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专题04 函数性质应用培优归类
题型1 基础技巧：奇偶性复合型构造
判定函数的奇偶性的常见方法：
（1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证
货等价形式
是否成立；
（2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于
轴对称，可得函数
为偶函数；
（3）性质法：设
的定义域分别为
，那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结
论（在定义域内）：
1.加减型：
奇+奇→ 奇
偶+偶→ 偶
奇-奇→ 奇
偶-偶→ 偶
奇+偶→ 非
奇-偶→ 非
2.乘除型（乘除经验结论一致）
奇X
奇→ 偶
偶X
偶→ 偶
奇X
偶→ 奇
奇X
偶X
奇→ =偶
1
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简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变
3.上下平移型：
奇+c→ 非
偶+c→ 偶
4.复合函数：
若 f (x) 为奇函数， g(x) 为奇函数，则 f [g(x)]为 奇 函数
若 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，则 f [g(x)]为 偶 函数
1．（24-25 高三·湖北恩施·模拟）已知定义在R 上的函数
，
是其导函数，若
是偶函数，
是奇函数，当
时，关于a 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得
和
，联立方程组，求得函数
，结合
的解集，即可得到
的解集.
【详解】因为
是偶函数，所以
，即
，
又因为
是奇函数，所以
，
即
，
联立方程组
，解得
，
因为
，所以
，
又由
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：B.
2．（24-25 高三·云南昭通·模拟）函数
、
分别是定义在
上的奇函数、偶函数，且
，若关于
的方程
在区间
内有解，则实数
的最小值为
（ ）
A．
B．4
C．8
D．
【答案】A
【分析】由函数奇偶性，构造方程可解得
，
，原方程有解可转化为
在
内有解，利用换元把方程化为求
的最小值即可.
【详解】
，
是定义在
上的奇、偶函数，
，
，
又
，即
，
得：
，
，
2
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代入
得，
，
，
令
，
，
，
当且仅当
，即
时等号成立
故选：A..
3．（2025·广东广州·三模）已知奇函数
和偶函数
的定义域均为
，且满足
，
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题可得
，根据函数
和
的奇偶性，可求得
，
，代入化简即可求解.
【详解】∵
，∴
.
∵
是定义在
上的奇函数，
是定义在
上的偶函数，
∴
，
，∴
，
∴
，
.
∴
.
故选：D.
4．（2025·云南·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
是奇函数，
是
偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于
、
的等式组，求出
的解析式，代值计算
可得
的值.
【详解】因为函数
为奇函数，即
，
所以
，可得
①，
因为函数
是偶函数，即
，
所以
，可得
②，
联立①②可得
，因此
.
故选：C.
3
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题型2 基础技巧：单调性复合型构造
单调性的运算关系：
①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ；
②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ；
单调性的定义的等价形式：设x1，x2 [
∈a，b]，那么有：
>0
①
⇔f(x)是[a,b]上的
增函数
；
<0
②
⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__；
(3)复合函数单调性结论： 同增异减 ．
1．（24-25 高三湖南衡阳·模拟）已知
是定义在
上的奇函数，当
、
且
时，都有
成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对
进行变形，得出函数
的单调性，再利用函数的单调性和奇偶
性解不等式.
【详解】由
可得
，设函数
，
，
则
在
上单调递增，
又因为
为定义在
上的奇函数，
，所以
为偶函数，
在
上单调
递减，
而不等式
，
又因为
，所以
，
所以不等式的解集为
.
故选：B
2．（24-25 高三·湖北武汉·模拟）函数
是定义域为
的偶函数，
且
，恒有
，若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题可得
，设
，可判断函数
的单调性及奇偶性，
再利用单调性及奇偶性解不等式即可.
4
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【详解】
，
，
又
，且
，则
，
，
设
，则
，
所以
在
单调递增，
又函数
是定义域为
的偶函数，所以
也是
上的偶函数，
又
，所以
，即
，
则
，解得
.
故选：C.
3．（24-25 高二下·山东济宁·期末）已知
是定义在
上的偶函数，
，且
恒成立，
，则满足
的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得
的取值范围.
【详解】设
，由
，
得
，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递减，因为
是定义在
上的偶函数，
所以
，所以对任意的
，
，
所以，函数
为
上的偶函数，且
，
由
，得：
，
，
或
，解得
或
故选：C
4．（24-25 高三·天津·阶段练习）已知
是定义在R 上的奇函数，当
且
时，都有
成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
5
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【分析】构造函数
，其中
，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出
，然后将所求不等式转化为
、
，解之即可.
【详解】构造函数
，其中
，则
，
故函数
为偶函数，
当
、
且
时，都有
成立，
不妨设
，则
则
，即
，
故函数
在
上为增函数，即该函数在
上为减函数，
因为
，则
，
当
时，由
得
，即
，解得
；
当
时，由
得
，即
，解得
.
综上所述，不等式
的解集为
.
故选：A.
题型3 基础技巧：周期性复合型构造
周期性
①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b.
