离心率为
，四个顶点所围成
菱形的面积为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)若A、B 两点在椭圆C 上，坐标原点为O，且满足
，
（i）求
的取值范围；
（ii）求
的面积.
16．（2024·浙江金华·模拟预测）在直角坐标系
中，圆Γ 的圆心P 在y 轴上（
不与
重合），且与双
29
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曲线
的右支交于A，B 两点．已知
．
(1)求Ω 的离心率；
(2)若Ω 的右焦点为
，且圆Γ 过点F，求
的取值范围．
17．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，
为坐标原点，
在椭圆
上仅存在
个点
，使得
为直角三角形，且
面积的最大值为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知点
是椭圆
上一动点，且点
在
轴的左侧，过点
作
的两条切线，切点分别为
、
.求
的取值范围.
18．（2024·湖北·一模）已知双曲线
经过椭圆
的左、右焦点
，设
的
离心率分别为
，且
．
(1)求
的方程；
(2)设
为
上一点，且在第一象限内，若直线
与
交于
两点，直线
与
交于
两点，设
的中点分别为
，记直线
的斜率为
，当
取最小值时，求点
的坐标．
19．（23-24 高三上·山东临沂·开学考试）已知抛物线
，
为E 上位于第一象限的
一点，点P 到E 的准线的距离为5．
(1)求E 的标准方程；
(2)设O 为坐标原点，F 为E 的焦点，A，B 为E 上异于P 的两点，且直线
与
斜率乘积为
．
（i）证明：直线
过定点；
（ii）求
的最小值．
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参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
A
D
B
B
A
A
AC
ABD
题号
11
答案
ABD
1．D
【分析】先设点
的坐标，然后将
的坐标代入方程中，相减，构造出直线
，
的斜率，相
乘转化只含有
的表达式，再根据
的关系以及椭圆
的离心率的取值范围是
建立不等式，
求出直线
，
斜率之积的取值范围即可.
【详解】设
，
由直线
与椭圆
交于
两点可知
两点关于原点对称，
所以
且
，
由题意知：
，两式相减得：
，
即
，
又
，
由椭圆的离心率的取值范围是
，
即
，
所以
，
31
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即
，
故选：D.
2．D
【分析】
由题意设
，利用点到直线的距离公式表示出点P 到直线
的距离，
结合辅助角公式化简即可求得答案.
【详解】
由题意点P 是椭圆
上的动点，设
，
则点P 到直线
的距离为
，其中
，
当
时，
取最小值
，
故选：D
3．A
【分析】根据离心率公式结合
的面积为
，可得
，再利用
列方程求解即
可.
【详解】
①
②
32
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所以
故
③
由①②③，得
，解得
故选：A.
4．D
【分析】设
在右支上，根据双曲线的性质求得
、
且
，由已
知双曲线有
，结合
的范围求范围，即可得结果.
【详解】由双曲线的对称性，假设
在右支上，即
，
由
到
的距离为
，而
，
所以
，
综上，
，同理
，则
，
对于双曲线
，有
且
，
33
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所以
，而
，即
.
故选：D
5．B
【分析】由抛物线定义及勾股定理得到
，
，由基本不等式求出最值.
【详解】设
，
因为
，所以
，
过点
分别作
准线于点
，
，
由抛物线定义可知
，
由梯形中位线可知
，
因为
，所以
，
当且仅当
时，等号成立，
故
，
故
，
的最小值为
.
故选：B
6．B
34
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【分析】
为定值，设
则可将
面积表示为以
为自变量的二次函数，依据二次
函数的性质可将
面积的最小值用
表示出来，因为
面积的最小值为
，解方程可以求出
的
值.
【详解】不妨设
，
，由
，
，
知
．设
，
则
，
故
，故
.
故选：B．
7．A
【分析】设
，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质求解即可
【详解】设
，则有
，又
，
所以
因为
，
所以
，
所以
，当且仅当
时取等，
所以
的最小值为2，
故选：A
8．A
35
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【分析】先求出椭圆左焦点
坐标为
，由题得
，解不等式得到
，再解不等式
即得解.
【详解】点
在双曲线
：
上，所以
.
所以椭圆左焦点
坐标为
.
因为
，所以
,
所以
.
因为
，所以
.
点
为椭圆
内一点，所以
，
所以
或
.
综上：
.
故选：A
9．AC
【分析】A 由椭圆对称性及定义有
周长为
，根据椭圆性质即可判断；B 根据圆的性质，结合
椭圆方程与已知判断正误；C、D 设
，利用斜率两点式可得
，进而判断C 正误，应
用向量数量积的坐标表示列关于
的表达式，结合椭圆有界性求最值.
