专题02 解三角形大题
解题秘籍
1. 正弦定理
（1）基本公式：
（其中 为 外接圆的半径）
（2）变形
2. 三角形中三个内角的关系
， ，
3. 余弦定理
（1）边的余弦定理
， ，
（2）角的余弦定理
， ，
4. 射影定理
， ，
5. 角平分线定理
中， 为 的角平分线，则有
在
6. 张角定理
7. 三角形的面积公式8. 倍角定理
在 中,三个内角 的对边分别为 ,
(1)如果 ,则有:
(2)如果 ,则有:
(3)如果 ,则有:
倍角定理的逆运用
在 中,三个内角A、B、C的对边分别为 ,
(1)如果 ,则有: 。
(2)如果 ,则有: 。
(3)如果 ,则有: 。
9. 中线长定理
为 的中线,则中线定理:
证明:
在 和 中,用余弦定理有:
10.三角恒等式
在 中，① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ；
⑦ ；
⑧ ；
⑨ ；
⑩
模拟训练
一、解答题
1．（23·24上·宁波·一模）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得出 ，求出 的取值范围，可得出
，即可证得结论成立；
（2）由 可求得 的值，再利用三角形的面积公式可求得 的面积.
【详解】（1）证明：因为 ，由正弦定理得 ，
即 ，
即 ，故 ，
因为 、 ，所以 ，则 ，
所以， ，所以， 或 （舍），因此 .
（2）解：因为 ，
故 ，
由 ，因为 ，故 ，
所以 .
2．（22·23·唐山·二模）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b．c．已知
．
(1)求A；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据正弦定理，结合余弦函数的单调性进行求解即可；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式、三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（1）由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
故 ．
因为 ，所以 ， ，
函数 在 上单调递减，则 ，
解得 ；
（2）由余弦定理 ，
得 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
故 面积的最大值为 ．
3．（23·24上·永州·一模）在 中，设 所对的边分别为 ，且满足 ．
(1)求角 ；
(2)若 的内切圆半径 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可得 的值，即可得答案；
（2）利用余弦定理得 ，配方得 ，再结合 的内切圆半径，利用等面
积法推出 ，即可求得 ，从而求得答案.
【详解】（1）在 中，由 得 ，
即 ,
故 ，由于 ，
故 ，而 ，故 .
（2）由 可得 ，而 ，
故 ，则 ，
由 的内切圆半径 ，可得 ，
即 ，即 ，
故 ，解得 ，
故 的面积 .
4．（22·23·东莞·三模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 .
(1)求角 的大小；
(2)设 ， ，求 的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）运用正弦定理求解；
（2）运用两角差公式求解.
【详解】（1）在 中，由正弦定理得： ，
因为 ，所以 ，可得 ，
即 ， ，又 ，可得 ；
（2）在 中，由余弦定理得： ，
由 ，以及 ，可得 ，
因为 ，所以A是锐角，所以 ，
因此 ， ，
所以， ，
综上， ， .
5．（22·23·张家口·三模）在 中，内角 的对边分别为 .
(1)若 ，求 的面积；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）由 得 ，代入 ，得 ，再根据余弦定理求出 ，再
根据三角形面积公式可得结果.
（2）根据余弦定理得 ，再切化弦，利用两角和的正弦公式、正弦定理变形可得结果.
【详解】（1）因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 .
（2）由 ，得 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以
.
6．（22·23下·苏州·三模）在 中， ，点 在边 上， 且
， .
(1)求 ；
(2)求 的面积.
【答案】(1)6
(2)75
【分析】（1）根据已知可推得 ，设 ，即可得出 ，进而得出答案；
（2）设 ，根据直角三角形以及两角和的正切公式，即可得出 ，进而
求出 ，根据三角形面积公式，即可得出答案.【详解】（1）
由题意知， .
设 ，所以 .
在 中， ，
所以 ，从而 .
（2）设 ，
在 中， ，
在 中， ，
所以 .