②常见的周期函数有：
f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a.
周期性技巧：可以类比正余弦函数
1．（24-25 高三·云南曲靖·模拟）已知定义在
上的函数
满足
，且
时，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】A
【分析】由题意可得函数
周期为6，利用周期函数的概念与性质求解.
6
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【详解】因为
，故
，
所以函数
周期为6，
故
.
故选：A.
2．（24-25 高二下·山西吕梁·期末）已知函数
的定义域为
，且
，
．若对任意实数
，
都有
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】D
【分析】利用赋值可得到递推关系
，再证明周期性，即可求解.
【详解】将
用
替换，由对任意实数
，
都有
，
可得
，
由
，所以
，即
，
所以
，所以函数的周期
，
令
，则
，因为
，
所以
，所以
．
故选：D
3．（24-25 高三·湖南·模拟）定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，已知
当
时，
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
在区间
上单调递减
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意有
，又
，即可推出
，进而判断
A，作出
在
的图像，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利
用周期即可求
，进而判断D.
【详解】由
为奇函数有：
，即
，又
，
所以
，所以
，
即
，所以
，所以
，故A 正确；
由
有
的图像关于
对称，又
，所以
的图像关于
对称，当
时，
，作出函数
的图像：
由图可知
在
单调递减，又
，所以
是以4 为周期的周期函数，所以
7
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，
所以当
，
，即
在
的图像与
的图像一致，所以
在
单调递减，
故B 正确；
由
，又
，
在
单调递减，所以
，故C 错误；
由于
，
，
，
，
所以
，且
是以4 为周期的周期函数，所以
，故D 正确，
故选：C.
4．（24-25 高三下·云南·阶段练习）已知定义在
上的函数
满足：
关于
对称，
为奇函数，
，则
（ ）
A．-3
B．3
C．-1
D．1
【答案】B
【分析】根据两个对称性得出
，再根据对称性和周期性即可求出.
【详解】
关于
对称，则有
，
由
为奇函数，则有
，
则
，即
，则
，
故
，故
以4 为周期，
又
，则
，故
.
故选：B.
题型4 类周期性（局部平移型）
8
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1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
，则
的解集是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数
解析式，作出函数图象，继而作出
的图象，
数形结合，求得不等式的解集.
【详解】根据题意当
时,
，
当
时,
,
作出函数
的图象如图，
在同一坐标系中作出函数
的图象，
由图象可得不等式
解集为
，
9
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故选：C
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.
2．（23-24 高三·浙江宁波模拟）已知函数
，若函数
有9
个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】在直角坐标系中，画出
和
的图像，函数
有9 个零点等
价于
和
图像有9 个交点.即可得到关于
的不等式，从而求出实数
的取值范围.
【详解】解：设
，则
恒过定点
，所以画出
，
的图像.
由题意知，
有9 个零点，则
，
图像有9 个交点.
当
在
上时，两图像有8 个交点；当
在
上时，两图像有10 个交点，
所以
，解得
，即
.
故选:C.
【点睛】本题考查了函数的零点的应用，考查了数形结合的数学思想.若
，则
零
点的个数就等价于
交点的个数.画
图像时，先画出
的图像，再将
轴下方的
图像向上翻折即可.
3．（22-23 高三上·上海闵行·开学考试）已知函数
,则下列命题中正确命题的个数是
（ ）
①函数
在
上为周期函数
②函数
在区间
,
上单调递增
③函数
在
（
）取到最大值
,且无最小值
④若方程
（
）有且仅有两个不同的实根,则
A．个
B．
个
C．个
D．
个
【答案】B
【分析】作出
的图像,由图像对各选项进行判断即可.
时,
,可由
的图
像作关于
轴的对称图像,再向上平移一个单位得到.当
时,
故是周期为的周期函数,
图像可由
时,
向右平移一个单位得到,根据周期函数的性质即可得到
图
像.
【详解】
的图像如图所示:
10
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对于①,因为
,
,可得
所以函数
在
上不是周期函数,故①不正确;
对于②,当
,
结合函数图像可知,函数
在区间
,
上单调递增,故②正确;
对于③,因为
时,
,不是最大值, 故③不正确;
对于④,如图所示,
图中两条曲线对应的
分别为
和
,故方程为
,有且只有两个实根,则
,
故④正确.
故选:B.
【点睛】本题考查了分段函数和周期函数等相关知识.解题关键是根据函数平移变换画出其函数图像,结合
函数图像对其单调性,最值进行求解,考查了计算能力和理解能力,属于中档题.
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟）已知函数
，把函数
的零点从小到大
的顺序排成一列，依次为
，则
与
大小关系为
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】B
【详解】试题分析：因为函数
，所以
函数
的零点即
是
的根，所以
，故选B.
考点：1、分段函数的解析式；2、函数的零点与方程的根之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、函数的零点与方程的根之间的关系，属于难题判断函数
零点个数的常用方法：(1)直接法： 令
则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2)零点
存在性定理法：判断函数在区间
上是连续不断的曲线，且
再结合函数的图象与性质(如
单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交
点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数,本题就利用了方(1)直接求解方程根
的.
