文档文本内容
第06 讲 函数的图象
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 直接法作图技巧...................................................................................................4
知识点2 图象的变换...........................................................................................................5
题型破译.........................................................................................................................................6
题型1 函数的图象变换
................................................................................................6
【方法技巧】仔细分析关于什么对称
题型2 由解析式选择图象.................................................................................................10
【方法技巧】判断函数的奇偶性、特殊点、变化趋势
题型3 由图象选解析式.....................................................................................................12
题型4 函数图象的应用
...............................................................................................15
题型5 解析式含参数图象问题.........................................................................................19
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................23
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................27
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
本节内容通常考查给定函数
解析式来判断所对应的图
象，是新高考复习的重要内
容
单选题
多选题
填空题
解答题
天津卷，第3
题，5 分
全国甲卷理，第7 题，5
分
新课标全国II 卷，16
题，5 分
天津卷，第4 题，5 分
考情分析：本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数的基本性质，难度
中等偏下，分值为5 分
复习目标：
1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题
2.能熟练运用函数的基本性质判断对应函数图象
3.能运用函数的图象理解和研究函数的性质
知识点1 直接法作图技巧
1. 图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想）
①√2=1. 414, √3=1. 732, √5=2. 236,√6=2. 45, √7=2. 646
②e=2. 71828, e2=7. 39, e
1
2=√e=1. 65
③ln1=0, ln2=0. 69, ln3=1. 1, lne=1, ln√e=1
2
④sin1=0. 84, cos1=0. 54, sin2=0. 91, cos2=−0. 42
特别地：当x→0 时sinx=x
例如：sin0. 1=0. 099≈0. 1，sin0.2=0.199≈0.2, sin0.3=0.296≈0.3
当x→0 时cosx=1
cos0.1=0.995≈1, cos(−0.2)=0.980≈1
2. 函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，
当自变量取遍定义域A 内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述
为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
3. 描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、
最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
自主检测函数
与
的图象的交点个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】D
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】函数
与
都是偶函数，其中
，
，
在同一坐标系中，作出函数
与
的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.
故选：D
知识点2 图象变换
1.平移变换
2.对称变换
①y＝f(x)―――――→y＝－
f(x)
；
②y＝f(x)―――――→y＝f ( －
x ) ；
③y＝f(x)―――――→y＝－
f ( －
x ) ；
④y＝ax (a>0 且a≠1)―――――→y＝logax ( a >0
且
a ≠1)
．
3.伸缩变换
①把函数
图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的
1
w 倍得
(0<
<1)
②把函数
图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
1
w 倍得
(
>1)
③把函数
图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的
倍得
(
>1)
④把函数
图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w 倍得
(0<
<1)
4.翻折变换
①y＝f(x)――――――――――→y＝| f ( x )| .
②y＝f(x)―――――――――――→y＝f (| x |) ．
【常用结论】
（1）若f (m+x)=f (m−x)恒成立，则y=f ( x)的图象关于直线x=m对称．
（2）设函数y=f ( x)定义在实数集上，则函数y=f ( x−m)与y=f (m−x)(m>0)的图象关于直线
x=m对称．
（3）若f (a+x)=f (b−x)，对任意x ∈R 恒成立，则y=f ( x)的图象关于直线
x=a+b
2
对称．
（4）函数
与函数
的图象关于直线
对称．
（5）函数
与函数
的图象关于直线
对称．
（6）函数
与函数
的图象关于点
中心对称．
（7）函数平移遵循自变量左加右减，函数值上加下减．
“
”
“
”
自主检测定义在区间
上的函数
的图象如下图所示，则
的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用中心对称得到
的图象，再进行平移变换，即得
的图象.
【详解】先把函数
的图象关于原点对称，可得函数
的图象，
再将其向右平移4 个单位长度，即得函数
的图象.
故选：B.
题型1 函数的图象变换
例1-1 函数
的图象向右平移1 个单位长度得到函数
的图象，则
的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数图象的应用、函数图象的变换
【分析】根据函数图象的变换，求得函数
，根据当
时，得到
，可排除A、
B；当
时，得到
，可排除C，进而求解.
【详解】由题意，可得
，其定义域为
，
当
时，
，函数
，
故排除A、B 选项；
当
时，0
，故函数
，故排除C 选项；
当
时，函数
，
该函数图象可以看成将函数
的图象向右平移一个单位得到，选项D 符合.
故选：D.