在 中，由 ，得 ，
所以 ，
从而 的面积为 .
7．（22·23下·江苏·二模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
(1)求A；
(2)若点D在边BC上， ， ， ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）由正弦定理边化角可得， ，然后化简即可得出
. 根据 的范围即可得出答案；
（2）设 ，则 ，然后在 和 中，根据余弦定理推得 .在 中，由余
弦定理可得 .联立可解得 ， ，然后根据面积公式即可得出答案.
【详解】（1）由正弦定理边化角可得， ，
整理可得， .
因为 ， ，
所以有 ，
所以 .
因为 ，所以 .
（2）
设 ，则 ，
在 中，有 .
在 中，有 .
又 ，所以 ，
所以有 .又 ，所以 .
在 中，由余弦定理可得 .
又 ， ， ，
所以有 .
联立 ，解得 ，所以 ，
所以， .
8．（22·23下·浙江·二模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法1：由 可得 ，由正弦定理和余弦定理将等式边化角即可求出 ；
解法2：由正弦定理可得 ，结合两角和的正弦公式、二倍角的正弦和余弦公式，
化简可得 ，再由余弦定理代入即可求出 ；
（2）由 可得 ，再由余弦定理即可求出 ；解法2：由正弦定理边化角化简已知表达式可得 ，再结合两角和的正弦公式，二倍角的正弦和余弦公式化简即可求出 .
【详解】（1）解法1：
代入 ，得 .
解法2：由正弦定理可得： ：
代入 化简 ，
则 ，
则 ，
因为 ，所以 ，解得： ；
由余弦定理可得： ，
代入 化简得 ，解得 （负值舍）.
（2）解法1：
，
，又
所以 .
解法2：因为 ，所以 ，
代入 ，，
，
因为 ，则 ，
化简： ，
当 时，则 ，则 ，舍去不满足题意；
当 时，则 ，因为 ，所以 .
9．（22·23·福州·三模） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ， .
△
(1)求B；
(2)D为AC的中点， ,求 的面积.
【答案】(1)
(2) 或,
【分析】（1）由诱导公式化简，再应用正弦定理，最后由余弦即可求出 .
（2）由D为AC的中点，求出 关系, 可得 ，最后求出面积即可.
【详解】（1）
（2）D为AC的中点， ,
, ,, ,
或 ,
当 时, ，
时,
所以 的面积为 或 .
10．（22·23下·湖北·二模）记 的内角 的对边分别为 ，设 的外接圆半径为 ，且
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、三角变换公式可得 ，故可求 .
（2）利用余弦定理可求 ，利用公式可求 .
【详解】（1）因为 ，故 ，
整理得到 即 ,所以 ，而 ，故 .
（2）由余弦定理可得 ，
故 ，解得 ，故 .
11．（22·23下·武汉·三模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的平方关系与角的范围分别计算 ， 的值，根据 利
用两角和的正弦公式代入计算即可；
（2）利用正弦定理计算 ，再由三角形面积公式计算面积.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，故 ，
所以 ．
（2）由正弦定理可知： ，代入已知条件得 ，解得 ，
所以 的面积为
12．（22·23·广州·三模）在△ 中，角 的对边分别为 ，且 ， ，设 与 的夹
角为 ．
(1)当 时，求 及△ 的面积；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数 的最大值
与最小值．
条件①： ；条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) ，
(2)条件选择见解析，最大值为 ，最小值为0
【分析】（1）利用余弦定理可直接求 ，利用面积公式求解面积；
（2）先化简 ，选择条件①时，根据 得出 的范围即可求解函数的范
围；选择条件②时，根据 得出 的范围即可求解函数的范围.
【详解】（1）由余弦定理得，
，
所以 ，
△ 的面积 ．（2）
．
选择条件①：
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
即 .
故 ， ．
选择条件②：
因为 ， ，
所以 ，故 ．
所以 ， ，
即 .
故 ， ．
13．（22·23·宁德·一模）在① ；② 这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答.