11
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题型5 放大镜函数型
形如f（tx）=mf（x）等“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨
析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。
1．（24-25 高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知
的定义域为
，则关
于
的方程
的实数根个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】由
，解得
或
，再对函数解析式分段讨论解方程即可．特别
注意依据
时函数
的范围确定
的范围.
【详解】由
，解得：
或
，
又
，
若
，
当
时，
，即
，所以
，所以
；
当
时，
，而当
时
，此种情况无解；
若
，
当
时，
或
，即
或
；
当
时，
当
，则
，满足题设；
当
，根据对称性及
时
知，
，故此种情况无解；
综上所述：
的实数根个数为4 个，分别是
.
故选：B．
12
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2．（24-25 高三上·上海·期中）对于函数
，有下列四个命题
①任取
，
，都有
；
②
（
为正整数），对一切
恒成立；
③若关于
的方程
有且只有两个不同的实根
，
，则
；
④函数
有5 个零点
上述四个命题中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由函数图象可判断①；取
可判断②；由函数
与函数
的图象可判断③；由函数
和
的图象交点个数可判断④.
【详解】对于①，函数
的图象如图所示，由图可知
，
，
任取
，
，都有
，
故①正确；
对于②，当
时，
，而由解析式可知
，
故②不正确；
对于③，函数
与函数
的图象如图所示，
若关于
的方程
有且只有两个不同的实根
，
，
则
，由对称性可知
，故③正确；
对于④，函数
和
的图象如图所示，
由图可知两函数图象有个交点，所以函数
有个零点，
故④不正确；
所以四个命题中正确的个数为
.
故选：B
.
13
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【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是作出函数
的图象，结合函数的图象
和性质求解.
3．（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）已知定义在
上的连续函数
，满足
，则方程
的解的个数为（ ）
A．13
B．14
C．20
D．21
【答案】D
【分析】将函数写成分段函数，由
，可得
，结合图
象求解即可.
【详解】解：因为
，
由
，
可得
，
即有
，
作出函数
的图象如图所示：
14
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则
有7 个根，
有10 个根，
有4 个根，
所以方程共有
个根.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题的关键是将函数写成分段函数并作出图象.
4．（22-23 高三上·湖北·开学考试）定义在
上的函数
满足
，且当
时，
.若对
，都有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.
【详解】因为当
时，
，所以
，
又因为函数
满足
，所以函数
的部分图像如下，
由图可知，若对
，都有
，则
.故A，C，D 错误.
故选：B.
15
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题型6 函数型“两边夹”
有
，则称
函数型“两边夹”。
类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。
1．（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）已知任意正实数
满足
，则下
列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用抽象函数赋值的方法，结合具体的函数
和
进行验证，结合递推关系进
行严格证明即可.
【详解】令
，对任意
，有：
由此可得递推关系：
，进而推出对于正整数
，
.
下面验证更一般情况.
假设
，代入条件
得
.代入不等式得：
因此
，且
（因
）.
例如，取
，则
，满足
，但
，
说明选项A 不一定成立，但B 成立.
若
，满足
，且对
有：
此时
，选项B 成立，但
，选项C 不成立.
下面严格证明选项B
对于满足条件的任意函数，令
，则：
递推可得
，因此选项B 一定正确.
综上，只有选项 B（
）在所有情况下成立.
故选：B.
2．（2025·广西·一模）已知函数
满足：（1）对任意
，都有
；（2）对任意
，都有
．则
的值是（ ）．
A．324
B．336
C．348
D．360
【答案】C
【分析】先由条件（1）得到
在
上为单调增函数，再由条件（2）得到
，再根据
逐个递推可得.
【详解】对任意的
，由（1）得
，即
.
故
在
上为单调增函数.
对任意
，由（2）得
.
显然
.否则，
.矛盾.
若
，则
，矛盾.
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所以，
.
故
，
.
由
，得
，
.
则
，
.
故
.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够确定
在
上为单调增函数和
，然后利用
求解.
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则
（ ）
A．1364
B．1363
C．1264
D．1263
【答案】D
【分析】根据题意推出
，然后由累加法即可求解.
【详解】由
，可得
①，
则有
②，
③，
④，
将①②③④左右分别相加，得
､
，
又
，即
，
故得
，
所以
，将
以上式子左右分别相加，得
､
，
又
，所以
.
故选：D.
4．（2025·湖南长沙·三模）设函数
的定义域为
，若
，且对任意
，满足
，则
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据已知条件得出
的具体表达式，再利用累加法求出
的值，最后
结合
的值求出
.
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【详解】由
，可得
，
因为
，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
.
故选: D.
题型7 中心与轴：左右平移型
图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移
(1)平移变换：上加下减，左加右减
(2)对称变换
①y＝f(x) ――――――――→y＝－
f ( x ) ；
②y＝f(x) ―――――――――→y＝f ( －
x ) ；
③y＝f(x) ―――――――――→y＝－
f ( －
x ) ；
④y＝ax (a>0 且a≠1) ――――――――→y＝logax ( a >0
且
a ≠1)
．
⑤y＝f(x) ――――――――――――――――→y＝| f ( x )| .
