文档文本内容
考前回顾 04 数列（知识清单+易错分析+23 年高考真题+24
年最新模拟）
知识清单
1．牢记概念与公式
等差数列、等比数列(其中n∈N*)
等差数列 等比数列
通项公式 a＝a ＋ ( n － 1 ) d a＝a q n － 1 ( q ≠ 0)
n 1 n 1
①q≠1，S＝＝；
n
前n项和公式 S＝＝na＋d
n 1
②q＝1，S＝na
n 1
2.活用定理与结论
(1)等差、等比数列{a}的常用性质
n
等差数列 等比数列
①若m，n，p，q∈N*，且m
①若m，n，s，t∈N*，且m＋n＝
＋n＝p＋q，则a ＋ a ＝ a＋
m n p
s＋t，则a · a ＝ a · a ；
m n s t
a；
q
性质 ②a＝a · q n － m ；
n m
②a＝a ＋ ( n － m ) d；
n m
③S ，S －S ，S －S ，…仍成
m 2m m 3m 2m
③S ，S －S ，S －S ，…
m 2m m 3m 2m
等比数列(S ≠0)
m
仍成等差数列
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法
a
n＋1
－a
n
＝d(常数)(n∈N*)⇔{a
n
}是等差数列；
②通项公式法
a＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a}是等差数列；
n n
③中项公式法
2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
(n∈N*)⇔{a
n
}是等差数列；
④前n项和公式法
S＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a}是等差数列．
n n
(3)判断等比数列的常用方法
①定义法＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{a}是等比数列；
n
②通项公式法
a＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{a}是等比数列；
n n
③中项公式法
a＝a
n
·a
n＋2
(a
n
≠0，n∈N*)⇔{a
n
}是等比数列．
3．数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．
(2)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c＝a＋b 形式的数列求和问题的方法，其中{a}与
n n n n
{b}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．
n
(3)通项公式形如a＝(其中a，b，b，c为常数)用裂项相消法求和．
n 1 2
裂项相消法常见形式：
＝－，
＝，
＝，
＝－.
(4)形如{a·b}的数列(其中{a}为等差数列，{b}为等比数列)，利用错位相减法求和．
n n n n
(5)通项公式形如a＝(－1)n·n，a＝a·(－1)n或a＝(－1)n(2n＋1)(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列
n n n
求和一般用并项法．并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论．
易错提醒
1．已知数列的前n项和求a，易忽视n＝1的情形，直接用S－S 表示．作答时，应验证a 是否满足a
n n n－1 1 n
＝S－S ，若是，则a＝S－S ；否则，a＝
n n－1 n n n－1 n
2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±.
3．易忽视等比数列中公比q≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．
4．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
5．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．
易错分析
易错点1 忽视公式 的适用条件而导致错误
1. [河北 2023 适应考]已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （
）
特别提醒：本题易忽视公式 的适用条件 而导致错误.利用此公式求得 后，一定要验证时是否满足所求出的 ，若不满足，则要用分段形式来表示.
【解析】
令 ，可得 ， 解得 .
①，
②，
由①-②可得
【答案】
易错点2 混淆等差数列单调性与最值的关系致误
2.[湖南株洲2023联考]等差数列 是递增数列，公差为 ，前 项和为 ，满足 ，则下列说
法正确的是（ ）
特别提醒：（1）若公差 ，则 是递增数列，有 最小值，
此时若 ，则 的最小值为 ，若 ，使 成立的 的最大正整数为 ，则 的最小值为
，若恰有 ，则 的最小值为 和
（2）若公差 ，则 是常数列.此时若 ，则 的最小值为 ；若 ，则 的最大值为
.（3）若公差 ，则 是递减数列， 有最大值，
此时若 ，使 成立的 最大正整数为 ，则 的最大值为 ，若恰有 ，则 的最大值
为 和 ；若 ，则 的最大值为 .
【解析】对于 ，由 ，得 ，即 （关键：根据条件得到首项和公差
之间的关系，由此可消去首项 ，只需借助 的范围进行讨论即可）由于 是递增数列，所以 ，
故 错误；对于 ， ，由于 ，故当
，且 时， 当 时， ，当 ， 时，
因此当 或 时， 最小，故 错误，对于 ，令 ，由于
，故解得 ，且 ，故当 时， 的最小值为8，故 正确.
【答案】
易错点3 未对 的奇偶性进行讨论而致误.
3.[江西上饶2023一模]在数列 中， ， . ，记数列
的前 项和为 ，则 .
特别提醒：（1）由 ，易得数列 的符号规律为 因此在求数列通项
时需对 的奇偶性分类讨论；
（2） 的通项公式应为 ，因此求和时也要对 的奇偶性进行分类讨
论.
【解析】因为
所以 ，所以 .在 中，令 ，则
所以 ，则该数列奇数项是以 为首项，公比为 的等比数列，偶数项是以 为首项，
公比为 的等比数列，
故
【答案】
易错点4 忽视递推公式 满足的条件而致误
4.[山西怀仁一中 2022 期末]已知数列 ， 为 的前 项和， ，则 =
.
特别提醒：在由递推公式 求通项公式时，要注意 这个条件是对数列中的所有
项都满足递推公式，一旦出现 此时 这个条件是对数列中从第二项开始满足
递推公式，在求通项公式的时候一定要进行辨别.
【解析】 ①
②
①-②得 又
所以
【答案】易错点5. 求 前 项和时忽略对 取值的讨论而致误
5.[海南 2022 诊断]在等差数列 中， ， 与 互为相反数， 为 的前 项和，
，则 的最小值是 .
