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第 07 讲 函数与方程
目录
01 常考题型过关练
题型01 零点所在区间的判断
题型02 求零点个数
题型03 根据零点所在区间求参数范围
题型04比较零点的大小
题型05 零点个数的应用
题型06 函数与方程的综合
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司01 零点所在区间的判断
1．函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由零点存在定理结合函数单调性即可判断.
【详解】因为函数 定义域为 与 均在 上单调递增，
所以 在 上单调递增且连续，
又 ，即 ，
所以由零点存在定理可得 的零点所在区间为 .
故选：B.
2．已知函数 ，在下列选项中，包含 零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用零点判断定理判断即可.
【详解】由函数 为减函数， 也为减函数，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司函数 为连续递减函数，
，
，由零点判断定理可得函数 的零点所在区间为 ，
故选：C.
3．（多选）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】在同一个坐标系中作出 与 的图象，根据函数的单调性和零点存在定理，结
合选项中的给定区间逐一判断即得.
【详解】函数 的定义域为 ，由 可得 ，
于是函数 的零点所在的区间即函数 与函数 的交点的横坐标所在
区间.
如图作出两函数的图象如下：
对于A， 时，因 在 上递增，在 上递减，而 在 恒为增，
且 ， ，故两函数在 上必有交点，
即 为原函数的一个零点所在区间，故A正确；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司对于B， 时，因 在 上递减，在 上递增，且在 上 恒成立，
而 在 上恒为增，且 ，故两函数在 上无交点，
即 不是原函数的零点所在区间，故B错误；
对于C， 时，因 在 上递增，在 上递减，
而 在 上恒为增，且 ， ， ，
即两函数在 有两个交点，即 为原函数的零点所在的区间，故C正确；
对于D， 时，情况与选项B相似，函数 在 上 恒成立，
而 在 上恒为增，且 ，即两函数在 上无交点，
即 不是原函数的零点所在区间，故D错误.
故选：AC.
4．[多选题]教材中用二分法求方程 的近似解时，设函数 来研究，通过计算
列出了它的对应值表如下：
x 1.25 1.375 1.406 1.422 1.437 1.5
h 0.02 0.33
分析表中数据，下列说法正确的是（ ）
A． B．方程 有实数解
C．若精确度为0.1，则近似解可取为1.375D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375
【答案】BC
【详解】函数 显然在R上单调递增，最多有一个零点，又因为 ，
所以函数的零点在区间 上，即方程 有实数解，故B正确；所以函数在区间
上没有零点，即 ，故A错误；因为 ，所以函数的零点在区间
上，又因为 ，所以若精确度为0.1，则近似解可取为1.375，故C正
确；因为函数的零点在区间 上，且 ，所以若精确度为0.01，则近似解
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司不能取为1.4375，故D错误．
02 求零点个数
5．函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】将 变形为 ，从而转化为研究 的性
质判断零点个数.
【详解】易知0不是函数的零点，故 ，
令 ，则 在 ， 上单调递减，
又 ， ， ， ，
故 在 ， 上各有一个零点，即零点个数为2，
故选：B．
6．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】令 ，由 可得 ， ， ，分类讨论结合函数图象分析求解即可.
【详解】求函数 的零点个数，即求方程 的不同实数根的个数，
如图，作出函数 的大致图象，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司令 ，则 ，解得 ， ， ．
当 时， ，则 ，此时方程无解；
当 时， ，则 ，此时方程有3个不同实数根；
当 时， ，则 ，此时方程有2个不同实数根．
综上可知，函数 的零点个数为5．
故选：A．
7．定义在区间 的函数 与 的图像交点个数为 ．
【答案】4
【分析】在平面直角坐标系中，分别画出 与 的图像，根据图像即可求解.
【详解】在平面直角坐标系中，函数 与 的图像如图所示，
根据图像，可得函数 与 的图像交点个数为4.
故答案为：4.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司8．函数 的零点个数为 .
【答案】2
【分析】化简函数 ，所以函数 的零点个数为函数
与 图象的交点的个数，分析函数 和 的单调性，结合图象，通过一些特
殊值可知 和 只有两个交点，即函数 的零点的个数为2.
【详解】因为 ，
所以函数 的零点个数为函数 与 图象的交点的个数，
而 ， ，
且 ，所以 和 在 只有一个交点位于 内，
同理可得 和 在 也只有一个交点位于 内，
画出图象如图所示，由图象知，函数 的零点的个数为2.
故答案为：2.
