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专题02 数列（解答题12 种考法）
1．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知数列
中，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
（
）
(2)
【解析】（1）因为
，（
），
所以
，（
），
所以
，
，
，…，
，
（
且
），
所以
（
且
），
整理得：
（
且
），即
，（
且
），
又因为
，所以
，（
且
），
当
时，
适合上式，
所以
，（
）.
（2）由（1）知，
，
所以
，
即
.
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，且
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
．
【解析】（1）
，
当
时，
，两式相减可得，
，故等比数列
的公比为
，
，
，故数列
的通项公式为
．
（2）由
得：
，
，故
，即
，
，
，
得：
，
故
．
3（2023 秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在等差数列
中，
，
，数列
的
前
项和为
，且
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）解：设等差数列
的公差为
，
则
，解得
，
所以，
，
数列
的前
项和为
，且
，
当
时，则有
，
当
时，由
可得
，
上述两个等式作差可得
，即
，
所以，数列
是首项为，公比为的等比数列，则
.
（2）解：因为
，则
，①
可得
，②
①
②得
，
故
.
4．（2023·四川成都·校联考二模）已知数列
是公差为2 的等差数列，且
是
和
的等比中项.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得，
，且公差为
，则
，
解得
，则
.
（2）由（1）可知，
，则
，则
，
则
.
5．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，且
．
(1)证明：数列
为等比数列，并求其通项公式；
(2)若______，求数列
的前n 项和
．
从①
；②
；③
，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解
答问题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析，
(2)答案见解析
【解析】（1）由
，
得
，且
，（i）
所以当
时，
，（ii）
（i）
（ii），得
，所以
．
当
时，
，即
，
又
，所以
，所以
，
所以数列
是以3 为首项，3 为公比的等比数列，
所以
．
（2）若选①：
，
则
，
所以
，
所以
，
所以
．
若选②：
，
则
若选③：因为
，
所以
，
所以数列
是以27 为首项，
为公比的等比数列，
所以
．
6．（2023 秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知数列
的首项
，其前
项和
为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）已知
，
当
时
，即
，由
解得
.
当
时，
，
则
相减得
.
当
时
也成立.
所以对于
都有
成立.
上式化为
，所以
是等比数列，首项为4，公比为3，
则
，即
.
（2）因为
，
则
，
两式相减得
，
所以
.
7．（2023·广东汕头·统考三模）等差数列
和各项均为正数的等比数列
满足：
，
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)数列
是由数列
和
中不同的项按照从小到大的顺序排列得到的新数列，记数列
的前
项
和为
，求
.
【答案】(1)
，
(2)15220
【解析】（1）根据条件，设
，
，
又
，解得
，
故
，
.
（2）当
时，
，由
，得
，
，
又
，
，
，
，
故在数列
的前100 项中含有数列
中的4 项，
所以
，
所以
.
8．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求
的前
项和
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）由
，得
，
令
，有
，
，
当
时，
，
又
满足上式，于是
，则
，
当
时，
，
又
满足上式，因此
，
所以数列
的通项公式是
．
（2）由（1）知，
，
所以
．
9．（2023 秋·天津河东·高三校考阶段练习）正项数列
的首项为3 的等差数列，前
项和为
，且
，正项数列
是首项为1 的等比数列，且
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前
项的和
；
(3)设
，求数列
的前
项的和
．
【答案】(1)
，
；
(2)
(3)
【解析】（1）根据题意可设正项数列
的公差为
，数列
的公比为
，
由
可得
，即
，
解得
或
（舍）；
即
所以数列
的通项公式为
；
由
可得
，即
，
解得
或
（舍）；
所以
；
即数列
的通项公式为
；
（2）由（1）可知
，
数列
的前
项的和
即可得
.
（3）由（1）可得
；
所以数列
的前
项的和
，
，
两式相减可得
，
所以
10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知数列
中，
，
是
与9 的等差中项，
记
为数列
的前
项和，满足
（
）.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求实数
的最小值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）依题意，
，
，当
时，
，两式相减得
，即
，
当
时，
，又
，有
，则当
，
，
因此数列
是首项为3，公比
的等比数列，
而
，即
，解得
，则
，
所以数列
的通项公式是
.
（2）由（1）知，数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
，
于是不等式
化为：
，设
，
，
当
时，
，当
时，
，
即当
时，数列
递增，当
时，数列
递减，
从而
，则
，所以实数
的最小值为
.
11.（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列
满足
．
(1)证明
为等差数列，并
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】（1）证明：因为
，所以
，即
所以
是以
为首项，
为公差的等差数列，则
，
所以
；
（2）
.
