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第二章 函数与基本初等函数
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的性质，根据定义域代入求分段函数值即可.
【详解】由题意知
，
则
.
故选：C.
2．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数幂运算可得
，又由对数函数单调性可得
，得解.
【详解】因为
，所以
.
又
，所以
.
故选：B.
3．下列图象中，函数
的部分图象有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出函数
的定义域，分析函数
的奇偶性及其在
上的函数值符号，结合排除法可
得出合适的选项.
【详解】对于函数
，有
，解得
，即函数
的定义域为
，
因为
，即函数
为奇函数，排除CD 选项，
当
时，
，则
，此时
，排除B 选项.
故选：A.
4．函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：
在
上单调递减，
在
单调递增，
所以
在定义域上单调递减，
显然
，
所以根据零点存在性定理可知
的零点位于
.
故选：B
5．若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
是由
与
复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调
性确定内层函数单调性，进而求出
的取值范围.
【详解】
是由
与
复合而成，
在
中，
，，所以
在
上单调递减.
因为
在
上单调递减，且外层函数
在
上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数
在
上单调递增.
对于二次函数
，其图象开口向上，对称轴为
.
二次函数在对称轴右侧单调递增，要使
在
上单调递增，
则对称轴需满足
，解得
.
故选：A.
6．
已知函数
的最小值为
，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用基本不等式求得
，进而得
，再利用指数函数和反比例函数的单调
性，即可求解.
【详解】因为
，当且仅当
时取等号，
所以
．易知
的定义域为
，
当
时，
，则
；当
时，
，则
，
所以
的值域为
．
故选：A．
7．已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则不等式
的解集是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性结合给定区间上的函数解析式，确定函数的单调性，借助于特殊值替代，利用
单调性即可求解抽象不等式.
【详解】因为当
时，
，则
，且函数
在
上单调递
增，
则由
可得
，利用函数的单调性可得
；
又
是定义在R 上的奇函数，故
；
当
时，
，则
，因
，则
，
函数
在
上单调递增且
，
则由
可得
，利用单调性可得
.
综上可得，不等式
的解集是
.
故选：A.
8．
2023 年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为
1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek 的算力每年增长
．截止至2025
年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek 的算力预计在哪一年首
次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：
，
，
）
A．
年
B．
年
C．
年
D．
年
【答案】C
【分析】利用归纳可知，从
年起，到第
年，DeepSeek 的算力提升至
PetaFLOPS，
解不等式
，即可得出结论.
【详解】由题意可知，截止至2025 年，DeepSeek 的算力已提升至2250PetaFLOPS，
到
年，其算力提升至
PetaFLOPS，
到
年，其算力提升至
PetaFLOPS，
，
以此类推可知，从
年起，到第
年，DeepSeek 的算力提升至
PetaFLOPS，
由
，可得
，
所以，
，
所以，DeepSeek 的算力预计在
年首次突破
PetaFLOPS，
故选：C.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据幂函数，指数函数，以及对数函数的性质，逐个判断选项即可.
【详解】对于A，幂函数
单调递增，所以
，故A 正确；
对于B，若
，则
，
，此时
，故B 错误；
对于C，函数
单调递增，若
，则
，故C 正确；
对于D，若
，则
，故D 错误.
故选：AC
10．
设函数
的定义域为
，满足
．当
]
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在
上为减函数
C．
为奇函数
D．方程
有且仅有6 个实数解
【答案】ACD
【分析】由题意可得函数的对称性，从而可得其周期性，易知AC 的正误，由二次函数的性质，可得B 的
正误，由零点的等价关系，作函数图象，可得D 的正误.
【详解】由
，则函数
为奇函数，
即函数
的图象关于点
成中心对称，可得
；
由
，则函数
为偶函数，
即函数
的图象关于直线
成轴对称，可得
；
两式相加可得
，则
，即
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，由
，则函数
在区间
与
上图象相同，
由函数
的图象关于点
成中心对称，则函数
在区间
与
上的单调性相同，
，
当
时，
，易知函数
在
上单调递增，则函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，则函数
在
上单调递增，故B 错误；
对于C，由
，则函数
为奇函数，故C 正确；
对于D，由题意作图如下：
则函数
与
有且仅有
个交点，所以
有且仅有6 个实数，故D 正确.
故选：ACD.
11．
已知函数
与
交于
两点，如图截取两函数在
之间部分
图象得到一条封闭曲线
，则（ ）
A．
关于直线
对称
B．若点
的横坐标为
，则
C．
上的点到直线
距离的最大值为
D．
是
上互异的两点，分别过
作
的切线，斜率记为
，
，若
，称
为
的一
组关联点，则
的关联点有无数组
【答案】BCD
【分析】由反函数的性质即可判断A,D；通过赋值法即可判断B；由点到直线的距离公式及导数求函数单
调性即可判断C.