⑥y＝f(x) ――――――――――→y＝f (| x |) ．
1．（2025 高二下·山东青岛·竞赛）已知
是定义在
上不恒为
的函数，
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先根据
为奇函数，得
，然后根据
为偶函数，得
，然后通过对
进行赋值进行求解即可.
【详解】由于
为奇函数，可得：
，
令
，得：
，解得：
；
又
为偶函数，则
，
令
，得：
.
故选：A
2．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数
的定义域为
为偶函数，
为奇函数，则
（ ）
18
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可推出函数
的周期，结合赋值法可确定
，判断B，其余选项结合赋值，
无法确定，即可判断正确.
【详解】因为函数
为偶函数，则
，可得
，
因为函数
为奇函数，则
，
所以
，即得
，
即
，故函数
是以4 为周期的周期函数，
对于
，令
，则
，
对于
，令
，则
，B 正确；
由题意可知
，无法推出
，A 错误，
又
，
，而
是否为0 不确定，故CD 错误，
故选：B
3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
为奇函数，
为偶函数.若
，则
的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】根据
为奇函数、
为偶函数推出函数
的周期，再结合已知条件求出
与
的值，最后代入
的表达式计算
.
【详解】因为
为奇函数，则
，用
代替
可得，
.
因为
为偶函数，则
，用
代替
可得，
，
所以
. 故
，
再用
代替
，则
，
所以
，即函数
的一个周期为.
因为函数
的一个周期为，所以
.
由
，令
，可得
.
又
，令
，则
，所以
，即
.
因为函数
的一个周期为，所以
.
由
，令
，可得
，即
，所以
，即
.
已知
，则
，
.
所以
.
故选：D.
4．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，若函数
19
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与
都是奇函数，且
，则
（ ）
A．-3
B．3
C．-6
D．6
【答案】A
【分析】根据函数是奇函数求导得出
，再结合导函数是奇函数，进而得出周期计
算求值.
【详解】由
为奇函数，可得
，
两边分别求导，可得
，
即
关于直线
对称，
且
为奇函数，
所以
，
且
关于
对称，
故4 是
的一个周期.
又由
关于
对称，
所以
，
又
关于直线
对称，
所以
，
即
.
由
为奇函数，可得
，
故
，
所以
.
故选：A.
题型8 中心与轴：和定为轴型
20
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1．（24-25 高二下·安徽六安·期末）设函数
，若
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】判断函数的奇偶性及单调性，利用对数的运算性质及指数幂的性质比较
的大小即可
求解.
【详解】因为
的定义域为
，关于原点对称，
，
所以函数
为偶函数，
又当
时，
，可知
在
上单调递增，
由偶函数性质可知，
，
，
又
，
，
所以由函数单调性可知
，
故选：D
2．（2025·山东·一模）已知定义在
上的奇函数
满足
，且
，当
时，
，则方程
在区间
上的根的个数为（ ）
A．9
B．10
C．17
D．12
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性、对称性，得出函数
是周期函数，再根据当
时，
，结合其单调性、对称性、周期性作出函数
在区间
上的图象，利用函数
与函数
的图象，由交点的个数可得出方程根的个数.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
由
可知，函数
的图象关于直线
对称，
则有
，则
，则
，
所以
，故
是周期函数，周期
.
21
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又因为
，所以
，且有
，则
.
当
时，
是增函数，
且
时，
，
时，
，所以
在
上有且仅有一个零点.
函数
与函数
的图象如图，
由图可知，方程
在区间
上有10 个根，去除
后，还有9 个根，
方程
的根，即函数
的图象与函数
的图象的交点，有8 个，
所以，方程
在区间
上的根的个数为
.
故选：C.
3．（2025·山西·二模）已知函数
的定义域为
，函数
是奇函数，函数
的图象关于直线
对称，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
D．
【答案】B
【分析】由题设奇偶性和对称性条件结合奇偶性定义公式和对称性公式进行分析函数的性质即可得解.
【详解】因为
是奇函数，所以
为偶函数，
所以
，即
，故
的图象关于直线
对称，
由
的图象关于直线
对称得
，
即
，
即
，所以
关于
对称，
所以
，所以
，
故
是奇函数，所以B 选项正确；
因为
，又
，所以
，
即
，所以
，故C 选项错误；
不能得到
的奇偶性与
的值，故A，D 选项错误.
故选：B
4．（24-25 高三上·内蒙古包头·期末）定义在
上的函数
满足
，且
当
时，
.则方程
所有的根之和为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．16
【答案】A
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【分析】根据题意可得
为奇函数，其图象关于直线
对称且一个周期为4，再根据当
时，
，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.
