文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
专题02 函数的概念与基本初等函数
题型概览
题型01 基本初等函数单调性与奇偶性
题型02 函数图象的识别
题型03 初等函数的实际应用
题型04 分段函数与零点综合问题
题型05 函数的定义域、值域与最值
题型06 函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合应用
基本初等函数单调性与奇偶性
1．（2025·广东湛江·一模）已知定义在
上的函数
为奇函数，且当
时，
，
若
，不等式
恒成立，则
的值不可能是（ ）．
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【分析】利用奇函数的性质求出
的解析式，再按
的不同取值分类讨论
在
上的单调性
即可求解.
【详解】因为定义在
上的函数
为奇函数，且当
时，
，
所以当
时，
，
，当
时，
，
令
，即
，
因为
，当且仅当
时等号成立，所以
，
若
，则函数
在
上单调递增，
又
，所以
，
题型01
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
即
恒成立，故
满足题意，排除选项A；
若
，则
，函数
在
上不单调，图象如图所示，
又
，即
，
可理解为函数
的图象在函数
的图象下方，
所以由图象可得
，即
，
令
，
则
，
，
.
故选：D
2．（2025·黑龙江·一模）已知实数
，
，
满足
，
，
，其中为自然对数的底数.则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构建函数
，利用导数分析
的单调性，根据题意可得
，
，
，且
，
，
，结合单调性分析判断.
【详解】设
，可知函数
的定义域为
，且
，
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
因为
在定义域上单调递增，且
，
若
，则
；若
，则
；
可得
在
上单调递增，在
上单调递减，
又因为
，
，
，
可得
，
，
，
即
，
，
，且
，
，
，
可知
，且
，
，
，所以
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构建函数
，结合函数的单调性分析判断.
3．（2025·广西·一模）已知函数
满足：（1）对任意
，都有
；（2）对任意
，都有
．则
的值
是（ ）．
A．324
B．336
C．348
D．360
【答案】C
【分析】先由条件（1）得到
在
上为单调增函数，再由条件（2）得到
，再根据
逐个递推可得.
【详解】对任意的
，由（1）得
，即
.
故
在
上为单调增函数.
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
对任意
，由（2）得
.
显然
.否则，
.矛盾.
若
，则
，矛盾.
所以，
.
故
，
.
由
，得
，
.
则
，
.
故
.
故选：C
4．（2025·江西上饶·一模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学
们利用我们所学数学知识，探究函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
有且只有一个极大值点
B．
在
上单调递增
C．存在实数
，使得
D．
有最小值，最小值为
【答案】D
【分析】根据对数恒等式将函数
变形转化为
，利用导函数研究
的
单调性，再由复合函数单调性得
单调性、极值与最值，再分别判断选项即可.
【详解】由
，则
，
令
，则
，令
，解得
，
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
由函数
与
复合而成，而
在
上单调递增；
故
在
上单调递减，在
上单调递增；
所以
在
处取极小值
，且无极大值，
又
，故不存在实数
，使得
.
故ABC 错误，D 正确.
故选：D.
5．（2025·北京平谷·一模）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据常见函数的单调性即可逐一求解.
【详解】对于A，
，由于
，故
在区间
上不是
单调递增的，A 错误，
对于B,
在区间
上单调递减，B 错误，
对于C,当
时，
单调递增，且值恒为正，故
为单调递减，所以
为单调递增，C 正确，
对于D，
在区间
上单调递增，故
在区间
上单调递减，D 错误，
故选：C
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
6．（2025·吉林延边·一模）设
是
上的奇函数，且对
都有
，当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最大值是1，最小值是0
B．当
时，
C．点
是函数
的对称中心
D．
在区间
上是增函数
【答案】BD
【分析】根据
是
上的奇函数得到
，再由
都有
，得到
的图象关于
对称，然后推出
是周期为4 的周期函数，结合
时，
逐
项判断.
