文档文本内容
第 06 讲 函数与方程（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
根据函数零点的个数
2023年新I卷，第15题,5分 余弦函数图象的应用
求参数范围
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定
义，难度中等偏下，分值为5分
【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点
个数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容
知识讲解
1、函数的零点
一般的，对于函数 ，我们把方程 的实数根 叫作函数 的零点。
2、零点存在性定理如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内必有零点，即 ，使得
注：零点存在性定理使用的前提是 在区间 连续，如果 是分段的，那么零点不一定存在
3、函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断
函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设 在区间 连续）
（1）若 ，则 “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析 的性
质与图象，如果 单调，则“一定”只有一个零点
（2）若 ，则 “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果 单调，那
么“一定”没有零点
（3）如果 在区间 中存在零点，则 的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影
响。如果 单调，则 一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号
是一个在 单增连续函数， 是 的零点，且 ，则 时，
； 时，
6、判断函数单调性的方法
（1）可直接判断的几个结论：
① 若 为增（减）函数，则 也为增（减）函数
② 若 为增函数，则 为减函数；同样，若 为减函数，则 为增函数
③ 若 为增函数，且 ，则 为增函数
（2）复合函数单调性：判断 的单调性可分别判断 与 的单调性（注意要
利用 的范围求出 的范围），若 ， 均为增函数或均为减函数，则 单调
递增；若 ， 一增一减，则 单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象
7、证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数（3）分析函数 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
考点一、求函数的零点
1．（2022·安徽宣城·统考二模）已知数列{an}为等差数列，若a ，a 为函数 的两个零点，
1 6
则aa＝（ ）
3 4
A．-14 B．9 C．14 D．20
2．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知 是函数 的一个零点，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·北京·统考模拟预测） 的零点为________．
2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知函数 的零点为 ，函数
的零点为 ，则 ______．
考点 二 、求函数零点或方程根或图象交点个数
1．（湖南·高考真题）函数 的图象与函数 的图象的交点个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（全国·高考真题）函数 在 的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（北京·高考真题）函数 的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．31．（湖南·高考真题）函数 的图象和函数 的图象的交点个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）函数 在区间 上的零点个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数 满足 ，当 时，
，则 在 上的零点个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数 在函数
的零点个数__________.
5．（全国·高考真题）函数 在 的零点个数为________．
6．（湖北·高考真题）函数 的零点个数为_________．
考点三、 用零点存在性定理判断零点所在区间
1．（全国·高考真题）在下列区间中，函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（北京·高考真题）已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是
A． B． C． D．
1．（2023·海南·模拟预测）函数 的零点所在的大致区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数 的零点所在的区间为（ ）A． B． C． D．
3．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以是
（ ）
A． B． C． D．
考点 四 、根据零点区间或个数求参数范围
1．（2020·天津·统考高考真题）已知函数 若函数 恰有4
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023·山西阳泉·统考三模）函数 在区间 存在零点．则实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数 在区间 上有零点，则实数m的取
值范围是________．
3．（2023·山东临沂·统考一模）已知 是函数 的一个零点，且 ，则 的最
小值为________．
4．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知 是函数 的一个零点，且 ，则 的
最小值为__________．
5．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为______．
6．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知函数 ，若 在区间 上有零点，则 的最大
值为__________.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·云南昭通·校考模拟预测）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西·统考模拟预测）函数 在区间 内的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数 是奇函数，且 ，若 是函
数 的一个零点，则 （ ）
A． B．0 C．2 D．4
4．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数 在区间 上存在零点，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）已知关于 的方程 ， 存在两个不同
的实根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 ，若 恰有两个零点，则 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．7．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）设 表示m，n中的较小数．若函数
至少有3个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 若存在实数 ， ， ，
，满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知函数 的零点分别为 ， ，
…， （ ），则 （ ）
A． B． C．0 D．2
二、填空题
10．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）请估计函数 零点所在的一个区间______.
【能力提升】
一、多选题
1．（2023·河北·模拟预测）已知函数 ，若函数 恰好有4个不同的零
点，则实数 的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．2
2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）设函数 有4个零点，分别为
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 的取值与 无关 D． 的最小值为10
二、填空题3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数 有三个不同的零点，其中有两个正零点，则实
数 的取值范围为____.
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 在区间
上存在零点，则 的最小值为__________.
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）若函数 与函数 的图象恰有三个不同的
交点，其中交点的横坐标成等差数列，则 的取值范围为__________.
6．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）设 表示不超过 的最大整数，如 .已知
函数 有且只有4个零点，则实数 的取值范围是___________.
7．（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数 ，当 时， 的零点个数为
_____________；若 恰有4个零点，则 的取值范围是______________.
8．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知函数 的零点为 ，函数
的零点为 ，给出以下三个结论：① ；② ；③ .其中所
有正确结论的序号为________.
9．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数 若函数
有八个不同的零点，从小到大依次为 ， ， ， ， ， ， ， ，则
的取值范围为___________.
10．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知函数 有三个零点
，且 ，则 __________.
【真题感知】
一、单选题
1．（天津·高考真题）函数f(x)= 的零点所在的一个区间是
A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）2．（山东·高考真题）设函数y＝x3与y＝ 的图象的交点为(x ，y )，则x 所在的区间是（ ）
0 0 0
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
3．（浙江·高考真题）设函数 ，则在下列区间中函数 不存在零点的是
A． B． C． D．
4．（湖北·高考真题）关于 的方程 ，给出下列四个命题：
①存在实数 ，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数 ，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数 ，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数 ，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（浙江·高考真题）已知 ，函数 ，若函数 恰
有三个零点，则
A． B．
C． D．
6．（2021·天津·统考高考真题）设 ，函数 ，若 在区间
内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2022·北京·统考高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ________；
________．
8．（湖南·高考真题）已知 ，若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的
取值范围是________．9．（2023·天津·统考高考真题）若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为
_________．
10．（2021·北京·统考高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