特别提醒：分清楚 取何值时 或 ，当 的各项都为非负数时， 的前 项和等于
的前 项和，当 的各项都为非正数时， 的前 项和等于 的前 项和的相反数，当 的
某些项是正的，某些项是负的时，要对 进行分类讨论，转化成 的前 项和求解.
【解析】设等差数列 的公差为 .
解得
由 得 ，由 得
当 时，
当 时，
当 时，
对于函数 ， 当 时 ， 在 上单调递
增
当 时， 为最小值
当 时， ，对于函数 ，
当 时， ， 函数 在 上单调递增，当 时， 为最小值.
综上所述， 的最小值是6
易错点6 忽视对公比是否为1的讨论而致误
6.[浙江诸暨2022期末]已知等比数列 ，首项为 ，公比为 ，前 项和为 .若数列 是等比
数列，则（ ）
特别提醒：在利用等比数列的前 项和公式时，若其公比 不确定，则应对公比分 和 两种情况
进行讨论.在解题时首先讨论公比 这一特殊情况，再在 的情况下，应用等比数列的前 项和公式
对式子进行整理变形，再进行研究.
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 .
若 ，则 ，由题意可得 ，
即
所以 不合题意，
若 ，则 ，则
由题意可得，
即
所以
可得 ，故选
高考真题
一．选择题（共8小题）
1．（2023•全国） 为等差数列的前 项和， ， ，则A．2 B．11 C．15 D．19
【分析】可设公差为 ，根据 ， 即可建立关于 ， 的方程组，然后解出 ， 的值，然后
即可求出 的值．
【解答】解：设等差数列的公差为 ，则： ，解得 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前 项和公式，考查了计算能力，属于基础题．
2．（2023•甲卷）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则
A．25 B．22 C．20 D．15
【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式先求出 ， ，然后结合等差数列的求和公式可求．
【解答】解：等差数列 中， ，
所以 ，
，
故 ，
则 ， ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
3．（2023•天津）已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值为
A．3 B．18 C．54 D．152【分析】由已知递推关系先表示出 ， ，然后结合等比数列的性质可求首项 ，公比 ，进而可求 ．
【解答】解：因为 为等比数列， ，
所以 ， ，
由等比数列的性质可得， ，
即 ，
所以 或 （舍 ，
所以 ， ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，属于基础题．
4．（2023•新高考Ⅱ）记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A．120 B．85 C． D．
【分析】由题意知公比 ，设首项为 ，由 求出 ，再代入 求出 ，由此求得 ．
【解答】解：等比数列 中， ， ，显然公比 ，
设首项为 ，则 ①， ②，
化简②得 ，解得 或 （不合题意，舍去），
代入①得 ，
所以 ．
故选： ．【点评】本题考查了等比数列的前 项和公式计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
5．（2023•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【分析】首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的论证．
【解答】解：若 是等差数列，设数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，
即 ，
故 为等差数列，
即甲是乙的充分条件．
反之，若 为等差数列，则可设 ，
则 ，即 ，
当 时，有 ，
上两式相减得： ，
当 时，上式成立，所以 ，
则 （常数），
所以数列 为等差数列．
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．
故本题选： ．【点评】本题主要考查利用定义进行等差数列的判断，穿插了充要条件的判定，属中档题．
6．（2023•甲卷）已知正项等比数列 中， ， 为 前 项和， ，则
A．7 B．9 C．15 D．30
【分析】利用已知条件求解等比数列的公比，然后求解即可．
【解答】解：等比数列 中，设公比为 ，
， 为 前 项和， ，显然 ，
（如果 ，可得 矛盾），
可得 ，
解得 ，即 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查等比数列前 项和的求法，是中档题．
7．（2023•北京）数列 满足 ，下列说法正确的是
A．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，
B．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
C．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，
D．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
【分析】法 利用数学归纳法进行分析排除即可．
法 由题意可得 ， ，可得 ，分别将 ，5，7，9代入，可得 的解析式，进而判断所给命题的真假．
【解答】解：法 对原式进行变形，得 ，
当 ，则 ， ，
设 ，则 ，所以 是递减数列，
当 ， ， 错误，同理可证明 错误，
当 ，则 ，即 ，又因为 ，所以 ，
假设 ，则 ，即 ，又因为 ，所以 ，
所以当 ， ， 正确，
对于 ，当 ，可得 ， ，可得 是递减数列， ，
故不存在 ，使得 时， 恒成立， 错误．
法 ，可得 ， ，
所以 ， ，
，
归纳猜想： ，
当 时， ，即 ，所以 是递减数列，
无边界；
时， ，即 ，由复合函数的单调性，
可得 是递增，有边界，所以 正确；时， ，所以 是递减数列，有边界；所以 不正确；
时， ，所 以 是递增数列，无边界；所以 不正确；
故选： ．
【点评】本题主要考查使用数学归纳法对数列的增减性和敛散性进行判断，属中档题．
8．（2023•上海）已知无穷数列 的各项均为实数， 为其前 项和，若对任意正整数 都有
，则下列各项中可能成立的是
A． ， ， ， ， ， 为等差数到， ， ， ， ， ， 为等比数列
B． ， ， ， ， ， 为等比数列， ， ， ， ， ， 为等差数列
C． ， ， ， ， 为等差数列， ， ， ， ， 为等比数列
D． ， ， ， ， 为等比数列， ， ， ， ， 为等差数列