【详解】因为
是
上的奇函数，所以
，
又对
都有
，所以
的图象关于
对称，
因为
，即
，所以
，
所以是周期为4 的周期函数，
又当
时，
单调递增，所以
在
上单调递增，
则
在
上单调递增，由
的图象关于
对称，
得
在
上单调递增，所以
在
上的最大值是
，
最小值是
，故A 错误；
当
时，
，则
，故B 正确；
由对
都有
，得
的图象关于
对称，故C 错误；
由
在
上单调递增，且周期为4，则
在区间
上是增函数，故D 正确；
故选：BD
7．（2025·广东深圳·一模）已知函数
，其中
．
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，证明：曲线
是轴对称图形；
(3)若
在R 上恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
在
上单调递增.
(2)证明过程见解析.
(3)
.
【分析】（1）去绝对值求导函数，根据导函数正负判断原函数增减；
（2）去绝对值判断函数为偶函数，从而确定其关于
轴对称；
（3）先讨论
时不等式恒成立，此时可就
分类讨论后得
，在此条件下再讨论
不等式恒成立，从而可求参数的范围.
【详解】（1）当
时，函数
，求导得：
；
当
时，
，
，
，
，
当
时，
.
当
时，函数
在
上单调递增.
（2）当
时，函数
，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
为偶函数，关于
轴对称；
所以当
时，曲线
是轴对称图形.
（3）
在
上恒成立，
，
当
时，有
，
又
，
当
时，
在
上恒成立，
故
在
上为减函数，故
，此时不等式恒成立，
若
，
，
此时当
时，
，
故
不成立，
故当
时，若不等式
恒成立，则
.
若
，则
，
又
，
当
时，
，故
若
，此时
在
上恒成立，故
在
上为减函数，
故
在
上恒成立，与题设矛盾；
若
，当
时，有
，
这与题设矛盾，
若
，则
，故
在
上为增函数，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故
恒成立，
综上所述：
的取值范围
.
8．（2025·四川巴中·一模）若函数
为奇函数，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无解
【答案】D
【分析】利用奇函数的定义
，列出等式
，即可得到结果.
【详解】解：根据题意，函数
，则
，
若
为奇函数，则
，
即
，a 的值不是常数，即无解．
故选：D
9．（2025·山东淄博·一模）随机变是
服从正态分布
，令函数
，则下列
选项正确的是（ ）
A．
B．
是增函数
C．
是偶函数
D．
的图象关于点
中心对称
【答案】AD
【分析】由正态分布可求得
，判断A；易得
在
上是减函数，可判断
B；计算
，可判断C；证明
可判断D.
【详解】对于A，因为
，所以
，故A 正确；
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
对于B，
，当
增大时，
减少，
所以
在
上是减函数，故B 错误；
对于C，
，故C 错误；
对于D，若
的图象关于点
中心对称，则
，
因为
服从正态分布
，所以
关于
对称，
所以
，
则
，故D 正确.
故选：AD.
10．（2025·山东济宁·一模）已知函数
是奇函数，则实数
．
【答案】1
【分析】根据奇函数性质
求实数
的值，并根据奇函数的定义求解.
【详解】因为
，可知函数
的定义域为
，
且函数
是奇函数，则
，
解得
，则
，
又因为
，
即
，可知函数
是奇函数，
所以
符合题意.
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故答案为：1.
函数图象的识别
1．（2025·安徽合肥·一模）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性排除A，再由
时函数的符号排除CD，即可得解.
【详解】由
知，
，即
，所以函数定义域为
，关于
原点对称，
又
，所以函数为奇函数，故排除A；
当
时，
，
时，
，
所以当
，
时，
，排除C；
当
时，
符号可正可负，所以
可正可负，故可排除D；
故选：B
2．（2025·江西·一模）函数
的部分图象大致为（ ）
题型02
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据奇函数判断排除B，C，在
内选择特殊值得
排除D.
【详解】函数
是定义域为
函数
，
是奇函数，所以排除B，C，
又函数
在原点附近的零点为
和1，可取大于0 且接近于0 的一个数，
如0.1，得
，所以排除D．
故选：A.
3．（2025·辽宁沈阳·一模）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性排除部分选项，再由特殊值判断.
