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专题 03 函数图象与零点问题
题型1 函数图象的画法及图象变换
作函数图象的方法
1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲
线的特征直接作出．
2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变
换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对
变换单位及解析式的影响．
1．（24-25高三上·福建宁德·月考）已知函数 的图象关于点 对称，则下列函数是奇函数
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 的图象关于点 对称，
所以将函数图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位，
可以得到函数 ，其图象关于原点对称，
即 图象关于原点对称，函数为奇函数.故选：B2．（24-25高三上·四川成都·月考）若函数 的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 的定义域为 知， 中 ，不符合图2，故排除B，
D；
对于C，当 时， ，不满足图2，故C错误；
将函数 的图关于 轴对称，得到 的图，向右平移1个单位得到 的图，
最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数 的图可能为图2.故选:A.
3．（2025高三下·全国·专题练习）分别作出下列函数的图象：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析
【解析】（1） 函数的定义域为 ，且 ， 其图象如图所示．
（2）将函数 的图象向左平移一个单位，再将 轴下方的部分沿 轴翻折上去，
即可得到函数 的图象，如图:（3） ， 只需作出 时函数 和 的
图象，
合起来即得函数 的图象．如图:
（4） ，故函数图象可由 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，
如图所示:
4．（2024高三·全国·专题练习）作出下列函数的图象：
(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析
【解析】（1）先作出 的图象，保留 图象中 的部分，
再作出 的图象中 部分关于y轴的对称部分，即得 的图象，
如图所示：（2）将函数 的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，
即可得到函数 的图象，如图所示：
（3）令 ，定义域为 ， ，
所以 为偶函数.
，
当 时， ，对称轴为 ，开口向上，
先用描点法作出 上的图象，再根据对称性作出 上的图象，
如图所示：题型2 由复杂函数解析式选择图象
图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”
1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；
2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；
3、找特殊值：** 错误的表达式 **对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；** 错误的表达式 **对比
各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；
4、判断单调性：可取特殊值判断单调性．
5．（2025·河北·模拟预测）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，由余弦函数性质可知 ，
又 ，且函数 在 上单调递增，得 .
所以当 时， ，BD错误.
又 时， ，得 ，A错误.故选：C.
6．（2025·江西·三模）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以该函数为奇函数，可排除C，D.
当 时， ，所以 ，排除B.
故选：A.
7．（2025·辽宁·模拟预测）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，可得 的定义域为 ，
且 ，所以 为奇函数，图象关于原点对称，排除B项；
，排除C项；
当 时， ，排除A项.故选：D.
8．（2025·天津·二模）函数 的大致图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 的定义域为R，
则 ，
所以 为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项；
又因为 ，故排除B选项.故选：A．
题型3 根据函数图象选择解析式
（1）从图像的最高点、最低点分析函数的最值、极值；
（2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
（3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
9．（25-26高三上·云南·月考）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（
）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图象过点 可知，AC选项满足，BD选项不满足，故排除BD；
对A， ，而对于C， ，故排除C.故选：A
10．（2025·河南·模拟预测）已知函数 的部分图象如下，则 的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 的图象关于 轴对称，所以 为偶函数，排除B，
又 ，排除A，当 时， ，排除D.故选：C．
11．（2025·天津·二模）已知函数 的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A： ，当 时， ，故排除A；
对于B：当 时，函数 为增函数，当 时，函数 为减函数，故排除B；
对于D，当 时， ， ，所以 在 上单调递增，故排除D；
对于C， 为偶函数，由 可得 ，满足图象，故C正确.故选：C．
12．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数 的部分图象，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可知，函数图象关于 轴对称，因此 为偶函数，
对于B， 的定义域为 ，且 ，奇函数；
对于D， 的定义域为 ， ，奇函数；
因此排除选项B，D这两个奇函数；
由图象知，若 取一个很小的正数，比如 ，
对于A： ，函数值为正数，因此排除A.
对于C: 的定义域为 ，
， ，综上只有C符合，故选：C.
