文档文本内容
2024年新高考新结构数学模拟卷（一）
（模拟测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．一组数据为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，则这组数据的上四
分位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据上四分位数的概念即可求得答案.
【详解】依题意，该组数据是从小到大排列，
又 ，所以所给数据的上四分位数是 ，
故选：D．
2．已知双曲线 =1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】由渐近线求得 ，由双曲线的离心率 求得答案.【详解】因为该双曲线的渐近线方程为y=±3x，则 ，
所以双曲线的离心率
故选：A
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线方程，属于简单题.
3．等差数列 和 的前 项和分别记为 与 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由等差数列下标和的性质可得 ，进而代值计算即可得解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
4．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①如果 ， ，那么 ；②如果 ， ，那么 ；
③如果 ，那么 ；④如果 ，那么 .
其中正确命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】①利用空间内两直线的位置关系判断；②利用空间内两直线的位置关系判断；③根据垂直于同一
直线的两平面平行判断；④利用直线与平面的位置关系判断.
【详解】①如果 ， ，那么 与b平行，相交或异面，故错误；
②如果 ， ，那么 与b平行或异面，故错误；③如果 ，由垂直于同一直线的两平面平行知正确；
④如果 ， 与 平行，相交或 在 内，故错误；
故选：C
5．某中学于2023年4月25日召开春季运动会，在开幕式之前，由高一，高二学生自发准备了7个娱乐节
目，其中有2个歌曲节目，3个乐器独奏，2个舞蹈节目，要求舞蹈节目一定排在首尾，另外2个歌曲节目
不相邻．则这7个节目出场的不同编排种数为（ ）
A．288 B．72 C．144 D．48
【答案】C
【分析】先把舞蹈节目排好，再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，再利用插空法排2个歌唱节目即
可.
【详解】先把舞蹈节目排好，共 种，
再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，共 种，
这样3个乐器独奏与2个舞蹈节目中间共产生4个空档（不包括两边），
2个歌唱节目排在4个空档上，共 种．
故这7个节目出场的不同编排种数为 种．
故选：C．
6．已知 ，则“ ”是“直线 和直线 垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线垂直的等价条件，求出 的取值，根据包含关系即可得到结论
【详解】直线 和直线 垂直，
则 ，解得 或 ，
所以“ ”是“直线 和直线 垂直”的充分不必要条件，
故选：A，
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂直的等价条件是解决本题的关键，属于基础题，
7．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用两角和与差的余弦展开式、余弦的二倍角公式可得 ，解法一，再将两边
平方可得 ，利用弦化切解得 ；解法二，再将两边平方可得 ，利用
求出 ，结合 求出 、 可得答案.
【详解】因为 ，
且 ，
所以
，
即 ，
解法一，上式两边同时平方可得 ，
所以 ，解得 或 ，
因为 ， ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，则 舍去，所以 .
解法二，上式两边同时平方可得 ，则 ，
因为 ，易知 ，
两边开方可得 ，结合 ，
可得 ， ，故 .
故选：B．
8．双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 作垂直于 轴的直线交双曲线于 两点，
的内切圆圆心分别为 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意画出图，由已知求出 的值，找出 的坐标，由 的内切圆圆心分别
为 ，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出 的底和高，利用三角形的面积
公式计算即可.
【详解】由题意如图所示：由双曲线 ，知 ，
所以 ，
所以 ，
所以过 作垂直于 轴的直线为 ，
代入 中，解出 ，
由题知 的内切圆的半径相等，
且 ， 的内切圆圆心
的连线垂直于 轴于点 ，
设为 ，在 中，由等面积法得：
由双曲线的定义可知：
由 ，所以 ，
所以 ，
解得： ，
因为 为 的 的角平分线，所以 一定在 上，即 轴上，令圆 半径为 ，
在 中，由等面积法得：
，
又
所以 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以
，
故选：A.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 是函数 的一个周期 B． 在 上单调递增
C． 的最小值是 D． 在 有3个零点
【答案】BCD
【分析】取特值计算判断A；利用导数判断B；由偶函数性质，结合 时的周期性分段讨论判断CD.
【详解】显然 ， ，
即 ，因此 不是函数 的一个周期，A错误；当 时， ， ， ，
求导得 ，因此 在 上单调递增，B正确；
函数 的定义域为R， ，
即函数 是偶函数，当 时， ，
显然 ，则只需讨论 在 上最小值，
当 时， ，而 ，且 与 不同时为0，则 ，
当 时， ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，由 ，得 ， ，
当 时， ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，由 ，得 ， ，
当 时， ， ，
由 ，得 ， ，
因此当 时， ， 的零点为 ，
所以函数 的最小值是 ，在 有3个零点，CD正确.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间
或其子区间上的最值求解.
