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专题验收评价
专题4 数列及求和
内容概览
A·常考题不丢分
题型一 等差数列及性质
题型二 等比数列及性质
题型三 数列求和
题型四 数列情境题
C·挑战真题争满分
1．（2023·湖南郴州·统考一模）设数列
满足
且
是前
项和，且
，则
（ ）
A．2024
B．2023
C．1012
D．1011
2．（2023·江西九江·统考一模）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·河南·统考模拟预测）设
是等差数列
的前n 项和，若
，则
（ ）
等差数列及性质
题型一
A．15
B．30
C．45
D．60
4．（2023 下·河南驻马店·高二校考阶段练习）设
，
分别是两个等差数列
，
的前n 项和．若对
一切正整数n，
恒成立，
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）等差数列
的公差为
，前
项为
，若数列
的
最大项是第20 项和第21 项，则
（ ）
A．18
B．20
C．22
D．24
6．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知
为等比数列，
是它的前
项和．若
，且
与
的等差中项为
，则
等于（ ）
A．37
B．35
C．31
D．29
1．（2023 上·江苏无锡·高三锡东高中校考阶段练习）各项均为正数的等比数列
的前
项和为
，且
成等差数列，若
，则
（ ）
A．
或15
B．
或
C．15
D．
2．（2023 上·河南南阳·高三统考期中）已知正项数列
的前
项和为
，且
满足
，若
，
，则
（ ）
等比数列及性质
题型二
A．3
B．4
C．9
D．16
3．（2023 上·四川雅安·高三校联考期中）已知等比数列
满足
，则
（ ）
A．1
B．3
C．4
D．15
4．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．29
B．31
C．33
D．36
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）设
为数列
的前n 项积，若
，
，且
，
当
取得最大值时，
（ ）
A．6
B．8
C．9
D．10
二、填空题
6．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知正项等差数列
的前
项和为
，若
成等比数列，
则
的最小值为 ．
1．（2023 上·天津·高三联考）已知
为数列
的前
项和，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
数列求和
题型三
(2)令
，设数列
的前项和为
，若
，求
的最小值.
2．（2023·河南新乡·统考一模）已知
是数列
的前
项和，
．
(1)若数列
为等差数列，求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
3．（2023 上·陕西西安·高三统考阶段练习）已知数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前n 项和
．
4．（2023 上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知数列
是公差为1 的等差数列，且
，
数列
是等比数列，且
，
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
5．（2023 上·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列
的前
项和是
，且
.
(1)证明：
是等比数列.
(2)求数列
的前
项和
.
6．（2023 上·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设
是数列
的前
项和，已知
(1)求
，并证明：
是等比数列；
(2)求满足
的所有正整数
.
1．（2024·四川自贡·统考一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些
新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差
或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，
其前项分别为
，则该数列的第项（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 下·湖南·高二校联考期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，
即一个数列
本身不是等差数列，但从
数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
（则称数列
为一阶等差数列），或者
仍旧不是等差数列，但从
数列中的第二项开始，每
数列情境题
题型四
一项与前一项的差构成等差数列
（则称数列
为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数
列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列
：1，1，3，27，729…是一阶等比
数列，则
的值为（参考公式：
）（ ）
A．60
B．120
C．240
D．480
3．（2023 上·广东·高三广州市第一中学统考阶段练习）17 到19 世纪间，数学家们研究了用连分式求解代
数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程
改写成
①，将
再代入等式右边得到
，继续利用①式将
再代入等式右边得到
……反复进行，取
时，由此得到数列，
，
，
，
，记作
，则当
足够大
时，
逼近实数
．数列
的前2024 项中，满足
的
的个数为（参考数据：
）（ ）
A．1007
B．1009
C．2014
D．2018
4．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、
《九章算术》、《算法统宗》中都有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，
还可以构造出等比数列的图象，从图形的角度更为直观的认识它．以前n 项和为
，且
，
的
等比数列
为例，先画出直线OQ：
，并确定x 轴上一点
，过点
作y 轴的平行线，交直
线OQ 于点
，则
．再过点
作平行于x 轴，长度等于
的线段
，……，不断重复上述步
骤，可以得到点列
，
和
．下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．点
的坐标为
D．
5．（2023·安徽黄山·统考三模）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产
保护项目，至今已有500 多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，
好看又壮观.小明同学在研究数列
时，发现其递推公式
就可以利用“叠罗汉”的
思想来处理，即
，如果该数列
的前两项分别为
，其前
项和
记为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．（2023·全国·Ⅰ卷）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数列，则
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2022·全国·统考高考乙卷）已知等比数列
的前3 项和为168，
，则
（ ）
A．14
B．12
C．6
D．3
3．（2021·全国·高考甲卷）记
为等比数列
的前n 项和.若
，
，则
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
4．（2021·全国·统考高考甲卷）等比数列
的公比为q，前n 项和为
，设甲：
，乙：
是递增
数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、填空题
5．（2022·全国·统考高考乙卷）记
为等差数列
的前n 项和．若
，则公差
．
三、问解答
6．（2023·全国·统考高考Ⅰ卷）设等差数列
的公差为
，且
．令
，记
分别为数
列
的前
项和．
(1)若
，求
的通项公式；
(2)若
为等差数列，且
，求
．
7．（2023·全国·统考高考乙卷）记
为等差数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
8．（2023·全国·统考高考甲卷）设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
9．（2021·全国·统考高考Ⅰ卷）已知数列
满足
，
（1）记
，写出
，
，并求数列
的通项公式；
（2）求
的前20 项和.
10．（2021·全国·Ⅱ卷）记
是公差不为0 的等差数列
的前n 项和，若
．
（1）求数列
的通项公式
；
（2）求使
成立的n 的最小值．
11．（2021·全国·Ⅱ卷）记
为数列
的前n 项和．已知
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
成等比数列，求
的最小值．
12．（2021·全国·统考高考乙卷）设
是首项为1 的等比数列，数列
满足
．已知
，
，
成等差数列．
（1）求
和
的通项公式；
（2）记
和
分别为
和
的前n 项和．证明：
．
13．（2021·全国·统考高考乙卷）记
为数列
的前n 项和，
为数列
的前n 项积，已知
．
（1）证明：数列
是等差数列;
（2）求
的通项公式．
14．（2021·全国·统考高考甲卷）已知数列
的各项均为正数，记
为
的前n 项和，从下面①②③
中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列
是等差数列：②数列
是等差数列；③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
