文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
思想04 采纳转化与化归方法以高效解决数学问题
目录
01 考情透视·目标导航...................................................................................................2
02 知识导图·思维引航...................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破...............................................................................................15
题型一：运用“熟悉化原则”转化化归问题
15
题型二：运用“简单化原则”转化化归问题
20
题型三：运用“直观化原则”转化化归问题
26
题型四：运用“正难则反原则”转化化归问题
31
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：
1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已
有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、 建系等方
法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．
2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特
殊化、等价转化、不等转化等 方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解
答，达到解决复杂问题的目的．
3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，
有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为
直观的问题来解决．
4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．
一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很
少，此时从反面考虑较简单．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．（2024 年北京高考数学真题）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形，
，
，该棱锥的高为（ ）.
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，底面
为正方形，
当相邻的棱长相等时，不妨设
，
分别取
的中点
，连接
，
则
，且
，
平面
，
可知
平面
，且
平面
，
所以平面
平面
，
过
作
的垂线，垂足为
，即
，
由平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
由题意可得：
，则
，即
，
则
，可得
，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以四棱锥的高为
.
故选：D.
2．（2024 年北京高考数学真题）设函数
.已知
，
，且
的最
小值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由题意可知：
为
的最小值点，
为
的最大值点，
则
，即
，
且
，所以
.
故选：B.
3．（2024 年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，
其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10 的等比数列，底
面直径依次为
，且斛量器的高为
，则斗量器的高为
，升量器的高
为
．
【答案】 23 57.5/
【解析】设升量器的高为
，斗量器的高为
（单位都是
），则
，
故
，
.
故答案为：
.
4．（2024 年北京高考数学真题）在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
原点对称.若
，则
的最大值为 ．
【答案】
/
【解析】由题意
，从而
，
因为
，所以
的取值范围是
，
的取值范围是
，
当且仅当
，即
时，
取得最大值，且最大值为
.
故答案为：
.
5．（2024 年北京高考数学真题）已知集合
．给定数列
，和序
列
，其中
，对数列
进行如下变换：将
的第
项均
加1，其余项不变，得到的数列记作
；将
的第
项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到
，简记为
．
(1)给定数列
和序列
，写出
；
(2)是否存在序列
，使得
为
，若存在，写出一个符
合条件的
；若不存在，请说明理由；
(3)若数列
的各项均为正整数，且
为偶数，求证：“存在序列
，使得
的各项都相
等”的充要条件为“
”．
【解析】（1）因为数列
，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由序列
可得
；
由序列
可得
；
由序列
可得
；
所以
.
（2）解法一：假设存在符合条件的
，可知
的第
项之和为
，第
项之和为
，
则
，而该方程组无解，故假设不成立，
故不存在符合条件的
；
解法二：由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，
假设存在符合条件的
，且
，
因为
，即序列
共有8 项，
由题意可知：
，
检验可知：当
时，上式不成立，
即假设不成立，所以不存在符合条件的
.
（3）解法一：我们设序列
为
，特别规定
.
必要性：
若存在序列
，使得
的各项都相等.
则
，所以
.
根据
的定义，显然有
，这里
，
.
所以不断使用该式就得到
，必要性得证.
充分性：
若
.
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由已知，
为偶数，而
，所以
也是偶数.
我们设
是通过合法的序列
的变换能得到的所有可能的数列
中，使得
最小的一个.
上面已经说明
，这里
，
.
从而由
可得
.
同时，由于
总是偶数，所以
和
的奇偶性保持不变，从而
和
都是偶数.
下面证明不存在
使得
.
假设存在，根据对称性，不妨设
，
，即
.
情况1：若
，则由
和
都是偶数，知
.
对该数列连续作四次变换
后，新的
相比原来的
减少
，这与
的最小
性矛盾；
情况2：若
，不妨设
.
情况2-1：如果
，则对该数列连续作两次变换
后，新的
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
相比原来的
至少减少
，这与
的
最小性矛盾；
情况2-2：如果
，则对该数列连续作两次变换
后，新的
相比原来的
至少减少
，这与
的
最小性矛盾.
这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的
都有
.
假设存在
使得
，则
是奇数，所以
都是奇数，设为
.
则此时对任意
，由
可知必有
.
而
和
都是偶数，故集合
中的四个元素
之和为偶数，
对该数列进行一次变换
，则该数列成为常数列，新的
等于零，比原来的
更小，这与
的最小性
矛盾.
综上，只可能
，而
，故
是
常数列，充分性得证.