12．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列
满足
，其中
是数列
的前n 项和.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若对任意
，且当
时，总有
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
.
【解析】（1）∵
，∴
当
时，
，解得
.
当
时，
，
即
，
∵
，∴
，
∴数列
是以1 为首项，2 为公差的等差数列，
∴
.
（2）因为
，所以
∴当
时，
，
∴
，
∴
，
∴实数
的取值范围为
.
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记
为数列
的前n 项和，已知
.
(1)求数列{
}的通项公式；
(2)数列{
}满足
且
，
的前n 项和为
，证明:
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由
，
由
可得
，
则
时
，
两式相减可得
，
化为
，因为
，
所以
，数列{
}是首项与公差都是2 的等差数列，
所以
；
（2）由（1）得
，又
，
所以
，
，
所以
，
，
，
14．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列
和
满足：
，
，
（
为常数，且
）．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)若当
和
时，数列
的前n 项和
取得最大值，求
的表达式．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
．
【解析】（1）因为
，即
，
所以
，而
，
所以
，即
，即数列
是以
为首项，2 为公比的等比数列．
（2）由（1）知
，所以
．
因为当
和
时，数列
的前n 项和
取得最大值，所以
，
即
，解得
．
所以
．
经检验，当
时，
，当
时，
，所以
先增后减，
在
和
时取得最大值，符合题意．
此时
．
15．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，求集合
中元素的个数.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，
所以
所以
，即
.
又因为
，所以
，
所以
.
（2）因为
，
所以
令
，得
，
所以集合
中元素的个数为
.
16．（2023 秋·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考阶段练习）已知
为等差数列，
为等比数列，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求数列的前
项和
.
(3)设
，求数列
的前
项和
.
(4)记
的前
项和为
，求证：
；
【答案】(1)
，
；
(2)
；
(3)
；
(4)证明见解析.
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，
由
，得
，
，
解得
，或
（舍去），
所以
，
.
（2）由（1）知，
，
，则
，
所以
.
（3）由（1）知
，
，
于是
，
两式相减得
，
所以
.
（4）由（1）知，
，
，
于是
所以
.
17．（2023 秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列
为等差数列，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)数列
满足
，数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，
则
，解得：
，
.
（2）由（1）得：
，
，
，
.
18．（2023·全国·统考高考真题）设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
当
时，
，所以
，
化简得：
，当
时，
，即
，
当
时都满足上式，所以
．
（2）因为
，所以
，
，
两式相减得，
，
，即
，
．
19．（2023·全国·统考高考真题）已知
为等差数列，
，记
，
分别为数列
，
的前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，而
，
则
，
于是
，解得
，
，
所以数列
的通项公式是
.
（2）方法1：由（1）知，
，
，
当
为偶数时，
，
，
当
时，
，因此
，
当
为奇数时，
，
当
时，
，因此
，
所以当
时，
.
方法2：由（1）知，
，
，
当
为偶数时，
，
当
时，
，因此
，
当
为奇数时，若
，则
，显然
满足上式，因此当
为奇数时，
，
当
时，
，因此
，
所以当
时，
.
20．（2022·天津·统考高考真题）设
是等差数列，
是等比数列，且
．
(1)求
与
的通项公式；
(2)设
的前n 项和为
，求证：
；
(3)求
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】1）设
公差为d，
公比为
，则
，
由
可得
（
舍去），
所以
；
（2）证明：因为
所以要证
，
即证
，即证
，
即证
，
而
显然成立，所以
；
（3）因为
，
所以
，
设
所以
，
则
，
作差得
，
所以
，
所以
.
21．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列
与
的前
项和分别为
和
，且对任意
，
恒成立.
(1)若
，
，求
；
(2)若对任意
，都有
及
恒成立，求正整数
的最小值.
【答案】(1)
；
(2)3
【解析】（1）由题设，
且
，而
，
显然也满足上式，故
，
由
，又
，
所以
是首项、公差均为2 的等差数列.
综上，
.
（2）由
，
，则
，
所以
，而
，故
，即
是公比为3 的等比数列.
所以
，则
，
，而
，
所以
，
所以
对
都成立，
所以
，故
，则正整数
的最小值为3.
22．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）已知数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前n 项和
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：因为
，
当
时，
，
两式相减得
，可得
，
令
，可得
，
所以数列
的通项公式为
.
（2）解：由（1）知
，且
，
当
时，可得
成立；
当
时，
，
所以
，
因为
，可得
，可得
，
所以
，
综上可得，
.