问题：已知 分别为 内角 的对边， 是 边的中点， ，且______.
(1)求 的值；
(2)若 的平分线交 于点 ，求线段 的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选择①，利用余弦定理列方程组可求 ，选择②，利用正弦定理及两角和差公式求角 ，再
用余弦定理列方程组可求 ；
（2）先求角 ，再利用三角形面积公式及等面积法即可求出线段 的长.
【详解】（1）选择①：设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，故 ．
选择②：由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
于是 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，
在 中， ，即 （i），
在 中， ，即 （ii），
联立（i）（ii）解得， ， ，即 ， ．
（2）选择①：由条件及小问（1）可知， ， ， ，
则 ，因为 ，
所以 ，
由题意得， ，
因为 是 的平分线，
所以 ，
所以 .
选择②：由小问（1）可知， ，
由题意得， ，
因为 是 的平分线，
所以 ，
所以 .
14．（22·23下·长沙·二模）已知向量 （ ， ）， （ ， ）， .(1)求函数 的最大值及相应x的值；
(2)在 ABC中，角A为锐角且 ， ，BC=2，求 的面积.
△
【答案】(1) ， 时， 取最大值 ；
(2) .
【分析】（1）由平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换可得 的解析式，利用正弦函数的性质可
求 的最大值及相应 的值；
（2）由（1）及角A的范围可求角A，进而求出角B，角C，再由正弦定理可得AC的边长值，代入三角形
面积公式即可求解.
【详解】（1）依题意， ，
即 ，
所以 ，当 ，
即 ， 时， 取最大值 ；
（2）由（1）及 得： ，
即 ，
由 ，则 ，
因此， ，则 ，而 ，有 ，所以 ，
在 中，由正弦定理 得，
，
，
所以 的面积为 .
15．（23·24上·郴州·一模）已知向量 ， ，函数 .
(1)若 ，求 的值；
(2)已知 为锐角三角形， ， ， 为 的内角 ， ， 的对边， ，且 ，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量共线定理可得 ，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式的应用可得解；
（2）根据向量数量积公式可得 ，进而可得 ，再利用正弦定理和面积公式可将三角形面积转化为三
角函数求值域问题，确定自变量范围，即可得解.
【详解】（1） ， ，
则 ；；
（2）
，
又 ，所以 ， ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，则
故 ，
即 面积的取值范围为 .
16．（22·23下·河北·三模）在 中，角 的对边分别为 ，且
．
(1)判断 的形状；(2)若 ，点 分别在边 上，且 ，求 的面积．
【答案】(1) 是直角三角形
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化角为边，整理即可得出结论；
（2）根据 求解即可.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
化简得 ，
所以 是直角三角形；
（2）由（1）得 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
,
,
，
，
所以 .17．（22·23·邯郸·二模）已知条件：① ；② ；③
.
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在 中，角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，满足：____.
(1)求角C的大小；
(2)若 ， 与 的平分线交于点I，求 周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①：利用余弦定理即可求解；选②：利用二倍角正弦、正弦定理边化角求解；选③：利
用二倍角余弦公式计算即可；
（2）根据给定条件，结合（1）的结论求出 ，再利用正弦定理结合三角恒等变换即可求解.
【详解】（1）选择条件①， ，
在 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，则 ，
又 ，所以 ；
选择条件②， ，于是 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，则 ，即 ，
因为 ，因此 ，即 ，
又 ，所以 ；
选择条件③， ，则 ，
所以 ，则 ，又 ，
即有 ，则 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，有 ，
而 与 的平分线交于点I，即有 ，于是 ，
设 ，则 ，且 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ， ，
所以 的周长为，
由 ，得 ，
则当 ，即 时， 的周长取得最大值 ，
所以 周长的最大值为 .
18．（22·23·沧州·三模）在 中，角A， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
，且 的面积为 .若 ， 边上的两条中线 ， 相交于点 ，如图所示.
