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第二章 函 数
必刷小题 4 函数与方程
[分值：73分]
【高考考向预测】
近三年高考函数与方程考查频次较高，大小题型均有涉及，核心围绕零点判定、
零点个数判断、零点区间确定及方程根的分布问题展开，常结合各类初等函数与数
形结合思想命题；预测2027 年仍为重点考查内容，命题更偏向含参零点讨论、分
段函数零点分析以及函数交点与不等式结合题型，强化转化与化归思想，注重综合
分析与分类讨论能力的考查。
【核心梳理●明考点】
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·盐城模拟)函数f(x)=3x+2x-3的零点所在的区间是 ( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
【答案】A
【解析】因为函数f(x)=3x+2x-3在R上单调递增，又f(0)=1-3=-2<0，f(1)=3+2-3=2>0，
所以f(0)f(1)<0，故函数f(x)=3x+2x-3仅有一个零点，其所在的区间是(0，1).
2.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则m的取值范围是
( )
A.(-∞，4] B.(-∞，4)
C.(4，+∞) D.{4}
【答案】D
【解析】因为函数f(x)=x2-4x+m存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，
所以该零点两侧函数值的符号相同，
则x2-4x+m=0有两个相同的根，
则Δ=(-4)2-4m=0，解得m=4.
3.(2025·北京西城区期末)将函数y=ex-1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个
单位长度，得到函数f(x)的图象，则 ( )
A.f(x)=ex-1 B.f(x)=ex+1
C.f(x)=ex-2-1 D.f(x)=ex-2+1
【答案】A
【解析】将函数y=ex-1的图象向左平移1个单位长度，得到y=ex+1-1=ex的图象，
再向下平移1个单位长度，得到y=ex-1的图象，
所以f(x)=ex-1.sinx+4x
4.(2026·天津模拟)函数f(x)= 的图象大致为 ( )
e|x|
【答案】A
sinx+4x
【解析】由题意，函数f(x)= 的定义域为R，
e|x|
sin(−x)+4(−x) sinx+4x
且f(-x)= =- =-f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对
e|−x| e|x|
称，排除C，D；
sin1+4
当x=1时，可得f(1)= ∈(1，2)，且当x→+∞时，f(x)→0，
e
排除B，A选项符合题意.
5.(2025·哈尔滨期中)“相约哈尔滨，逐梦亚冬会”.哈尔滨地铁3号线通车后，列车的
发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，经市场调研测算，列车载客量与发车时间
间隔相关，当10≤t≤20时，列车为满载状态，载客量为500人，当2≤t<10时，载客
量会减少，减少的人数与10-t的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为
372人，则当发车时间间隔t=5时，列车的载客量为 ( )
A.410人 B.420人
C.450人 D.480人
【答案】C
【解析】当2≤t<10时，
设载客量为f(t)=500-k(10-t)2，
由题意可知，f(2)=500-64k=372，解得k=2，
当t=5时，f(5)=500-2×25=450，
此时载客量为450人.
6.(2026·北京朝阳区检测)在声学中，人们用分贝(dB)来描述声音的强弱等级.分贝数y由
声音强度I(单位：W/m2)与基准声强I (通常取10-12 W/m2，是人耳能听到的最弱声音)的
0
I
比值共同决定，计算公式为y=10×lg .一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度I 是
I c
0基准声强I 的109倍，而普通交谈时的声音分贝约为60 dB.记普通交谈时的声音强度为
0
I
I，则 c等于 ( )
t I
t
A.102 B.10-2 C.103 D.10-3
【答案】C
I I I I I 109I
【解析】由题可得60=10×lg t lg t =6 t =106，且 c =109，则 c = 0 =103.
