文档文本内容
重难点15：破解圆锥曲线弦长：圆锥曲线
中斜率、弦长、周长与面积问题
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................4
题型一、求直线斜率........................................................................................4
题型二、求周长................................................................................................7
题型三、求弦长..............................................................................................11
题型四、已知弦长或弦长关系求参数..........................................................14
题型五、已知中点弦求参数..........................................................................17
题型六、求面积..............................................................................................19
题型七、已知面积或面积关系求参数..........................................................23
题型精析・方法突破提能力..............................................................................26
圆锥曲线中斜率、弦长与面积问题是高考解析几何的核心考点，其本质是代数方法解
决几何问题，核心工具是 “联立方程 + 韦达定理”，同时需结合几何图形的性质简化运
算。所有此类问题均围绕 “直线与圆锥曲线相交” 展开，通用解题思路如下：
步骤 1：设方程：定曲线与动直线
圆锥曲线方程：直接使用标准方程（椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1、双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1、抛物线
y
2=2px等），明确参数（(a,b,p)）的已知条件。
直线方程：根据斜率是否存在分类讨论（避免漏解）：
知识网络・核心根基深扎牢
一、解题思路
若斜率存在且不为 0：设为y=kx+ m （k为斜率，m 为纵截距），便于联立消
元；
若斜率不存在：设为x=t（垂直于x轴，适用于抛物线或对称问题）；
若斜率为 0：设为y= m （平行于x轴，较少单独使用）。
步骤 2：联立与消元：构建一元二次方程
将直线方程代入圆锥曲线方程，消去x或y（优先消去 “次数较低” 的变量，如抛
物线y
2=2px优先消x），得到关于单个变量的一元二次方程：
A x
2+ Bx+C=0（或Ay
2+ By+C=0）。
步骤 3：判韦达：用判别式与韦达定理定关系
相交
Δ=
⇔
B
2
4
−AC>0，由此可得到k与m的不等关系（关键约束条件，常用于后续
求范围或最值）。设交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则：x1+x2=−B
A ，x1x2=C
A
（若
消去y）；y1+y2=−B
A ，y1y2=C
A
（若消去x）。
步骤 4：转代数：将几何条件译为代数表达式
根据题目要求（求斜率、弦长、面积、参数），将几何量用韦达定理的结果表示（核
心步骤）。
步骤 5：解方程/求最值：结合约束条件求解
代入韦达定理的表达式，化简后解方程（求斜率、参数），或结合Δ>0等约束条件
求范围、最值（常用二次函数、基本不等式、三角函数等工具）。
知识点
1 ：弦长公式（韦达定理）
设直线l:y=kx+ m 与圆锥曲线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，两点间距离为：
|AB|=
❑√1+k
2∙
❑√(x1+x2)
2
4
−x1x2
；
|AB|= ❑√1+(
1
k)
2
∙
❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2
；
设直线l:x=ty+n与圆锥曲线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，两点间距离为：
二、方法技巧
|AB|= ❑√1+(
1
t)
2
∙
❑√(x1+x2)
2
4
−x1x2
；
|AB|=
❑√1+t
2∙
❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2
；
注意：直线与圆锥曲线联立的一元二次方程利用韦达定理求x1+x2，x1x2，y1+ y2，
y1 y2
知识点
2 ：弦长公式（硬解定理）
设直线l:y=kx+ m 与圆锥曲线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，
联立消去x 得到：ax
2+ bx+c=0，两点间距离为：|AB|=
❑√1+k
2∙
❑√∆
|a| ；
联立消去y 得到：a y
2+ by+c=0，两点间距离为：|AB|=
❑√1+(
1
k)
2
∙
❑√∆
|a|
；
设直线l:x=ty+n与圆锥曲线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，
联立消去x 得到：ax
2+ bx+c=0，两点间距离为：|AB|= ❑√
1+(
1
t)
2
∙
❑√∆
|a|
；
联立消去y 得到：a y
2+ by+c=0，两点间距离为：|AB|=
❑√1+t
2∙
❑√∆
|a| ；
知识点
3 ：面积公式（任意三角形）
设平面内三点：直线y=kx+ m与曲线交点A(x1,y1)、B(x2,y2)，定点P(x0,y0)，
△PAB 的面积：
S=1
2 ×|AB|×d =1
2
❑√1+k
2∙
❑√(x1+x2)
2
4
−x1x2∙|k x0−y0+m|
❑√1+k
2
=1
2
❑√(x1+x2)
2
4
−x1x2∙|k x0−y0+m|
；