【详解】因为
的定义域为
，且
，
所以
是奇函数，故排除BC，
又
，则
，故排除D，
故选：A
初等函数的实际应用
1．（2025·福建泉州·一模）如图，假定两点
以相同的初速度运动．点
沿射线
做匀速运动，
；点
沿线段
（长度为
单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离
．令
与
同时分别从
出发，则数学家纳皮尔定义
为
的对数中，
与
的对应关
系就是
，其中e 为自然对数的底．若点
从线段
的中点运动到靠近
的四等分点，
点
同时从
运动到
，则
．
【答案】
/0.5
题型03
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【分析】根据指数式和对数式的转化得到
，然后利用换底公式计算.
【详解】令
，则
，整理得
，即
，
令
，则
，整理得
，即
，
所以
.
故答案为：
.
2．（2025·江西萍乡·一模）经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数
（单位：m／
s），
表示湟鱼的耗氧量的单位数.某条湟鱼想把游速提高2m/s，则它的耗氧量的单位数是原来的
（ ）
A．2 倍
B．4 倍
C．9 倍
D．81 倍
【答案】D
【分析】根据所给等式，利用对数的运算法则来求解原来和现在耗氧量单位数的关系.
【详解】设原来和现在的耗氧量的单位数分别为
，
，
则
，所以
，所以
，
所以耗氧量的单位数是原来的81 倍.
故选：D.
3．（2025·北京延庆·一模）延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链
相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬
链线.已知函数
的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ）
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．
为奇函数
B．
的最大值为1
C．
在
上单调递增
D．方程
有2 个实数解
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合导数判断原函数的单调区间，进而确定最
值，即可判断ABC；对D 解出
，再结合指数函数性质即可判断.
【详解】对A，
定义域为R，∵
，则
为偶函数，A 错误；
对BC，又∵
，根据
，在R 上均单调递增，
则在
在R 上单调递增，且
，
则当
时，则
，当
时，则
，
∴
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，故C 错误；
则
，即
的最小值为，B 错误；
对D，令
,
，
再结合指数函数性质知方程
有2 个实数根,故D 正确.
故选：D
4．（2025·贵州六盘水·一模）20 世纪30 年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是
使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我
们常说的里氏震级M，其计算公式为
其中A 是被测地震的最大振幅，
是“标准地
震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，
则这次地震的震级为（ ）（精确到0.1，参考数据：
）
A．4.4
B．4.7
C．5
D．5.4
【答案】A
【分析】直接利用题目中给出的公式和对数的运算性质求解即可得出结果.
【详解】根据题意可知这次地震的震级为：
；
因此可知这次地震的震级为
级.
故选：A
5．（2025·江西新余·一模）课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理.实际上，一元三次方程
也有对应的韦达定理：一元三次方程
的三根为
满足：
.已知
满足：
和
，其中
互不相等，则
.
【答案】
【分析】结合二、三次方程的韦达定理建立关于
的等量关系，整体消元解方程组可得.
【详解】由题意
互不相同，则
互不相同.
即
互不相同.
由已知
，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
可得
是方程
的三个不同的实数根.
由一元三次方程的韦达定理得
，即
①，
由
，且
为一常数，
则
是方程
的两不等根，
则由韦达定理可得，
②，
联立①②解得
.
故答案为：
.
6．（2025·北京平谷·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单
位：
）与时间（单位：
）间的关系为
，其中
是正的常数，如果前
消除
了
的污染物，那么从消除
的污染物到消除
的污染物大约需要经历（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意得到
，求得
，再设消除
的污染物对应事件为
，消除
的污
染物对应事件为
，得到方程
，
，求解即可；
【详解】由题意可知：
，即
，即
，
设消除
的污染物对应事件为
，即
，
设消除
的污染物对应事件为
，即
，
两式相除可得：
，
即
，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以：
，
即从消除
的污染物到消除
的污染物大约需要经历
，
故选：A
7．（2025·广东·一模）随着经济的发展，到某岛进行旅游观光的人数越来越多，交通问题已成为
制约经济发展的重要因素，因此政府欲在大陆和岛屿之间如图建立一条高速通道以便于大陆和
岛屿之间来往，大陆沿海线可近似看作函数
的图象，且正好与直线
相切，而
岛屿海岸线可近似看作函数
的图象．每单位代表十万米
(1)试求
的值及切点坐标．
(2)已知建成后的高速通道将开通高铁，并且高铁的最高时速不能超过
，试问高铁能否在
半小时内穿过高速通道？请说明理由．
【答案】(1)
，
；
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）由题意可设切点为
，求出函数的导数，求出切点的斜率，得到切点的横坐标，
求出纵坐标，得到结果.