I I I I I 106I
0 0 0 0 t 0
⇒ ⇒
{ 2x−m,x<1,
7.若函数f(x)= 有3个零点，则实数m的取值范围是( )
x2−4mx+3m2,x≥1
[1 )
A. ，1 B.(-∞，0)∪[1，+∞)
3
[1 )
C.[1，2) D. ，1 ∪[2，+∞)
3
【答案】C
【解析】当x<1时，函数f(x)=2x-m单调递增，则函数f(x)在(-∞，1)上至多有一个零点，
当x≥1时，函数f(x)=x2-4mx+3m2=(x-m)(x-3m)至多有两个零点，因为函数f(x)有三个零
点，
则函数f(x)在(-∞，1)上有一个零点，在[1，+∞)上有两个零点，
当x<1时，令f(x)=2x-m=0，可得m=2x，
必有m>0，解得x=log m，
2
所以log m<1，解得0<m<2；
2
当x≥1时，由f(x)=(x-m)(x-3m)=0，
{ m≥1,
可得x=m或x=3m，所以 3m≥1,解得m≥1.
m≠3m,
综上所述，实数m的取值范围为[1，2).
πx
8.(2025·昆明模拟)关于x的方程x2-3xsin +1=0的实数解的个数为 ( )
2
A.0 B.4 C.8 D.12
【答案】B
πx πx
【解析】x2-3xsin +1=0 x2+1=3xsin ，注意到x≠0，
2 2
1 πx ⇒ 1 πx
则x+ =3sin ，则方程实数解的个数即为函数y=x+ ，y=3sin 两图象的交点个数，
x 2 x 2
如图，在同一平面直角坐标系中作出两函数图象，则由图可得原方程实数解有4个.二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.在同一坐标系中，关于函数f(x)=x2与g(x)=2x的图象，下列说法错误的是( )
A.f(x)与g(x)有两个交点
B.f(x)与g(x)有三个交点
C. x >0，当x>x 时，f(x)恒在g(x)的上方
0 0
D. x >0，当x>x 时，g(x)恒在f(x)的上方
∃ 0 0
【答案】AC
∃
【解析】f(1)=1，g(1)=2，f(2)=g(2)=4，f(3)=9，g(3)=8，f(4)=g(4)=16，f(5)=25，
g(5)=32，则可在同一坐标系内作出两函数的图象如图所示，
显然两函数有三个交点A，B，C，故A错误，B正确，
由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，所以当x>4时，g(x)恒在f(x)的上方，
故C错误，D正确.
10.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低
中毒浓度之间时药物发挥作用.某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况与相关
阈值如图所示(服用药物时间对应0时)，则下列说法中正确的有 ( )
A.服药1单位后12分钟到5.5小时之间药物发挥疗效
B.若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药
C.若每次服药1单位，首次服药后，3小时之后可以再次服药D.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
【答案】ABD
【解析】对于A，从题图的持续期可以得出，服用药物后12分钟到5.5小时之间，血
药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，药物发挥作用，A正确；
对于B，服药1单位后，若2.5小时后再次服药，则在首次服药3.5小时后，即第2次
服药1小时后，体内血药浓度将会超过最低中毒浓度，会引起中毒，因此若每次服药1
单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药，B正确；
对于C，服药1单位后，若3小时后再次服药，则在首次服药4小时后，即第2次服药
1小时后，血药浓度将会超过最低中毒浓度，引起中毒，C错误；
对于D，第一次服药12分钟到5.5小时之内，药物会持续发挥治疗作用，第1次服药
5.5小时后第2次服药，由于第2次服药对应的血药浓度增长速度大于第1次服药对应
的血药浓度降低速度，从而体内的血药浓度会超过最低有效浓度，同时观察两次累计
的最大值，不会超过最低中毒浓度，D正确.