(1)求 的余弦值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合三角形面积公式及已知 可求得 ，求得 ，再
利用余弦定理求得 ，从而可得 ，由勾股定理求得 ，再由余弦定理计算出 ；
（2） 是 的重心，由此可得 ，从而得出结论．
【详解】（1）已知 ，由正弦定理，得 ，由 ，得 ，
由 的面积 ，得 ，相除得 ，又 ，故 ，
由 ， ，得 ， ，由余弦定理得 ，即 ， ，
在 中， ， ， ，满足 ，
所以 为直角三角形， .
在 中， ， ，
所以 .
（2）在 中， 为 边上的中线，所以 ，
由 ， 分别为边 ， 上的中线可知 为 的重心，
可得 ， ，
所以 .
19．（22·23·盐城·一模）已知锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
.
(1)若角 ，求角 ；
(2)若 ，求 的最大值
【答案】(1)
(2)最大值为
【分析】（1）运用两角和差的正余弦公式进行化简即可；（2）根据（1）中结论运用正弦定理得到 ，然后把 表示为 的函数，再利
用降次公式化简，结合内角取值范围及求解.
【详解】（1）由题意知 .
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
由角 ，所以 .
（2）由（1）知 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理得： ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，且 ，则有 ，得 ，所以 ，
由二次函数的性质可得，当 时， 取得最大值 ，
所以 的最大值为 .
20．（22·23下·江苏·三模）已知 ， ，其中 ，函数
的最小正周期为 .
(1)求函数 的单调递增区间；(2)在锐角 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足 ，求 的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ，
(2)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示可知 ，由最小正周期为 可得 ，即可
知 ，再利用三角函数单调性即可求得 的单调递增区间为 ， ；
（2）根据三角形形状可得 ，再由正弦定理得 ，又 ，所以
.
【详解】（1）因为 ， ，
则 ，
，故 ，
因为 最小正周期为 ，所以 ，所以 ，故 ，
由 ， ，解得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， .
（2）由（1）及 ，即 ，又 ，
所以 ，解得 ，
又 为锐角三角形，即 ，即 ，
解得 ；
由正弦定理得 ，又 ，则 ，
所以 .
21．（22·23·佛山·一模）在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ， 为 在 方向上的
投影向量，且满足 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）依题意可得 ，即可得到 ，利用正弦定理将边化角，即可得到
，再由平方关系计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及（1）的结论得到 ，从而求出 、
，再由正弦定理求出 ，即可求出 ，从而得解.
【详解】（1）由 为 在 方向上的投影向量，则 ，
又 ，即 ，
根据正弦定理， ，
在锐角 中， ，则 ，即 ，
由 ，则 ，整理可得 ，解得 （负值舍去）.
（2）由 ，根据正弦定理，可得 ，
在 中， ，则 ，
所以 ，所以 ，
由（1）可知 ，则 ，
由 ，则 ，解得 （负值舍去），根据正弦定理，可得 ，则 ， ，
故 的周长 .
22．（22·23下·浙江·二模）在 的内角的对边分别为 ，已知 .
(1)证明： ；
(2)再从条件①､②这两个条件中选择一个作为已知，求 的值.
条件①： 的面积取到最大值；
条件②： .
（注：如果选择条件①､②分别解答，那么按照第一个解答计分.）
【答案】(1)证明见解析；
(2)选①或②，都有 ．
【分析】（1）已知式化为 ，由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式，商
数关系变形可证；
（2）选①，由面积 得取最大值时 ，求出 ，利用二倍角公式，再化为关于
的二次齐次式，弦化切代入计算；选②，由正弦定理得出 ，再代入（1）中结论
得 ，由平方关系求得 ，然后由二倍角公式计算．
【详解】（1）因为 ，所以 ，由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，显然 ， ，所以 ；
（2）选①， 的面积取到最大值，
，
所以 时， 取得最大值 ，此时 ，由（1） ，
；
选②， ，
由正弦定理 得 ， ，
由（1） ， ，所以 ， ，
所以 ，即 ， ，
．
23．（22·23下·温州·二模）设 的内角 所对边分别为 ，若 .