10．已知复数 ，满足 ，下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 B．
C．若 ，则 D．
【答案】BD
【分析】对选项A，C，利用特殊值法即可判断A，C错误，对选项B，根据复数模长的性质即可判断B正
确，对选项C，根据复数模长公式即可判断D正确.
【详解】对选项A，设 ， ，则 ，
， ，不满足 ，故A错误.
对选项B，设 在复平面内表示的向量分别为 ，且 ，
当 方向相同时， ，
当 方向不相同时， ，
综上 ，故B正确.
对选项C，设 ， ， ，
，故C错误.
对选项D，设 ， ， ，
，
则 ，
，
故D正确.
故选：BD11．已知函数 ， 的定义域为 ， 为 的导函数，且 ，
，若 为偶函数，则下列一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由 是偶函数得出 是奇函数，由已知两条件推出 是以4为周期的函数，然后在已
知式中对自变量赋值求解．
【详解】由 是偶函数，则 ，两边求导得 ，
所以 是奇函数，故 ．
对于A，由 ，
代入 ，得 ，
又 是奇函数，
则 ，
所以 是周期函数，且周期为4， ，故A正确；
对选项B，令 得， ，令 得， ，
故 ，故B正确；
对于C：令 得 ，
即 ，若 ，则 ，
但 不一定为0，故C错误；
对于D：令 ，得 ，
故 ， ，所以 ，
令 ，得 ，则
则 ，由 是以4为周期得 ，
所以 ，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用条件得出函数 的奇偶性及周期性，进而得到函数 的性
质，然后利用赋值法求解.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．对于集合 ， ，我们把集合 叫做集合 与 的差集，记作 .若 ，
，则 .
【答案】
【分析】利用定义进行直接计算.
【详解】由差集的定义， ， ,
则 .
故答案为： .
13．如图是我国古代米斗，它是随着粮食生产而发展出来的用具，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下
来.已知一个斗型（正四棱台）工艺品上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为 ，则其外接球的表面积
为 .
【答案】
【分析】如图，设该正四棱台为四棱台 ，设上下底面的焦点分别为 ，则其外接球的
球心 在直线 上，先求出棱台的高，再利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式即可
得解.
【详解】如图，设该正四棱台为四棱台 ，
设上下底面的焦点分别为 ，则其外接球的球心 在直线 上，
由题意， ，
故四棱台 的高 ，
易知 在线段 上，设 ，外接球的半径为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
所以其外接球的表面积 .故答案为： .
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问
题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离
相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这
些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
14．已知当 ， 表示不超过 的最大整数，称 为取整函数，例如 ，若
，且偶函数 ，则方程 的所有解之和为 ．
【答案】 /
【分析】数形结合，在同一坐标系中分别画出 和 的图像，结合 分析
的解，从而求和即可.
【详解】当 时, ,则 ,
因为 为偶函数,
所以当 时， ,
由 有 ,
所以由 有 ,
在同一坐标系中分别画出 和 的图像,如下图所示.
由图像知,两个图像有4个交点,且交点的纵坐标分别为 ：
当 时,方程 的解为0和1；当 时,令 ,解得 ,
令 ,解得 ,
综上有方程 的解为 ,
所有解之和为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：数形结合解决函数零点的问题，需要根据题意作出图形，进而分析零点个数，同时
需要联立函数的方程求解零点.属于难题.
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数 的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出 ，从而得到 ，求出切线方程；
（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分 ， 和 三种情况，讨论得到函数
的单调性.
【详解】（1） ，
由已知 ，
∴ 得
又
∴曲线 在点 处的切线方程为
化简得：
（2） 定义域为R，
，令 得 或
①当 即 时，
令 得 或 ，令 得 ，
故 在 单调递减，在 ， 上单调递增；
②当 即 时， 恒成立，
故 在R上单调递增；
③当 即 时，
令 得 或 ，令 得 ，
在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
综上，当 时， 在 单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在R上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
16． ， ， ， 四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛结束时，负的一方
下场，第 局由 ， 对赛，接下来按照 ， 的顺序上场第 局、第 局 来替换负的那个人 ，每次负
的人其上场顺序排到另外 个等待上场的人之后 即排到最后一个 ，需要再等 局 即下场后的第 局 才
能参加下一场练习赛．设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果相互独立．
(1)求前 局 都不下场的概率；
(2)用 表示前 局中 获胜的次数，求 的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据前4局A都不下场，由前4局A都获胜求解；
（2）由 的所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求得其概率，列出分布列，再求期望.