【详解】∵
，∴
为奇函数，又∵
，
∴
的图象关于直线
对称．
当
时，
，
单调递增．
由
，即有
，
所以
，即函数
的一个周期为4，
由
可得，
，所以
的图象关于
中心对称．
函数
的简图如下：
其中
，
由
，∴所有实根之和为
.
故选：A．
【点睛】方法点睛：
（1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的
单调性，并运用性质求零点和；
（2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；
题型9 中心与轴：“中点坐标重心偏移”型
中心对称：
（1）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（2）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（3）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
.
函数变换，又叫原点变换：
中点中心偏移型解不等式求参：
1. 函数有对称中心；
2. 函数有单调性
1．（24-25 高三上·河北·期末）已知函数
，若
，则实
23
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数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知，令
，可得
为奇函数，则
的图象关于点
中心对称，可得
，由
可得
，
利用导数确定
函数的单调性，再利用单调性解不等式即可.
【详解】根据题意，函数
，
所以
，
令
，
则
，所以
为奇函数，
所以
的图象关于点
中心对称，所以
，
由
，可得
，
所以
，
由
，
则
，
所以函数
单调递减，
由
可得，
，
即
，解得
，实数a 的取值范围是
.
故选：B．
【点睛】关键点点睛：令
，证得
为奇函数，可得
的图象关于点
中心对称，
由
可得
，再利用导数确定
函数的单调性，再利用单调性解不
等式即可.
2．（24-25 高一上·安徽黄山·期末）已知函数
，则关于
的不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过计算
，可得
，则将
转化为
，再判断
的单调性，利用其单调性可求得结果.
【详解】
的定义域为
，因为
，
24
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所以
，
所以
，所以
，
所以由
，得
，
因为
在
上为增函数，
在定义域内为增函数，
所以
在
上为增函数，
因为
在
上均为增函数，
所以
在
上为增函数，
所以由
，得
，
即
，解得
或
，
所以不等式的解集为
.
故选：D
3．（20-21 高三上·全国·开学考试）已知定义在
上的函数
满足
，且在
上单
调递减，若对任意的
，
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，则
为定义在
上的奇函数且为减函数，而
等价于
，利用
性质去掉对应法则
后得到
恒成立，从而可求实数
的取值范
围.
【详解】令
，则
在
上单调递减，又
，
故
，所以
为定义在
上的奇函数，
故
在
上为减函数.
由
恒成立，得
恒成立，即
恒成立，可
得
恒成立，
即
恒成立，所以实数
的取值范围为
.
故选：B.
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，一般地，解函数不等式时往往需要考虑函数的单调性和奇偶性，
利用这两个性质去掉对应法则，本题属于中档题.
4．（24-25 高一上·江西·阶段练习）已知函数
在
上单调递减，且
为奇函数．若实数t
满足不等式
，则
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，从而判断
在
上的单调性与奇偶性，从而转化不等式从而列不等式求
解的取值范围，结合函数性质可得
的取值范围.
【详解】记
，则
在
上为奇函数且单调递减，
则不等式
可转化为
，
即
，等价于
，
所以可得
，解得
，
因为函数
在
上单调递增，所以
的取值范围是
．
故选：A.
题型10 中心与轴：存在对称点型
两图象上有对称点转化为方程有根的问题求解，然后再根据两函数的特征选择用导数的几何意义求
解，具有综合性，难度较大．
1．（24-25 高一上·江苏·期中）对于函数
，若存在
，使
，则称点
与
点
是函数
的一对“隐对称点”.若函数
的图象存在三对“隐对称点”，
则实数
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依题意，函数
的图象上存在点关于原点对称，设函数
的图象与函数
的图象关于原点对称，求出
，则问题转化为方程
有解，参变分离结合
基本不等式的性质计算即可.
【详解】由“隐对称点”的定义可知，
函数
的图象上存在关于原点对称的点，
设
的图象与
图象关于原点对称，
设
，则
，即
，
所以
，
故函数
的图象与
的图象有3 个交点，
如图①所示，
，
26
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当
时，
，即
有两个交点，如图②所示，
且
，当且仅当
时取等号，
所以
，
当
时，
，即
有一个交点，
因为函数
在
单调递增，即
,
综上所示，
.
故选：B.
2（19-20 高二下·河南濮阳·期末）对于函数
与
，若存在
，使
，则称
，
是函数
与
图象的一对“隐对称点”.已知函数
，
，函数
与
的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意转化条件得可得函数
与
的图象有两个交点，进而可得函数
与
的图象有两个交点，结合导数可画出两函数的图象，结合导数的几何意义数形结合
即可得解.
【详解】
关于y 轴的对称函数为
，
由题意可得方程
有两个不等实根，
函数
与
的图象有两个交点，
函数
与
的图象有两个交点，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
又
恒过点
，当
时，
，
在同一坐标系中作出函数
、
的图象，如图，
27
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由图象可知，若函数
与
的图象有两个交点，则
，
当直线
为函数
图象的切线时，由
可得
，
即
.
故选：A.