03 根据零点所在区间求参数范围
9．已知 是函数 的零点，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】B
【分析】分析函数 的单调性，结合零点存在定理可得出结果.
【详解】因为函数 、 在 上均为增函数，故函数 在 为增函数，
因为 ， ， ，则 ，
由零点存在定理可得 ，又因为 ， ，故 .
故选：B.
10．若函数 在区间 上有零点，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数有零点转化成函数 与 在区间 上有交点，结合图象，易得不等式
组，解之即得.
【详解】由 可得 ，
则函数 在区间 上有零点等价于函数 与 在区间 上有交点，
因 在区间 上为减函数， 在区间 上为增函数，如图所示.
由图知，需使 ，即 ，解得 .
故答案为： .
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司11．已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】分析函数 的零点个数，利用导数法讨论函数 的单调性与最值,再判
断函数 在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数 的取值范围.
【详解】由题可得，函数 最多只有一个零点.
若零点 存在，则 ，解得 ，
又由 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
且当 时， ，
所以 最多有两个零点.
因为 有三个零点，所以 有两个零点，
则 ，
解得 ，所以实数 的取值范围为 .
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司综上可得：实数 的取值范围为 .
故答案为：
12．已知 ，若 在 上有解，则 的最小值是 ．
【答案】12
【分析】根据题意， 的最小值即为原点到直线 的距离的平方，从而求解．
【详解】因为函数 ，
又 在 上有解，
设这个解是 ，则 ，
则 ，即 ，
即点 可看作在动直线 上，则 可转化为点 到原点距离的平方的最小值．
则 ，令 ， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则 ．
故答案为：12.
04 比较零点的大小
13．已知函数 的零点分别为 ，则 的大小顺序为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将函数的零点问题转化成两个函数图象的交点问题，三个函数的零点均可看成对应函数与
图象交点的横坐标，根据函数图象可以得到 的大小关系.
【详解】
的零点 可以看成函数 与 图象交点的横坐标，根据
函数图象可知 ，
同理 的零点 可以看成函数 与 图象交点的横坐标，根据函数图象可知 ，
的零点 可以看成函数 与 图象交点的横坐标，可得 ，
因此 ，
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数零点问题可以转化成两个函数图象的交点问题.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司14．已知正数a，b，c满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将 转化为直线与曲线 交点的横坐标，然后结合图象判断即可.
【详解】由 ，得 ，
由此可得 是方程 的根，
也是直线 与曲线 交点的横坐标；
同理， 是直线 与曲线 交点的横坐标；
是直线 与曲线 交点的横坐标．
由于上述三条直线相交于点 ，曲线 经过点 ，结合函数图象可得 ．
故选：D．
15．（多选）若实数 都是一次函数 的零点，则下列不等关系中可能成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】ACD
【分析】首先由条件转化为 ，再结合函数图象的交点情况，即可判断选项.
【详解】由题意可得， ，即 ，在同一坐标系下作出
的图象如图.
根据图象可知， 时， ， 时， ，有 或 ，故B错误；
若 ，则 ，所以 ，故A正确；
若 ，则 ，所以 ，故D正确；
当 时， 单调递增，因为 ，所以 ，使得 ，所以 ，
即 ，故C正确.
故选：ACD
16．（多选）已知函数 ，若 ，则下列说法正确的有
（ ）
A．若 ，则 成等比数列 B．若 ，则 成等比数列
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ACD
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】设当 时， 成等比数列，利用等比中项可知 ，代入 解得
，验证 和 时是否满足题意验证AB，利用作商法画出 的大致图象，
可看作对应函数与 交点对应的横坐标，利用图象判断CD即可.
【详解】设当 时， 成等比数列，则 ，即 ，
由 得 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
经检验，当 时，满足 ，
当 时， ，此时 ，不满足题意，故A正确，B错误；
因为 在 恒成立， 在 恒成立，
所以 ， 在 恒成立，
又 ，所以当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以 的大致函数图象如图所示，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由图象可知当 时，由 可得 ，
当 时，由 可得 ，CD正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：选项CD的关键是将 可看作对应函数与 交点对应的横坐标，利用函数
图象判断，数形结合.
05 零点个数的应用
17．函数 恰有一个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，将问题转化成 与 有且仅有一个交点，利用导数与函数单调性间的
关系，求出 的单调区间，进而求得图象，再数形结合，即可求解.