题型4 根据实际问题作函数图象
根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
（1）根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）；
（2）根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）．13．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形 是上底为 ，下底为 ，高为 的等腰梯形，
记梯形 位于直线 左侧的阴影部分的面积为 ，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可知在梯形 中， ；
当 时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为 ；
当 时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，
其面积为 ；
当 时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积，
即 ；
所以可得 ；
根据函数类型对比图象可得A正确.故选：A
14．（24-25高三上·山东·联考）如图所示，动点 在边长为1的正方形 的边上沿 运动， 表示动点 由A点出发所经过的路程， 表示 的面积，则函数 的大致图像是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，是一条过原点的线段；
当 时， ，是一段平行于 轴的线段；
当 时， ，图象为一条线段.故选：A．
15．（2025高三·全国·专题练习）如图，圆 和直角三角形 的两边相切，射线 从 处开始，绕
点 逆时针匀速旋转（到 处为止）时，所扫过的圆内阴影部分的面积 是时间 的函数，它的图象大致
为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】当直线转动时，若某时刻直线被圆所截得的弦最长时，
的瞬时变化率就较大，此处的导数也较大，
图象中这里的切线较陡，曲线就较陡.
故前半部分曲线开始由平缓变陡；
后半部分弦又渐渐变短，曲线由陡变缓，4个图中只有D具有上述特点.故选：D.
16．（24-25高三上·北京·月考）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度 （单位：
米/分钟）与时间 （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数” 为无人机在时间段 内的最大
速度与最小速度的差，则 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，当 时，无人机做匀加速运动， ，“速度差函数” ；
当 时，无人机做匀速运动， ，“速度差函数” ；
当 时，无人机做匀加速运动， ，“速度差函数” ；
当 时，无人机做匀减速运动，“速度差函数” ，结合选项C满足“速度差函数”解析式，故选：C.
题型5 函数零点所在区间的判断
确定 的零点所在区间的常用方法：
（1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数 在区间 上的图象是否连续，再看是否有
，若有，则函数 在区间 内必有零点；
（2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 轴在给定区间上是否有交点来判断．
17．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数 在 上有零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 在 上单调递增，
所以 ，即 ，解得 ．故选：D.
18．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·月考）函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 在 上为增函数， 在 上为增函数，所以 在 上为增函数.
因为 ， ，
所以函数 的零点所在的区间为 .故选：C.
19．（2025·河北沧州·二模）函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 与 均在定义域上单调递增，
所以 在 上单调递增，又 ，
， ，
，
又 ，
函数 的零点所在区间是 ．故选：B．
20．（24-25高三上·江苏盐城·月考）函数 的零点在区间 内，则正整数 .
【答案】
【解析】因为 定义域为 ，
又 与 均在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 ，所以 在 上存在唯一零点，所以 .
故答案为：
题型6 函数零点个数的判定
零点个数的判断方法
f x0
1、直接法：直接求零点，令 ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
a,b f a f b0
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间 上是连续不断的曲线，且 ，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
f x f x
x
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数 的图象，函数 的图象与 轴交点的个
f x
数就是函数 的零点个数；f x hx gx f x0 hx gx
（2）两个函数图象：将函数 拆成两个函数 和 的差，根据
f x y hx y gx
，则函数 的零点个数就是函数 和 的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．
21．（2025·安徽·模拟预测）已知函数 ，则函数 在区间 上的零点个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】 ，
由 ，得 或 ，即 或 或 ， .
所以函数 在区间 的零点是 4个.故选:D
22．（24-25高三下·河北·月考）函数 与 的图象在 上的交点个数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意作出 与 的图象：
结合图象可以得到在 上两图象有5个交点，故选：D.
23．（2025·河北保定·一模）已知 是定义在 上的函数，且有 ，当 时，
，则方程 的根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】 是定义在 上的函数，且有 ，当 时， ，
则 时， ，则
时，
时，
时，
画出函数 与函数 的图象，
由图象可知方程 的根的个数为3.故选：C.