解法二：由题意可知：
中序列的顺序不影响
的结果，
且
相对于序列也是无序的，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（ⅰ）若
，
不妨设
，则
，
①当
，则
，
分别执行
个序列
、
个序列
，
可得
，为常数列，符合题意；
②当
中有且仅有三个数相等，不妨设
，则
，
即
，
分别执行
个序列
、
个序列
可得
，
即
，
因为
为偶数，即
为偶数，
可知
的奇偶性相同，则
，
分别执行
个序列
，
，
，
，
可得
，
为常数列，符合题意；
③若
，则
，即
，
分别执行
个
、
个
，
可得
，
因为
，
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可得
，
即转为①，可知符合题意；
④当
中有且仅有两个数相等，不妨设
，则
，
即
，
分别执行
个
、
个
，
可得
，
且
，可得
，
因为
为偶数，可知
的奇偶性相同，
则
为偶数，
且
，即转为②，可知符合题意；
⑤若
，则
，即
，
分别执行
个
、
个
，
可得
，
且
，可得
，
因为
为偶数，
则
为偶数，
且
，即转为④，可知符合题意；
综上所述：若
，则存在序列
，使得
为常数列；
（ⅱ）若存在序列
，使得
为常数列，
因为对任意
，
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
均有
成立，
若
为常数列，则
，
所以
；
综上所述：“存在序列
，使得
为常数列”的充要条件为“
”.
6．（2024 年北京高考数学真题）在
中，内角
的对边分别为
，
为钝角，
，
．
(1)求
；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
的面积．
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【解析】（1）由题意得
，因为
为钝角，
则
，则
，则
，解得
，
因为
为钝角，则
.
（2）选择①
，则
，因为
，则
为锐角，则
，
此时
，不合题意，舍弃；
选择②
，因为
为三角形内角，则
，
则代入
得
，解得
，
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
,
则
.
选择③
，则有
，解得
，
则由正弦定理得
，即
，解得
，
因为
为三角形内角，则
，
则
，
则
7．（2024 年北京高考数学真题）如图，在四棱锥
中，
，
，
,点
在
上，且
，
．
(1)若
为线段
中点，求证：
平面
．
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】（1）取
的中点为，接
，则
，
而
，故
，故四边形
为平行四边形，
故
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）
因为
，故
，故
，
故四边形
为平行四边形，故
，所以
平面
，
而
平面
，故
，而
，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
则
设平面
的法向量为
，
则由
可得
，取
，
设平面
的法向量为
，
则由
可得
，取
，
故
，
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故平面
与平面
夹角的余弦值为
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题型一：运用“熟悉化原则”转化化归问题
【典例1-1】（多选题）图形由铰接的薄片构成，则下列五个点不动（固定），所有连杆会固定的选项是
（ ）
A．A，B，C，D，O
B．A，B，C，D，F
C．K，L，M，N，O
D．K，L，M，N， E
【答案】ACD
【解析】对于A，如图示：
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；所有连杆会固定；
对于B，如图示：
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
其它点无法固定；
对于C，如图示:
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；所以所有连杆会固定；
对于D，如图示:
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；
固定则
固定；所有连杆会固定；
故选：ACD．
【典例1-2】在
中，
是边
的中点，若
，
，
，则
．
【答案】
/
【解析】
如图，过点
作
的平行线，过点
作
的平行线，两平行线交于点
，
则四边形
为平行四边形，
，
，
∴
，
∴
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
.
故答案为：
.
【变式1-1】若
，则
.
【答案】
/0.5
【解析】由
得：
，
所以
化简得到：
，
所以
；
所以
.
故答案为：
.
【变式1-2】（1）设
，
，求
的最小值．
（2）设A，B，C 是
的三个内角，求证
．
【解析】（1）暂不考虑
的变化，只对
进行“放缩”．
原式
（当
时“=”号成立）．
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
再研究
对函数值的影响．
∵
．
（当
时“=”号成立）
故原函数的最小值为9．
（2）证明：令
，视A 为常量，B，C 为变量，于是有
，
显然B，C 在变化中取相等的值时，
取最大值1，因此有
．
下面考查A 的变化对y 的值的影响，易知当
，即
时，y 取得最大值
，即有
．
根据两次变化情况可知
，
（当且仅当
时“=”号成立）．
1．在
中，角
的对边分别为
，已知
，
，
的面积为
，
求边
上的中线
的长.
【解析】因为
，所以
，
因为余弦定理得
，
又因为
，
可得
，即得
.
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
的中线
，
可得
，
，
所以
，
即
.
2．三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”,“化圆为方问题”并称为
“古代三大几何难题”．公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问
题”．某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角∠AOB 的顶点与坐标原点O 重合，点B 在第四
象限，且点B 在双曲线T：
的一条渐近线上，而OA 与T 在第一象限内交于点A．以点A
为圆心，
为半径的圆与T 在第四象限内交于点P，设AP 的中点为Q，则
．若
，
，则a 的值为（ ）
A．
B．8
C．
D．10
【答案】C
【解析】
设
，直线
的倾斜角为
，
则
，直线
的斜率为
，
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
为
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
直线
的方程为
，
联立
，得
，
，
，即
，
.
