文档文本内容
2024年新高考新结构数学模拟卷（二）
（模拟测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1． 展开式中第3项的系数是（ ）
A．90 B．-90 C．-270 D．270
【答案】A
【分析】利用二项式定理求出通项公式，进而求出第3项.
【详解】 展开式的第3项为 ，故第3项系数为90，
故选：A
2．在等差数列 中，若 ，则公差
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】把 用 表示出来，根据题目条件列出方程组，即可求得本题答案.
【详解】在等差数列 中，因为 ，所以 ，求得 .
故选：B
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用，属于基础题.3．已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律求出 ，在根据向量 在向量 上的投影向量为 计算可得.
【详解】因为 ，且 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：C
4．在 中，“ ”是“ 为钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】C
【分析】推出 的等价式子，即可判断出结论.
【详解】
为钝角三角形.
∴在 中，“ ”是“ 为钝角三角形”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查和与差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中
档题.
5．已知三棱锥 ， 是以 为斜边的直角三角形， 为边长是2的等边三角形，且平面
平面 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件知，外接球的球心在过 的中点且垂直于平面 的直线上，又平面 平面 ，
所以可得等边三角形 的中心即为外接球的球心，求出 外接圆的半径即得三棱锥 外接球的半径．
【详解】直角三角形 外接圆的圆心是斜边 的中点 ，过该点作一条垂直于平面 的直线．
因为平面 平面 ，
所以所作直线在平面 内，且经过等边三角形 的中心，
所以等边三角形 的中心就是三棱锥 外接球的球心，
所以 外接圆的半径也是三棱锥 外接球的半径．
由正弦定理知， ( 是 的外接圆的半径)，即 ，
所以 ，
于是三棱锥 外接球的半径为 ，
故三棱锥 外接球的表面积为 ．
故选：A．
6．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是 ，当血氧饱和度低于
时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型： 描述血氧饱和度
随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中 为初始血氧饱和度，K为参数.已知 ，给氧1
小时后，血氧饱和度为 .若使得血氧饱和度达到 ，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据： ）
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
【答案】B【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要 小时，
由题意可得 ， ，两边同时取自然对数并整理，
得 ， ，
则 ，则给氧时间至少还需要 小时
故选： B
7．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 的直线与双曲线 分别在第一、二
象限交于 两点， 内切圆的半径为 ，若 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线定义结合已知得 ，进一步由余弦定理列方程，
结合离心率公式即可求解.
【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以 ，
点A在双曲线上，
，
又 ，
， ，
点B在双曲线上，
，
，，
设内切圆圆心为I，连接 ，如图所示，
，
，
即 ，
为等边三角形， ，
在 由余弦定理得： ，
即： ，
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是得到 ，由此即可顺利得解.
8．在锐角 中，角 所对的边分别为 ．若 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ，根据正弦定理边化角，再消去 ，可得 ，利用三角形是锐角三角形，可得 ，进而求出 ，对 化简，可求出结果．
【详解】因为 ，由正弦定理可知， ，
又 ，所以
所以 ，
所以
即 ，
又 是锐角，则 ，
则 ， ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
，则 ，则 ，
故选：B.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知 为复数，设 ， ， 在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】AB
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出 ， ， 三点的坐标，通过向量
的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.
【详解】设 ， ，
， ，
， ，
对于A， ，故选项A正确；
对于B， ， ，故选项B正确；
对于C， ，
当 时， ，故选项C错误；
对于D， ，
可以为零，也可以不为零，所以 不一定平行于 ，故选项D错误.
故选:AB.
10．如图，已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的
直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方， 在 轴的下方），
过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（ ）A．当直线 的斜率为1时， B．若 ，则直线 的斜率为2
C．存在直线 使得 D．若 ，则直线 的倾斜角为
【答案】AD
【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可.
【详解】易知 ，可设 ，设 ，
与抛物线方程联立得 ，
则 ，
对于A项，当直线 的斜率为1时，此时 ，
由抛物线定义可知 ，故A正确；
易知 是直角三角形，若 ，
则 ，
又 ，所以 为等边三角形，即 ，此时 ，故B错误；
由上可知 ，
即 ，故C错误；
若 ，
又知 ，所以 ，
则 ，即直线 的倾斜角为 ，故D正确.