24．（24-25高三上·湖南·月考）设函数 ，其中 .若 ，都有
.则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对 ，都有 ，
所以 是 的一条对称轴，
所以 ，又 ，
所以 .所以 ，
在平面直角坐标系中画出 与 的图象，当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ，
所以如图所示，可知 的图象与直线 的交点个数为3，故C正确.故选：C.
题型7 根据函数零点个数求参数
已知零点个数求参数范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两
个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
25．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数 ，若函数 恰有3个零点，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若函数 恰有3个零点，
即函数 与 的图象有3个交点，
，
当 时， ，当 时， ，函数 的图象如下，
结合图象可得 .
故选：A.
26．（24-25高三上·安徽安庆·月考）已知函数 是定义在 上偶函数，当 时，
，若函数 仅有4个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，
又函数 是定义在 上偶函数，其图象关于 轴对称作出函数 图象：
因为函数 仅有4个零点，所以函数 与 有4个交点，
根据图象可知： ，即实数 的取值范围是 ．
故选：C．
27．（24-25高三下·湖南·月考）已知 有4个零点，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】令 ，
研究 ，当 时，易知函数单调递增；
当 时， ，
当 时， ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
此时 在 单调递增，在 单调递减；
当 时，得到最大值 ，
画出草图：
由图像可知，要使得 有4个零点，
则 必有两个零点，一个零点在 内，一个零点在 内，
由二次函数零点分布可得： ，解得： ，
所以实数 的取值范围为 ，故选：C
28．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数 ，若 至少有三个不同的
零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，函数 至少有3个不同的零点，
等价于直线 与函数 的图象至少有3个交点，
直线 过原点，在同一坐标系内作出函数 的图象与直线 ，当直线 与曲线 相切时，直线 与函数 的图象有3个交点，
由 ，求导得 ，设切点坐标为 ，则切线 方程为 ，
而切线过原点，则 ，解得 ，此时切线 的斜率 ，
当 时，直线 与函数 的图象有2个交点，不符合题意；
当 时，直线 与函数 的图象最多有2个交点，不符合题意；
当 时，直线 与函数 的图象有4个交点，符合题意，
所以实数 的取值范围是 .故选：D
题型8 求函数零点的和及范围
利用函数零点位置的对称性求和
（1）将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题；
（2）** 错误的表达式 **如果两个函数图象都关于直线 对称，那么这两个函数图象的交点也关于
直线 对称，则对应的两零点之和为 ；
** 错误的表达式 **如果两个函数图象都关于点 对称，那么这两个函数图象的交点也关于点
对称，则对应的两零点之和为 ．
29．（2025·海南·模拟预测）已知 为奇函数，若 与 的图象有10个交点，设交
点的横坐标从小到大依次为 ，则 .
【答案】30
【解析】因为 为奇函数，所以 的图象关于原点对称，
又 的图象可由 的图象向右平移3个单位长度得到，所以 的图象关于点 对称.
又 的图象也关于点 对称，
所以 与 的图象的交点关于点 对称，
所以 ，
故 .
30．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）若直线 与函数 的图象恰
有三个交点 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
【答案】B
【解析】由题意知直线 过定点 ，
函数 满足
，
所以函数 的图象的对称中心为 ，
不妨设 关于 对称，则 ，
所以 ．故选：B
31．（24-25高三上·海南海口·月考）已知定义在 上的函数 满足
，当 时， ，则方程 所有根
之和为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【解析】由 ，得函数 的图象关于点 对称，
由 ，得 ，则函数 的图象关于直线 对称，
且有 ，则 ，于是 是以4为周期的周期函数，
又当 时， ，即函数 在 上单调递增，又 ，根据对称性可知，函数 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
由 ，得 ，
则方程 的根即为函数 的图象与直线 交点的横坐标，
而直线 关于点 对称，即函数 的图象与直线 都关于点 对
称，
在同一坐标系内作出函数 的图象与直线 ，如图所示.
观察图象可知，函数 的图象与直线 在 上有6个交点，
由中心对称的性质知，函数 的图象与直线 在 上有6个交点，
因此函数 的图象与直线 的所有交点横坐标和为 ，
所以方程 所有根之和为13．故选：D.