设平面内三点：直线x=ty+n与曲线交点A(x1,y1)、B(x2,y2)，定点P(x0,y0)，
△PAB 的面积：
S=1
2 ×|AB|×d =1
2
❑√1+t
2∙
❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2∙|x0−t y0−n|
❑√1+t
2
=1
2
❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2∙|x0−t y0−n|
；
知识点
4 ：面积公式（焦点三角形）
椭 圆：设椭圆椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1，a>b>0，焦点F1(−c,0)、F2(c,0)，P(x0,y0)为
椭圆上一点，∆PF1F2中∠F1PF2=θ，|PF1|= m ，|PF2|=n，则面积为：
基本公式：S=1
2 mnsinθ；
坐标公式：S=c|y0|，因|y0|≤b，故面积最大值为Smax= bc；
角度关联公式：S= b
2tanθ
2
。
双曲线：设双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，a>0,b>0O，焦点F1(−c,0)、F2(c,0)，P(x0,y0)
为双曲线上一点，∆PF1F2中∠F1PF2=θ，|PF1|= m ，|PF2|=n，则面积为：
基本公式：S=1
2 mnsinθ；
坐标公式：S=c|y0|，因|y0|≥0，面积可无限增大；
角度关联公式：S=b
2
tanθ
2
。
注意：当P处于椭圆短轴端点时，θ最大。
知识点
5 ：面积公式（含焦点三角形）
设过焦点F1的直线与椭圆或双曲线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，焦点
F1(−c,0)、F2(c,0)
则S∆ABF2=S∆A F1F2+S∆BF1F2=1
2 ×2c×|y1−y2|=c
❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2
注意：该公式可推广到如图的三角形求面积
则S∆ABP=S∆A PQ+S∆BPQ=1
2 ×|PQ|×|y1−y2|=1
2 ×|PQ|❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2
知识点
6 ：圆锥曲线弦中点性质（用点差法）
椭 圆：设椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1，a>b>0，过椭圆内一点M(x0,y0)的弦为AB（M为AB中
点），则弦AB的斜率kAB与线段OM（O为原点）的斜率kOM之积为定值−b
2
a
2 ，即：
kAB·kOM=−b
2
a
2
双曲线：设双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，a>0,b>0O，过双曲线内（或外，需保证弦存在）一点
M(x0,y0)的弦为AB（M为AB中点），则弦AB的斜率kAB与线段OM（O为原点）的
斜率kOM之积为定值b
2
a
2 ，即：kAB·kOM= b
2
a
2 。
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、求直线斜率
【1-1】若直线
与抛物线
交于
两个不同的点，抛物线的焦点为
，且
成等差数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【1-2】已知椭圆
，过右焦点
且斜率为
的直线与椭圆交于
，
两点，
若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【1-3】已知椭圆C：
的离心率为
，过左焦点F 作一条斜率为
的直线，与椭圆交于A，B 两点，满足
，则实数k 的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
典例探究
【典型例题】已知点A，B 在椭圆
上，点A 在第一象限，O 为坐标原点，且
．若
是等腰三角形（点O，A，B 按顺时针排列），则OA 的斜率为（ ）
A．
或
B．
或
B．C．
或
D．
或
举一反三
【2-1】已知椭圆
的左焦点为
，点
是椭圆上异于顶点的任意一点，
为坐标
原点，若点
是线段
的中点，则
的周长为（ ）
A．6
B．5
C．12
D．10
【2-2】已知椭圆
，过
作直线
与
交于
两点，则
的周长为（ ）
A．24
B．20
C．16
D．12
【2-3】已知椭圆C：
，椭圆C 的一顶点为A，两个焦点为
，
，
的面积为
，焦距为2，过
，且垂直于
的直线与椭圆C 交于D，E 两点，则
的周长是（ ）
A．
B．8
C．
D．16
题型二、求周长
典例探究
【典型例题】已知椭圆
的上顶点为
，左右焦点为
，离心
率为
.过
且垂直于
的直线与
交于
两点，
，则
的周长是（ ）
A．19
B．14
C．
D．13
举一反三
【3-1】已知椭圆
：
的左焦点为
，不经过
且斜率为
的直线交
于
，
两点.当
的周长最大时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【3-2】过双曲线
的左焦点F1，作倾斜角为
的直线与双曲线交于A，B 两点，
则
＝（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【3-3】已知双曲线
的左焦点为
，圆
.若过
的直
线分别交
的左、右两支于A，B 两点，且圆
与
相切，
的离心率为
到
的渐近
题型三、求弦长
典例探究
【典型例题】已知斜率为1 的直线与椭圆
相交于
，
两点，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
举一反三
线的距离为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【4-1】已知抛物线
的焦点为F，过点F 且斜率大于0 的直线l 交C 于A，B 两点，
若
，则l 的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【4-2】过点
且斜率为1 的直线交抛物线
于
两点，若
，
则
的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．7
【4-3】已知椭圆
的右焦点为
，过点
的直线与
交于
两点，若直线