（2）利用同底的指数函数、对数函数互为反函数，结合函数图象平移，将问题转化为两个函数图
象间最短距离大于直线
与直线
之间的距离求解.
【详解】（1）依题意，设切点为
，由函数
求导得
，
则
，即
，解得
，
而
，则
，解得
，
，
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以
，切点坐标为
.
（2）由（1）及函数
与函数
互为反函数，且
的图象与
相切，
得函数
的图象与函数
的图象有且只有一个公共点，
而
的图象可由
的图象向右平移个单位而得到，
因此函数
与
的图象之间的最短距离大于直线
与直线
之间的距离，
即
（十万米）
．则高铁穿过通道的时间
.
所以高铁不能在半小时内穿过高速通道.
分段函数与零点综合问题
1．（2025·山东日照·一模）已知函数
，则
．
【答案】
/
【分析】根据自变量的取值范围代入相应的函数表达式进行计算，然后将计算结果相加 .
【详解】因
，
，
则
.
故答案为：
.
2．（2025·北京平谷·一模）已知函数
，当
时，
的值域是
，若
有两个极值点，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】结合二次函数与一次函数的单调性，可得分段函数的单调性，结合值域的概念以及极值点
题型04
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
的概念，建立不等式，可得答案.
【详解】由
，则
，
当
时，
，
易知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
此时
；
当
时，
，易知函数
在
上单调递减，则
.
综上可得
.
由题意可设函数
的两个极值点分别为
，且
，
由二次函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
一次函数
，当
时，在
上单调递减，当
时，在
上单调递增，
易知函数
在
与
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
，可得
，解得
.
故答案为：
；
.
3．（2025·云南昆明·一模）已知函数
则
.
【答案】
【分析】结合对数的运算性质，根据题中分段函数解析式运算求解即可.
【详解】因为
，且
，
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以
.
故答案为：
.
4．（2025·江西南昌·一模）已知
，则方程
所有的根之和为（ ）
A．1
B．2
C．5
D．7
【答案】A
【分析】求方程的所有根，然后相加即可.
【详解】若
，由
，所以
；
若
，由
.
因为
，所以方程
的所有根的和为1.
故选：A
5．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知
则
；
【答案】
/0.5
【分析】利用指数函数，对数函数的运算性质求解即可.
【详解】因为
，所以
，
则
.
故答案为：
6．（2025·江西九江·一模）已知函数
，则
．
【答案】0
【分析】根据分段函数先求
，再求
即可.
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】
．
故答案为：0.
7．（2025·云南昆明·一模）已知函数
，曲线
在
，
两点（不重合）处的切线
互相垂直，垂足为
，两切线分别交
轴于
，
两点，设△
面积为，若
恒成立，则
的最小值为 ．
【答案】1
【分析】先根据已知条件求出
，进而得到
，再求出
，根据
的范围得
出的范围，最后根据
恒成立求出
的最小值.
【详解】由函数
，设
，
，
.
对
求导得
，所以在点
处切线
.
对
求导得
，所以在点
处切线
.
因为切线垂直，则
，所以
.
此时
，因为
，即
，所以
，
，于是
.
由
，因为
，
，则
，
解得
. 因为
，
又
，根据基本不等式
，所以
.
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
由
恒成立，则
.则
的最小值为1.
故答案为：1.
8．（2025·广东茂名·一模）已知函数
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为
，所以
，
，
所以
.