【分析】由对任意正整数 ，都有 ，可以知道 ， ， ， ， 不可能为等差
数列，若 ， ，则 ，矛盾；若 ， ，当 ， ， 使得
，矛盾；若 ， ，当 ， ，必有 使得 ，矛盾；若 ，
当 ， ， 必有 使得 ，矛盾；若 ，当 ， ，
，必有 使得 ，矛盾；即可判断．
【解答】解：由对任意正整数 ，都有 ，可以知道 ， ， ， ， 不可能为
等差数列，
因为若 ，当 ， ， ，必有 使得 ，矛盾；若 ， ，则，矛盾；
若 ， ，当 ， ， 使得 ，矛盾；若 ， ，当 ，
，必有 使得 ，矛盾；
若 ，当 ， ， 必有 使得 ，矛盾；
所以选项 中的 ， ， ， ， 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项 中的 ， ， ， ， 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项 中的 ， ， ， ， 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
由排除法可得 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
9．（2023•甲卷）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为 ．
【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可直接求解．
【解答】解：等比数列 中， ，
则 ，
所以 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
10．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前 项和为 ，则 18 9 ．【分析】直接利用等比数列的前 项和公式求解．
【解答】解： 等比数列的首项为3，公比为2，
．
故答案为：189．
【点评】本题主要考查了等比数列的前 项和公式，属于基础题．
11．（2023•乙卷）已知 为等比数列， ， ，则 ．
【分析】根据等比数列的性质即可求解．
【解答】解： 等比数列 ，
，解得 ，
而 ，可得 ，
即 ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查等比数列的性质，是基础题．
12．（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质
量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9的数列 ，该数列的前3项成
等差数列，后7项成等比数列，且 ， ， ，则 48 ，数列 的所有项的和为
．
【分析】根据数列 的后7项成等比数列， ，可得 ， ，可得公比 ，进
而得出 ，利用求和公式即可得出结论．
【解答】解： 数列 的后7项成等比数列， ，，
，
公比 ．
，
又该数列的前3项成等差数列，
数列 的所有项的和为 ．
故答案为：48；384．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及性质、方程思想方法，考查了推理能力
与计算能力，属于中档题．
三．解答题（共8小题）
13．（2023•全国）已知 为等比数列，其前 项和为 ， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求 的前 项和 ．
【分析】（1）利用等比数列的前 项和公式，建立方程组进行求解即可．
（2）求出 的通项公式，得到 是等比数列，利用等比数列的前 项和公式进行求解即可．
【解答】解：（1） 为等比数列，其前 项和为 ， ， ．
， ，
则 ，两式作商得 ，即 ，得 ， ，
则 ， ．
（2） ，
当 时， ，
即 是公比为 的等比数列，首项 ，
则 ．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式和前 项和公式的计算，利用方程组法建立方程求出首项和公
比是解决本题的关键，是中档题．
14．（2023•乙卷）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【分析】（1）建立方程组求出首项和公差即可．
（2）求出 的表达式，讨论 的取值，然后进行求解即可．
【解答】解：（1）在等差数列中， ， ．
，即 ，
得 ， ，
则 ．
（2） ，即 时， ，
当 时， ，
当 时，数列 的前 项和 ，
当 时 ， 数 列 的 前 项 和
．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和数列求和，建立方程组求出首项和公差是解决本题的关键，
是中档题．
15．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ， 的前 项和，
， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前 项和公式，即可求解；
（2）根据已知条件，求出 ， ，再结合作差法，并分类讨论，即可求证．
【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ，
， 为 的前 项和， ， ，
则 ，即 ，解得 ，
故 ；
（2）证明：由（1）可知， ，，
当 为偶数时， ，
，
，
当 为奇数时， ， ，
，
故原式得证．
【点评】本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题．
16．（2023•甲卷）已知数列 中， ，设 为 前 项和， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【分析】（1）求得 ，进而可得当 时，可得 ，由累乘法可求 的通项公式；
（2） ，利用错位相减法可求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ，
， ，
当 时，可得 ，，
当 或 时， ， 适合上式，
的通项公式为 ；
（2）由（1）可得 ，
， ，
，
．
【点评】本题考查求数列的通项公式，考查数列的前 项的和的求法，属中档题．
17．（2023•北京）数列 ， 的项数均为 ，且 ， ，2， ， ， ， 的前
项和分别为 ， ，并规定 ．对于 ，1，2， ， ，定义 ， ，
1，2， ， ，其中， 表示数集 中最大的数．
（Ⅰ）若 ， ， ， ， ， ，求 ， ， ， 的值；
（Ⅱ）若 ，且 ， ，2， ， ，求 ；
（Ⅲ）证明：存在 ， ，使得 ．
【分析】（Ⅰ）根据题意可得，列表分析 ， ， ， ， 的值，即可得出答案．
（Ⅱ）由题意知 且 ， ， ，则 ， ，当且仅当 时，等号成立，可推出
，即 ，用反证法证明满足 的最小正整数为 不成立，推出 成立，由等差数列的性质，即可得出答案．