题型四、已知弦长或弦长关系求参数
典例探究
【典型例题】已知直线
与抛物线
交于
两点，且
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
举一反三
的斜率为正数，且
，则直线在
轴上的截距是（ ）
A．1
B．－1
C．
D．
【5-1】已知椭圆
，过点
的直线l 与C 交于
两点，若
的中点坐标为
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【5-2】已知直线
与双曲线
相交于
，
两点，且弦
的中点是
，则此双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五、已知中点弦求参数
典例探究
【典型例题】过点
作斜率为
的直线与椭圆
相交于
两点，若
为线段
的中点，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
举一反三
【5-3】已知双曲线
与直线
相交于A，B 两点，其中
中点的横坐标为
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【6-1】已知抛物线C：
的焦点为F，过点
及点F 的直线与C 交于
M，N 两点（M 在第一象限），与C 的准线交于点P，若
，O 为坐标原点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【6-2】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，关于原点对称的点
在
上，
题型六、求面积
典例探究
【典型例题】已知椭圆
：
的焦点为
，
，椭圆
上有一点
处于第一象限，
且
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．1
举一反三
若
，则四边形
的面积为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【6-3】设
为双曲线
的两个焦点，点
是双曲线上的一点，且
，
则
的面积为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【7-1】已知双曲线
的左、右焦点分别为
为
上关于原点对
称的两点，且
，
的面积为
，若
为锐角，则
（ ）
A．48
B．96
C．144
D．192
【7-2】由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率
与椭圆的
题型七、已知面积或面积关系求参数
典例探究
【典型例题】已知双曲线
的左、右焦点为
，
，直线
与C 交于
A，B 两点，若
的面积是
面积的2 倍，则
（ ）
A．
B．
或6
C．
D．
或
举一反三
长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆
的离心率为
分别
为
的左､右焦点，
上一点
满足
，且
的面积为
，则
的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【7-3】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，设
为坐标原点，
为
上一
点，若
的面积为
，则
（）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・1】已知椭圆
上，过F1的直线l 与椭圆E 交于A、B 两点
（点A 位于x 轴上方），若
，则直线l 的斜率k 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・2】椭圆
的两个焦点分别为
，过
的直线交椭圆于A、
B 两点，则
的周长是（ ）
题型精析・方法突破提能力
A．10
B．12
C．16
D．20
【突破提升训练・3】已知椭圆C：
的两个焦点分别为
，
，椭圆C 上有一点
P，则
的周长为（ ）
A．8
B．10
C．
D．12
【突破提升训练・4】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，左右顶
点分别为
，过
的直线交
于
两点（异于点
），
的周长为
，
且直线
与
的斜率之积为
，则椭圆
的标准方程为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・5】椭圆
的左顶点为
，右焦点为
为
上一点，则
的周长的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・6】直线y＝x+m 与椭圆
交于A，B 两点，若弦长
，
则实数m 的值为（ ）
A．
B．±1
C．
D．±2
【突破提升训练・7】椭圆
，过原点O 斜率为
的直线与椭圆交于C，D，若
，则椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・8】已知抛物线
与直线
交于
，
两点，
且线段
中点的横坐标为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・9】已知抛物线E：
的焦点为F，过点F 的直线与E 交于
A，B 两点，过点A，B 分别作E 的切线．若两条切线的交点为P，则
面积的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・10】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，若
上一点
到
轴的距离为
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・11】已知抛物线
的焦点为
，点A 在抛物线上，O
是坐标原点，若
的面积为
，则
长度为（ ）
A．2
B．3
C．
D．4
【突破提升训练・12】已知抛物线C：
的焦点为F，过点F 的直线与C 交
于A，B 两点，过A，B 分别作准线l 的垂线交l 于P，Q 两点，若
，且
的面积为
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．6
【突破提升训练・13】已知椭圆
的离心率
，且椭圆的长轴
长为4.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的直线与椭圆
交于
两点，且
，求直线的方程.