【详解】令 ，得到 ，则 ，显然 ，
得到 ，令 ，
则 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为 恒成立，
所以当 时， ，当 时， ，
即 区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增，
又 时， ， ， 从左边趋近于 时， ，
从右边趋近于 时， ， 时， ，其图象如图，
由题知 恰有一个零点，则 与 有且仅有一个交点，
由图知， ，解得 ，
故选：C.
18．已知函数 ，若函数 恰有2个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数与方程的关系，将函数的零点个数问题转化为方程的根的个数问题，进一步转化为两函
数的交点个数问题，结合函数图象观察，分类讨论即得.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】解：由题意知，要使得 恰有2个零点，即 有两个实数根．
当 时， ，令 ，可得 ；
当 时， ，令 ，可得 ．
在同一坐标系下，作出函数 ， 和 的图象，
如图所示，
由函数 ，可得 ，可得 时， ， ，
故函数 在 处的切线方程为 ，
又由函数 ，可得 ，可得 时， ，
故函数 在 的切线方程为 ，
所以函数 与 只有一个公共点，
结合图象得：当 时， 恰有3个零点；
当 时， 恰有2个零点；
当 时， 恰有3个零点，
要使得 恰有2个零点，则满足 ，
所以实数 的取值范围为 ．
故选：C.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司19．已知函数 ，若存在实数 ，使函数 恰有 个零点，则实数 的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】首先分析分段函数的单调性，然后画图，将“存在实数 使得函数 恰有3个零点”问
题转化为函数 与直线 有三个交点的问题，结合图象即可求得 的取值范围.
【详解】当 时， ，求导得 ，
所以 在 上单调递增，最大值为 .
当 时， .
当 时， ；当 时， ，
画出 的图象如下：
因为存在实数 使得函数 恰有3个零点，这个问题可以转化为函数 与直线 有三个交
点的问题.
由图可知 时，存在实数 使得函数 与直线 最多有2个交点，不合题意.
当 时，存在实数 使得函数 与直线 最多有2个交点，不合题意.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当 时，由图可以知道，存在实数 使得函数 与直线 恰有3个交点，符合题意.
故答案为： .
20．已知函数 ．若函数 有三个零点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】函数 有三个零点，即 与 的图象有三个交点，即画出函数
的图象，可求出答案.
【详解】若函数 有三个零点，即 与 的图象有三个交点，
当 时， ，
当 时， 在 有最大值4，
画出函数 的图象，如下图，
由图可知， .
故答案为： .
21．已知函数 .若函数 存在5个零点，则实数 的取值范围为 .
【答案】
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】令 ，将问题转化为 与 、 的交点，作出函数 的
大致图像，利用数形结合的思想即可求解.
【详解】函数 的 零点，令 ，
解得 ，
将问题转化为 与 、 的交点，
作出 的大致图像，如下：
由图可知，函数 存在5个零点，
则 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：将问题转化为 与 、 的交点，作出函数 的大致图
像是关键，考查了数形结合的思想.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司06 函数与方程的综合
22．关于 的方程 恰好有4个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意将“方程 恰好有4个不同的实数根” 转化为“直线 与函数
图象在 恰好有两个不同的交点”，数形结合可得 ，解之即得 .
【详解】由题意知 ，所以
，令 ，则得 ，
从而可转化为“直线 与函数 图象在 恰好有两个不同的交点”.
而 ，当 时， ，当 时， ，
故 在 单调递增，在 单调递减，
又∵ ， ；当 时， ，
需使 ，即 ，
从而实数 的取值范围为 .
故选：D.
23．已知实数 ， 是函数 的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
【答案】B
【分析】根据题意 的零点，即函数 与函数 的交点，作图可初步判断
，根据函数值可进一步判断 ，得到 ，再对通过判断
的符号，得到 即可.
【详解】根据题意 的零点，即函数 与函数 的交点如图，
由图可得
， ，
， ，
，
，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司综上， .
故选：B.
24．已知函数 存在 ，使得 ，则 的取值
范围是 .
【答案】
【分析】作出函数的图象，依题意 即函数 与直线 的交点横坐标，利用函数解析式，
结合图象易得 ， ， ，利用二次函数的性质即可求得 的取值范围.
【详解】作出函数的图象，设 ，依题意， ，
且 ， ，解得 ， ，
故 ，因函数 在 上单调递减，故 ，
即 的取值范围是 .
故答案为： .
25．已知函数 若方程 有且仅有5个不同实数根，则实数 的取
值范围为 .