【点睛】本题考查了导数的应用及函数与方程的综合应用，考查了转化化归思想及数形结合思想，属于中
档题.
3．（2017·陕西渭南·二模）若函数
的图象上存在两个点
关于原点对称，则对称点
为
的
“孪生点对”，点对
与
可看作同一个“孪生点对”，若函数
恰好
有两个“孪生点对”，则实数
的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当x>0 时，
，
，可知，
f(x)在
，
上单调递减，在（1，3）上单调递增．
要使得函数y=f(x)有两个“孪生点对”，只需y=f(x)(x>0)的图像与
的图像有两个交点．
当y=f(x)(x>0)的极小值为-2 时,f(1)=-1+6-9+2-a=-2,解得
,符合；
当y=f(x)(x>0)的极大值为-2 时，f(3)=-27+54-27+3-a=-2, 解得
,但此时
，所以只有一
个交点，不符．
综上，a=0,选D
【点睛】对于新定义题，要紧扣题意，把题转化为所学过的数学知识．比如，本题只需把x<0 的图像关于
(0,0)点对称，与x>0 的图像仅有两个交点．当然，本题也可以把x>0 的图像关于(0,0)点对称，与x<0 的图
像仅有两个交点.
4．（20-21 高三上·广东汕头·期中）对于函数
与
，若存在
，使
，则称
，
是
与
图象的一对“隐对称点”．已知函数
，
，函数
与
的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
28
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【答案】D
【分析】由题意可得函数
与
的图象有两个交点，结合导数可画出两函数的图象，结合
导数的几何意义数形结合即可得解.
【详解】由题意函数
与
的图象有两个交点，
令
，则
，
∴当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
又
恒过点
，当
时，
，
在同一坐标系中作出函数
、
的图象，如图，
由图象可知，若函数
与
的图象有两个交点，则
，
当直线
为函数
图象的切线时，由
，可得
，
∴
且
，即
.
故选：D．
题型11 双函数：基础型
“双函数”
双函数常规思维：是依赖单调性、中心对称性、周期性来推导函数。
双函数实战思维：
1.双函数各自自身对称性
2.形如
。借助数形结合，f（x）的性质，可以传递给g（x）。
3.形如
，与
，可以借助函数方程消去一个，剩余另一个函
数，再借助函数性质得到图像特征。
1．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为R 的函数
，
满足
，且
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
是偶函数
【答案】D
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【分析】通过函数变量间的转化，得出函数对应等量关系.利用函数平移变化，由平移后的对称关系求得原
函数的对称关系.
【详解】因为
，
所以
，
即
，
所以
关于直线
对称，
因为
，
所以
关于
对称，即
为偶函数.
故选：D
2．（24-25 高三上·广东汕头·期中）定义在
上的函数
满足
且
，函
数
为偶函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．
的图象关于
对称
B．
的图象关于
对称
C．4 是
的一个周期
D．
【答案】D
【分析】由
偶函数可得
，由
可得
，再由这两个关于
的恒等式可得到周期性，最后利用函数的性质进行判断即可.
【详解】由
，把
换成
可得：
，
两式相加得：
，故
关于点
对称，故A 正确；
再由
为偶函数可得，
，
可知：
关于直线
对称，故B 正确；
再由上面关于
两式可得：
，
即有
，可知：4 是
的一个周期，故C 正确；
令
，有
，
，
又因为
，所以
，
则
，故D 不正确；
故选：D.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数
关于直线
轴对称，则
，若函数
关于点
中心对
称，则
，反之也成立；
（2）关于周期：若
，或
，或
，可知函数
的周期为
.
3．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数
，
的定义域均为
，
是奇函数，且
，
，则下列结论正确的是（ ）
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A．
为奇函数
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
是奇函数及
，得
，根据
，从
而可得
为偶函数，且
也为偶函数，从而判断
，
项；由
，得
，再求和即可判断
项；根据已知关系可得函数
的周期为
，且
，
从而
，结合
代入求和即可判断
项.
【详解】由
是奇函数，知
的图象关于点
对称，
所以
，
，所以
.
因为
，所以
，所以
.
因为
，所以
，所以
.
则
，所以
，所以
为偶函数，则
也为偶函数，故
，
项错误.
由
，得
，所以
，故
项错误.
因为
，所以
，所以函数
的周期为
.
由
，得
，所以
.
因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，故
正确.
故选：
.
4．（24-25 高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数
的定义域均为
是奇函数，且
的图象关于
对称，
，则
（ ）
A．4
B．8
C．
D．
【答案】B
【分析】由条件变形求出
的图像关于
对称，利用奇函数性质可得
的图象关于点
中
心对称，进一步求得
是以4 为周期的周期函数，变形可得
也是以4 为周期的周期函数，赋值法
求出
，从而利用周期可求得答案.