（Ⅲ）分两种情况：若 时，若 时，证明 ，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）列表如下，对比可知 ， ， ， ．
0 1 2 3
2 1 3
0 2 3 6
1 3 3
0 1 4 7
0 1 1 2
（Ⅱ）由题意知 且 ，
因为 ， ， ， ，2， ， ，
所以 ， ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ， ，
又因为 ，
则 ，即 ，
可得 ，
反证：假设满足 的最小正整数为 ，
当 时，则 ；
当 时，则 ，
则 ，又因为 ，则 ，
所以假设不成立， 成立，
所以数列 是以首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ， ．
（Ⅲ）证明：若 ，设 ， ，
根据题意可得 且 为整数，
反证法：假设存在正整数 ，使得 ，
且 （若 时， 显然成立， 和 同理，只需要论证
， 不存在），
则 ， ，
所以 ，
这与 ， ， 相矛盾，
所以对任意 ， ，均有 ，
①若存在正整数 ，使得 ，即 ，
取 ， ， ，使得 ，
②若不存在正整数 ，使得 ，
因为 ， ， ， ，且 ，
所以必存在 ，使得 ，即 ，可得 ，取 ， ， ， ，使得 ，
若 ，设 ， ，
根据题意可得 且 为整数，
反证法：假设存在正整数 ，使得 ，
则 ， ，
所以 ，
这与 ， ， 相矛盾，
所以对任意 ， ，均有 ，
①若存在正整数 ，使得 ，即 ，
取 ， ， ，使得 ，
②若不存在正整数 ，使得 ，
因为 ， ， ， ，且 ，
所以必存在 ，使得 ，即 ，可得 ，
取 ， ， ， ，使得 ．
综上所述，存在 ， ，使得 ．
【点评】本题考查数列的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
18．（2023•上海）已知 ，在该函数图像 上取一点 ，过点 ， 作函数 的切线，
该切线与 轴的交点记作 ，若 ，则过点 ， 作函数 的切线，该切线与 轴的交点记作 ，以此类推 ， ， ，直至 停止，由这些项构成数列 ．
（1）设 属于数列 ，证明： ；
（2）试比较 与 的大小关系；
（3）若正整数 ，是否存在 使得 、 、 、 、 依次成等差数列？若存在，求出 的所有取值；
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对函数 求导，利用导数的几何意义，可得过点 ， 的切线方程，再结合题
意即可得证；
（2）由不等式 ，结合（1）即可得出结论；
（3）易知公差 ， ，考察函数 ，利用导数可知 的
单调性情况，进而得到至多存在两个 ，使得 ，由此可知 ，再验证即可．
【解答】解：（1）证明： ，
则过点 ， 的切线的斜率为 ，
由点斜式可得，此时切线方程为 ，即 ，
令 ，可得 ，
根据题意可知， ，即得证；
（2）先证明不等式 ，
设 ，则 ，
易知当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，则 （1） ，即 ，
结合（1）可知， ；
（3）假设存在这样的 符合要求，
由（2）可知，数列 为严格的递减数列， ，2，3， ， ，
由（1）可知，公差 ， ，
先考察函数 ，则 ，
易知当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
则 至多只有两个解，即至多存在两个 ，使得 ，
若 ，则 ，矛盾，则 ，
当 时，设函数 ，
由于 ， ，
则存在 ，使得 ，
于是取 ， ， ，它们构成等差数列．
综上， ．
【点评】本题考查数列与函数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
19．（2023•天津）已知 是等差数列， ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式和 ；
（Ⅱ）已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 ．
当 时，求证： ；求 的通项公式及其前 项和．
【分析】（Ⅰ）建立方程组求出首项和公差即可求解．
（Ⅱ）根据数列递推关系，利用极限思想分别求出公比和首项，即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ） 是等差数列， ， ．
，得 ， ，
则 的通项公式 ，
中的首项为 ，项数为 ，
则 ．
（Ⅱ） ， ， ，
即 ，
当 时， ．
，且 ，
即 ，
综上 ，故成立；
成立，
为等比数列， 设公比为 ，
当 时， ， ，则 ，
即 ，
即 ，
当 ， ， ，
，
时， ，
，
即 ，
即 ，
当 ， ， ，
则 ，
则 ，即 的通项公式为 ，
则 的其前 项和 ．
【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式以及求和公式的应用，利用方程组法以及数列的递
推关系进行求解是解决本题的关键，是中档题．
20．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 ， 分别为数列 ，
的前 项和．（1）若 ， ，求 的通项公式；
（2）若 为等差数列，且 ，求 ．
【分析】（1）根据题意及等差数列的通项公式与求和公式，建立方程组，即可求解；
（2）根据题意及等差数列的通项公式的特点，可设 ，则 ，且 ；或设 ，
则 ，且 ，再分类讨论，建立方程，即可求解．
【解答】解：（1） ， ，
根据题意可得 ，
，
，又 ，
解得 ， ，
， ；
（2） 为等差数列， 为等差数列，且 ，
根据等差数列的通项公式的特点，可设 ，则 ，且 ；
或设 ，则 ，且 ，
①当 ， ， 时，
则 ，
， ，又 ，解得 ；
②当 ， ， 时，
则 ，
， ，又 ，
此时 无解，
综合可得 ．
【点评】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式与求和公式的应用，方程思想，化归转化思想，
分类讨论思想，属中档题．
最新模拟
一．选择题（共16小题）
1．（2024•江苏模拟）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据题意，由等差数列的性质可得 ， ， ， ， 也成等差数列，
结合等差数列的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，等差数列 中， ， ， ， ， 也成等差数列，
其首项 ，第二项 ，则其公差 ，
则 ，故 ．
故选： ．
【点评】本题考查等差数列的性质以及应用，涉及等差数列的求和，属于基础题．
2．（2024•如皋市模拟）在等比数列 中， ， ，且前 项和 ，则此数列的
项数 等于A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】由等比数列的下标和性质有 ，联立 解得 ，或 ．再结