(1)求证： 成等差数列；
(2)若 为整数， ，且三个内角中最大角是最小角的两倍，求 周长的最小值.
【答案】(1)证明见详解
(2)15
【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换结合正弦定理可得 ，即可得结果；
（2）根据题意利用正、余弦定理可得 ，进而可得结果.
【详解】（1）因为 ，整理得 ，
即 ，
由正弦定理可得： ，即 成等差数列.（2）由题意可得： ，则 ，
不妨设 ，
因为 ，由正弦定理可得： ，
由余弦定理可得： ，
即 ，整理得 ，
所以 ，
可得 周长 ，
可知当 时， 周长的取到最小值15.
24．（22·23下·浙江·二模）在锐角 中，内角 所对的边分别为 ， ， ，满足
，且 .
(1)求证： ；
(2)已知 是 的平分线，若 ，求线段 长度的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得 ，又由余弦定理得 ，结合整理可得角的关系；
（2）由正弦定理得 ，又因为 为锐角三角形且 ，结合三角函数值域可求得线
段 长度的取值范围.
【详解】（1）由题意得 ，由正弦定理得 ，因为 ，则 ，即 ，可得 ，整理得 ，
由余弦定理得 ，整理得 ，
由正弦定理得 ，
故 ，整理得 ，
又因为 为锐角三角形，则 ，可得 ，
所以 ，即 .
（2）在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，且 ，所以 ，解得 .
故 ，所以 .
因此线段 长度的取值范围 .
25．（22·23·泉州·三模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，
．
(1)求B；
(2)已知D为 的中点， ，求 的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理，边角互化，结合余弦定理即可得解.
（2）利用向量得到 ，从而利用数量积运算法则得到 ，从而得解.
【详解】（1） ，
， ，
且 ，
，
两式相加得 ，
，即 ,
.
（2）因为D为 的中点，所以 ，
所以 ，
，
代入 ， 得： ， 或 （舍去）；
.
26．（22·23·菏泽·二模）记 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 的外接圆半径
，且 .
(1)求B和b的值；
(2)求AC边上高的最大值.
【答案】(1) ， ；(2) .
【分析】（1）把给定的等式切化弦，再逆用和角的正弦求出B，利用正弦定理求出b作答.
（2）利用余弦定理、均值不等式求出 的最大值，借助面积三角形求出AC边上高的最大值作答.
【详解】（1）由 ，得 ，即 ，
因此 ，在 中， ，即 ，
而 ，即 ，于是 ，又 ，解得 ，
因为 的外接圆半径 ，由正弦定理得 ，
所以 ， .
（2）由（1）知， ， ，由余弦定理 ，得
，
于是 ，当且仅当 时取等号，令 的边 上的高为 ，
则由 ，得
所以AC边上高的最大值是 .
27．（22·23·福州·二模） 的角 的对边分别为 的面积为 .
(1)若 ，求 的周长；
(2)设 为 中点，求 到 距离的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据条件得出 和 ，联立求得 ，进而求得
，结合余弦定理求出 的值，进而求得结果.
（2）利用面积公式和基本不等式求最值，即可得出结果.
【详解】（1）因为 ，得 ①，
又因为 的面积为 ，所以有 ②，
显然 ，由①②得 ，
所以 ，代入 得 ，
在 中，因为 ，
所以 ，得 ，
所以 的周长为 .
（2）因为 为 边上的中点，所以 ，
因为 ，
所以 ，因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 .
设点 到直线 距离为 ，
因为 ，所以 ，
即点 到直线 距离最大值为 .
28．（22·23·淄博·三模）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 .
(1)求角A的大小；
(2)给出以下三个条件：① ，b＝4；② ；③ .若以上三个条件中恰有
两个正确，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解即可；
（2）先由余弦定理分析条件确定正确的是②③，然后由正弦定理求解即可.
