专题 02 解三角形
1．在①ac=❑√3，②csin A=3，③c=❑√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角
形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
π
问题：是否存在△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sin A=❑√3sinB，C= ，________?
6
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsin A-❑√3a=0．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
3．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90∘，∠A=45∘，AB=2，BD=5.
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2❑√2，求BC.
a2
4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知△ABC的面积为
3sin A
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
B+C
5．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足bcos =asinB.
2(1)求A；
(2)若a=❑√19，⃑BA⋅⃑AC=3，AD是△ABC的中线，求AD的长.
6．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知 a=2❑√2,b=5,c=❑√13．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sin A的值；
( π)
（Ⅲ）求sin 2A+ 的值．
4
7．在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，⃗CD为⃗CA在⃗CB方向上的投影向量，且满足
.
2csinB=❑√5|⃗CD|
(1)求cosC的值；
(2)若b=❑√3,a=3ccosB，求ABC的周长.
π
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边AB上，∠A= ，BD=CD，AD=2.
4
❑√5
(1)若BD= b，求c；
3
(2)若a=2❑√2，求△ABC的面积.
π 5π
9．已知f (x)=sinωx(ω>0)，其图象相邻对称轴间的距离为 ，若将其图象向左平移 个单位得到函
2 12数y=g(x)的图象.
(1)求函数y=g(x)的解析式及图象的对称中心；
(B) (A π) 2c 5
(2)在钝角△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若f =g - ，求 + 的取值范
2 2 6 b cosA
围.
10．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=6，
2sin(A+C)+2bsin(B+C)=7❑√3．
(1)求角B的大小；
(2)若⃗AC=3⃗DC，BD=❑√37，求c的值．
❑√3 5
11．如图，在△ABC中，AB=AC= BC，点D在AB延长线上，且AD= BD．
3 2
sin∠ACD
(1)求 ；
sin∠BCD
(2)若△ABC面积为❑√3，求CD．
12．在①(2b-c)cosA=acosC，②asinB=❑√3bcosA，③acosC+❑√3csin A=b+c，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________．
(1)求A；
(2)若b=2，D为AB的中点，求CD的取值范围．
π
13．在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,A≠ ,sinC+sin(B-A)=❑√2sin2A．
2
(1)求角A的取值范围；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并求b的值．
❑√2 π 1
①sinC= ,c=2❑√3；②B=A+ ,c=❑√3；③sinA= ,C>B,AC边上的中线长为❑√3+1；
2 4 2
注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分．
❑√3
14．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为S= (a2+b2-c2 )，c=2❑√3．
4
π
(1)若B= ，求a；
4
(2)D为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值．
条件①：CD为∠C的角平分线； 条件②：CD为边AB上的中线．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
15．在△ABC中，B≠C，sinB+sinC=cosB+cosC．
(1)求A；(2)若在△ABC内（不包括边界）有一点M，满足CM=2MA=2MB，且∠AMC=90°，求tan∠ACB．
❑√6+❑√2
16．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinB+cosC= ，
4
❑√6+3❑√2
cosB+sinC= .
4
(1)求A；
(2)若a=❑√3，求三角形ABC的周长.
17．在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且 .
△ABC A,B,C a,b,c 2c2=(a2+c2-b2)(tanA+tanB)
(1)求角A的大小；
(2)若边a=❑√2，边BC的中点为D，求中线AD长的取值范围.
1
18．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a2-b2=accosB- bc
2
(1)求A；
(2)若a=6，2⃗BD=⃗DC，求线段AD长的最大值.
1
19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinB= ，且_________．
3
在①a2-b2+c2=2，②⃗AB⋅⃗BC=-1这两个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题．注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
(1)求ac；❑√2
(2)若sin AsinC= ，求b．
3
20．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=❑√3，b(1+cosC)=❑√3csinB.
(1)求角C的大小和边b的取值范围；
(2)如图，若O是△ABC的外心，求⃗OC⋅⃗AB+⃗CA⋅⃗CB的最大值.
21．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，c=2(acosC-b)，c2+a2=b2+❑√3ac，b=2.
(1)求A；
π
(2)若M,N在线段BC上且和B,C都不重合，∠MAN= ，求△AMN面积的取值范围.
3
22．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A=60°.
7❑√3
(1)若b=8，△ABC外接圆的半径为 ，求c；
3
(2)若b+c=6，求△ABC周长的取值范围.B+C
23．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csin =asinC.