故选：C
9．（2025·天津武清·一模）函数
关于x 的方程
有2 个不相
等的实数根，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】如图画出函数
的图象，
直线
表示过点
的直线，
表示直线的斜率，
，
，
，
，
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以
在点
处的切线方程为
，此时斜率为1，
如图，若
与
，
有一个交点，则
，
，
，
，
所以
在点
处的切线方程为
，此时斜率为
，
如图，若
与
，
有一个交点，则
，
如图，当
时，
与
有两个交点，
综上可知，
的取值范围是
.
故答案为：
10．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数
，若函数
与
的图象有且仅有三个交点，则实数
的取值范围是 .
【答案】
.
【分析】根据分段函数自变量不同取值范围上的函数解析式，分别构造函数，由函数与方程的关系，
等价转化为函数求零点与一元二次方程求解问题，可得答案.
【详解】当
时，则
，令
，
求导可得
，令
，解得
，可得下表：
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
单调递增
极大值
单调递减
由函数
的极大值为
，则存在唯一零点，
所以函数
与函数
在
上有且仅有一个交点；
当
时，
，令
，
求导可得
，显然
上
，
则函数
在
上单调递减，
当
时，
，当
时，
，
由
，则函数
在
上存在唯一零点，
所以函数
与函数
在
上有且仅有一个交点；
由题意可得函数
与函数
在
上有且仅有一个交点，
当
时，
，令
，
令
，整理可得
，
当方程有两个相等的实数解时，
，解得
，
此时
，符合题意，
当方程在
有一个实数根时，可得
，解得
，
综上可得
.
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故答案为：
.
函数的定义域、值域与最值
1．（2025·广东茂名·一模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】由
，可得
或
，
即函数
的定义域为
，
又因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，
由复合函数的单调性可知
在区间
上单调递增，
.
故选：D.
2．（2025·陕西咸阳·一模）已知集合
，
，则
子集的个数为（ ）．
A．6
B．7
C．8
D．16
【答案】C
【分析】解一元二次不等式及求二次函数的值域确定集合，再由集合的交运算求集合，进而得到子
集个数.
【详解】由
，
题型05
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
，
所以
，故
子集的个数为
个.
故选：C
3．（2025·北京平谷·一模）已知函数
，任取
，定义集合：
，点
，
满足
.设
分别表示集合
中元素的最大值和最小值，记
.则函数
的最小值是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【分析】作出函数的图象， 根据
的位于不同的位置，即可分情况求解.
【详解】如图所示，
的图象，此时，函数的最小正周期为
，
点
,
当点
在
点时，点
在曲线
上，
，
当点
在曲线上从
接近
时，
减小，所以
逐渐增大；
当点
在
点时，
当点
在曲线上从
接近
时，
减小，
逐渐减小，
当点
在
点时，
当点
在曲线上从
接近
时，
增大,
逐渐增大，
当点
在
点时，
当点
在曲线上从
接近
时，
增大,
逐渐见减小，
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
当点
在
点时，
,
综上可得
的最小值是1
故选：B
4．（2025·山西吕梁·一模）已知
，若对
，使得
成立，若
在区间
上的值域为
，则实数
的值
可能是（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用辅助角公式化简函数
，结合恒能成立的不等式及正切函数的性质、函数
的
值能取到2 求出
，再由指定区间上的值域求得关于
的不等式即可得解.
【详解】依题意，
，其中锐角
由
确定，
，
函数
在
上单调递增，
，
由
，使得
成立，得
，
而
在区间
上的值域为
，则存在
，使得
，因此
，解得
，
函数
，当
时，
，
又
在区间
上的值域为
，
，则
，解得
，
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以实数
的取值范围是
，ABC 可能，D 不可能.
故选：ABC
5．（2025·贵州六盘水·一模）函数
，若
，不等式
恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先应用奇函数定义及单调性判断
，再转化恒成立问题为最值问题，最后应用基本不
等式求最小值，计算一元二次不等式即可.
【详解】因为函数
，
为减函数；
又因为
所以
为奇函数，
若
，不等式
恒成立，
则不等式
，因为
为奇函数，所以
，
因为
为减函数，所以
恒成立，
所以
恒成立，所以
，
，
当且仅当
时取最小值3，所以
，
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以
，所以实数m 的取值范围是
.
故选：B.