合通项公式和求和公式分类讨论．
【解答】解：在等比数列 中， ，
所以 ， 是方程 的两个根，所以 ，或 ．
当 ， 时， ，解得 ，
由 ，解得 ．
当 ， 时， ，解得 ，
由 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查等比数列的下表和性质，通项公式与求和公式，属于基础题．
3．（2024•红谷滩区校级模拟）设 是等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A．2 B． C． D．
【分析】根据题意，设等比数列 的公比为 ，由等比数列的性质分析可得 ，又由
，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设等比数列 的公比为 ，若 ，则有 ，变形可得 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题．
4．（2024•泰州模拟）在等差数列 中，已知 ， ， ， ，则 是
的
A．充分但不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【分析】由等差数列的性质可知 ， ， ， ， ，反之不一定成立．
【解答】解：由等差数列的性质可知 ， ， ， ， ，
反之，取数列 为常数列，对任意 ， ， ， ，都有 ．
故选： ．
【点评】本题考查充要条件的判断和等差数列的性质，属基本题．
5．（2024•海淀区校级模拟）设 是等差数列，下列结论中正确的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【分析】利用等差数列的通项公式及性质逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：对于 ， ， ， 的正负无法判断， 正负无法判断，故 错误；
对于 ， ， ， 正负无法判断，故 错误；
对于 ， ，故 错误；
对于 ， ， ，则 ，即 ，故 正
确．
故选： ．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是中档题．
6．（2024•重庆模拟）记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则
A． B． C．10 D．12
【分析】利用等差数列的通项公式以及前 项求和公式求解即可．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，
由 可得， ，即 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及性质的应用，属于基础题．
7．（2024•黑龙江模拟）等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A．10 B．70 C．30 D．90
【分析】由等比数列的性质可得， ， ， 成等比数列即 ，代入
可求．
【解答】解：由等比数列的性质可得， ， ， 成等比数列故选： ．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质（若 为等比数列的前 项和，且 ， ， 不为
0，则其成等比数列）的应用．
8．（2024•重庆模拟）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一
定移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用 表示解下 个圆环所需要最少移
动的次数，数列 满足 ，且 ，则解下5个环所需要最少移动的次数为
A．7 B．10 C．16 D．31
【分析】直接利哟用数列的通项公式的应用求出结果．
【解答】解：数列 满足 ，且 ，
则： ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于
基础题．
9．（2024•乌鲁木齐模拟）已知数列 满足 ， ，且 ，则
A． B． C． D．
【分析】判断数列 是等差数列，求出通项公式，然后求解 即可．【解答】解：数列 满足 ， ，且 ，
数列 是等差数列，首项为： ，公差为： ，
所以 ，
所以 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力，是基础题．
10．（2024•长沙模拟）数列 的通项公式为 ，若数列 单调递增，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． D． ，
【分析】数列 单调递增 ，可得： ，环境解出即可得出．
【解答】解：数列 单调递增 ，可得： ，化为： ．
．
故选： ．
【点评】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（2024•兴义市模拟）记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A．120 B．85 C． D．
【分析】由题意知公比 ，设首项为 ，由 求出 ，再代入 求出 ，由此求得 ．
【解答】解：等比数列 中， ， ，显然公比 ，设首项为 ，则 ①， ②，
化简②得 ，解得 或 （不合题意，舍去），
代入①得 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了等比数列的前 项和公式计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
12．（2024•龙岗区校级模拟）已知 是等比数列 的前 项和，且存在 ，使得 ， ，
成等差数列．若对于任意的 ，满足 ，则
A． B． C．32 D．16
【分析】可得 ，再利用通项公式即可求 的值．
【解答】解：显然 不满足题意，则 ，
， ， 成等差数列，
， ，
化简得： ，即 ，
由于 ，则 ，
对于任意的 ，满足 ，
则 ， ，
．故选： ．
【点评】本题考查等比数列的性质，属于中档题．
13．（2024•江西模拟）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数
学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段 ，作一个等边三角形
，然后以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 （第一段圆弧），再以点
为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 ，再以点 为圆心， 为半径逆时针画圆
弧 以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为
A． B． C． D．