【详解】（1）解：前4局A都不下场说明前4局A都获胜，
故前4局A都不下场的概率为
（2） 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
其中， 表示第1局B输，第4局是B上场，且B输，则 ；
表示第1局B输，第4局是B上场，且B赢；或第1局B赢，且第2局B输，
则 ；
表示第1局B赢，且第2局B赢，第3局B输，
则 ；
表示第1局B赢，且第2局B赢，第3局B赢，第4局B输，
则 ；
表示第1局B赢，且第2局B赢，第3局B赢，第4局B赢，
则所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
故X的数学期望为
17．在直角梯形 中， ， ， ，如图（1）．把 沿
翻折，使得平面 平面 ．
(1)求证： ；
(2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出 的值；若不存在，说
明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）利用勾股定理证明 ，再根据面面垂直的性质可得 平面 ，再根据线面垂直
的性质即可得证；
（2）以点 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为 ，且 ，
可得 ， ，
又因为 ，可得 ，
所以 ，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ；
（2）因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
如图所示，以点 为原点，建立空间直角坐标系，
可得 ， ， ， ，
所以 ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
假设存在点 ，使得 与平面 所成角为 ，
设 ，（其中 ），则 ， ，
所以 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以在线段 上存在点 ，使得 与平面 所成角为 ，此时 ．
18．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与抛物线 交于 、 两点，分
别过 、 两点作抛物线的切线，两条切线分别与 轴交于 、 两点，直线 与抛物线 交于 、
两点，直线 与抛物线 交于 、 两点， 为线段 的中点， 为线段 的中点．
(1)证明： 为定值；(2)设直线 的斜率为 ，证明： 为定值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ，则 ，写出直线 的方程，将直线 的方程与抛物线的方程联立，列出韦
达定理，写出抛物线在点 、 处的切线方程，求出点 、 的坐标，可得出直线 的方程，再将直线
的方程与抛物线的方程联立，可求出 ，进而可求出 ，然后结合韦达定理可求得 的
值；
（2）求出点 、 的坐标，可求得 的表达式，由此可求出 的值.
【详解】（1）证明：设 ，则 ，易知抛物线 的焦点为 ，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
接下来证明抛物线 在点 处的切线方程为 ，
联立 可得 ，即 ，即 ，
所以，直线 与抛物线 只有唯一的公共点，
所以， 的方程为 ，同理可知，直线 的方程为 ，在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，同理可得点 ，
所以，直线 的方程为 ，即 ，
设点 、 ，联立 可得 ，
则 ，由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
同理可得 ，
所以，
.
故 为定值 .
（2）解：设点 ，则 ，所以， ，
即点 ，同理可得点 ，所以， ，
所以， .
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
19．已知 是 个正整数组成的 行 列的数表，当
时，记 ．设 ，若 满足如下两个性质：
① ；
②对任意 ，存在 ，使得 ，则称 为 数表．
(1)判断 是否为 数表，并求 的值；
(2)若 数表 满足 ，求 中各数之和的最小值；(3)证明：对任意 数表 ，存在 ，使得 ．
【答案】(1)是；
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；
（2）根据条件讨论 的值，根据 ，得到相关的值，
进行最小值求和即可；
（3）当 时，将横向相邻两个 用从左向右的有向线段连接，则该行有 条有向线段，得到横向有
向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.
【详解】（1） 是 数表，
（2）由题可知 .
当 时，有 ，
所以 .
当 时，有 ，
所以 .
所以
所以
或者 ，或者 ，
或 ， 或 ，
故各数之和 ，
当 时，
各数之和取得最小值 .
（3）由于 数表 中共 个数字，
必然存在 ，使得数表中 的个数满足
设第 行中 的个数为
当 时，将横向相邻两个 用从左向右的有向线段连接，
则该行有 条有向线段，
所以横向有向线段的起点总数
设第 列中 的个数为 .
当 时，将纵向相邻两个 用从上到下的有向线段连接，
则该列有 条有向线段，
所以纵向有向线段的起点总数
所以 ,
因为 ,所以 .
所以必存在某个 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，
即存在
使得 ，所以 ，
则命题得证.