例1-2 已知图 对应的函数为
，则图
对应的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数
与
图象关于
轴对称判断B，判断函数
，
的奇偶性，
再结合其与函数
的图象关系，判断AC，再根据函数
关于原点对称判断D，
【详解】函数
的图象与函数
的图象关于
轴对称，不满足要求，B 错误；
设
，由已知函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
，
当
时，函数
的图象与函数
的图象相同，且图象关于
轴对称，A 正确；
设
，由已知函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
，
当
时，函数
的图象与函数
的图象相同，且图象关于
轴对称，C 错误；
函数
的图象与函数
的图象关于原点对称，D 错误；
故选：A.
法技巧
方
（1）直接法：对基本的函数图象，直接作图；
（2）转化法：含有绝绝对值的，直接去绝对值，转化为分段函数；
（3）图象变换法：可通过，平移、翻折、对称得到。
【变式训练1-1·变考法】（多选题）为了得到函数
的图象，只需将函数
图象上
（ ）
A．所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变
B．所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变
C．所有点沿y 轴向下平移1 个单位长度
D．所有点沿x 轴向右平移
个单位长度
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】对数函数图象的应用、函数图象的变换
【分析】利用图象的伸缩或平移变换逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】对于A，函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，
可得函数
的图象，则选项A 正确；
对于B，函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，可得函数
的图象，故选项B 错误；
对于C，
，将
图象上的所有点沿y 轴向下平移1 个单位长度，就得到函数
的图象，故选项C 正确；
对于D，函数
图象上所有点沿x 轴向右平移
个单位长度，可得函数
的图象，故选项 D 错误；
故选：AC.
【变式训练1-2】（2026 高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）由二次函数图象，根据函数图象的翻折变换，可得答案；
（2）由指数函数的图象以及分段函数图象，根据函数图象的平移变换，可得答案.
【详解】（1）
的图象可由函数
的图象保留x 轴上方的部分不变，
将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得到，如图所示：
（2）
，其图象可看作由函数
的图象向右平移1 个单位长度，
再向下平移1 个单位长度得到，而
，
其图象可由
的图象保留
时的图象，然后将该部分关于y 轴对称得到，
则
的图象如图所示：
题型2 由解析式选择图象
例2-1 若函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值.
【详解】根据函数图象可知
和
不在函数
的定义域内，
因此
和
是方程
的两根，可得
，
又易知
，可得
，
即
，所以
.
故选：D
例2-2（2026 高三·全国·专题练习）（多选）函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】由函数的定义域可判断的符号，分别令
可判断
的符号.
【详解】函数的定义域为
，
由图可知
，则
，
由图可知
，所以
，
由
，得
，
由图可知
，得
，所以
，
综上，
．
故选：AB.
法技巧
方
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点)，排除不合要求的图象．
【变式训练2-1·变考法】如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案.
【详解】对于A，
，定义域为
，当
时，
，不符合题意；
对于B，当
时，
，不符合题意；
对于C，
，定义域为
，函数为偶函数，
且
在
上单调递减，在
上单调递增，符合题意；
对于D，
，当
时，
，不符合题意，
故选：C
【变式训练2-2】已知函数
的部分图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的部分图象可得
为偶函数，结合
和函数值正负，利用排除法得解.
【详解】因为
的图象关于
轴对称，所以
为偶函数，排除B，
又
，排除A，当
时，
，排除D.
故选：C．
题型3 由图象选解析式
例3-1（2025·四川南充·三模）函数
的图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依题意可得
为奇函数，即可排除A、C，由函数在
上的函数值的特征排除D，即可得解.
【详解】由图可知
的图象关于原点对称，则
为奇函数，
对于A ：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为偶函数，不符合题意，故A 错误；
对于C：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为偶函数，不符合题意，故C 错误；
对于D：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为奇函数，
当
时，
，
，所以
恒成立，不符合题意，故D 错误；
故利用排除法可知选项B 符合题意.
故选：B
例3-2 如图，已知函数
的图象关于坐标原点O 对称，则函数
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据图象得
为奇函数，有
，再由图象得函数
的定义域为
，结合图象即可判断各选项.
【详解】由题意得
为奇函数，即
，定义域为
，
A，由
定义域为
，不符合，错误；
B，由
定义域为
，且
，
但
趋向于
，
趋向于
，不符合图象，错误；
C，由
定义域为
，且
，
但
在
上恒成立，不符合图象，错误；
D，由
定义域为
，且
，符合图象，正确.
故选：D.
【变式训练3-1·变载体】已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据图象可知函数的奇偶性判断及值域排除B,C,再代入特殊值
排除D 即可判断.