【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可．
【解答】解：由题意每段圆弧的中心角都是 ，每段圆弧的半径依次增加1，
则第 段圆弧的半径为 ，弧长记为 ，则 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查扇形的弧长公式，等差数列的求和公式，属于中档题．
14．（2024•新会区校级模拟）设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且
，下列结论正确的是
A． B．
C． 是数列 中的最大值 D．数列 无最大值【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可依次求解．
【解答】解：对于 ，在等比数列 中，由 ，
则 ，则 ，
，即 ，
， ，故 错误，
对于 ，在等比数列 中， ， ，则 ，则 ，即 ，故
正确．
对于 ， ，则 是数列 中的最大项，故 错误， 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于中档题．
15．（2024•陕西模拟）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的前 项和为
A． B． C． D．
【分析】根据 ， 关系求出 ，最后再根据等比数列前 项和公式计算求解即可．
【解答】解：由题意，当 时，由 ，
可得 ，
两式相减，可得 ，
数列 是等比数列， ，
由 ，解得 ，
数列 是首项为1，公比为2的等比数列，， ，
，
数列 是首项为1，公比为4的等比数列，
数列 的前 项和为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，等
比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
16．（2024•山东一模）将方程 的所有正数解从小到大组成数列 ，记
，则
A． B． C． D．
【分析】由三角函数的恒等变换化简方程 ，并求值，判断 以 ， 重复
循环出现，且 ， ， ，计算可得所求和．
【解答】解： ，即为 ，
即 ，
所以 或 ， ，
即 或 ， ，
而 ，
所以 ，，
，
，
所以 ， ，
， ，
后面的值都是以 ， 重复循环出现，且 ， ， ，
所以 ，
故选： ．
【点评】本题考查三角函数与数列的综合，以及三角函数的化简和求值、数列的求和，考查转化思想和方
程思想、运算能力，属于中档题．
二．多选题（共1小题）
17．（2024•芝罘区校级模拟）如图，已知点 是平行四边形 的边 的中点， 为边
上的一列点，连接 交 于 ，点 满足 ，其中数列 是
首项为1的正项数列， 是数列 的前 项和，则下列结论正确的是
A． B．数列 是等比数列
C． D．
【分析】此题在向量基础上把数列综合进来，其本质还是向量线性表示问题．首先利用平面向量找到数列
递推公式，再求解．
【解答】解 为 中点，，
，
又 、 、 三点共线，
，
又 ，
，化简可得 ，
，
数列 是等比数列．
又 ，
，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题综合了数列与向量，题目看起来比较复杂，部分学生不愿静下心来去思考．其本质还是向量
线性表示，构造等式后得到数列递推公式，从而求解．综合性较强，属于中档偏难题．
三．填空题（共5小题）
18．（2024•番禺区校级模拟）应越共中央总书记阮富仲、越南国家主席武文赏邀请，中共中央总书记、
中国国家主席习近平于2023年12月12日至13日对越南进行国事访问，期间，共同探讨了经济、政治等
领域的诸多问题，构建了具有战略意义的中越命运共同体，访问受到了越南各层各界的隆重欢迎，引起了
全世界的广泛关注．“访、越、南”三个汉字的笔画数，经过适当调整能构成一个等差数列，则此等差数列的公差为 ．
【分析】根据“访、越、南”三个汉字的笔画数，调整后构成等差数列，求得公差即可．
【解答】解：由题意知“访、越、南”三个汉字的笔画数分别为6，12，9，
又因为三个汉字的笔画数调整顺序能构成一个等差数列，
故这三个数组成的等差数列可以为6，9，12或12，9，6，
因此 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
19．（2024•海淀区校级模拟）已知 ，4， 成等比数列，且 ，则 4 ．
【分析】推导出 ， ，由此能求出 ．
【解答】解： ，4， 成等比数列，且 ，
， ，
．
故答案为：4．
【点评】本题考查对数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．（2024•吴兴区校级模拟）已知等比数列 中， ，前 项和为 ， 成等比数列，则
．
【分析】设等比数列 的公比为 ，由题意可得 的方程，解方程可得 ，可得答案．
【解答】解：设等比数列 的公比为 ，
， ， ，
又 也成等比数列，
，
解得 ， ，故答案为：
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．
21．（2024•浦东新区校级模拟）设 ， ， ， ，则数列 的通项公式
， ．
【分析】根据递推关系，分别求出 ， ， ， 的值，由此猜想 ，并用数学归纳法证明即可．
【解答】解： ， ， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
则 ，
由此猜想 ，
用数学归纳法证明，①当 时，成立，
②假设当 时成立，即 ，
， ，
，故当 时猜想成立，
由①②可知， ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，猜想数列的通项公式，用数学归纳法，属于中档题．
22．（2024•如皋市模拟）小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有 层
，设第1层的“环境满意度”为1，且第 层 比第 层的“环境满意
度”多出 ；又已知小王有“恐高症”，设第 1 层的“高层恐惧度”为 1，且第 层
比第 层的“高层恐惧度”高出 倍．在上述条件下，若第 层“环境满意度”与“高
层恐惧度”分别为 ， ，记小王对第 层“购买满意度”为 ，且 ，则小王最想买第 1 0 层
住宅．
（参考公式及数据： ， ， ，
【分析】由题意可得 ，且 ， ； ， ，从而可求
出 和 ，则 ，方法一：作商比较 ， 的大小可得结论，方法二：构造函数 ，
利用导数求其最大值即可．
【解答】解：依题意， ，且 ， ，
所以，
由题意得 ， ，
所以 是以1为首项， 为公比的等比数列，所以 ．
故小王对第 层住宅的购买满意度 ．
方法一：
由 ．即 ，
解得 ，
所以 ，
同理有 ，小王最想购买第10层住宅．
方法二：
设 ， ，则 ，
故 时 ，故 在 上为增函数，
