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解密11
曲
的方程与性
圆锥
线
质
A 组 考点专练
一、选择题
1.【2020 北京卷】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ⊥l
于Q.则线段FQ 的垂直平分线( )
A.经过点O
B.经过点P
C.平行于直线OP
D.垂直于直线OP
【答案】B
【解析】如图所示，连接PF，则|PF|＝|PQ|，∴QF 的垂直平分线过点P.故选B.
2.(多选题)【2020 新高考全国卷】已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列结论正确的是( )
A.若m＞n＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上
B.若m＝n＞0，则C 是圆，其半径为
C.若mn＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D.若m＝0，n＞0，则C 是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，当m＞n＞0 时，有＞＞0，方程化为＋＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；
对于B，由m＝n＞0，方程变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，B 错误；
对于C，由mn＜0 知曲线表示双曲线，其渐近线方程为y＝±x，C 正确；
对于D，当m＝0，n＞0 时，方程变为ny2＝1 表示两条直线，D 正确.
3.(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l 的斜率为且经过点F，直线l 与抛物线C 交于
A，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )
A.p＝4
B.DF＝FA
C.|BD|＝2|BF|
D.|BF|＝4
【答案】ABC
【解析】如图，分别过点A，B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C 的准
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线交x 轴于点P，则|PF|＝p，由直线l 的斜率为，可得其倾斜角为60°.∵AE∥x 轴，
∴∠EAF＝60°.由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF 为等边三角形，∴∠PEF＝30°，
∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，A 正确.
∵|AE|＝2|PF|，PF∥AE，∴F 为AD 的中点，则DF＝FA，B 正确.又∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，
∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C 正确.
由C 选项知|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D 错误.故选ABC.
4.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P 在双曲线上，且有PF1·PF2＝0，若点P 到
x 轴的距离为|F1F2|，则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.2
D.
【答案】A
【解析】因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，
则∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2.
由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2.
因此2(c2－a2)＝|PF1|·|PF2|，①
在Rt△PF1F2中，|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|F1F2|＝c2.
代入①式，得2(c2－a2)＝c2，则c2＝2a2，
故双曲线的离心率e＝＝＝.
5.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C 上存在点P(x0，y0)(x0≥0)使得
∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】依题设x0≥0 时，当点P 在椭圆的上(下)顶点时，∠PF1F2最大.
若在椭圆C 上存在P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，
则90°＞(∠PF1F2)max≥30°，
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∴tan(∠PF1F2)max≥tan 30°＝，
则≥，即b≥c.
又a2＝b2＋c2，得3a2≥4c2，
所以e＝＝≤＝.
故椭圆离心率的取值范围为.
二、填空题
6.【2020 北京卷】已知双曲线C：－＝1，则C 的右焦点的坐标为__________；C 的焦点到其渐近线的距离
是__________.
【答案】(3，0)
【解析】由－＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，又焦点在x 轴上，所以C 的右焦点坐标为(3，0).
双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即x－y＝0，
所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d＝＝.
7.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P 是C 上一点，且F1P⊥F2P.若
△PF1F2的面积为4，则a＝________.
【答案】1
【解析】法一 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P 为双曲线右支上一点，则S△PF1F2＝mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2
＝4c2，从而c2＝a2＋4，又e＝＝，从而a＝1.
法二 由题意得，S△PF1F2＝＝4，得b2＝4，又e2＝＝5，c2＝a2＋b2，所以a＝1.
8.设F1，F2为椭圆C：＋＝1 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M 的
坐标为________.
【答案】(3，)
【解析】不妨设F1，F2分别为椭圆C 的左、右焦点，则|MF1|>|MF2|，|F1F2|＝2c＝2＝8，
因为△MF1F2是等腰三角形，
|MF1|>|MF2|，且|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，
所以|MF1|>6，|MF2|<6，
所以△MF1F2是以MF2
为底边的等腰三角形.
故点M 在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64 上.
因为点M 在椭圆＋＝1 上，
所以联立方程可得解得
又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，).
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三、解答题
9.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的
“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的
相似比.已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2与C1是“相似椭圆”，且椭圆C2的短半轴长为b.
(1)写出椭圆C2的方程；
(2)若在椭圆C2上存在两点M，N 关于直线y＝x＋1 对称，求实数b 的取值范围.
【解析】(1)依题意，设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则由椭圆C2与C1是“相似椭圆”，可得＝，即a2＝4b2.
所以椭圆C2的方程为＋＝1(b＞0).
(2)设直线MN 的方程为y＝－x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN 的中点为(x0，y0)，
由消去y 并整理得5x2－8tx＋4(t2－b2)＝0，
易知Δ＝64t2－80(t2－b2)＝16(5b2－t2)＞0，①
则x0＝＝，y0＝.
由题意知线段MN 的中点在直线y＝x＋1 上，
所以＝＋1，解得t＝－，
则直线MN 的方程为y＝－x－，
将t＝－代入①式，解得b＞.
所以实数b 的取值范围是.
10.【2019 新课标Ⅲ卷】已知曲线C：y＝，D 为直线y＝－上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为
A，B.
(1)证明：直线AB 过定点；
(2)若以E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.
【解析】(1)设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.
因为y′＝x，所以切线DA 的斜率为x1，故＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB 的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB 过定点.
(2)由(1)得直线AB 的方程为y＝tx＋.
由可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，
y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
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|AB|＝|x1－x2|＝×＝2(t2＋1).
设d1，d2分别为点D，E 到直线AB 的距离，
则d1＝，d2＝.
因此，四边形ADBE 的面积S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).
设M 为线段AB 的中点，则M.
因为EM⊥AB，而EM＝(t，t2－2)，AB与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0 或t＝±1.
当t＝0 时，S＝3；当t＝±1 时，S＝4.
因此，四边形ADBE 的面积为3 或4.
B 组 专题综合练
11.【2019 新课标Ⅱ卷】设F 为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与
圆x2＋y2＝a2交于P，Q 两点.若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为( )
A.
B.
C.2
D.
【答案】A
【解析】设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F 的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，
PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.在
Rt△OPM 中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.
12.设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点，且离心率为，F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF⊥x 轴，
圆F 的半径为PF.
(1)求椭圆E 和圆F 的方程；
(2)若直线l：y＝k(x－)(k＞0)与圆F 交于A，B 两点，与椭圆E 交于C，D 两点，其中A，C 在第一象限，是
否存在k 使|AC|＝|BD|？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由.
【解析】(1)由题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆的离心率e＝，∴＝，
∵a2＝b2＋c2，∴a＝2b，
将点代入椭圆的方程得＋＝1，
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联立a＝2b，解得a＝2 且b＝1.
∴椭圆E 的方程为＋y2＝1.
∴F(，0)，∵PF⊥x 轴，∴P，
∴圆F 的半径为，圆心为(，0)，
∴圆F 的方程为(x－)2＋y2＝.
(2)由A，B 在圆上得|AF|＝|BF|＝|PF|＝.设点C(x1，y1)，D(x2，y2).
|CF|＝＝2－x1，同理|DF|＝2－x2.
若|AC|＝|BD|，则|AC|＋|BC|＝|BD|＋|BC|，
即|AB|＝|CD|＝1，4－(x1＋x2)＝1，
由得(4k2＋1)x2－8k2x＋12k2－4＝0，
∴x1＋x2＝，∴4－＝1，
得12k2＝12k2＋3，无解，故不存在.
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