【详解】由图象，得函数
的定义域为
，且图象关于
轴对称，即
为偶函数，当
，
.
选项B，C 中，
，当
，
，故排除B，C；
选项A，D 中，当
时，
，
，结合图象，排除D.
故选：A.
【变式训练3-2】已知函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】依题意可得
为奇函数，即可排除B、D，由函数在
上的函数值的特征排除A.
【详解】由图可知
的图象关于原点对称，则
为奇函数，
对于A ：
定义域为
，
当
时
，
，所以
，不符合题意，故A 错误；
对于B：
定义域为
，
且
，
所以
为非奇非偶函数，不符合题意，故B 错误；
对于D：
定义域为
，
且
，
所以
为非奇非偶函数，不符合题意，故D 错误；
对于C：
定义域为
，
，
所以
为奇函数，
且当
时
，
，所以
，符合题意，故C 正确；
故选：C
题型4 函数图象的应用
例4-1 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100 千米/小时，特快车的速
度为150 千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000 千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的
距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意分析可得相遇时间为4 小时，此时两车距离为0，排除B 选项；再求出快车继续行驶到
达乙地所需要的时间排除A 选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D 选项.
【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间
小时，
此时两车距离为0，快车行驶时间为4 小时，故排除B 选项；
相遇时，快车已经行驶的路程为
千米，
还需要行驶
小时才能到达乙地，故排除A 选项；
特快车相遇时已经行驶的路程为
千米，
只需要再行驶
小时才能到达甲地，
所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D 选项.
故选：C.
例4-2 某同学离家去学校，刚开始跑步前进，跑了一段路程后，又放慢速度步行．图中
轴表示该学生离
家的距离，轴表示所用的时间，下列图象中，与该同学走法相吻合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案.
【详解】依题意可知，
关于的函数图象呈上升趋势，故B 和D 都错误；
由于该同学是先跑后走，所以
关于的函数图象上升速度是先快后慢，故A 正确，C 错误.
故选：A．
法技巧
方
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应的函数图象可作出时，可以将不等式
问题转化为图象问题。
【变式训练4-1】如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从
点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀
速走了一圈路线为
，则小明到
点的直线距离
与他从
点出发后运动的时间之间的
函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据扇形的特点结合路程关系进行判断即可.
【详解】小明沿
走时，与
点的直线距离保持不变，
沿
走时，随时间增加与点
的距离越来越小，
沿
走时，随时间增加与点
的距离越来越大.故D 选项的函数图象符合题意.
故选：D
【变式训练4-2】如图，直线在初始位置与等边
的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕
点
匀速转动（转动角度不超过
），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的
图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】取
的中点
，连接
，设等边
的边长为
，求得
，令
，其中
，结合导数，即可求解.
【详解】如图所示，取
的中点
，连接
，因为
为等边三角形，可得
，
设等边
的边长为
，且
，其中
，
可得
，
又由
的面积为
，可得
，
且
，
则
的面积为
，
令
，其中
，
可得
，所以
为单调递增函数，
又由余弦函数的性质得，当
时，函数
取得最小值，
所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，
结合选项，可得选项C 符合题意.
故选：C.
题型5 解析式含参数的图象问题
例5-1 在同一直角坐标系中，函数
，
，且
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
的图象与函数
的图象关于
轴对称，
所以函数
的图象恒过定点
，故选项A、B 错误；
当
时，函数
在
上单调递增，所以函数
在
上单调递减，
又
在
和
上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确.故选：C.
例5-2 已知函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)，f(2 011)·g(－2 012)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐
标系内的大致图象是( )
【答案】B
【解析】由f(2 011)·g(－2 012)<0，知0<a<1，根据函数g(x)＝loga|x|(0<a<1)的图象和函数，
f(x)＝ax－2(0<a<1)的图象，知选项B 正确．
【变式训练5-1】已知函数
（a，b 为常数，其中
且
）的图象如图所示，则下列结
论正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，所以
，排除A，C；
又因为函数过点
,所以
，解得
．故选：D
【变式训练5-2】（多选）函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】函数图象的识别、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】求导，分
四种情况讨论求解即可.
【详解】
，
当
时，若
，得
，即函数
在
上单调递减，
若
，得
，即函数
在
上单调递增，
此时函数
有最小值为
，且
，故B 符合题意，A 不符合题意；
当
时，若
，得
，即函数
在
上单调递减，
若
，得
，即函数
在
上单调递增，
此时函数
有最小值为
，故C 符合题意；
当
时，若
，得
，即函数
在
上单调递减，
若
，得
，即函数
在
上单调递增，
此时函数
有最小值为
，且
，故D 符合题意；
当
时，
恒成立，则函数
在
上单调递增.