故选：C.
题型二：运用“简单化原则”转化化归问题
【典例2-1】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，体积相等，且它们的侧面积之比为
，则圆锥的高与底面
半径之比为（ ）
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设圆柱和圆锥的底面半径为，高分别为
，
所以
，
圆柱的侧面积
，
圆锥的侧面积
，
又因为
，代入
，
解得：
，即
故选：C.
【典例2-2】如图，正方体
的棱长为2，点
为底面
的中心，点
在侧面
的
边界及其内部运动.给出下列四个结论：①
；②存在一点
，
；③若
，则
面积的最大值为
；④若
到直线
的距离与到点
的距离相等，则
的轨迹为抛物线的一部
分.其中正确结论的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】对于①，连接
，由正方体的性质知
为等边三角形，
由于
为底面
的中心，故为
中点，故
，故①正确；
对于②，
进行平移到过
点，使之具有公共顶点，根据立体图像判断，
平面
，即无论如何也不可能满足
平行或重合于
，
所以
不可能平行于
，故②错误；
对于③，取
的中点E，连 接
，
则
，满足
，
又
面
，
面
，
所以
，
，所以
平面
，
所以
在线段
上运动，当点
到点
位置时，
最大，
此时
面积最大为：
.所以③正确；
对于④，P 到直线
的距离为线段
的长度，所以
，判定出P 点位置为直线
的垂直平分
线，故④错误.
故选: C.
【变式2-1】在四面体
中，
在面
内，
在面
内，且满足
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，若
，则线段
与
的关系是（ ）
A．
与
所在直线是异面直线
B．
与
所在的直线平行
C．线段
与
必相交
D．线段
与
延长后相交
【答案】C
【解析】若
，则
，
，所以
四点共面.
又
与
不平行；
∴线段
与线段
相交.
若
且
，
；∴
,
不妨设
，则
,
∴
,
即
,
四点共面,
又
与
不平行；∴线段
与线段
相交.
故选：C.
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【变式2-2】《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳
马”
，
平面
，
，
为底面
及其内部的一个动点且满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
平面
，
，连接
，由
，可得
，
四边形
为矩形，以
为
轴建立如图所示坐标系，
则
，设
，
，
则
，
所以
因为
，则
，则
，
所以
.
故选：D
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．在棱长为1 的正方体
中，P 为底面ABCD 内（包括边界）的动点，满足直线
与直
线
所成角的大小为
，则线段
扫过的面积的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得：正方体
中，易得
，
要使直线
与直线
所成角的大小为
，
只需
与直线
所成角的大小为
，
所以
绕
以
夹角旋转为锥体的一部分，如图所示：
所以
,即
，
所以点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的四分之一圆，
故线段
扫过的面积的大小为
.
故选：A.
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．正方体
的棱长为1，M 是面
内一动点，且
，N 是棱
上一动点，
则
周长的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】点M 在线段
上运动，即动线段
在
内运动，
动线段
在
内运动，动线段
在
内运动，
以
为基准，将
和
翻折使其与
共面，如图所示：
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
其中
翻折至
，
翻折至
，
的周长等于
,最小值等于
在四边形
，
，
由余弦定理可求得
，
所以
，
故
的周长最小值等于
，
故选：B.
题型三：运用“直观化原则”转化化归问题
【典例3-1】若函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立.
令
，
则
，
所以
在
上恒成立.
又因为
在
上单调递增，
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以当
时
，
故
.
故选：D.
【典例3-2】已知点
是曲线
上任意一点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，
，令直线
，显然过点
，
由
，得
，显然
，
即直线与曲线
相离，且
，则曲线
上的点
在直线上方，
过
作
于
，则
，而
，
因此
，
令过点
的直线与曲线
相切的切点为
，由
，求导得
，
则此切线斜率
，解得
，即切点为
，
而点
在曲线
的对称轴上，曲线
在过点
的两条切线所夹含原点的区域及内部，
当点
的坐标为
时，锐角
最大，
最大，
最大，
此时
，
，
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
的最大值为
.
故先：D
【变式3-1】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】法一、根据题意，构造函数
，
则
.
由泰勒展开式，
，
，
所以
，
，
而
，
所以
，即
；
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
法二、因为
，
所以
.
令
，则
，所以函数
在
上单调递增，
所以当
时，
，即有
成立，
所以
，得
，所以
；
因为
，所以令
，
则
，
所以函数
在定义域内单调递增，
所以当
时，
，即有
成立，
所以
，即
，所以
，又
，所以
.