故选：AD11．已知函数 定义域为R，满足 ，当 时， .若函数 的图
象与函数 的图象的交点为 ， ， ，(其中 表示
不超过 的最大整数)，则（ ）
A． 是偶函数B． C． D．
【答案】BC
【分析】举例说明判断A；分析函数 与 的性质，作出部分函数图象，结合图象与性质推理、计算
判断BCD.
【详解】函数 ，显然 ，而 ，即 ，因此 不
是偶函数，A错误；
函数 定义域为 ，满足 ，当 时， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ，
，
因此当 时，函数 在 上递减，
在 上递增，当 时， 取得最大值 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，当 时， ， ，
因此当 时，函数 ，
在同一坐标平面内作出函数 的部分图象，如图，
当 时，函数 的图象有唯一公共点 ，
因为 ，因此 ， ，而满足 的整数有 个，即
，B正确；
显然 ，
所以 ，C正确；
，数列 是首项为 ，公比为 的等
比数列，
所以 ，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：求两个分段函数的公共点的坐标，确定要求值的自变量属于哪一段区间，再代入该段
的解析式求值是关键.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）12．已知 的定义域为A，集合 ，若 ，则实数a的取值范围是
.
【答案】
【分析】先求出 的定义域得到集合A，再根据子集的定义即可求得a的取值范围.
【详解】 ，则 或 ，即 或 .
①当 时， ，满足 ，符合题意；
②当 时， ，所以若 ，
则有 或 （舍），解得 ；
③当 时， ，所以若 ，
则有 或 （舍），解得 .
综上所述， .
故答案为：
13．如图，圆锥底面半径为 ，母线PA＝2，点B为PA的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一
周，到达B点，其最短路线长度为 ，其中下坡路段长为 ．
【答案】
【分析】将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，过P作AB的垂线，垂足为M，最短路线即为扇形中的直线段AB，利用余弦定理求出即可；当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故
MB为下坡路段，求出即可.
【详解】如图，将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，
易知该扇形半径为2，弧长为 ，故圆心角∠APB＝ ，
最短路线即为扇形中的直线段AB，由余弦定理易知
AB＝ ＝ ，
cos∠PBA＝ ＝ ；
过P作AB的垂线，垂足为M，
当蚂蚁从A点爬行到M点的过程中，它与点P的距离越来越小，故AM为上坡路段，
当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，
下坡路段长MB＝PB･cos∠PBA＝ ．
故答案为： ， .
14．在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数 和 图象上的动点，若
对任意 ，有 恒成立，则实数m的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用同构思想构造 ，得到其单调性，得到 ，再构造， ，求导得到其单调性及其最小值，设设 ，利
用基本不等式得到 ，求出答案.
【详解】 ，令 ， ，
则
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故 在 处取得极小值，也是最小值，故 ，
故 ，当且仅当 时，等号成立，
令 ， ，
则 ，
令 ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ，故当 时， ，当 时， ，
故 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
故 在 处取得极小值，也时最小值，最小值为 ，
设 ，由基本不等式得，
，
当且仅当 ， ， 时，等号成立，
故 ，则 ．
故答案为：
【点睛】导函数求解取值范围时，当函数中同时出现 与 ，通常使用同构来进行求解，本题
变形得到 ，从而构造 进行求解.
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知函数 ， .
(1)求证：当 ， ；
(2)若 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分别构造函数 ， ， ，利用导
数分别求出两函数的最值，即可得证；
（2） 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，构造函数 ，由 分类讨论求出函数的最值即可得解.
【详解】（1）设 ，
则 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，
设 ， ，
则 ，
由 时， ，即 ，
所以 ，
设 ，则 ，
当 时， ，所以函数 在区间 上单调递增，
故在区间 上， ，即在区间 上， ，
所以 ，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 得证.
（2）由 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
设 ，则 在区间 上恒成立，
而 ，令 ，则 ，
由（1）知：在区间 上， ，
即 ，所以在区间 上函数 单调递增，
①当 时， ，
故在区间 上函数 ，所以函数 在区间 上单调递增，
又 ，故 ，即函数 在区间 上恒成立；
②当 时， ，
，
故在区间 上函数 存在零点 ，即 ，
又在区间 上函数 单调递增，
故在区间 上函数 ，
所以在区间 上函数 单调递减，
由 ，所以在区间 上 ，与题设矛盾.
综上， 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构
造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
16．某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙
两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内，
甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为 和 ，假设每次操作能否成功相互独立.
(1)随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率；
(2)操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：
方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型
设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作；
方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次
所选择的无人运输机进行操作.
假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值.