6．（2025·陕西咸阳·一模）若
对任意正数x 恒成立，则实数a 的取值范围为
．
【答案】
【分析】整理可得
，同构结合
的单调性分析可得
，
换元令
，可得
，构建
，利用导数求其最值，即可得结果.
【详解】因为
，且
，
可得
，整理可得
，
构建
又因为
在
内单调递增，可得
在
内单调递增，
可得
，且
，整理可得
，
令
，可得
，
构建
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递增，则
内单调递减，则
，
可得
，即
，
所以实数a 的取值范围为
.
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故答案为：
.
7．（2025·云南曲靖·一模）已知
，函数
，若
，
使得关于
的不等式
成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先作出
的图象，即可求出
在
的取值范围，依题意可得
，
结合图象可得
的解集，即可得解.
【详解】因为
，则定义域为
，
所以
的图象是取
与
图象位于下方的部分，
作出
的图象如下所示（实线部分）：
当
时
，显然
在
上单调递减，且
；
因为
，使得关于
的不等式
成立，
所以
，令
，解得
，
结合图象可得
的解集为
或
，
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
即实数的取值范围是
.
故答案为：
8．（2025·浙江·一模）已知函数
，
，有
恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
转换成
，或
，在
上
恒成立，进而转化成求最值即可求解；
【详解】
等价于
，即
，故有
，或
，在
上恒成立，
即
或
在
上恒成立，
令
，得
，
可得：
在
单调递增，在
单调递减，
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
由
，当
，
，
，
令
，由基本不等式可得
，当且仅当
时取等号，
当
，
，
对于
在
上恒成立，
可得
解得：
对于
在
上恒成立，
可得：
，解得
故a 的取值范围为
.
故选：A.
9．（2025·广东·一模）已知函数
的定义域为
，
其中
为给定的常数，且
不为常函数，则（ ）
A．
B．当
时，
为奇函数
C．
或1 是
存在的充要条件
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
D．当
时，
没有最值
【答案】BCD
【分析】特值检验即可判断选项A；对
互换得
，两式相加得
根据奇函数的定义即可判断选项B；用特值检验推出必要性矛盾即可判断选
项C；特值检验加反证法即可判断选项D.
【详解】对于A 选项，令
，则
，则
或
，当
时，取函数
，则
，矛盾，故A 错误；
对于B 选项，
，对
互换有
即
，又因为
不恒为0，则
用
替换
有
，故
为奇函数，故B 正确；
对于C 选项，当
时，存在函数
符合题意，充分性显然成立，下面我们证明必要性，
假设
且
，，则由A 选项的分析知
，令
则
，
因为
，则
，由
的任意性可知
，为常函数，这与
不为常函数矛盾，假
设不成立，所以当
或1，即必要性成立，故C 正确；
对于D 选项，假设存在
使得
，则
，
则对于任意
均成立，故
，为常函数，这与
不为常函数矛盾，故不存在
使得
.
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
下面证明
的任意取值均同号，
，
对于任意
取
即可得
，故
的任意取值均同号.
若
在
处取到最值，则取
，则
，
故
由
的任意性有
，这与题设矛盾，故D 正确，
故选：BCD.
10．（2025·广东茂名·一模）已知函数
，则（ ）
A．当
时，
是增函数
B．当
时，
的值域为
C．当
时，曲线
关于点
对称
D．当
时，
，则
【答案】ACD
【分析】根据复合函数的单调性判断A，利用特殊值判断B，计算
即可判断C，根
据函数的对称性与单调性转化为
，再结合二次不等式的性质计算可得D.
【详解】对于A：因为
定义域为
，
当
时
在定义域
上单调递增，且
，又
在
上单调递增，
所以
在定义域
上单调递增，故A 正确；
对于B：当
时
，但是
，故B 错误；
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
对于C：当
时，
，
则
，所以曲线
关于点
对称，故C 正
确；
对于D：当
时，
的图象是由
图象向右平移
个单位得到，
所以
的对称中心为
，且在定义域
上单调递增，
所以
，可得
，
即
，从而得到
，
即
恒成立，所以
，解得
，故D 正确.