32．（2025·陕西西安·一模）已知函数 ，若关于 的方程 有4个不同的
实根 、 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出函数 和函数 的图象可知，假设两个函数的图象共有4个交点 ，
且横坐标分别为 ，
由 ，得 ，则有 ，
所以 ，所以 ．
由于二次函数 图象的对称轴为直线 ，
则点 两点关于直线 对称，所以 ．则 ．
令 ，解得 或 ，所以 ，
所以 ．故选：A
题型9 二次函数的零点分布问题
对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手：
（1）开口方向；（2）对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；（3）判别式，决定函数与 轴的
交点个数；（4）区间端点值．
33．（24-25高三上·河南周口·期中）已知函数 有两个零点，在区间 上是单调的，
且在该区间中有且只有一个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
由在区间 上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，得 且 或 且 ，
则 或 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 .故选：C
34．（2024·四川巴中·一模）若函数 在区间 内恰有一个零点，则实数a的取值集
合为（ ）
A． B． 或 .
C． D． 或 .
【答案】D
【解析】由函数 ，
若 ，可得 ，令 ，即 ，解得 ，符合题意；
若 ，令 ，即 ，可得 ，
当 时，即 ，解得 ，此时 ，解得 ，符合题意；
当 时，即 且 ，则满足 ，
解得 且 ，
若 ，可得 ，令 ，即 ，
解得 或 ，其中 ，符合题意；
若 ，可得 ，令 ，即 ，
解得 或 ，其中 ，符合题意；
综上可得，实数 的取值范围为 或 .故选：D.
35．（24-25高三上·山西太原·月考）若函数 在区间 恰有两个零点，则实数a的
取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题 ，所以 是 的一个零点，
因为函数 在区间 恰有两个零点，
所以函数 在区间 恰有一个非0的零点，
当 ，即 时 有一个零点，
将 代入 整理得 即 ，解得 ，
故 时 有一个零点为 ，符合；
当 ，即 时，
由根的分布情况得 ，
即 ，解得 ，符合.
所以实数a的取值范围是 .故选：A.
36．（24-25高三上·湖南常德·月考）已知函数 ，若函数 有 个零点，
则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，
当 时，由 ，可得 ，可得 ，合乎题意；
因为函数 有 个零点，则函数 在 上有2个零点，
则 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .题型10 复合函数的零点问题
处理复合函数 的零点问题的方法：
** 错误的表达式 **确定内层函数 和外层函数 ；
②确定外层函数 的零点 ；
③确定直线 与内层函数 图象的交点个数分别为 、 、 、…、 ，
则函数 的零点个数为 ．
37．（2025·宁夏银川·三模）若函数 ，则 的零点个数
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】令 ，则 ，所以 ，
解得 ，解得 或 ，
当 时， ，求导得 ，
令 ，则 ，解得 ，
若 时， ，若 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ，
当 时， 在 上单调递增，且 ，
所以 有3个解， 有2个解，
所以 的零点个数为5个.故选：D.
38．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数 ，关于 的方程 的根的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】由 得 ，解得 或 ，
画出 的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点．
（图中只显示了6个交点，当 或 时， 和 与图象还有4个交点，）
故选：D.
39．（24-25高三上·安徽·月考）已知函数 若方程 有6个不
同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】作出 图像，
令 ，则方程 有6个不同的实数根
等价于 有2个不同的实数解 ，且 ，
则 ，解得 ，故选： .40．（2025·天津·二模）已知函数 ，若方程 有且只有一个解，则实数
a的取值范围是 .
【答案】
【解析】设 ，则 ，
情形一：当 时， ，解得 或 ，
因为 ，故不可能有 ，
从而只能是 有唯一的解，
这就要求 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，这与 矛盾，
此时满足题意的 的取值范围是 ；
情形二：当 时， ，解得 ，
这就要求 ，
由于 ，故只能是 ，解得 ，
这就要求 ，
此时满足题意的 的取值范围是 ；
综上所述，满足题意的 的取值范围是 .
