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2027 年一轮复习第二章 函数与基本初等函数
高三数学测试卷
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数
的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，
又
，
，则
，
根据零点存在性定理，函数
的零点所在区间为
.
2．已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．e
【答案】B
【详解】函数
，则
，
所以
.
3．设
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】利用偶函数性质得
，得
.
周期
，
，因此
.
，且
，
则
因此
.
4．已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，
，
因为函数
在
上单调递增，
则
，则
，则
，则B 正确.
5．已知函数
（
且
）的图象经过点
.则函数
的最大值是（ ）.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】由已知得
，解得
，则
在R 上是减函数，
因为
，所以
，所以
，即函数
的最大值为3.
6．已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可.
【详解】
的零点即为方程
的解，即为
的图像与
图像的交点横坐标，
的零点即为方程
的解，即为
的图像与
图像的交点横坐标，
的零点即为方程
的解，即为
的图像与
图像的交点横坐标，
∵函数
的零点分别为
,
作出函数
的图象如图，
由图可知：
,
7．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
的定义域为
，
的定义域需要满足
解得
，且
．
的定义域为
．
8．已知函数
的定义域均为
，
，
的图象关于直线
对称，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先由
及
可得
，进而可得
的一个对称中
心
，再由
是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值.
【详解】因为
．所以
，
又因为
，所以
，
即
，所以
的图象关于点
对称，且
．
又因为
的图象关于直线
对称，所以
，且
所以
，则
，
所以
，所以是函数
的一个周期．
所以
．
又因为
，所以
．
所以
，所以
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．以下运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可.
【详解】
，A 错误；
，B 正确；
，C 错误；
，D 正确.
10．已知定义在
上的函数
满足
，且
为偶函数，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数
为奇函数
B．函数
为奇函数
C．函数
是偶函数
D．函数
是偶函数
【答案】BCD
【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可.
【详解】由
为偶函数，得
，即
，
所以
的图象关于直线
对称.
由
及
，得
.
令
，则
，所以
，
又
，所以
，即
.
所以
，因此
是偶函数，故A 错误，C 正确.
由
，得
，
又
是偶函数，所以
，
所以
，故
为奇函数，故B 正确.
由
，得
，又
是偶函数，所以
，
所以
，即
是偶函数，故D 正确.
11．已知函数
，下列是关于函数
的零点的判断，其中正确的是（ ）
A．在
内一定有零点
B．在
内一定有零点
C．当
时，有
个零点
D．当
时，有个零点
【答案】CD
【分析】分
及
并画出相应
图象进行讨论即可得.
【详解】当
时，
，图象如图（1），
此时
即
，
若
，则
，
若
，则
，
又
有2 个零点，
也有2 个零点，
故
有4 个零点，故C 正确；
当
时，
，图象如图（2），
此时
即
，只有
一种情况，
此时
仅有1 个零点
，
所以当
时，有1 个零点，故D 正确；
由图象可得A、B 错误.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知函数
且
的图像过定点
，正实数m､n 满足n
，则
的最小值
为__________.
【答案】
【分析】由对数函数性质确定
，
，进而得到
，再结合基本不等式即可求解.
【详解】当
时，
，所以函数
的图象过定点
，
所以
，
，代入
得
.
所以
，
当且仅当
时等号成立，即
，
时等号成立.
13．若函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据指数型函数以及一次函数的单调性，结合分段函数的性质求解即可．
【详解】由函数
在
上单调递减，
则
，解得
，
所以a 的取值范围是
．
14．已知函数
定义在
上，且
，满足
，且当
时，
，
则函数
的零点个数是____.
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性，对称性以及函数图象和性质，结合函数零点的定义分析即可.