【答案】
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】作出函数 的图像，令 得 解得 或 ，利用数形结
合即可求解.
【详解】由题意作出函数 的图像，
由 ，令 ，有 ，
即 ，化简得 ，
解得 或 ，若方程 有且仅有5个不同实数根，
所以 或 ，解得 或 ，
即 ，所以 ，
故答案为： .
26．已知函数 ，若函数 恰有3个零点，则实数 的取值范围是
．
【答案】
【分析】分析函数 的图象，再将 恰有 个零点转化为 与 的图象恰有
个交点，进而求解 的取值范围.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】当 时， ，
当 时， ，
当 时， ；
当 时， ，
直线 恒过点 ，与 的图象在不同区间的位置关系情况如图所示：
当直线过 时， ， ；
当直线过 时， ， .
结合图象，当 时， 与 恰有 个交点.
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司27． 设函数 为常数，则下列命题中：
命题（1）：对任意实数 ，存在实数 ，使方程 有两个不同的实数解；
命题（2）：存在实数 ，对任意实数 ，方程 有两个不同的实数解；
命题（3）：存在实数 ，对任意实数 ，方程 有两个不同的实数解；
命题（4）：对任意实数 ，存在实数 ，使方程 有两个不同的实数解.
真命题的个数是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】作出函数 的图象，结合图象可得 时，若 ，则 ，若 ，则
，根据上述结论结合图象可以依次判断各命题真假.
【详解】作 的图象：
当 ，由函数图象知 ，即 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当 ，由函数图象知 ，即 ，
对命题（1），任取实数 ，总存在实数 ，使 ，命题（1）成立；
对命题（2），若 ，当 时， 与 的图象仅一个交点，
若 ，当 时，取 ，此时 与 的图象仅一个交点，
若 ，当 时显然不成立，故不存在满足条件的正实数 ，命题（2）为假命题；
对命题（3），由函数图象知，对固定的实数 ，若 ，则 ，若 ，则 ，
由于 的图象在特定范围内与平行于 轴的直线不恒有两个交点，故不满足任意性，命题（3）为假命
题；
对命题（4），由函数图象知，对任意 ，只需取 ，都能使 有两个解，故命题（4）成
立.
故选：B．
28． （多选）已知函数 的定义域为 是奇函数， 是偶函数，当 时，
，则（）
A． 的图象关于直线 对称 B． 是周期函数
C． 在 上单调递减 D． 在 内有4个零点
【答案】AB
【分析】由 是偶函数可得 关于直线 对称，由此判断A；由 是奇函数可得
关于点 对称，结合A可推出 的周期为8，由此判断B；由 关于点 对称及 时，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，可知 在 单调递增，由此判断C；根据函数的对称性和周期性可求出 在
内的零点个数，由此判断D.
【详解】对于A， 是偶函数， ， 关于直线 对称，故A正确；
对于B，由A可知 关于直线 对称， ①，
又 是奇函数， ，即 ，
关于点 对称， ②，
由①②可得 ，即 ，
，
，
的一个周期为8，故B正确；
对于C，由B知 关于点 对称，
时， 单调递增，
在 也单调递增，故C错误；
对于D， 定义域为R，关于 对称， ，
又 关于直线 对称， ，
在 内有2个零点，故D错误，
故选：AB.
29． （多选）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． 是奇函数 B．
C． 的极大值为4 D．若函数 有三个零点，则
【答案】ABD
【分析】利用奇函数的定义可判断A的正误，求出函数的导数后代入计算可判断B的正误，根据导数的符
号可判断函数何时取何极大值，故可判断C的正误，根据函数的单调性结合 与 的图象有3个
不同的交点可求 的范围，故可判断D的正误.
【详解】对于A， 的定义域为 ，它关于原点对称，
而 ，故 为奇函数，故A正确；
对于B， ，故 且 ，
故 ，故B正确；
对于C，由已知得 ，
故当 时， ， 时， ，
故 的极大值点为 ，此时极大值为 ，故C错误；
对于D，由C的分析可得 在 上为增函数，在 为减函数，
又 ，且当 时， ， 时， ，
故当函数 有三个零点时即 与 的图象有3个不同的交点时，
必有 ，故D正确.
故选：ABD.
30． 设实系数一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， ，则原方程可
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司以变形为 ，展开得 ，由此，我们可以得到 ，
.类比上述方法，如果实系数一元三次方程 有三个不相等的实数根
， ， ，我们也可以得到类似的结论.已知关于 的方程 有三个不相等的实数根
， ， ，且 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】本题可先根据三次方程根与系数的关系得到 ， ， ，
再结合函数性质求解 的取值范围.