时 ，故 在 上为减函数．
由于 ， ，故 最大，小王最想购买第10层住宅．
故答案为：10．
【点评】此题考查数列的应用，考查累加法求数列的通项公式，考查导数应用，解题的关键是根据题意得
， ，由此可求出 和 ，从而可求出 ，考查计算能力，属
于难题．
四．解答题（共11小题）
23．（2024•呼和浩特模拟）甲、乙、丙三名高中生进行传球训练．第一次由甲将球传出，传给乙的概率
是 ，传给丙的概率是 ；乙传给甲和丙的概率都是 ；丙传给甲和乙的概率地都是 ．如此不停地传下
去且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第一次触球者，第 次触球者是甲的概率记为 ，
．
（1）求 ， ， ；
（2）证明： 为等比数列．
【分析】（1）由题意，利用概率公式，计算即可．
（2）讨论 时， ，计算 ，判断 是等比数列，验证 满足题意，即可得
出结论．
【解答】（1）解：由题意知， ，
；
．
（2）证明：当 时， ， ， ，所以 ，所以 ；
当 时， ，满足上式；
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
【点评】本题考查了概率的计算问题，也考查了等比数列的定义与应用问题，是中档题．
24．（2024•茂名一模）设 为数列 的前 项和，已知 是首项为 、公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）令 ， 为数列 的前 项积，证明： ．
【分析】（1）由等差数列定义可得 ，由 与 的关系即可得 ；
（2）由 与 可得 ，即可得 ，由 ，可得 ，借助等比数列求和公式计算即可得
证．
【解答】解：（1）由 是首项为 、公差为 的等差数列，
故 ，
即 ，
当 时， ，
故
，
当 时， ，符合上式，故 ；
（2）证明：由 ， ，
故 ，
则
，
由 ，
故 ，
则 ．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，以及不等式的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
25．（2024•南明区校级一模）已知数列 的前 项和为 ．且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在数列 中， ，求数列 的前 项和 ．
【分析】（1）利用 求通项公式；
（2）转化为等差数列、等比数列，分组求和．
【解答】解：（1）当 时，可得： ；
当 时， ， ，
两式相减，得： ，即 ，所以 ．
（2）当 时， ；
当 时， ，所以 ，
所以
，
时， ，上式也成立．
所以 ， ．
【点评】本题考查数列的通项与求和的关系，以及等差数列和等比数列的求和公式、数列的分组求和，考
查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
26．（2024•天河区二模）已知数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，记 为 的前 项和，证明： 时， ．
【分析】（1）直接利用递推关系和累乘法求出数列的通项公式；
（2）利用乘公比错位相减法和函数的单调性求出结果．
【解答】解：（1）数列 中， ， ，
所以 ，
故 ，
整理得 ，利用累乘法： ，由于 ，
所以 （首项符合通项）；
故 ．
证明：（2）由（1）得： ，
所以 ，①，
，②，
① ②得： ．
要证 ，
只需证明 ，
即证 ，即 ，
由于函数 与函数 在坐标系中的位置如图所示：
根据函数的单调性：当 时， 恒成立．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，累乘法，乘公比错位相减法，函数的单调性，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
27．（2024•九龙坡区校级模拟）已知数列 是由正实数组成的无穷数列，满足 ， ，
， ．
（1）写出数列 前4项的所有可能取法；
（2）判断：是否存在正整数 ，满足 ，并说明理由；
（3） 为数列 的前 项中不同取值的个数，求 的最小值．
【分析】（1）由题意得 ，或 ，分类讨论即可得出答案；
（2）由题意得 ，或 ，结合数列 是由正实数组成的无穷数列，可得
，即可得出答案；
（3）由题意得 ，对于任意的 ， ，均可以使用①递推，只有满足 时，才可
以使用②递推，分类讨论即可得出答案．
【解答】解：（1） ，
，或 ，
则 ，或 ，
， ，
，或 ，
①当 时， ，或 ，
②当 时， ，或 ，数列 是由正实数组成的无穷数列，
不符合题意，故舍去，
数列 前 4 项的所有可能取法有： ， ， ， 或 ， ， ，
或 ， ， ， ；
（2）不存在，理由如下：
，
或 ，
当 时，
数列 是由正实数组成的无穷数列，
，即 ，或 ，
，
当 时，
数列 是由正实数组成的无穷数列，
，即 ，
，或 （不合题意，舍去），
综上所述， ，
， ， ，
不存在正整数 ，满足 ；（3） ，
，
对于任意的 ， ，均可以使用①递推，只有满足 时，才可以使用②递推；
若 ，显然有 ，下一次只能用①递推，即 ，即②不能连续使用，
记 ， 且 ， ， ，
若 ，则 ；
若 ，则 ，则 ，
且 ，
， ， ， 中至少有 ， ， ， ， ， 共51项，即 ，
则举例如下： ，
数列 中3，7，10，3，13，10，23，13，36，23， ，此时 ，
的最小值为51．
【点评】本题考查数列的递推式，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中
档题．
28．（2024•中山市校级模拟）已知数列 满足 ．
（1）若 为等差数列，求 的通项公式；
（2）记 的前 项和为 ，不等式 对 恒成立，求 的取值范围．
【分析】（1）由题意结合等差数列基本量 ， ， 的计算即可求解．（2）由分组求和法将 的表达式求出来，分 是奇数，偶数两种情形讨论，结合表达式恒成立的理论即
可求解．
【解答】解：（1）因为 ，所以 ，
两式相减得 ．
因为 为等差数列，所以 的公差 ．
又 ，所以 ，解得 ，
则 ，即 的通项公式为 ．
（2）由（1）得， ，
所以不等式 可化为 ，
当 为奇数时， ，则 ，即 ，
当 为偶数时， ，则 ．
综上， 的取值范围为 ．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
29．（2024•凉州区模拟）已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ，
成等比数列
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ，若数列 前 项和 ，证明 ．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程，然后求解数列的通项公式．