【详解】（1）因为 ，
若 ，则 ，不满足 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由 及①，由余弦定理可得 ，
即 ，由 ，解得 ；
由 及②，由余弦定理可得 ，由 可得 ，可得 ；
由 及③，由三角形的面积公式可得 ，
可得 .
经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，
故 ， .
代入②可得 可得 .
在 中，由正弦定理 ，故 .
29．（22·23·深圳·二模）已知在 中，角 的对边分别为 .
(1)求角 的余弦值；
(2)设点 为 的外心（外接圆的圆心），求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中， 由余弦定理可得答案；
（2）设 的中点分别为 ，利用向量数量积公式计算可得答案.
【详解】（1）在 中， ，
由余弦定理 ；
（2）设 的中点分别为 ，
则 ，
同理 .30．（22·23·潍坊·三模）定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于 的四边形．已知在平面凸四
边形 中， ， ， ， 的平分线为 ，且 ．
(1)求 的面积；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用角平分线定理可得出 ，利用余弦定理可求得 、 的长，分析可知
为直角三角形，利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）利用正弦定理可得出 ，求出 的取值范围，结合正弦函数的基本
性质可求得 长的取值范围.
【详解】（1）解：由题意可得，在 中， 的平分线为 ，且 ，
所以， ，则 ，
由余弦定理得， ，即 ，所以， ， ，
则 ， 为直角三角形，故 .
（2）解：在平面凸四边形 中， ，则 ，
由（1）可得， ， ，
在 中，由正弦定理可得 ，
所以， ，
又因为 ，
且 ，
所以 ，则 ，
所以 的取值范围是 ．
31．（22·23·山东·二模）在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知
．
(1)求角 ；
(2)若 为边 上一点（不包含端点），且满足 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出 的值，结合角 的取值范围可得出角
的值；（2）分析可得 ， ， ，求出角 的取值范围，由正弦定理可得出
，结合正切函数的基本性质可求得 的取值范围.
【详解】（1）解：由 结合正弦定理可得：
，则 ，
因为 、 ，则 ，所以， ，
可得 ，故 .
（2）解：由 可得 ，所以， ，
所以， ，故 ，
在 中， ， ，
由正弦定理可得 ，
所以， ，
因为 ，则 ，所以， .所以， 的取值范围是 .
32．（22·23·菏泽·三模）已知在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
．
(1)若 ，求出 的值；
(2)若 为锐角三角形， ，求边长 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由立方差公式及余弦定理求出 ，由 将弦
化切，利用两角和的正弦公式求出 ，从而求出 ，最后根据两角差的余弦公式计算可得；
（2）由正弦定理得到 ，再转化为 角的三角函数，结合正切函数的性质求出 的取值范围.
【详解】（1）因为 由正弦定理可得 ，
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
由 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以.
（2）因为 为锐角三角形，且 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
又 ，由正弦定理 ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
即边长 的取值范围为 .
33．（22·23·枣庄·三模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
(1)求 ；
(2)求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得 ，结合同角三角函数基本关系式即可求解
的值；
（2）由（1）利用余弦定理以及基本不等式即可求解．【详解】（1）由余弦定理知 ，则
所以 ，
所以 ，则
又因为 ，所以 ，
整理得 ，
在 中， ，所以 ．
（2）由（1）知 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
34．（22·23下·襄阳·三模）已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 的外接圆半径为1，且 的外心 满足 ， ，求 的最
大值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化化简，再由三角恒等变换公式即可得到结果；
（2）由题意可得 ，再结合平面向量的模长计算公式，将式子两边平方，再结合基本不
等式即可得到结果.
【详解】（1）由 及正弦定理，得
即 ，
,
因为
所以 ，
即 .
由于 ，
所以 ， .
（2）∵ ，∴ .
由 ，得
平方，得 ，
∴
解得 （当且仅当 时取“ ”，此时 为正三角形）
故 为正三角形时， 取最大值2.