【详解】由题意 可以变形为 ，
展开得： ，
所以 ， ，
三次方程 的根 ，
所以 ， ， ，
由 ，代入得：
因此：
因为方程有三个不等实根，令 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司令 ，得 . ， ， 单调递增，
， ， 单调递减， ， ， 单调递增，
所以 的极大值为 ，
的极小值为 ，
要有三个不等实根，则 且 ，即 .
又 是最小根 则 ，且 .
所以 .
令 ， ，
，
因此， 的取值范围为 ，即 的取值范围为 .
故答案为：
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当 时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在 上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数 的最小正周期为 ，
函数 的最小正周期为 ，
所以在 上函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数 既有极大值也有极小值，则
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】求出函数 的导数 ，由已知可得 在 上有两个变号零点，转化为一元二次方程
有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
因为函数 既有极大值也有极小值，则函数 在 上有两个变号零点，而 ，
因此方程 有两个不等的正根 ，
于是 ，即有 ， ， ，显然 ，即 ，A错误，BCD正确.
故选：BCD
3．（2023·天津·高考真题）设 ,函数 ,若 恰有两个零点，则 的取值范
围为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断 的取值范围．
【详解】（1）当 时， ，
即 ，
若 时， ，此时 成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 且 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： 且 ；
若 时， ，此时 成立．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）当 时， ，
即 ，
若 时， ，显然 不成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： ；
若 时， ，显然 不成立；
综上，
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ．
所以，当函数有两个零点时， 且 ．
故答案为： ．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，
然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则
的取值范围是 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】
【分析】令 ，得 有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .
5．（2023·上海·高考真题）函数
(1)当 时，是否存在实数c，使得 为奇函数；
(2)若函数 过点 ，且函数 图像与 轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)不存在
(2) 且
【分析】（1）将 代入得 ，先考虑其定义域，再假设 为奇函数，得到方程
无解，从而得以判断；
（2）先半点 代入 求得 ，从而得到 ，再利用二次函数的根的分布得到
关于 的不等式组，解之可得 ，最后再考虑 的情况，从而得到 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
假设 为奇函数，则 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司而 ，则 ，此时无实数 满足条件，
所以不存在实数 ，使得函数 为奇函数；
（2） 图像经过点 ，则代入得 ，解得 ，
所以 ，定义域为 ，
令 ，则 的图像与 轴负半轴有两个交点，
所以 ，即 ，解得 ，
若 ，即 是方程 的解，
则代入可得 ，解得 或 .
由题意得 ，所以实数 的取值范团 且 .
6．（2025·上海·高考真题）已知函数 的定义域为 ．对于正实数a，定义集合
．
(1)若 ，判断 是否是 中的元素，请说明理由；
(2)若 ，求a的取值范围；
(3)若 是偶函数，当 时， ，且对任意 ，均有 ．写出 ，
解析式，并证明：对任意实数c，函数 在 上至多有9个零点．
【答案】(1)不是；
(2) ；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(3)证明见解析.
【分析】（1）直接代入计算 和 即可；
（2）法一：转化为在实数 使得 ，分析得 ，再计算得 ，
最后根据 的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线 与该函数有两个交点，将 用
表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出 时解析式，再分析出 ，最后对 的范围
进行分类讨论即可.
【详解】（1）（1） ， ，则 不是 中的元素.
（2）法一：因为 ，则存在实数 使得 ，且 ，
当 时， ，其在 上严格单调递增，
当 时， ，其在 上也严格单调递增，
则 ，则 ，
令 ，解得 ，则 ，
则 .
法二：作出该函数图象，则由题意知直线 与该函数有两个交点，
由图知 ，假设交点分别为 ， ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司联立方程组 得
（3）（3）对任意 ，因为其是偶函数，
则 ，而 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以当 时， ， ，则 ，
，则 ，
而 ， ，
则 ，则 ，
所以当 时， ，而 为偶函数，画出函数图象如下：
其中 ，但其对应的 值均未知.
首先说明 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司若 ，则 ，易知此时 ，
则 ，所以 ，而 时， ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时，即使让 ，此时最多7个零点，
当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当 时，若 ，此时有3个零点，
若 ，则 ，易知此时 ，
则 ，所以 ，而 时， ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，与 矛盾，所以 ，
则最多在 之间取得6个零点，
以及在 处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
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