【详解】对于A，由函数
，得
，
故函数
与函数
互为反函数，
所以封闭曲线
关于直线
对称，故A 错误；
对于B，当
时，
，
当
时，
，
所以
，
即点
的横坐标为
，且
，故B 正确；
对于C，设函数
上一点
，即
，
则点
到直线
的距离为
，
令
，则
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以函数
在
单调递增，在
单调递减，
所以
，
故
，故C 正确；
对于D，因为封闭曲线
关于直线
对称，
所以对任意点
，存在对称点
，满足
，
故由对称性导致存在无数对关联点，故D 正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知
是偶函数，则
的取值为 ．
【答案】
【分析】由题意得
，代入
解出即可.
【详解】由题意有
，即
，
所以
，所以
，
解得
，解得
，
故答案为：
.
13．已知
，则
．（请用含
的代数式表达）
【答案】
【分析】根据换底公式及对数的运算性质可得结果.
【详解】由题意得，
.
故答案为：
.
14．已知函数
，若关于
的方程
有5 个不同的实数
根，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】因为
，所以
或
只需
的图象与直线
有
3 个交点，利用数形结合即可得.
【详解】因为
，所以
或
，
因为关于
的方程
共有5 个不同的实数根．
所以
的图象与直线
和直线
共有5 个不同的交点．
如图，
的图象与直线
有2 个交点，
所以只需
的图象与直线
有3 个交点，所以
．
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．化简求值：
(1)
；
(2)
.
【答案】
（1）依题意，
原式
；（6 分）
（2）依题意，
原式
（13 分）
16．二次函数
，其两实数根分别为0，4，且当
时，最大值为10
(1)求函数的解析式；
(2)设
，当
时，求函数的最小值.
【答案】
（1）二次函数
有两实数根分别为0，4，所以
，
所以
，所以二次函数为
，对称轴为
，
当
时，当
时，最大值为
，所以
，所以当
时函数解析式为
，
当
时，当
时，最大值为
，所以
，所以当
时函数解析式为
. （6 分）
（2）当
时函数解析式为
，开口向上，对称轴为
，
当
时，
时，函数单调递减，当
时，
，（9 分）
当
时，
时，函数单调递减，
时，函数单调递增，当
时，
，（12
分）
当
时，
时，函数单调递增，当
时，
；（15 分）
17．已知幂函数
的图像关于原点对称，且在区间
上是严格增函数．
(1)求幂函数的表达式；
(2)令
，求满足不等式
的实数a 的取值范围．
【答案】
（1）因为幂函数
在区间
上是严格增函数，
所以
，解得
，
又因为
，所以
或
或
，
当
或
时，
为奇函数，图象关于原点对称；（4 分）
当
时，
为偶函数，图象关于
轴对称，图象不关于原点对称，不符合题意；
综上所述，
. （6 分）
（2）由（1）得
为奇函数，且在区间
上是严格增函数，
则由
得
，（12 分）
即
，
所以满足
的实数
的取值范围为
.（15 分）
18．
已知函数
是定义在
上的奇函数.
(1)求实数
的值；
(2)设函数
；求
的零点；
(3)求当
时，函数
的值域.
【答案】
（1）由题意知
，代入得；
解得：
经检验，
时
为奇函数. （4 分）
（2）
，
令
得：
，
综上
的零点为
. （9 分）
（3）
,
设
，
， （12 分）
结合二次函数性质，对称轴
，
当
，
（14 分）
当
时，
（16 分）
综上函数值域为
. （17 分）
19．
已知函数
的图象可由
的图象先向下平移2 个单位长度，再向左
平移1 个单位长度得到，且
．
(1)若函数
，试判断
在
上的单调性，并求其在此区间上的值域；
(2)若函数
与函数
在
上都单调，且具有相同的单调性，求实数
的取值
范围．
【答案】
（1）
的图象向下平移2 个单位长度后得到的表达式为
，再向左平移1 个
单位长度后得到
且
，
又因为
，即
且
且
，所以
．
法一：故
，
因为
在
上单调递减，故
在
上单调递增，
又
，故
在区间
上的值域为
．
法二：
，设任意
，
，
所以
，即
在
上单调递增，又
，故
在区间
上的值域为
． （6 分）
（2）因为
与函数
在
上都单调，且具有相同的单调性，
若两函数在区间
上都是增函数，则
在区间
上恒成立，
可得
，解得
； （10 分）
若两函数在区间
上都是减函数，则
在区间
上恒成立，
可得
，该不等式组无解； （15 分）
综上所述，实数
的取值范围为
． （17 分）