故选：BCD
【变式训练5-3】（多选）函数
的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】函数图象的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数的零点
【分析】求出
的零点和极值点，对
，
在取不同符号的值的情况下
可能的图象进行分类讨论，
选出符合题意的图象．
【详解】令
，得
，
，令
，得
，
若
，
，则
，且
时，
恒成立，
时，
，
递减，
，
，
递减，
，
，
递增，故D 正确；
若
，
，则
，且
时，
恒成立，
时，
，
递增，
时，
，
递减，
时，
，
递减，故B 正确；
若
，
，则
，且
时，
恒成立，
时，
，
递减，
时，
，
递增，
时，
，
递增，故C 错误；
若
，
，
，且
时，
恒成立，
时，
，
递增，
，
，
递增，
，
，
递减，故A 错误；
综上，A,C 错误，B,D 正确．
故选：BD．
1．（2025·天津·高考真题）已知函数
的图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由
时函数值正负情况可得解.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数
和函数
为奇函数，故排除选项AB；
又当
时
，此时
，
由图可知当
时，
，故C 不符合，D 符合.
故选：D
2．（2022·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令
，
则
，
所以
为奇函数，排除BD；
又当
时，
，所以
，排除C.
故选：A.
3．（2023·天津·高考真题）已知函数
的部分图象如下图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B 中函数的奇偶性，再判断A、C 中函数在
上的
函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且
，
由
且定义域为R，即B 中函数为奇函数，排除；
当
时
、
，即A、C 中
上函数值为正，排除；
故选：D
4．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间
的大致图象，则该函数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数图象的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设
，则
，故排除B;
设
，当
时，
，
所以
，故排除C;
设
，则
，故排除D.
故选：A.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入
可得
，可排除D.
【详解】
，
又函数定义域为
，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又
，
故可排除D.
故选：B.
1．如图所示，动点
在边长为1 的正方形
的边上沿
运动，
表示动点
由A 点出
发所经过的路程，
表示
的面积，则函数
的大致图象是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分
，
，
求出解析式，然后可知图象.
【详解】当
时，
，是一条过原点的线段；
当
时，
，是一段平行于
轴的线段；
当
时，
，图象为一条线段.
故选：A．
2．画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)图象见解析，单调递增区间为
，单调递减区间为
(2)图象见解析，无单调递增区间，单调递减区间为
和
【分析】作出二次函数和反比例函数的图象，结合图象可得单调区间.
【详解】（1）函数图象如下图所示：
由图象可知：
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）函数图象如下图所示：
由图象可知：
的无单调递增区间，单调递减区间为
和
.
3．讨论下列函数的单调性，并画出大致图象．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)在区间
上函数单调递减，在区间
上函数单调递增，图象见解析
(2)在区间
上函数单调递增，图象见解析
【分析】求导，利用导数研究函数的单调性，结合函数的性质画出大致图象.
【详解】（1）
，
，则
，
当
时，
，函数单调递减；当
时，
，函数单调递增，
在区间
上函数单调递减，在区间
上函数单调递增，
当
时，函数取极小值
，
当
时，
；当
时，
，
函数的大致图象如图，
（2）
，
，则
，
当
时，
，函数单调递增，即在区间
上函数单调递增，
当
时，函数取最小值
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，
，
函数的大致图象如图，
4．在同一平面直角坐标系中画出下列各组函数的图象，并讨论它们之间的关系：
(1)
，
，
；
(2)
，
，
．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）（2）在同一坐标系内作出给定的3 个函数的图象，再探讨图象间的关系即得.
【详解】（1）在同一坐标系内作出函数
，
，
的图象，如图，
函数
的图象可看作由函数
的图象向左平移3 个单位而得；
函数
的图象可看作由函数
的图象向右平移1 个单位而得.
（2）在同一坐标系内作出函数
，
，
的图象，如图，
函数
的图象可看作由函数
的图象向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位而得；
函数
的图象可看作由函数
的图象向下平移1 个单位而得.
5．画函数
的图象，并求函数的单调区间.
【答案】图象见解析，单调递增区间为
，单调递减区间为
.
【分析】作出函数图象，根据图象写出单调区间.
【详解】作图如下，
则由图可知，函数
的单调递增区间为
，
单调递减区间为
.