综上，
.
故选：D
【变式3-2】“斐波那契数列”是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，具体数列为
即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列
为“斐波那契数列”，
为数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】由题意可知：
，
所以
，
所以
.
故选：B
1．已知数列
中，
，
（其中
表示
的整数部分，
表示
的小数部分），
则
（ ）
A．2024
B．2025
C．4046
D．4047
【答案】D
【解析】由题意知，
，
则
，
，
，
，
以此类推，
，
所以
，则
.
故选：D
2．已知公比为
的正项等比数列
，其首项
，前
项和为
，前
项积为
，且函数
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在点
处切线斜率为1，则错误的是（ ）
A．数列
单调递增
B．数列
单调递减
C．
或5 时，
取值最大
D．
【答案】A
【解析】对A：因为
，
故
，
则
，由
是等比数列，
则
，解得
，又
，且数列
是正项数列，
故可得
，故该数列单调递减，A 错误；
对B：
，由A 知：
，故
，
故数列
单调递减，B 正确；
对C：由A 可知：
，又
，
，
故数列
的前4 项均为大于1 的正数，从第6 项开始均为小于1 的正数，
故当
或5 时，
取得最大值，C 正确；
对D：因为
，故
，
因为
，
，故可得
，
即
，故D 正确；
故选：A.
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题型四：运用“正难则反原则”转化化归问题
【典例4-1】设
，
，
，
，则（ ）
A．在这四个数中至少存在两个数
，
，满足
B．在这四个数中至少存在两个数
，
，满足
C．在这四个数中至多存在两个数
，
，满足
D．在这四个数中至多存在两个数
，
，满足
【答案】B
【解析】将区间
平均分为三个区间，则每个区间的长度为
．因为
，
，
，
，所以
在
，
，
，
中至少有两个数在同一区间内，设这两个数为
，
，则
，又因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，所以
，
，故A 错误，B
正确；
对于C：取
，
，故C 错误；
对于D：取
，
，故D 错误；
故选：B．
【典例4-2】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为
，若直线
上至少存在一点，
使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是（ ）
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
圆
的方程为
，整理得：
，
即圆
是以
为圆心，1 为半径的圆；
又直线
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆
有公共点，
只需圆
与直线
有公共点即可．
设圆心
到直线
的距离为
，
则
，即
，
．
故选：A．
【变式4-1】已知圆
和两点
，
，若圆C 上至少存在一点P，使
得
，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
的圆心
，半径
,
圆C 上至少存在一点P，使得
,
与
位置关系为相交,内切或内含,如图所示,则
,
．
故选:B．
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【变式4-2】 “省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根
长的尺子，要能够量出长度
为
到
且边长为整数的物体，至少需要6 个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根
的尺子，要能
够一次量出长度为
到
且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（ ）个刻度
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】若有一根
的尺子，量出长度为
到
且为整数的物体，
则当尺子有3 个刻度时满足条件
设
为长度，
为每段长度，
为刻度对应的数量，则有
且
，其中
，
当
时，
下证，当尺子有2 个刻度时不能量出
的物体长度
设
且
，其中
，
所以当
中有1 个0，x 的取值至多有3 个
当
中有2 个0 时，
或
，x 的取值至多有2 个
当
中没有0 时，x 的取值有1 个
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以x 取值至多有6 个，即当尺子有2 个刻度时不能量出
的物体长度．
故选:A
1． 5 个正四面体，每个四面体各面上分别标有A，B，C，D，同时掷出，连掷3 次，则至少一次全部出现
同一字母的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设“同时抛出一次全部都是同一数字”为事件
，则
，再分别表示“同时抛出一次
不都是同一数字”的概率以及抛出3 次都不是同一数字的概率，最后求对立事件的概率.设“同时抛出一次
全部都是同一数字”为事件
，
则
,
则“同时抛出一次不都是同一数字”的概率是
,
那么抛出3 次都不是同一数字的概率是
，
则至少一次全部出现同一字母的概率为
.
故选：D
2．已知矩形
,
,
,将
沿矩形的对角线
所在的直线进行翻折,在翻折的过程中
A．存在某个位置,使得直线
和直线
垂直
B．存在某个位置,使得直线
和直线
垂直
C．存在某个位置,使得直线
和直线
垂直
D．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】A
【解析】如图所示：作
于
，
于
翻折前
，易知存在一个状态使
，满足
，
，
平面
，
平面
，故
正确
错误；
若
和
垂直，
平面
，
平面
，不成立，故
错误；
若
和
垂直，
故
平面
，
平面
，
，因为
，故
不成立，故
错误；
故选：
40