【突破提升训练・14】已知椭圆
，其中离心率为
，且过点
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
的直线被椭圆
截得的弦长为
，求直线的方程．
【突破提升训练・15】已知椭圆C：
，
，P 是椭圆C 上任意
一点，F 是椭圆C 的右焦点，且
的最小值是1．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，若
，求直线l 的方程．
【突破提升训练・16】已知椭圆
与椭圆
的焦点相同，且
的长轴长是短轴长的
倍．
(1)求
的方程；
(2)若过点
且斜率为
的直线与
交于
两点，求
．
【突破提升训练・17】已知双曲线
的左焦点为
，离心率
为2.
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线与
交于
两点，与
轴交于点
，且
是
的中点，求
.
【突破提升训练・18】已知
为抛物线
上一点，点
到
的焦点的距离
为6，到
轴的距离为5 .
(1)求
的方程；
(2)设
的焦点为
，过点
的直线与
交于
、
两点，
，求
.
【突破提升训练・19】已知抛物线
与椭圆
有一个相同的焦
点，过抛物线
焦点的直线与抛物线
相交于
、
两点，且
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)求直线的方程.
【突破提升训练・20】已知
为椭圆
：
上一点，且点
到两焦点距
离之和为
，且椭圆离心率为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
被椭圆
截得的线段长为
，求
的值.
【突破提升训练・21】已知动点P 与平面上两定点
连线的斜率的积为定
值
，试求：
(1)动点P 的轨迹C 的方程；
(2)是否存在过点
与（1）中曲线C 相交所得弦长
的直线，若存在，
求直线l 的方程；若不存在，试说明理由.
【突破提升训练・22】已知直线
与曲线
.
(1)若与
有公共点，求实数
的取值范围；
(2)若与
有两个不同的公共点
，且线段
中点
的横坐标为
，求实数
的值.
【突破提升训练・23】已知双曲线
的右焦点为
，直线与
的右支交于
两点.若线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
【突破提升训练・24】过点
作抛物线
的弦
，弦
恰被点P 平分.
(1)求弦
所在直线的方程；
(2)求弦
的长度.
【突破提升训练・25】已知抛物线C：
（p＞0）的焦点为F，过点F 作直线l 与抛
物线C 交于A，B 两点O 为坐标原点．当直线l⊥y 轴时，|AB|＝4．
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)若直线AB 的斜率为1，求△ABO 的面积．
【突破提升训练・26】已知椭圆
的离心率为
，经过点
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
为
的右顶点，过点
的直线交
于
两点，若
为
的中点，求
的面积．
【突破提升训练・27】已知点
在双曲线C：
上，直线l 交C 于
P，Q 两点，直线
的斜率之和为0．若
，求
的面积．
【突破提升训练・28】已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，
若C 的离心率为2，点
在C 上，过
的直线l 交C 的右支于P，Q 两点．
(1)求直线AP，AQ 的斜率之积；
(2)若
的面积为
，求l 的方程．
【突破提升训练・29】已知椭圆
的离心率为
，短轴长为
.
(1)求C 的方程；
(2)若直线
与C 交于
两点，O 为坐标原点，
的面积为
，求t 的
值.
【突破提升训练・30】已知顶点在坐标原点
，焦点在坐标轴上的抛物线过点
．
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)过点
作直线交抛物线于另一个交点
（
在第四象限），设直线
的斜率
分别为
，若
，求
的面积．