【答案】(1)
(2)方案一大于方案二
【分析】（1）利用条件概率公式，即可求解；
（2）首先确定两种方案成功次数 的取值，根据独立事件概率公式求概率，再比较其数学期望.
【详解】（1）用事件 表示选择甲种无人运输机，用事件 表示选择乙种无人运输机，
用事件 表示“选中的无人运输机操作成功”
则 ，
（2）设方案一和方案二操作成功的次数分别为 ， ，则 ， 的所有可能取值均为0，1，2，
方案一： ，
，，
所以 .
方案二：
，
，
，
所以 .
所以 ，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值.
17．在图1所示的平面多边形中，四边形 为菱形， 与 均为等边
三角形．分别将 沿着 ， 翻折，使得 四点恰好
重合于点 ，得到四棱锥 ．
(1)若 ，证明： ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求 的值．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）当 时，可得 为 的中点，然后利用线面垂直证明 平面 ，从而证明
，又由 ，从而可求证 .
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面 和平面 的法向量，然后由二面角 的余弦
值为 ，从而可求解 .
【详解】（1）证明：因为 ，所以 为 的中点．
由题可知， ，所以 ．
又 ， 平面 ，所以 平面 ．
取 ，如图，则 ．由 平面 ，可得 ，则 ．
（2）连接 ，易证得 平面 ，过点 作 ，垂足为 ，则 平面 ．
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴，建立如上图所示的空间直角坐标系．
由 ，得 ，
从而 ，则 ，
则 ，， ．
设平面 的一个法向量为 ，
则由 得
令 ，得 ．
由图可知，平面 的一个法向量为 ，
因为二面角 的余弦值为 ，
所以 ，解得 ．
故 的值为 .
18．在平面直角坐标系 中，双曲线 的左、右焦点分别为 的离心率为2，
直线 过 与 交于 两点，当 时， 的面积为3.
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知 都在 的右支上，设 的斜率为 .
①求实数 的取值范围；
②是否存在实数 ，使得 为锐角？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)① ②不存在，理由见解析【分析】（1）由已知条件可得 ，然后利用勾股定理结合双曲线的定义，及 的面积可
求出 ，再由离心率可求出 ，从而可求得双曲线的方程，
（2）①设直线 ，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合判别式可求出实数 的
取值范围；②假设存在实数 ，使 为锐角，则 ，所以 ，再结合前面的式
子化简计算即可得结论.
【详解】（1）因为 ，所以 .
则 ，所以 ，
的面积 .
又 的离心率为 ，所以 .
所以双曲线 的方程为 .
（2）①根据题意 ，则直线 ，
由 ，得 ，
由 ，得 恒成立.
设 ，则 ，
因为直线 与双曲线 的右支相交于 不同的两点，所以 ，即 ，
所以 ，解得 .
②假设存在实数 ，使 为锐角，所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
由①得 ，
即 解得 ，
与 矛盾，故不存在.
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，第（2）问解题的关
键是设出直线方程代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合 求解，考查计算能力，
属于较难题.
19．已知无穷数列 满足 ，其中 表示x，y中最
大的数， 表示x，y中最小的数.
(1)当 ， 时，写出 的所有可能值；(2)若数列 中的项存在最大值，证明：0为数列 中的项；
(3)若 ，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有 ？如果存在，写出一个
满足条件的M；如果不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据定义知 ，讨论 、 及 大小求所有 可能值；
（2）由 ，假设存在 使 ，进而有 ，可得 ，
即可证结论；
（3）由题设 ，令 ，讨论 、 求证 即可判断存在
性.
【详解】（1）由 ， ，
若 ，则 ，即 ，此时 ，
当 ，则 ，即 ；
当 ，则 ，即 ；
若 ，则 ，即 ，此时 ，
当 ，则 ，即 ；
当 ，则 ，即 （舍）；
综上， 的所有可能值为 .
（2）由（1）知： ，则 ，数列 中的项存在最大值，故存在 使 ， ，
由 ，
所以 ，故存在 使 ，
所以0为数列 中的项；
（3）不存在，理由如下：由 ，则 ，
设 ，
若 ，则 ， ，
对任意 ，取 （ 表示不超过 的最大整数），
当 时，
；
若 ，则 为有限集，
设 ， ，
对任意 ，取 （ 表示不超过 的最大整数），
当 时，
；
综上，不存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有 .
【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定 ，并构造集合 ，讨论
、 研究存在性.