故选：ACD
函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合应用
1．（2025·广东湛江·一模）设定义在R 上的函数
和
，记
的导函数为
，且满足
，
，若
为奇函数，则下列结论一定成立的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用已知得出
的图象关于
对称，又得出
是偶函数，从而它的周期性，然
后通过
的值计算出
相应的值，判断各选项．
题型06
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】由
得
．
又
，所以
，即
，
所以
关于
对称，
．
又因为
是奇函数，故
是偶函数，所以
满足条件
．
对于选项A，因为
，所以
，
所以
，选项A 正确；
，选项B 正确；
因为
，所以
，
所以
，选项C 正确；
对于选项D，
，但不一定为0，选项D 错误．
故选：ABC．
2．（2025·云南昆明·一模）已知函数
的图象与
有两个交点，则
的最小值为
.
【答案】
【分析】由函数解析式可知
为偶函数，再结合对勾函数性质以及基本不等式可求出函数单调
性，利用偶函数对称性画出函数图象，采用数形结合求得
的取值范围可求得结果.
【详解】根据函数解析式
可知函数的定义域为
，
且满足
，故得
为偶函数，
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
当
时，可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
由对勾函数的性质可知：函数
在
上单调递减，在
单调递增，
且在
时，
取得最小值：
；
由对称性可得
，又
；
再由偶函数性质可知其图象如下图所示：
因函数
的图象与
有两个交点，由图象可知
或
；
因此
的最小值为3.
故答案为：3.
3．（2025·安徽·一模）已知定义在
上的偶函数
满足
，设
在
上的导函数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】先由题设结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出
是奇函数、
、函数
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
和
是周期为6 的函数和
即可依次分析判断ABC，由题设
依次求出
即可判断D.
【详解】由题得
，所以
即
，
所以
是奇函数，故
，
又由
得函数
关于点
对称，
，
所以
，故
，
所以
，即函数
是周期为6 的函数，
所以
也是周期为6 的函数，即
，
由
求导得
即
，
所以
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，由函数
关于点
对称得
，故B 错误；
对于C，由上
也是周期为6 的函数，即
，C 正确；
对于D，由
得
，
且
即
，且
即
，
且
即
，
所以
，
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD
4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
的图象关于点
对称，函数
的图象关于直线
对称，则下列说法正确的为（ ）
A．4 是
的一个周期
B．
是偶函数
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由已知可得
关于点
对称，关于直线
对称，结合对称轴和对称中心可得周
期，即可判断
；根据函数奇偶性的定义即可判断
；由
，令
为
即可判断
；结合函数的周期性即可判断
.
【详解】因为函数
的图象关于点
对称，
所以
，即
，
用
代换上式中的
可得
，所以
关于点
对称，
因为函数
的图象关于直线
对称，
所以函数
的图象关于直线
对称，即
，
又
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以函数
的周期为
，故
正确；
因为
，所以
，
因为函数
的图象关于直线
对称，所以
，
所以
，所以
是偶函数，故
正确；
因为
，所以
，
即
，故
正确；
因为
关于点
对称，
，
因为
，令
可得
，
又
关于直线
对称，所以
，
所以
，
所以
，故
不正确.
故选：
.
5．（2025·广西·一模）设函数
，则（ ）
A．
是
的极大值点
B．当
时，
C．当
时，
D．曲线
有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为
【答案】ACD
【分析】求出函数
的导数，求出函数的单调区间，再结合极值、对称性逐项判断得解.
41
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】函数
的定义域为R，求导得
，
当
或
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
对于A，
是
的极大值点，A 正确；
对于B，
在
上单调递减，
，则
，B 错误；
对于C，当
时，
，
，
，C 正确；
对于D，令
，
，函数
是奇函数，
函数
的图象关于原点对称，则函数
的图象关于点
对称，
若函数
的图象还有一个对称中心
，则
，而
不为常数，
因此点
不是函数
图象的对称中心，即函数
的图象有且只有一个对称中心，
则曲线
有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为
，D 正确.