35．（22·23下·武汉·三模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)2【分析】（1）根据数量积的定义及正弦定理得 ， .再结合三角形的性质
建立方程求解即可；
（2）根据正弦定理及面积公式直接求解即可.
【详解】（1）在 中有 .
即 .
因为 ，由正弦定理可得 ，即 .
同理 ，
由正弦定理可得 ，即 .
在 中有 .
解得 ， ， .
由 ，得： .
（2） 面积 ，代入 ， ，整理得： .
由（1）知 ， ，即 ， .
中，由正弦定理可得 ，即 .
所以 .
36．（22·23下·黄冈·三模）在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，满足，且 ．
(1)求证： ；
(2)已知 是 的平分线，若 ，求线段 长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化化简，再由余弦定理即可得到 ，再由正弦
定理的边角互化即可证明；
（2）根据题意，由正弦定理可得 ，再由 的范围，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得 ，即 ．
所以 ，
由正弦定理得 ，又由余弦定理得 ，
所以 ，故 ，
故 ，整理得 ．
又 为锐角三角形，则 ， ， ，
所以 ，因此 ．
（2）在 中，由正弦定理得 ，所以 ．
所以 ．因为 为锐角三角形，且 ，
所以 ，解得 ．
故 ，所以 ．因此线段 长度的取值范围 .37．（22·23下·湖南·二模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，
， 的角平分线交 于点 ．
(1)求B；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1) ；
(2)12.
【分析】（1）利用三角形面积公式及二倍角的余弦公式化简，再利用正弦定理边化角结合同角公式求解
作答.
（2）利用余弦定理结合（1）的结论，再判定三角形形状求解作答.
【详解】（1）在 中，依题意， ，即 ，
由正弦定理得 ，而 ，则 ，
有 ，而 ， ，解得 ，
所以 ．
（2）在 中，由余弦定理得 ，
解得 ，再由余弦定理得 ，而 ，
则 ，于是 ， ， 是等边三角形，
所以 的周长为12．
38．（22·23下·长沙·一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，C= .
(1)当 时，求 的面积;
(2)求 周长的取值范围.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得 ，分类讨论可求出a，b
的值，利用三角形面积公式即可计算得出结论；
（2）由余弦定理及已知条件可得 ，利用基本不等式可得 ，解
得 ，从而可求得周长的最大值.
【详解】（1）由 ，得 ，
即 ，
即 ，
当 时， ，得 ;
当 时， ，由正弦定理得 ，
由余弦定理及已知条件可得 ，
联立 . 解得 ，
故三角形的面积为 .
（2）法一：由余弦定理可得: ，
由 得 ，当且仅当a=b取等号.
又 ，即 .
即 周长的取值范围是 .法二: ，
中，由正弦定理有 ，
.
即 周长的取值范围是 .
39．（22·23·梅州·三模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 ；
(2)若 ， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 将 分成面积相等的两部分，求 的最
小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正余弦定理，结合三角恒等变换求解即可；
（2）先求得 的面积为 ，再设 ， ，根据余弦定理与基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 .
（2）因为 ， ，所以 的面积为
所以 的面积为 .
设 ， ，所以 ，即 ，
由余弦定理知 ，
当且仅当 时等号成立.
所以 的最小值为 .
40．（22·23下·盐城·三模）在 中, 为 的角平分线,且 .
(1)若 , ,求 的面积;
(2)若 ,求边 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 得到 的长,再利用三角形的面积公式求解即可;
（2）设 , ,根据 得到 ,在 中,利用余弦定理得到 ,由两者相等结合 的取值范围即可求出结果.
【详解】（1）因为 ,
所以 ,
得: ,
解得 ,
所以 .
（2）设 , ,
由 得
,
即 ,
所以 ,
又在 中 ,
所以 ,
得 ,
因为 且 ,
得 ,
则 ,所以 ,
即边 的取值范围为 .