【详解】因为
的图象关于
对称，所以
．
因为
①，则
，
即
②，
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①②得，
，
所以
的图像关于
对称．
令
，则
是奇函数，
所以
，即
，
所以
的图象关于点
中心对称，
所以
，所以
，
所以
是以4 为周期的周期函数．
因为
，所以
．
因为
是以4 为周期的周期函数，
所以
也是以4 为周期的周期函数，
由
，取
，
，所以
．
因为
，所以
，
所以
．
由
，取
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：B．
【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下
（1）若函数
满足
或
或
，则
的一条对称轴
为
；
（2）若函数
满足
或
或
，则
的一个对称中心
.
题型12 双函数：中心与轴互相“传递”
双函数性质：
1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质
2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系
传递中心，对称轴，与周期
若函数
关于
轴对称，关于
中心对称，则函数
的周期为
，
若函数
关于
轴对称，关于
轴对称，则函数
的周期为
，
若函数
关于
中心对称，关于
中心对称，则函数
的周期为
.
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域均为
32
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，且
的图象关于直线
对称，则以下说法不正确
的是（ ）
A．
和
均为奇函数
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用函数奇偶性，对称性与周期性的性质，逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于B，由
，得
，
又
，
，
的图象关于直线
对称，
，
，
，则
是周期函数，且周期为
，
所以
，故B 正确；
对于A，
的图象关于直线
对称，
是偶函数，
若
为奇函数，则
恒成立，不满足
，故A 错误；
对于C，由
，得
，
，
因为
，则
，
所以
是周期函数，且周期为
，则
，故C 正确；
对于D，由
，得
，
又
，
由
，得
，故D 正确.
故选：A.
2．（2025·全国·模拟预测）已知函数
，
的定义域均为
，且
，
，
的图象关于直线
对称，当
时，
，则
（ ）
A．1
B．3
C．4
D．2025
【答案】B
【分析】在
中用
代换
得
，结合
得
，即可得出函数
的周期，进而得出函数
的周期，根据
的对称性求出
，
的值，结合函数周期即可求得结果.
【详解】由
，得
，又因为
，
所以
，故
，
，
所以
，所以
是以4 为周期的周期函数，
由
，得
，所以
，
33
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所以
也是以4 为周期的周期函数，
因为当
时，
，所以
.
因为
的图象关于直线
对称，所以
.
又因为
，所以
，所以
.
故选：B.
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域均为
为奇函数，且
，则（ ）
A．
不为偶函数
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知等式关系结合函数的奇偶性与对称性即可求得函数
均是周期为4 的周期函数，
利用周期性与对称性计算，逐项判断即可得答案
【详解】因为
，
所以
，与
联立可得
，
即
的图象关于直线
对称，
又
为奇函数，则
，
所以
，即
，
所以
，所以
是周期为4 的周期函数，
因为
，所以
也是周期为4 的周期函数，
因为
，
，所以
，
即
，从而
为偶函数，故A 错误．
又
为奇函数，则
，即
，
所以
，
故
，故C 错误．
由
，得
，则
不可能为奇函数，故B 错误．
可求
，
所以
，故D 正确．
故选D．
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
4．（22-23 高三上·江西·阶段练习）已知函数
的定义域均为R，且满足
则
（ ）
A．
3180
B．795
C．1590
D．
1590
【答案】D
34
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【分析】根据递推关系可得
且
，进而有
，构造
易知
是周期为2，分别求得
、
，再求
、
，根据周期性求
，
最后求和.
【详解】由
，则
，即
，
由
，则
，即
，
又
，
即
，
所以
，故
，
综上，
，则
，故
关于
对称，
且有
，
令
，则
，即
的周期为2，
由
知：
关于
对称且
，
所以
，即
，则
，
由
，可得
，则
，
所以
则
；
则
，
依次类推：
，
，……，
，
所以
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据递推式得
且
，构造
并确定其
周期，依据周期性求
.
题型13 双函数：导数型传递
1．（2023·安徽宣城·二模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
．若
为奇函数，
为偶函数，且
，
，则
（ ）
A．670
B．672
C．674
D．676
【答案】D
【分析】运用抽象函数的奇偶性表达式及导数运算可得
的一个周期为3，再运用赋值及周期性计算可
得一个周期内的和，进而可求得结果.
【详解】∵
为奇函数，
∴
，
∴
，即：
，
又∵
，
∴
，①
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又∵
为偶函数，
∴
，②
∴将②中
换成
得：
，③
∴将③中
换成
得：
，④
由①④得：
，
∴
的一个周期为3，
∴
，
将
代入③得：
，
∴
又∵
，
∴
.
故选：D.
2．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数
，
的定义域为
，
是
的导数，且
，
，若
为偶函数，则
（ ）
A．80
B．75
C．70
D．65
【答案】B
【分析】根据偶函数的定义结合导数可得
，结合题意可得
，
，进而可得
，且
，即可得结果.
【详解】因为
为偶函数，则
，求导可得
，
因为
，
，
则
，可得
，
且
，则
，可得
，
即
，可得
，可知8 为
的一个周期，
且
，
对于
，
，
令
，可得
，
，可得
，
所以
.
