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第二章 函数与基本初等函数（综合训练）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．下列函数与
是相等函数的是（ ）
A．
B．
C．
（
且
）
D．
（
且
）
【答案】D
【解析】因为
，且定义域为
，
对于选项A：
，可知两个函数的对应关系不同，所以函数不相等，故A 错误；
对于选项B：
的定义域为
，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故B 错误；
对于选项C：
的定义域为
，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故C 错误；
对于选项D：
，且定义域为
，所以两个函数是相等函数，故D 正确；
故选：D.
2．（2026·吉林长春·一模）已知
，则
（ ）
A．8
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，所以
.
故选：C.
3．若函数
，
，则
（ ）
A．10
B．9
C．8
D．6
【答案】A
【解析】因为
，所以
，又
，所以
.
故选：A
4．（2026·河北唐山·模拟）已知函数
（
且
）的图象经过点
.则函数
的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由已知得
，解得
，则
在R 上是减函数，
因为
，所以
，所以
，即函数
的最大值为3.
故选：C
5．【新情境】（2026·福建龙岩·一模）某云计算平台处理文件量
（单位：GB）的所需时间
（单位：
），其中为常数.已知处理文件量从9GB 增加到729GB 时，处理时间增加12min；当处理
文件量从729GB 增加到6561GB 时，处理时间增加（ ）
A．3min
B．6min
C．9min
D．24min
【答案】B
【解析】由题意可得
，解得
，所以当处理文件量从
729GB 增加到6561GB 时，处理时间增加
.
故选：B
6．（2026·山东枣庄·三模）函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】定义域为
，
，
则
是偶函数，排除A 选项；
当
时，
，则
，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
，排除CD 选项.
故选：B
7. 【创新题】已知函数
为偶函数，且满足
，且当
时，
，则（ ）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】D
【解析】
，则
，
，即
周期为
，
结合奇偶性，周期性，故
，
在
上满足
，说明
的对称轴为
，
则
，解得
，又根据
知
，而
，
则
，于是
，
即
，解得
故选：D
8. 【创新题】已知函数
，若
，
，
，则
，
，
的大小
关
系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意可得
，因为函数
在
上单调递增，所以
，
又因函数
在
上单调递增，则
，
所以
，因
，且
在
上单调递增，
所以
，即
.故
.
故选：A
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知函数
图象经过点
，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】由题设得
，故
，则定义域为
，故为非奇非偶函数，
且
在
上单调递增，A 正确，B 错误，当
，则
，C 正确；
当
，则
，
所以
，即
，D 错误.
故选：ACD
10. 已知函数
为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A.
的定义域为
B.
C.
的单调递减区间为
D.
的值域
【答案】ABD
【解析】A.由
，得
，所以
的定义域为
，故正确；
B. 因为函数
是定义域为
的奇函数，所以
，
即
，解得
，经检验，符合题意，正确；
C. 当
时，
，且在
上递增，则
在
上递减，
所以
在
上递减，又
是奇函数，
所以
的单调递减区间为
和
，错误；
D.由选项B 可知，
，当
时，
，则
，
所以
，又
是奇函数，当
时，
，
所以
的值域
，正确.
故选：ABD
11．（2026·湖北武汉·模拟）已知函数
，下列是关于函数
的零点的判
断，其中正确的是（ ）
A．在
内一定有零点
B．在
内一定有零点
C．当
时，有个零点
D．当
时，有个零点
【答案】CD
【解析】当
时，
，图象如图（1），此时
即
，
若
，则
，若
，则
，
又
有2 个零点，
也有2 个零点，故
有4 个零点，故C 正确；
当
时，
，图象如图（2），此时
即
，只有
一
种情况，此时
仅有1 个零点
，
所以当
时，有1 个零点，故D 正确；
由图象可得A、B 错误.
故选：CD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．函数
的定义域为____________．（用区间表示）
【答案】
【解析】依题意可知
，解得
且
；因此函数定义域为
.
故答案为：
13. 若函数
有两个零点，则
的取值范围是____________．
【答案】
【解析】令
，得
，即
，
方法一：令
，则
，即
，
,
则一元二次方程
有两个正根，那么
，
所以，
的取值范围是
.
方法二：设
，那么设
，则
，
由于
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
根据函数图象可知，函数
有两个零点，则
的取值范围是
.
故答案为：
.
14．【原创题】研究发现，命题“函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数”可推广为：“函数
的图象关于点
成中心对称的充要条件是函数
为奇函数”.据此，对于函数
，可以判定：
①函数
的对称中心是____________；
②
____________．
【答案】①
； ②
【解析】由
得
，
令
，则
，
即
为奇函数.
由题中命题可得，函数
的对称中心是
，
故
，
则
.