2
(1)求角A的大小；
❑√21
(2)若b=2，sinB= ，求边c及sin(2B+A)的值.
7
❑√3
24．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A为锐角，asinB= b.
2
(1)求角A；
(2)若D为BC边上一点，且满足AD=CD=2BD，试判断△ABC的形状.
25．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2(1+cosA)=2bcsin2A．
(1)判断△ABC的形状；
2π
(2)已知D为BC上一点，则当A= ，a=3❑√3，AD=❑√3时，D为BC的几等分点？
3
26．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=sinB.
(1)证明：b≥ac；
(2)若△ABC为锐角三角形，且b=1，求asinB的取值范围.
π π
27．在△ABC中，❑√3sin ( B+ )=-cos ( B+ ) ．
6 6
(1)求B的值；
15❑√3
(2)给出以下三个条件：①a2-b2+c2+3c=0；②a=❑√3，b=1；③S = ，若这三个条件中仅有
△ABC 4两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求sin A的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
28．在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且__________.在下列两个条件中选择一个补充在
1
横线上：①b=ccosA+ a；②sin2C=sin240∘-sin40∘sin80∘+sin280∘
2
(1)求出角C的大小；
(2)若角C的平分线交边AB于点D，且c=2，求|CD|的取值范围.
( x x) ( x x)
29．已知向量⃗m= 2❑√3cos ,-2sin ，⃗n= cos ,cos ，函数y=f (x)=⃗m⋅⃗n.
2 2 2 2
[ π π]
(1)设θ∈ - , ，且f (θ)=❑√3+1，求θ的值；
2 2
❑√3
(2)在△ABC中，AB=1，f (C)=❑√3+1，且△ABC的面积为 ，求sin A+sinB的值.
2
A+B
30．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a-3b+6bsin2 =0．
2
(1)求证：a+3bcosC=0；
(2)求tanA的最大值．
31．在①tan A+tanB+❑√3=❑√3tan AtanB；②(c+a-b)(sinC-sin A+sinB)=asinB；③❑√3csinB=b(cosC+1)；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在
△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_______．
(1)求角C；
❑√3
(2)若△ABC的内切圆半径为 ,b=4，求a-c．
2
π ❑√3
32．设函数f (x)=2sinxcos ( x- )- ，若锐角 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ABC
3 2
△ △
外接圆的半径为R，acosB-bcosA=R．
(1)若f (A)=1，求B；
R-c
(2)求 的取值范围．
b
33．从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
❑√3 a+b c-b c+b
①S= (b2+c2-a2)，其中S为△ABC的面积，② = ，③❑√3sinC+cosC= ．
4 sinC sin A-sinB a
在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，_______________．
(1)求角A；
(2)若D为边AB的中点，CD=2❑√3，求b+c的最大值．
34．在△ABC中，D是边BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍.
(1)如图1，若∠BAC=120°，且|AD|=1，求△ACD的面积；❑√3-1
(2)如图2，若点E在边AB上，且|BC|=❑√3|AC|，|AE|= |AB|，求tan∠BCE的值.
2
35．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，bsin A+2❑√3cosB=❑√3c．
(1)求A；
π
(2)设C= ，D为边BC上一点，且∠BAD=∠CAD，求AD．
12
7π ❑√6+❑√2 π ❑√6-❑√2
参考数据：sin = ，sin = ．
12 4 12 4
sin2B-sin2 ∠ACB
36．在锐角三角形ABC中，sin A-sin∠ACB= ，AB=1．
sin(∠B+∠ACB)
(1)求∠B．
(2)求AB边上的高的取值范围．
a c
37．已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且 =
❑√3cosA sinC
(1)求A的大小；
(2)若a=6，求b+c的取值范围．2c-a
38．已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，其对边分别为a、b、c，若 +cosC=tanBsinC．
b
(1)求角B的值；
(2)若b=2，求△ABC面积S的最大值．
❑√3a c
39．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 = .
1+cosA sinC
(1)求角A的大小；
❑√6-❑√2
(2)若a=❑√3，c-b= ，求△ABC的面积.
2
40．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线BD交AC于点D．
(1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求∠ABC的大小．
①2(bcosC-a)=c；②2a+c=❑√3bsin A+bcosA；③a+ccos∠ABC=bcosC-c．
BD
(2)若AD=2CD，求 的取值范围．
AB+BC