（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用裂项法求解数列的和即可．【解答】（Ⅰ）解：由题意知： （2分）
解 ，故数列 ； ．（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知 ， （8分）
则 ．（12分）
【点评】本题考查数列求和，通项公式的应用，考查计算能力．
30．（2024•鼓楼区校级模拟）（理 在平面直角坐标系 中，若在曲线 的方程 中，以 ，
为正实数）代替 得到曲线 的方程 ，则称曲线 、 关于原点“伸缩”，变换
， ， 称为“伸缩变换”， 称为伸缩比．
（1）已知曲线 的方程为 ，伸缩比 ，求 关于原点“伸缩变换”后所得曲线 的方程；
（2）射线 的方程 ，如果椭圆 经“伸缩变换”后得到椭圆 ，若射线 与椭
圆 、 分别交于两点 、 ，且 ，求椭圆 的方程；
（3）对抛物线 ，作变换 ， ， ，得抛物线 ；对 作变换 ，
， 得抛物线 ，如此进行下去，对抛物线 作变换 ， ，
，得抛物线 ， ．若 ，求数列 的通项公式 ．
【分析】（1）由“伸缩变换”的伸缩比得 ，从而即得曲线 的方程；
（2）根据 、 关于原点“伸缩变换”，对 作变换 ， ， ，得到分别解方程组得点 ， 两点的坐标，最后利用两点的距离公式得到关于 的方程求出
的值，即可写出椭圆 的方程；
（3）先对 作变换 ， ， 得抛物线 ，结合 得到：
，从而求得数列 的通项公式 ．
【解答】解（1）由条件得 ，得 ；（4分）
（2） 、 关于原点“伸缩变换”，对 作变换 ， ， ，得到 ，
（5分）
解方程组 得点 的坐标为 ；（7分）
解方程组 得点 的坐标为 ；（8分）
，化简后得 ，解得 ，
因此椭圆 的方程为 或 ．（12分）（漏写一个方程扣2分）
（3）（理 对 作变换 ， ， 得抛物线 ，得 ，
又 ， ，即 ，（14分），则 ，（16分）
（或解： ，
．（18分）
【点评】本小题主要考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线简单性质、数列与解析几何的综合等基础知识，
考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
31．（2024•天津模拟）已知 是等差数列， 是公比不为1的等比数列， ， ，
，且 是 与 的等差中项．
（1）求：数列 和 的通项公式．
（2）设 ，求 ．
（3）若对于数列 、 ，在 和 之间插入 个 ，组成一个新的数列 ，记数列
的前 项和为 ，求 ．
【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式，计算可得；
（2）结合两个数列的通项公式，可判断 的前 项中两个数列的项数，然后分组和错位相减求和可得；
（3）求出 的前2024项中总共有多少个2，利用分组求和可得．
【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ， ，
由 ， ，则 ，故 ，
所以 ，则 ，由 ，则 ，
又由 是 与 的等差中项，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
故 ；
（2）由 ，则 ，
，
则 ，
，
两式相减得， ，
，
则 ，
其中 ①， ，
②
① ②相减可得，则
所以 ，
则 ；
（3） 时， 与 之间插入 即3个2，
时， 与 之间插入 即9个2， ， 时，在 与 之间插入 个2，
此时共有 项，
在 的后面再插入 个2即可．
则数列 的前2024项的和
．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式、数列的错位相减法求和与分组求和，考查
转化思想和运算能力，属于中档题．
32．（2024•越秀区校级一模）已知数列 满足 ．
（1）若 为等比数列，求 的通项公式；
（2）若 的前 项和为 ，不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，赋值计算求出 ， ，从而求出通项公式；
（2）并项求出 ，然后利用二次函数求最值，求出 的取值范围．
【解答】解：（1）设等比数列 的公比为 ，由题可知 ， ，
，由 ，得 ，则 ，
；
（2）
，
则 ，
由 对于任意 恒成立，
，
当 时， 取得最小值 ，
．
即实数 的取值范围为 ．
【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式及前 项和，考查运算求解能力，是中档题．
33 ．（2024•开福区校级模拟）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合 ，2， ， ，
的函数称为 次置换．满足对任意 ， 的置换称作恒等置换．所有 次置换组成的集合记
作 ．对于 ，我们可用列表法表示此置换： ，记 ，
， ， ， ， ， ．
（1）若 ，计算 ；
（2）证明：对任意 ，存在 ，使得 为恒等置换；
（3）对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张， ，依次类推．这样操作最少重复几次就能恢复
原来的牌型？请说明理由．
【分析】（1）根据题意得到 ， ．
（2）分类列举出所有情况，得到结论．
（3）设原始牌型从上到下依次编号为1到52，故 ，列举出各编号在置换中的变化情况，
得到连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，从而得到最少8次这样的
置换即为恒等置换．
【解答】解：（1）由题意可知 ；
（2）证明：①若 ，则 为恒等置换；
②若存在两个不同的 ，使得 ，不妨设 ，2，则 ．
所以 ，即 为恒等置换；
③若存在唯一的 ，使得 ，不妨设 ，则 或 ．
当 时，由（1）可知 为恒等置换；
同理可知，当 时， 也是恒等置换；
④若对任意的 ， ，
则情形一： 或 或 ；情形二： 或 或 或
或 或 ；
对于情形一： 为恒等置换；
对于情形二： 为恒等置换；
综上，对任意 ，存在 ，使得 为恒等置换；
（3）不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52，则洗牌一次相当于对 ，2， ， 作一次如下置换：
，即
其中 ，2， ，26．
注意到各编号在置换中的如下变化：
， ，
，
，
，
，
，
，
，
所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，
注意到1，2，8的最小公倍数为8，由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型．
【点评】本题考查新定义、数列的应用等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