【详解】A：根据椭圆的对称性，
，当PQ 为椭圆的短轴时，
有最小值8，所以
周长的最小值为18，正确；
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B：若四边形
为矩形，则点P，Q 必在以
为直径的圆上，但此圆与椭圆
无交点，错
误；
C：设
，则
，因为直线PA 斜率的范围是
，
所以直线PB 斜率的范围是
，正确；
D：设
，则
．因为
，所以当
时，
最小值为
，错误.
故选：AC．
10．ABD
【分析】对于A，根据渐近线分析即可求解；
对于B，结合对称性，双曲线定义即可求解；
对于C，结合对称性可知
为直角三角形，
，结合双曲线定义及勾股定理，可得
，进而求解；
对于D，根据临界情况，直线
的方程为：
，联立方程组，可得
，进而求解.
【详解】对于A，双曲线的渐近线方程为
，因为直线
与双曲线相交于
，所以
的
取值范围是
，故A 正确；
对于B，设
为双曲线的左焦点，连接
，
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由对称性知，
，又
，
所以
，故B 正确；
对于C，结合选项B，知
为直角三角形，且
，
所以
，化简得
，
设点A 的纵坐标为
，则
，故C 不正确；
对于D，当直线
的斜率为
时，直线
的方程为：
，
联立方程组
，得
，
又
，所以
，
所以双曲线的右支上存在点
，满足
三点共线，
则
的取值范围是
，故D 正确.
故选：ABD.
11．ABD
【分析】根据抛物线的性质可判定A 选项；根据A、B 关于直线对称及点在抛物线上可得
，
，
，联立化简可判定B、C 选项；再利用AB 中点在抛物线内可得
38
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，结合直线方程可判定D 选项.
【详解】根据抛物线的性质可知抛物线的焦点坐标为
，即A 正确；
设A、B 的中点为D，则
，易得
①，
又
②，且
③，
④，
将③④代入②可得：
，
代入①可得
，
故B 正确，C 错误；
所以A、B 的中点
坐标为
，
则直线
的方程为：
，
令
得：
，
而
位于抛物线内部，即
，可得
，
则
．即D 正确.
故选：ABD
12．
【分析】可设
，可求得
与
的坐标，利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方程即可求得
其答案．
【详解】点
为椭圆
上的任意一点，设
，
依题意得左焦点
，
39
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，
，
，
，
，
，
．则
．
故答案为：
．
13．
【分析】设双曲线和椭圆在第一象限得交点为
，根据对称性易得四边形
是矩形且面积为
，只需联立双曲线和椭圆，求出交点表达式即可.
【详解】依题意得，双曲线的焦点是
，设双曲线方程为
，且
，不妨
设
在第一象限，根据对称性易得四边形
是矩形，且面积为：
，联立
，解得
，注意到
，化简得
，于是
， 所以四边形
面积为
，又
，
取等号，则四边形
面积最大值为
.
故答案为：
.
40
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14．
/
【分析】根据已知条件将问题转化为抛物线
上的动点
到直线
和
轴的距离之
和的最小值，作出图形，利用抛物线的定义及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题可知，过抛物线
上的动点
作直线
的垂线交直线于
，过点
作
轴的垂线交
轴于
，交准线于
点，
为抛物线焦点，
由
，得
，所以
，如图所示
则
动点
到
轴的距离为
所以
，
当且仅当
三点共线时，
有最小值，即
(此时
为点
到直线的距离)，
所以
到直线
的距离为
，
所以
，
所以
.
41
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所以
的最小值为
.
故答案为：
15．(1)
(2)（i）
（ii）
【分析】（1）利用菱形的面积和椭圆的性质列方程组即可得出；
（2）（i）设直线
的方程为
，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用斜率的计算公
式、数量积运算即可得出；
（ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可得出.
【详解】（1）由已知可得
，解得
，
所以椭圆的方程为
.
（2）（i）设直线
的方程为
，设
，
联立
，得
，
，即
，
，
.
，
.
42
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,
，即
，
，
，
，
，
又直线
的斜率不存在时
,
的取值范围是
.
（ii）设原点到直线
的距离为
，
则
，
由
化简可得
.
的面积为
.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由点差法与直线与圆的性质分别得到与直线
的斜率有关的等量关系，结合已知条件将
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坐标化，得
，再结合两斜率关系，整体消元可得
，从而求出斜率；
（2）将
化斜为直，转化为
坐标表
示，再由韦达定理代入得关于
的函数解析式，求解值域即可.
【详解】（1）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则线段
中点M(
x1+ x2
2
, y1+ y2
2 )
由题意
不与
重合，则
，由
在双曲线右支上，则
，
所以
斜率存在且不为
.
