文档文本内容
第07 讲 函数与方程
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................3
知能解码.........................................................................................................................................3
知识点1 函数的零点...........................................................................................................3
知识点2
法
二分
...................................................................................................................4
题型破译.........................................................................................................................................4
题型1 零点所在区间的判断...............................................................................................4
【方法技巧】连续且区间函数端点值异号
题型2 求零点个数
........................................................................................................5
【方法技巧】零点个数转化为图象交点个数
题型3 根据零点所在区间求参数范围...............................................................................6
题型4 比较零点的大小.......................................................................................................6
题型5 零点个数的应用
.................................................................................................7
题型6 函数与方程的综合应用
....................................................................................8
04 真题溯源·考向感知..........................................................................................................................9
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................10
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
1.求函数零点或方程根的个数
2.根据函数零点的个数求参数范
围
3.求函数零点或方程根的个数
4.判断零点所在的区间
5.根据函数零点的个数
求参数范围
单选题
多选题
填空题
解答题
全国二卷，第
10 题，6 分
天津卷，第7
题，5 分
新课标I 卷，第7
题，5 分
新课标
卷，第
Ⅱ
6
题，5 分
新课标
卷，第
Ⅱ
9
题，6 分
新课标
卷，第
Ⅱ
11
题，6 分
新课标I 卷，第15
题，5 分
考情分析：
本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度不定，分值
为5-6 分
复习目标：
1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
知识点1 函数的零点
（1）函数的零点、函数的图象与x 轴的交点、对应方程的根的关系.
（2）函数零点存在定理：
若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线；② 则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至
少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0 的解.
自主检测（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的值域为R
B．
在R 上单调递增
C．
D．
的零点大于
知识点2 二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的
零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 ．
（2）给定精确度
，用二分法求函数
零点
的近似值的步骤
①确定零点
的初始区间
，验证
②求区间
的中点
③计算
，进一步确定零点所在的区间：
若
（此时
），则
就是函数的零点；
若
（此时
），则令
；
若
（此时
），则令
.
④判断是否达到精确度
：若
，则得到零点近似值
（或
）；否则重复（2）~（4）
自主检测设
，某同学用二分法求方程
的近似解（精确度为0.5），列出了
对应值表如下：
0.125
0.4375
0.75
2
0.49
3.58
依据此表格中的数据，得到的方程近似解
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型1 零点所在区间的判断
例1-1 已知函数
的零点
，则整数
的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
例1-2（多选）某同学用二分法求函数
的零点时，计算出如下结果：
，
，下列
说法正确的有（ ）
A．精确到0.1 的近似解为1.4
B．函数
的零点在
内
C．精确到0.1 的近似解为1.5
D．函数
的零点在
内
方法
技巧
(1)解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程;
(2)利用函数零点存在定理;
(3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与工轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的交
点的横坐标来判断.
【变式训练1-1·变考法】函数
的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】已知函数
－
，则用二分法求
的零点时，其中一个零点的初始区间
可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】在用二分法求方程
在
上的近似解时，先构造函数
，
再依次计算得
，
，
，
，
，则该近似解所在的区间可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2 求零点个数
例2-1 函数
与
的图象共有 个交点．
例2-2 函数
的零点个数为 ．
方法
技巧
（1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点;
（2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;
（3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数:
（4）若函数f(x)是周期为T 的奇函数,则必有f(
T
2 )=0.
【变式训练2-1·变考法】在区间
上，函数
与
图象的公共点个数为 ．
【变式训练2-2】设
是定义在
上的奇函数．当
时，
，则
的零点个数为
．
【变式训练2-3】（2025·上海·三模）函数
的零点个数为
题型3 根据零点所在区间求参数范围
例3-1 已知函数
，在区间
内存在
，使
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2 函数
在
有零点，则实数
的取值范围为 .
方法技巧
(1)函数中不含参数,零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题:
(2)函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;
(3)函数中含有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合思想或分离参数
的方法求解。
【变式训练3-1·变载体】若函数
在
上有零点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】已知函数
在区间
上有零点，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-3】函数
在区间
内有零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 比较零点的大小
例4-1 已知
是函数
的一个零点，若
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
例4-2（多选）已知函数
，实数
、
、满足
，其中
，
若实数
为方程
的一个解，那么下列不等式中，有可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
（1）结合函数单调性，通过值域大小关系推导函数零点大小关系
（2）数形结合，通过图形来比较零点大小
【变式训练4-1·变载体】已知
，则正数
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】已知a，b，c 分别是函数
的零点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-3】已知函数
的零点分别是
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5 函数零点个数的应用
例5-1（2025·湖南长沙·三模）已知函数
，方程
的根的个数为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
例5-2 已知直线
和曲线
有两个不同的交点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围:
(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决;
(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解
【变式训练5-1】已知函数
有唯一零点，则
．
【变式训练5-2】已知函数
恰有三个零点，则实数a 的取值范围为 ．
题型6 函数与方程的综合应用
例6-1 已知函数
，若函数
恰有3 个不同的零点，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2 设函数
，若关于
的方程
有四个实根
，
，则
的最小值是（ ）
A．15
B．15.5
C．16
D．17
方法技巧
求解复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法具体步骤是:
(1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t 的值(t 的值可能有多个);
(2)根据不同的t 的值解方程g(x)=t,这个方程的解即为函数y=f[g(x)]的零点.
如不能解出x 的值,可结合函数y=g(x)与y-t 的图象的交点个数,确定函数y=f[g(x)的零点个数.
【变式训练6-1·变考法】已知函数
，若
的零点个数为4，
则实数a 取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-2·变考法】（2025·海南·模拟预测）已知函数
，若存在不相等的实
数
，满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-3】（2025·北京海淀·三模）已知函数
，若函数
有三个
零点，则实数m 的取值范围为 ．
【变式训练6-4】已知定义在
上的函数
，关于
的方程
有
个不同的实根
，
，
，
，则
（ ）
A．12
B．
C．15
D．
1．（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）（多选）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
3．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）（多选）对于函数
和
，下列说法中正确
的有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
4．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的
取值范围为 ．
6．（2024·天津·高考真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取
值范围为 ．
1.方程
的实数根个数是 ．
2.判断方程
在区间
内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1）
3.判定下列方程存在几个实数根，并分别给出每个解的存在区间：
(1)
；
(2)
．
4.用二分法求方程
的近似解．（精确度为0.1，可以使用计算器）
5.借助计算机作出函数
的图象，并讨论方程
的根的个数与分布情况．
6.讨论方程
的解的个数与分布情况．
7．利用计算器，求方程
的近似解（精确到
）.
