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微专题10 导数解答题之零点问题
【秒杀总结】
1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，
求参数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与
轴（或直线
）在某区间上
的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
【典型例题】
例1．（2024·河南·一模）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
有两个零点，求实数a 的取值范围.
例2．（2024·湖南·二模）已函数
，其图象的对称中心为
.
(1)求
的值；
(2)判断函数
的零点个数.
例3．（2024·高三·四川雅安·开学考试）已知函数
．
(1)若
，当
时，证明：
．
(2)若
，证明：
恰有一个零点．
例4．（2024·全国·模拟预测）已知函数
.
1
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(1)当
时，求
的图象在点
处的切线方程；
(2)若函数
有2 个零点，求的取值范围.
例5．（2024·高三·河南·阶段练习）已知函数
.
(1)判断
的单调性；
(2)当
时，求函数
的零点个数.
例6．（2024·广东·模拟预测）已知
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在两个零点
，证明：
存在三个零点
，且
(3)在（2）的条件下，证明：
．
例7．（2024·江苏·模拟预测）已知函数
，其中
，为自然对数的底数．
(1)函数
，求
的最小值
；
(2)若
为函数
的两个零点，证明：
．
例8．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知函数
.
2
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(1)若
，讨论
的零点个数；
(2)若
是函数
（
为
的导函数）的两个不同的零点，且
，求证：
.
【过关测试】
1．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，则
.
2．（2024·青海·一模）已知函数
．
(1)若
，求的取值范围；
(2)若
有两个零点
，
，证明：
．
3．（2024·河北·一模）已知函数
．
(1)若函数
有3 个不同的零点，求a 的取值范围；
(2)已知
为函数
的导函数，
在
上有极小值0，对于某点
，
在P 点的切
线方程为
，若对于
，都有
，则称P 为好点．
①求a 的值；
3
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②求所有的好点．
4．（2024·全国·一模）已知
(1)若
，求实数的取值范围；
(2)设
是
的两个零点（
），求证：①
；②
.
5．（2024·北京门头沟·一模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求
的极值；
(3)当
时，判断
零点个数，并说明理由．
6．（2024·山东潍坊·一模）已知函数
（
）．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：
（
，
）；
(3)若函数
有三个不同的零点，求
的取值范围．
7．（2024·高三·江西·开学考试）已知函数
，且
的极值点为
.
4
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(1)求
；
(2)证明：
；
(3)若函数
有两个不同的零点
，证明：
.
8．（2024·山西·一模）已知
，且
，函数
.
(1)记
为数列
的前项和.证明：当
时，
；
(2)若
，证明：
；
(3)若
有3 个零点，求实数的取值范围.
9．（2024·陕西宝鸡·二模）已知函数
(1)若
和
的图象有公共点，且在公共点处有相同的切线，求值；
(2)求证：当
时，
的图象恒在
的图象的上方；
(3)令
，若
有2 个零点
，试证明
10．（2024·安徽阜阳·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性．
(2)已知
是函数
的两个零点
．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）
是
的导函数．证明：
．
5
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11．（2024·北京丰台·一模）已知函数
，曲线
在点
处的切线
为
，记
．
(1)当
时，求切线的方程；
(2)在（1）的条件下，求函数
的零点并证明
；
(3)当
时，直接写出函数
的零点个数．（结论不要求证明）
12．（2024·江西赣州·一模）已知函数
.
(1)求
的单调区间，
(2)已如
.若函数
有唯一的零点
.证明，
.
13．（2024·山东聊城·一模）已知函数
，
，
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)求
的最小值；
(3)设
，讨论函数
的零点个数.
14．（2024·内蒙古包头·一模）设函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性，并证明
；
(2)证明：①当
时，
；
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②当
时，
，当
时，
；
③当
时，函数
存在唯一的零点．
15．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）记函数
的导函数为
，
的导函数为
，设
是
的定义域的子集，若在区间
上
，则称
在
上是“ 凸函数” . 已知函数
.
(1)若
在
上为“凸函数”，求的取值范围；
(2)若
，判断
在区间
上的零点个数.
16．（2024·高三·广东广州·阶段练习）已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)讨论函数
在
上的零点个数．（参考数据：
，
）
17．（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知函数
．（注：
是自然对数
的底数）．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，函数
在区间
内有唯一的极值点
．
①求实数a 的取值范围；
②求证：
在区间
内有唯一的零点
，且
．
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18．（2024·山东淄博·一模）已知函数
(1)讨论函数
在区间
上的单调性;
(2)证明函数
在区间
上有且仅有两个零点.
19．（2024·福建莆田·二模）已知函数
．
(1)证明：当
时，
；
(2)若函数
有两个零点
．
①求
的取值范围；
②证明：
．
20．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
且
时，讨论
在
上的零点个数.
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