由
在双曲线上，则
，且
，
两式作差得
，
所以有
，
故
①，
由圆Γ 的圆心P 在y 轴上（P 不与O 重合），设
，
由题意
，
则
，
化简得
，由
，得
，
由圆Γ 的圆心为
，弦
中点为
，所以
，
则
，即
②，
由①②得，
，则
，
故Ω 的离心率为
.
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（2）由Ω 的右焦点为
，得
，
由（1）知，
，所以有
，故双曲线的方程为
.
设圆的方程为
，由圆Γ 过点
，则
，
则圆的方程可化为
，
联立
，消
化简得
，
，
其中
，
，则有
，
由
，
同理
，
所以
，
其中
，
令
，则
，
所以
，
设
，
，
由函数
在
单调递增，则
，即
，
所以有
，
故
,
.
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【点睛】方法点睛：圆锥曲线最值范围问题，关键在把要求最值（范围）的几何量、代数式转化为某个
（些）参数的函数，然后利用函数、不等式方法进行求解.
17．(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，当
时，存在两个点
，使得
为直角三角形，
设点
，利用平面向量数量积的坐标运算可得出
，再利用
面积的最大值可得出
、
的值，可得出
的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）证明出抛物线
在点A(x1, y1)处的切线方程为
，可得出抛物线在点
处的切线方
程，联立两切线方程，求出点
的坐标为
，设
，其中
，利用二
次函数的基本性质可求得
的取值范围.
【详解】（1）解：当
轴时，存在两个点
，使得
为直角三角形，
当
轴时，存在两个点
，使得
为直角三角形，
当
时，由题意可知，存在两个点
，使得
为直角三角形，
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设点
，其中
，则
，可得
，
且
，
，
则
，可得
，
由题意可知，
，则
，
当点
为椭圆短轴的顶点时，
到
轴的距离最大，此时，
的面积取最大值，
即
，则
，故
，
因此，椭圆的方程为
.
（2）解：设点A(x1, y1)、B(x2, y2)，先证明出抛物线
在点
处的切线方程为
，
联立
可得
，即
，解得
，
所以，抛物线
在点
处的切线方程为
，
同理可知，抛物线
在点
处的切线方程为
，
联立
可得
，
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所以，
，则
，即点
，
因为点
在
轴左侧，则
，即
，
因为点
在椭圆
上，则
，
设
，其中
，则
，
，
所以，
，
因为
，则
，则
，
所以，
，
因此，
的取值范围是
.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
18．(1)
的方程为
的方程为
(2)
48
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【分析】（1）由题意可得
，
，解方程即可求出
，即可求出
的方
程；
（2）设直线
的斜率分别为
，由题意可得
，设直线
的方程为：
，联立
可得
，同理可得
，即可求出直线
的斜率为
，再由
基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）依题意可得
，得
，
由
，得
，解得
，
故
的方程为
的方程为
．
（2）易知
，设P(x0, y0)，直线
的斜率分别为
，
则
，P(x0, y0)
在
，即有
，
可得
为定值．
设直线
的方程为：
，联立
可得
恒成立，
设A(x1, y1),B(x2, y2)，则有
，
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可求得
，
设直线
的方程为：
，
同理可得
，
则
由
可得：
，
点
在第一象限内，故
，
当且仅当
，即
时取等号，
而
，故等号可以取到．
即当
取最小值时，
，联立
，
可解得
，
故
的方程为：
的方程为：
，
联立可解得
，即有
．
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【点睛】关键点点睛：本题（2）问的关键点在于设直线
的斜率分别为
，由题意可得
，
联立直线
与椭圆的方程求得
，联立直线
与椭圆的方程同理可得
，即可求出直线
的斜率为
，再由基本不等式即可得出答案.
19．(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）由题可知
，求解即可得到抛物线的方程；
（2）（i）先求解
，设
，根据斜率公式结合题意可得
，
分斜率存在和不存在分别求得直线
的方程，从而可确定过定点
；（ii）设
，当
直线
斜率存在时，设直线
的方程为
，联立方程组，结合韦达定理求得
的最小值为
；当直线
斜率不存在时，由抛物线定义知
，从
而可求解.
【详解】（1）由题可知
，解得
.
所以
的标准方程为
；
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（2）（i）由（1）知，
，且
，解得
，所以
.
设
，则
，同理可得，
，
则
，即
.
当直线
斜率存在时，直线
的方程为
，
整理得
.
所以
，即
，
所以直线
过定点
；
当直线
的斜率不存在时
，可得
.
综上，直线
过定点
.
（ii）设
，当直线
斜率存在时，
设直线
的方程为
，
与抛物线
联立得
，消去
得
，
由题意
，所以
.
所以
，
所以当
时，
的最小值为
；
当直线
斜率不存在时，
.
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由抛物线定义知
.
故
的最小值为
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
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