{ x2+x+ 1 ,x≤0,
11.已知函数f(x)= 4 若关于x的方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的解，它们
|lnx−1|,x>0,
从小到大依次记为x ，x ，x ，x ，则( )
1 2 3 4
1
A.0<k≤
4
3
B. e4 ≤x 3 <e
e2
C.0<x x x x <
1 2 3 4
4
1
D.函数g(x)=f(f(x))- 有8个零点
4
【答案】ABD
{ x2+x+ 1 ,x≤0,
【解析】作出函数f(x)= 4 的图象，如图所示.
|lnx−1|,x>0
对于A，关于x的方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的解，即函数y=f(x)的图象与直线y=k有
1
4个交点，由图象可得0<k≤ ，A正确；
4
1 3
对于B，由图可知0<1-ln x 3 ≤ 4 ，解得 e4 ≤x 3 <e，B正确；x +x 1
对于C，由图象知 1 2=- ，
2 2
( 1 ]
所以x +x =-1，且x ∈ − ，0 ，
1 2 2 2
所以x x =(-1-x )x =-x2 -x
1 2 2 2 2 2
( 1) 2 1 [ 1)
=- x + + ∈ 0， ，
2 2 4 4
又由|ln x -1|=|ln x -1| ln x -1+ln x -1=0 ln(x x )=2 x x =e2，
3 4 3 4 3 4 3 4
e2
所以0≤x x x x < ，⇒ C错误； ⇒ ⇒
1 2 3 4 4
1
对于D，对于函数g(x)=f(f(x))- ，
4
1
令f(x)=t，g(x)=0，则f(t)- =0，
4
3 5
可得t 1 =-1，t 2 =0，t 3 = e4 ，t 4 = e4 ，
当f(x)=t =-1时，由图可得，无解，
1
当f(x)=t =0时，由图可得，有2个解，
2
3
当f(x)=t
3
= e4>1时，由图可得，有3个解，
5
当f(x)=t
4
= e4>1时，由图可得，有3个解，
1
综上，函数g(x)=f(f(x))- 有8个零点，D正确.
4
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.已知x 是函数f(x)=ln x-x+2的零点，则ex 0 −2-x +3= .
0 0
【答案】3
【解析】由题意可得f(x )=ln x -x +2=0，即ln x =x -2，
0 0 0 0 0
则ex 0 −2=x ，故ex 0 −2-x +3=x -x +3=3.
0 0 0 0
{ (1) x
,x≤0,
13.若函数f(x)= 2 当x∈(a，1)时，f(x)有最小值，则实数a的取值范围
−x2+2x+1,x>0,
是 .
【答案】(-∞，0)
【解析】由指数函数和二次函数图象可得f(x)在(-∞，1)上的图象如图所示，显然当a<0时，f(x)≥f(0)=1，此时f(x)有最小值；
当0≤a<1时，f(x)>f(a)，没有最小值，
所以实数a的取值范围为(-∞，0).
14.已知函数f(x)=log (x+2)-e1-x与g(x)=a·2x-4x-2的零点分别为m和n，若存在m，n使得|
3
m-n|<1，则实数a的取值范围是 .
[ 9)
【答案】 2❑√2，
2
【解析】对于函数f(x)=log (x+2)-e1-x，
3
因为函数y=log (x+2)在定义域上为增函数，
3
y=e1-x在定义域上为减函数，所以函数f(x)=log (x+2)-e1-x在定义域上为增函数，
3
又f(1)=log (1+2)-e1-1=0，所以m=1，
3
所以|n-1|<1，即n∈(0，2)，
即函数g(x)=a·2x-4x-2在(0，2)上存在零点，
2
令a·2x-4x-2=0，得a=2x+ ，
2x
令t=2x，t∈(1，4)，
2
对于函数h(t)=t+ ，由对勾函数的性质可得，其在(1，❑√2)上单调递减，在(❑√2，4)上
t
单调递增，
2 2
又h(1)=1+ =3，h(❑√2)=❑√2+ =2❑√2，
1 ❑√2
2 9
h(4)=4+ = ，
4 2
[ 9)
所以h(t)的值域为 2❑√2， ，
2
[ 9)
所以实数a的取值范围是 2❑√2， .
2
