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专题03 函数图象与零点问题
题型1 函数图象的画法及图象变换
作函数图象的方法
1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线
的特征直接作出．
2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换
作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变
换单位及解析式的影响．
1．（24-25 高三上·福建宁德·月考）已知函数
的图象关于点
对称，则下列函数是奇函数
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·四川成都·月考）若函数
的图象如图1 所示，则如图2 对应的函数可能是
（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三下·全国·专题练习）分别作出下列函数的图象：
(1)
； (2)
； (3)
； (4)
．
4．（2024 高三·全国·专题练习）作出下列函数的图象：
(1)
； (2)
； (3)
．
题型2 由复杂函数解析式选择图象
图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”
1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；
2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；
3、找特殊值：** 错误的表达式 **对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；** 错误的表达式 **对比各
选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；
4、判断单调性：可取特殊值判断单调性．
2
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5．（2025·河北·模拟预测）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·江西·三模）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·辽宁·模拟预测）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
3
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C．
D．
8．（2025·天津·二模）函数
的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 根据函数图象选择解析式
（1）从图像的最高点、最低点分析函数的最值、极值；
（2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
（3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
9．（25-26 高三上·云南·月考）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（
）
4
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A．
B．
C．
D．
10．（2025·河南·模拟预测）已知函数
的部分图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2025·天津·二模）已知函数
的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数
的部分图象，则
的解析式为（ ）
A．
B．
5
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C．
D．
题型4 根据实际问题作函数图象
根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
（1）根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）；
（2）根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）．
13．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形
是上底为
，下底为
，高为
的等腰梯形，
记梯形
位于直线
左侧的阴影部分的面积为
，则
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（24-25 高三上·山东·联考）如图所示，动点
在边长为1 的正方形
的边上沿
运
动，
表示动点
由A 点出发所经过的路程，
表示
的面积，则函数
的大致图像是
（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
15．（2025 高三·全国·专题练习）如图，圆
和直角三角形
的两边相切，射线
从
处开始，绕
点
逆时针匀速旋转（到
处为止）时，所扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，它的图象大致
为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（24-25 高三上·北京·月考）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15 分钟内的速度
（单位：
米/分钟）与时间
（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”
为无人机在时间段
内的最大
7
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速度与最小速度的差，则
的图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5 函数零点所在区间的判断
确定
的零点所在区间的常用方法：
（1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数
在区间
上的图象是否连续，再看是否有
，若有，则函数
在区间
内必有零点；
（2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与
轴在给定区间上是否有交点来判断．
17．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数
在
上有零点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（24-25 高三上·内蒙古呼和浩特·月考）函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2025·河北沧州·二模）函数
的零点所在的区间为（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
20．（24-25 高三上·江苏盐城·月考）函数
的零点在区间
内，则正整数
.
题型6 函数零点个数的判定
零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令
0
f
x
，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间
,a b 上是连续不断的曲线，且
0
f a
f b
，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数
f x 的图象，函数
f x 的图象与x 轴交点的个
数就是函数
f x 的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数
f x 拆成两个函数
h x 和
g x 的差，根据
0
f
x
h x
g x ，
则函数
f x 的零点个数就是函数
y
h x 和
y
g x 的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．
21．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
，则函数
在区间
上的零点个数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
22．（24-25 高三下·河北·月考）函数
与
的图象在
上的交点个数为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
23．（2025·河北保定·一模）已知
是定义在
上的函数，且有
，当
时，
，则方程
的根的个数为（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
24．（24-25 高三上·湖南·月考）设函数
，其中
.若
，都有
.则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型7 根据函数零点个数求参数
已知零点个数求参数范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两
个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
25．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数
，若函数
恰有3 个零点，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（24-25 高三上·安徽安庆·月考）已知函数
是定义在
上偶函数，当
时，
，若函数
仅有4 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（24-25 高三下·湖南·月考）已知
有4 个零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
10
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28．（24-25 高三上·河南许昌·期中）已知函数
，若
至少有三个不同的
零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型8 求函数零点的和及范围
利用函数零点位置的对称性求和
（1）将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题；
（2）** 错误的表达式 **如果两个函数图象都关于直线
对称，那么这两个函数图象的交点也关于
直线
对称，则对应的两零点之和为
；
** 错误的表达式 **如果两个函数图象都关于点
对称，那么这两个函数图象的交点也关于点
对称，则对应的两零点之和为
．
29．（2025·海南·模拟预测）已知
为奇函数，若
与
的图象有10 个交点，设交
点的横坐标从小到大依次为
，则
.
30．（24-25 高三上·黑龙江大庆·期中）若直线
与函数
的图象恰
有三个交点
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．无法确定
31．（24-25 高三上·海南海口·月考）已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则方程
所有根
之和为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
32．（2025·陕西西安·一模）已知函数
，若关于
的方程
有4 个不同的
11
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实根
、
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型9 二次函数的零点分布问题
对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手：
（1）开口方向；（2）对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；（3）判别式，决定函数与
轴的
交点个数；（4）区间端点值．
33．（24-25 高三上·河南周口·期中）已知函数
有两个零点，在区间
上是单调的，
且在该区间中有且只有一个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
34．（2024·四川巴中·一模）若函数
在区间
内恰有一个零点，则实数a 的取值集
合为（ ）
A．
B．
或
.
C．
D．
或
.
35．（24-25 高三上·山西太原·月考）若函数
在区间
恰有两个零点，则实数a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
36．（24-25 高三上·湖南常德·月考）已知函数
，若函数
有个零点，
则实数
的取值范围是 ．
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题型10 复合函数的零点问题
处理复合函数
的零点问题的方法：
** 错误的表达式 **确定内层函数
和外层函数
；
②确定外层函数
的零点
；
③确定直线
与内层函数
图象的交点个数分别为
、
、
、…、
，
则函数
的零点个数为
．
37．（2025·宁夏银川·三模）若函数
，则
的零点个数
为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
38．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数
，关于
的方程
的根
的个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
39．（24-25 高三上·安徽·月考）已知函数
若方程
有6 个不
同的实数根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
40．（2025·天津·二模）已知函数
，若方程
有且只有一个解，则实数
a 的取值范围是 .
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