故选：ACD
6．（2025·广东江门·一模）已知函数
，
其中
，则（ ）
A．函数
是周期函数
B．当
时，函数
的值域为
C．当
时，
是函数
图象的对称轴
D．当
时，函数
在
上有零点
【答案】ABD
【分析】利用周期函数的定义判断A；利用二倍角的余弦，结合含余弦的二次型函数值域判断B；
利用对称的定义判断C；求出导数，利用零点存在性定理判断D.
42
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】对于A，依题意，
，由
，
，得
，
因此函数
是周期函数，A 正确；
对于B，
，而
，
则当
时，
，当
时，
，B 正确；
对于C，
，当
时，
，则函数
图象关于点
成中心对称，关于
不对
称，C 错误；
对于D，
，
，
，又函数
在R 上的图象连续不断，因此函数
在
上有零
点，D 正确.
故选：ABD
7．（2025·山东菏泽·一模）已知函数
，若存在实数
，使得
对任意的实数
x 恒成立，则称
满足性质
，下列说法正确的为（ ）
A．若
的周期为1，则
满足性质
B．若
，则
不满足性质
C．若
（
且
）满足性质
，则
D．若偶函数
满足性质
，则
图象关于直线
对称
【答案】D
【分析】根据新定义结合条件逐项进行验证．
43
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】选项A，
的周期为1，则
，从而有
，因此
具有性质
，但
不一定成立，A 错；
选项B，
，
，所以
，
所以
具有性质
，B 错；
选项C，若
（
且
）满足性质
，则
，所以
，从而
，C 错；
选项D，偶函数
满足性质
，即
，又
是偶函数，
所以
，所以
图象关于直线
对称，D 正确，
故选：D．
8．（2025·江西·一模）已知可导函数
的定义域为
，
是
的导函数，且
为
偶函数
为奇函数，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
，由函数奇偶性的定义得出
，求导得
出
，进而可推出函数
是周期为
的周期函数，以及函数
的对称中
心为
，求出
、
的值，结合函数周期性可求得
的值.
【详解】因为函数
为奇函数，则
，
44
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
即
，令
，则
，
所以，函数
的对称中心为
，且
，①
在等式①中，令
可得
，解得
，
在等式①中，令
可得
,
因为函数
为偶函数，则
，
令
，可得
，求导得
，
则
，②
由①②可得
，令
，则
，
所以，函数
是周期为
的周期函数，
所以，
.
故选：C.
9．（2025·江苏南通·一模）已知
是定义域为
的偶函数，
的导函数
满足
，则
．
【答案】3
【分析】先根据
是偶函数得出
的一个等式关系，再对其求导得到
的一个等
式关系，然后结合
推出
的周期，最后根据周期求出
的值.
【详解】因为
是定义域为
的偶函数，所以
，即
.
两边求导，可得：
，可得
.
45
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
因为
，所以
的图象关于直线
对称，则
.
用
代替
可得
.
将
代入
中，可得
①.
用
代替
可得
②.
由②-①可得：
.
所以
是周期为
的周期函数.
所以
.
在
中，令
，可得
.
又因为
的图象关于直线
对称，所以
.
在
中，令
，可得
，解得
，
所以
，即
.
故答案为：3.
10．（2025·江西南昌·一模）已知
是
上的连续函数，满足
有
，且
．则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
的一个周期为6
D．
是
的一个对称中心
【答案】BCD
【分析】令
，解得
判断A，再令
结合偶函数定义分析判断B；计算得出对称
46
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
中心判断D，再分析可知
是以6 为周期的周期函数判断C.
【详解】因为
，且
的定义域为
，关于原点对称，
对于选项A：令
，则
，解得
或
，
若
，令
时，
，
这与
矛盾，故
，故A 错误；
对于选项B：令
，则
，
即
，可知
是偶函数，故B 正确；
对于选项D：因为
，
，当
时，
，故
，
当
时，
，故
，
当
时，
，又
，故
，
当
时，
，
所以
，
是
的一个对称中心，故D 正确；
对于选项C：因为
，即
，即
，
则
，
所以
，故
是以6 为周期的周期函数，故C 正确；
故选：BCD.
47
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
48