23．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．
四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；
③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一
轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为
，甲胜丙、乙胜丁
的概率均为
，甲胜丁的概率为
．
(1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X 的数学期望；
(2)求在第10 轮比赛中，甲丙对打的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题可知，甲乙在第一轮对打，且在第二轮不对打，所以
的可取值为1，2，
，
则
，
所以X 的数学期望
.
（2）设在第
轮中，甲乙对打的概率为
，甲丙对打的概率为
，甲丁对打的概率为
，
易知
，
，
，
且
，
又
，所以
，
整理得
，
则数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列，
即
，所以
，则
，
故在第10 轮比赛中，甲丙对打的概率为
．
24．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列
的首项
，其前
项和为
，从
①
；②
，
；③
中任选一个条件作为已
知，并解答下列问题.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，设数列
的前
项和
，求证：
.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)证明见解析.
【解析】（1）选择①：因为
，则
，
两式相减得
，即
，
而
，
，则
，因此数列
是以
为首项，2 为公差的等差数列，
所以
.
选择②：因为
，则
，
于是当
时，
，即
，由
，得
，
即有
，因此
，
，即数列
是以
为首项，2 为公差的等差数列，
所以
.
选择③：因为
，又
，
则
，即
，
显然
，于是
，即
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
从而
，即
，因此
，而
满足上式，
所以
.
（2）由（1）知，
，
，
因此
，
则
，
显然数列
单调递减，于是
，则
，
所以
.
25．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项
选择题有A，B，C，D 这4 个选项，4 个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的
得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否
为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为
，并且规定若第
题正确选项为
两个，则第
题正确选项为两个的概率为
；第
题正确选项为三个，则第
题正确选
项为三个的概率为
.
(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；
(2)求第n 题正确选项为两个的概率；
(3)若第n 题只选择B、C 两个选项，设Y 表示第n 题得分，求证：
.
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）设事件
表示正确选项为
个，事件
表示正确选项为个，
表示第
题正确选项为
个的概率，
表示第
题正确选项为个的概率.
设事件
表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量
表示第二题得分.
依题得，
可能取值为
.
因为
，
，
所以
所以
的分布列为:
所以
.
（2）依题得，
，
所以
，
又因为
，
所以
是以
为首项，以
为公比的等比数列.
所以
，
.
（3）由（2）可知，
，
.
依题得，
可能取值为
.
，
，
所以
.
26．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知等差数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，其中
为数列
的前
项和.设
表示不超过
的最大正整数，求使
的最大正整数
的值.
【答案】(1)
(2)64
【解析】（1）设等差数列
的公差为d，
由题意可得
，解得
，
所以数列
的通项公式
.
（2）由（1）可得
，则
，
所以
，
因为
，则
，
所以
，则
，
即数列
是以首项为0，公差为1 的等差数列，
则
，即
，
又因为
在
上单调递增，且
，
所以使
的最大正整数
的值为64.
27．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设
为数列
的前
项和，已知
，且满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
为数列
的前
项和，当
时，
．若对于任意
，有
，求
的取值
范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，
∴
，
，
∴
,
∴当
时，
；
当
时，也符合上式，
∴
．
（2）
，
∵
，
∴
，
当
时，满足
，
当
时，存在
，（其中，
表示不超过
的最大整数），
使得
，则
，
∴
，不满足条件，
∴
．
28．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列
的前
项和
满足
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，当
时
，
所以
，即
，
所以
，
所以
，即
是常数数列，又
，所以
，则
.
（2）因为
，
当
为偶数时，
；
当
为奇数时，
；
综上可得
.
29．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知
是各项均为正数的数列，
为
的前n 项
和，且
，
，
成等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)已知
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，
，
成等差数列，得
，①
当
时，
，
∴
，得
（
舍去），
当
时，
，②
①－②得，
，
∴
，
又
，∴
，
∴
是首项为2，公差为1 的等差数列，
∴
，
故
；
（2）由（1）知
，
当
是奇数时，
，
当
是偶数时，
，
综上
.
30．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)若
，
，
成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列
的前
项和
.（注：如果选
择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
①
；②
；③
.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）因为
，即
，当
时
，解得
，
当
时
，所以
，
即
，
所以
，
当
时上述式子恒成立，
当
时两边同除
可得
，
即
，所以
为常数数列，即
，
所以
，即
，
当
时上述
也成立，
所以
，
所以
是以为首项，
为公差的等差数列.
（2）设
的公差为
，因为
，
，
成等比数列，
所以
，即
，解得
，所以
；
若选①
，则
，
所以
.
若选②
，则
，
所以
.
若选③
，则
，
所以
.