故选：B.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
3．（24-25 高二上·安徽阜阳·期末）已知函数
是定义域为R 的可导函数，
（
为函
数
的导函数），若
为奇函数，且
，
，则
（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
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【答案】D
【分析】结合条件分析函数的周期性，计算一个周期内的函数值即可得到结果.
【详解】∵
，
，∴
，
①.
令
得，
，故
.
∵
为奇函数，∴
，故
，
∴
，故
，即
②，
由①②得，
，
∴
，
，
∴
，即
为周期为4 的函数，
在①中，令
得，
，∴
，
∴
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据
为奇函数得到
，结合题目条件分
析函数的周期即可得到结果.
4．（24-25 高三下·重庆北碚·阶段练习）定义在
上的函数
与
的导函数分别为
和
，
若
，
，且
，则
（ ）
A．50
B．51
C．100
D．101
【答案】D
【分析】由
得
（
为常数），又
即
，令
即可求
，推出函数
的周期即可求解.
【详解】由
有
（
为常数），
又
有
，
所以
，令
得
，解得
，
所以
，即
，
又由
得
，
即
，所以
，所以
，
所以
是以4 为周期的周期函数，
由
，令
得
，令
得
，
由
，令
有
，即
，
所以
，
所以
，
故选：D.
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题型14 超难压轴小题综合
1．（24-25 高一上·辽宁大连·期末）已知函数
关于点
对称，其反函数为
，若
与
的图象关于点
对称，则关于x 的不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】由
对称性待定
，研究
的性质，借助函数间对称与图象变换逐步求解研究各函数及性质.
先由互为反函数可求
，进而求出
，再由
与
的图象关于点
对称可求出
，
转化不等式
为同构形式
，从而构造函数
，根据单调性分类讨论求解
不等式可得.
【详解】由函数
关于点
对称，
则
，所以
，
故
，
解得
，即
，
所以函数
的定义域为
，值域为
，
在
和
上都单调递减，且
图象关于
对称；
因为函数
是
的反函数，
由互为反函数的两函数关于直线
对称可知，
函数
的定义域为
，且图象关于
对称，
令
，解得
故
，其在
和
上都单调递减；
函数
的定义域为
，且图象关于
对称.
，其在
和
上都单调递减，
且当
时，
；当
时，
；
又由
与
的图象关于点
对称，
则函数
的定义域为
，且图象关于
对称.
，其在
和
上都单调递减，
且当
时，
；当
时，
；
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故
，则有
，
由
，
由
不可能小于1，故
.
首先有
，或
，解得
或
.
得
，
则可化为
，
构造函数
，则
，
又函数
的定义域为
，且在
和
上也都单调递减，
当
时，
，则
；当
时，
，
；
当
，即
时，
恒有
成立；
当
时，由
在
上单调递减，
故由
，可得
，
解得
，此时满足不等式组
，故
.
故
，或
，验证知满足
或
.
综上所述，不等式的解集为
.
【点睛】关键点点睛：解决此题关键有二，一是理清各函数间
的联系， 逐步求解研究函数
及性质；二是同构变
换，转化不等式为同构形式
，进而构造函数研究单调性求解
不等式.
2．（2024 高一下·海南海口·竞赛）已知f（x）是定义在R 上的奇函数，
且对任意
均有
则
【答案】
【分析】要利用数列的递推思想和累乘法来求出
，然后再构造为二项式系数来求和，利用
二项式系数的性质就可以求出结果.
【详解】令
，则
，又由
可得，
，
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又由f（x）是定义在R 上的奇函数，则
，即
所以
，用累乘法得：
当
时，由于
，所以
也满足上式，即
，
所以
，
因为
，所以上式化为
由于
由二项式系数性质可得：
，
则
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：（1）关键是利用数列的递推思想和运用累乘法来求出通项公式；
（2）关键是把阶乘的乘法转化为二项式系数，再利用二项式系数的性质来求和.
3．（2024 高三下·全国·专题练习）已知函数
，则满足
的x 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】构造函数
，并判断奇偶性，根据平移得到
图象的对称中心为
，
转化原不等式为
，根据单调性得
，求解即可
【详解】由题意得
，
设
，则
，
的定义域为R，
且
，所以
为奇函数，
都是增函数，所以
是增函数，
的图象是由
的图象先向右平移2 个单位长度，再向上平移1 个单位长度得到的，所以
图象
的对称中心为
，所以
．
易知
在R 上单调递增，因为
，
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所以
，所以
，解得
，
故答案为：
．
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键有三点：
（1）得到函数
图象的对称中心，从而得到
；
（2）得到函数
的单调性；
（3）利用函数
的单调性去掉“f”，将原不等式转化为关于x 的不等式．
4．（24-25 高一下·贵州毕节·阶段练习）已知函数
，则
的最小值是 .
【答案】
【分析】利用
，结合基本不等式可得答案.
【详解】因为函数
，
所以
，
所以
，
所以
，当且仅当
即
时等号成立.
因为
，所以
，当且仅当
时等号成立.
所以所求最小值为
.
故答案为：
.
结束
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