故答案为：①
；②
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15. （13 分）
已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
．
（1）画出函数
的图象，并求出
的解析式；
（2）当
时，求
的值；
（3）
，讨论
的根的个数情况．
【答案】（1）
的图象见解析；
（2）
（3）当
时，
的根的个数为0；当
时，
的根的个数为2；
当
时，
的根的个数为4；当
时，
的根的个数为3；
当
时，
的根的个数为2．
【解析】（1）当
时，
，即
是二次函数，其顶点为
，过点
，
，
，又函数
是定义在
上的偶函数，即函数
关于
轴对称，
所以
图象如下：
（4 分）
又函数
是定义在
上的偶函数，则
，
当
时，
，
则当
时，
，即
，
所以
的解析式为f (x)=¿．（6 分）
（2）当
时，
，即
，解得
（舍去），或
；
当
时，
，即
，解得
（舍去），或
，
所以
．（10 分）
（3）由
的根的个数，等价求函数
的图象与直线
的交点个数．
结合（1）可知，
当
时，直线
在函数
图象的下方，故无交点，即
的根的个数为0；
当
时，直线
与函数
图象有2 个切点，即
的根的个数为2；
当
时，直线
在函数
图象有4 个交点，即
的根的个数为4；
当
时，直线
在函数
图象有3 个交点，即
的根的个数为3；
当
时，直线
在函数
图象有2 个交点，即
的根的个数为2．（13 分）
16．（15 分）
（2026·上海黄浦·三模）已知函数
．
（1）判断函数
的奇偶性并说明理由；
（2）当
时，若存在
，使得
成立，求实数t 的取值范围；
【答案】（1）当
时，
为偶函数；
当
时，
为奇函数；
当
时，
既不是奇函数也不是偶函数.
（2）
【解析】（1）
，所以
，
当
时，
，
为偶函数，（3 分）
当
时，
，
为奇函数，（5 分）
当
时，
，所以
既不是奇函数也不是偶函数.（8 分）
（2）当
时，
，存在
，使得
成立，
化简可得
，即
在
上有解，（10 分）
令
，因为
，所以
，即
在
上有解，
故实数的取值范围为函数
的值域，
，因为
，所以
，（14 分）
即实数的取值范围为
.（15 分）
17. （15 分）
【新情境】物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强
.但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝
）来度量.声强级D（
）与声强
之间的函数关系可采用函数模型
进行模拟，已知当声强
时，声
强级
；当声强
时，声强级
；
（1）求上述模型的函数解析式；
（2）声强级
，对应的声强为
；声强级
，对应的声强为
，求
（3）当声强级D 大于60 分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点
共受到两个声源的影响，这两
个声源的声强分别是
和
，且
.已知点
的声强等于声强
与
之和.请根据（1）中的函
数模型，判断
点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.（
）
【答案】（1）
（2）100 （3）
点会受到噪声污染的干扰，理由见解析
【解析】（1）由已知得，
，（2 分）
所以
.解得
.
；（5 分）
（2）由
得，
.
将
，
代入上式，得
，（7 分）
两式相减，得
，所以
.（10 分）
（3）
（12 分）
当且仅当
即
时取等号. （14 分）
所以点
处的声强级
，
所以
点会受到噪声污染的干扰. （15 分）
18．（17 分）
已知函数
，
（
，且
）．
（1）求函数
的定义域；
（2）求
的单调性；
（3）当
时，若
有两个零点，求实数
的取值范围．
【答案】（1）定义域为
（2）当
时，增区间为
，减区间为
；当
时，增区间为
，减区间为
（3）
的取值范围为
【解析】（1）由题意知，
解得：
，即
，（3 分）
所以函数
的定义域为
.（4 分）
（2）
，定义域为
，（5 分）
令
，则
，
当
时：
在
上单调递增，在
上单调递减，（7 分）
又
单调递增，所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时：
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
单调递减，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，（9 分）
综上所述：
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增. （10 分）
（3）当
时，
，定义域为
，
因为
有两个零点，则
在
上有两个不同的解，（13 分）
即：
，
令
，
，则
，
因此：
，（15 分）
要使方程
有两个不同解，
即直线
与函数
的图像有两个交点，
则
，即
，
所以实数
的取值范围为
.（17 分）
19．（17 分）
【创新题】对定义在非空集合上的函数
，以及函数
，定义
，其中
表示
在
上的最大值.
（1）函数
，求
；
（2）函数
，若
，求的值；
（3）函数
，当
取最小值时，求的值，并求出该最小值.
【答案】（1）；
（2）
；
（3）
，
的最小值为
.
【解析】（1）设
（2 分）
因为
，所以
，（3 分）
则
，
.所以
.（4 分）
（2）令
，
∵
，∴
是单调减函数，∴
，（6 分）
由题意，
，
，因为
，即
.
当
，即
时，
，解得
或
，均不符合；（8 分）
当
，即
时，
，
或
，
解得
或
（舍），所以
.（10 分）
（3）
，
因为
，所以
，
由
，则
，（12 分）
令
，即
，解得
，（13 分）
. （15 分）
故当且仅当
时，有
.
故当的值为
时，函数
取得最小值
.（17 分）