【详解】定义在
上函数
满足
，可得
为奇函数，
又由
，可得
有对称轴
，
由
，可得
，
则
最小正周期为4，
函数
的零点即函数
与函数
图象交点的横坐标，
又当
时，
，
在同一坐标系内作出函数
与函数
图象如下：
两函数图象有3 个公共点
，
则函数
的零点个数是3.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数
．
(1)若
为奇函数，求a 的值；
(2)试判断
在
内的单调性，并用定义证明．
【答案】(1)
(2)增函数，证明见解析
【分析】（1）由已知得
，先确定函数
定义域，再根据奇偶性定义，由
求参数.
（2）令
，应用作差法比较
、
的大小即可证.
【详解】（1）由已知
，得
，定义域为
因为
是奇函数，所以
，
即
，
解得
．
（2）函数
在
内为增函数．
证明如下：任取
，则
．
因为
，所以
，
，
所以
，即
．
所以函数
在
内是增函数．
16．已知函数
在区间
上是单调函数．
(1)求实数
的所有取值组成的集合
；
(2)试写出
在区间
上的最大值
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的性质列出不等式，进而求解即可；
（2）结合（1），根据二次函数的对称轴讨论
在
上的单调性，分别求出其最大值，再写成分段函数的
形式即可．
【详解】（1）由函数
为开口向上的二次函数，且其对称轴为
，
又
在区间
上是单调函数，所以
或
，解得
或
，
所以实数
的所有取值组成的集合
．
（2）结合（1），
当
时，则函数
在
上单调递增，
所以
；
当
时，则函数
在
上单调递减，
所以
．
综上所述，
．
17．已知幂函数
(1)求
的值及函数
的解析式；
(2)若
为偶函数，方程
有一正一负两个实根，求实数k 的取值范围.
【答案】(1)
或
，
或
.
(2)
.
【详解】（1）因为函数
为幂函数，所以
，
解得
或
.
所以
或
.
（2）因为
为偶函数，故
，
又方程
有一正一负两个实根，
即方程
有一正一负两个实根，
设方程根为
，则
，解得
.
所以实数k 的取值范围为
.
18．经市场调查，某商品每吨的价格为
百元时，该商品的月供给量为
万吨，
；
月需求量为
万吨，
.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需
求量不大于供给量时，销售量等于需求量.该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.
(1)已知
，若某月该商品的价格为
，求商品在该月的销售额（以百元作为单位）；
(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格.若该商品的均衡价格不低于每吨6 百元，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
百元
(2)
【分析】（1）比较
与
的大小后可确定销售量，即可计算得到该月的销售额；
（2）均衡价格即为
时的价格，设
，因为该商品均衡价格不低于每吨6 百元，并且每吨的价
格为
百元，结合函数单调性，故有
，
，解不等式即得.
【详解】（1）若
时，
，
，由
可得
，
所以该月销售额为：
（百元）；
（2）设
，
因为
，所以
在区间
上是增函数，
若该商品的均衡价格不低于每吨6 百元，即函数
在区间
上有零点，
所以
，即
，解得
.
19．已知函数
，
（
，且
）．
(1)求函数
的定义域；
(2)求
的单调性；
(3)当
时，若
有两个零点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)定义域为
(2)当
时，增区间为
，减区间为
；当
时，增区间为
，减区间为
(3)
的取值范围为
【分析】（1）先根据对数式要求真数大于 0，列出不等式组，再求解交集即可得到函数定义域；
（2）先利用对数运算公式合并解析式，拆分内外层函数，再根据复合函数同增异减规律，按底数范围分类讨论，
最后判定区间增减性即可；
（3）先把函数零点转化为对应方程解的个数，再结合函数值域与图像交点关系，数形结合确定参数取值边界即可
得解.
【详解】（1）由题意知，
解得：
，即
，
所以函数
的定义域为
.
（2）
，
定义域为
，
令
，则
，
当
时：
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
单调递增，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时：
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
单调递减，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
综上：
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）当
时，
，定义域为
，
因为
有两个零点，则
在
上有两个不同的解，
即：
，
令
，
，则
，因此：
，
要使方程
有两个不同解，
即直线
与函数
的图像有两个交点，
则
，即
，
所以实数
的取值范围为
.
