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02 求空间角及空间向量的应用
一、必备知识：
1. 夹角公式:设 ， ，则 .
2. 异面直线所成角：
（其中 （ ）为异面直线 所成角， 分别表示异面直线 的方向向量）
3. 直线 与平面所成角， ( 为平面 的法向量).
4. 二面角 的平面角： （ ， 为平面 ， 的法向量）.
5. 异面直线间的距离 ： ( 是两异面直线，其公垂向量为 ， 分别是 上任一
点， 为 间的距离).
6. 点 到平面 的距离 ： （ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）.
二、题组
题组一：线线角
经典例题：
例1．如图，在三棱锥 中， ，若 ，则直线 与 所
成角的大小是 .例2．如图，长方体 中， ，点 在线段 上，且 为线段
的中点，若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
例3．如图，在圆锥 中， 是底面圆直径， ， ， 为 的中点.则直线 与
直线 所成角的余弦值为 .
例4．如图，四边形 和 均为正方形，且 ，平面 平面 分别为
的中点， 为线段 上的动点，则异面直线 与 所成角的余弦值最大时， .变式训练：
1．如图，在正四面体 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 .
2．如图，在正方体 中，点P满足 ，则直线 与直线 所成角的余弦值为
．
3．如图，在长方体 中，E是 的中点，点F是AD上一点， ， ，
A B C D
，动点P在上底面 1 1 1 1上，且满足三棱锥 的体积等于1，则直线CP与 所成角的余弦值的最大值为 ．
4．如图，在 中， ，在直角梯形 中， ，
，记二面角 的大小为 ，若 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的最
大值为 ．
达标检测：
1．如图，在三棱锥 中， ，点 在线段 上，
且 ，则直线 与直线 所成角的余弦值为 ．2．如图，圆锥的底面直径 ，高 ，D为底面圆周上的一点， ，则直线AD与
BC所成角的大小为 .
3．如图，在边长为1的正方体 中，点 在 上，点 在平面 内，设直线 与
直线 所成角为 .若直线 到平面 的距离为 ，则 的最小值为 .
题组二：线面角
经典例题：
例1．如图，在长方体 中， ， ，对角线 与平面 交于 点．
则 与面 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．例2．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形， ， ，
，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为AE，BC的中点，直线BM与
平面ADE所成角的正弦值为 ．
例3．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．若
PD=AD=1，Q为l上的点，则PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为 ．
变式训练：
1．如图，在几何体中， ， ， ， ， ，
平面 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为 .2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC AD，PA⊥平面ABCD且AB＝
BC＝PA＝1，AD=2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为 ．
3．如图，已知 平面 ， ， ， ， ， .若 ，
，则 与平面 所成角的余弦值为 .
4．如图，在棱长为1的正方体 中， 为面对角线 上的一个动点（包含端点），直
线 与平面 所成角为 ，则 的最大值为 .
达标检测：1．如图， 平面 ， ，且 ，则直线 与平面 所成角的正切值为
.
2．如图，在长方体 中， ， ，则 与平面 所成的角的正弦值
为 ．
3．如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，若 ， ，
为 的中点，则 与平面 所成角的正弦值为 ．
4．如图，在正四棱柱 中， ， ，点P是侧面 内的动点，且 ，
记AP与平面 所成的角为 ，则 的最大值为 ．题组三：二面角
经典例题：
例1．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点 ，线段 分别在这个二面角的两个面内，并且
都垂直于棱 .则这个二面角的余弦值为 .
例2．如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．设D为 的中点， ，
平面 平面 ，则二面角 的正弦值为 ．
例3．如图，三棱锥 中， ， ， ，E为BC的中点．
若点F满足 ，则二面角 的正弦值为 ．例4．如图,在正四棱柱 中, ,点 分别在棱 , 上,
,若点 在棱 上,当二面角 为 时,则
．
变式训练：
1．在四棱锥 中,底面 是正方形,若 ,则二面角 的平
面角的余弦值为 ．2．如图，在正三棱柱 中，D，E分别为棱 的中点， 在棱 上，且EF 平面
．若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
3．如图, 是三棱锥 的高, , ,E是 的中点,若 ， ，
，则二面角 的正弦值为 ．
达标检测：
1．在正方体 中， 为 的中点，则二面角 的大小为 ．
2．在菱形ABCD中， ，沿对角线AC折叠之后，使得平面 平面ACD（如图），则平
面BCD与平面ACD夹角的正弦值为 ．3．如图，在三棱柱 中， ， ， ， ， ，点
， 分别在棱 和棱 上，且 ， ，则二面角 的正切值 .
4．如图所示，在正方体 中，点 是棱 上的动点（ 点可以运动到端点 和 ），设
在运动过程中，平面 与平面 所成的最小角为 ，则 ．
