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第 10 讲 第二章 函数与基本初等函数章节总结 (精讲）
目录
第一部分：典型例题讲解.....................................................................3
题型一：函数的定义域...................................................................3
角度1：具体函数的定义域............................................................3
角度2：抽象函数的定义域............................................................3
角度3：已知定义域求参数............................................................3
题型二：函数的值域.....................................................................4
角度1：单调性法求值域..............................................................4
角度2：分离常数法..................................................................4
角度3：指数型函数（对数型函数）值域或最值..........................................4
角度4：分类讨论法解决二次函数中的值域（最值问题）..................................5
角度5：利用基本不等式求值域（最值）................................................6
题型三：求函数的解析式.................................................................6
题型四：分段函数问题...................................................................7
角度1：分段函数求值................................................................7
角度2：分段函数的值域或最值........................................................7
角度3：分段函数的单调性与参数......................................................8
题型五：函数的单调性...................................................................9
角度1：根据函数的单调性求参数......................................................9
角度2：根据单调性解不等式..........................................................9
角度3：比较大小...................................................................10
角度4：复合函数单调性.............................................................10
题型六：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性综合应用..................................11
角度1：利用函数的奇偶性求参数.....................................................11
角度2：利用函数的奇偶性解抽象函数不等式...........................................11
角度3：构造奇偶函数求值...........................................................12
角度4：奇偶性与周期性综合问题.....................................................12
角度5：单调性与奇偶性综合问题.....................................................13
角度6：对称性，奇偶性，周期性综合问题.............................................13
角度7：利用周期性求值.............................................................14
题型七：不等式中的恒成立问题..........................................................15
题型八：不等式中的能成立问题..........................................................16
题型九：函数的图象....................................................................16
角度1：利用函数解析式选择图象.....................................................16
角度2：利用动点研究函数图象.......................................................18
角度3：利用函数图象解决不等式问题.................................................21
角度4：利用函数图象解决方程的根与交点问题.........................................21
角度5：指对函数图象相结合.........................................................22
题型十：指数函数，对数函数，幂函数....................................................24
角度1：定义域问题.................................................................24
角度2：值域问题...................................................................24
角度3：过定点问题.................................................................25角度4：单调性问题.................................................................25
角度5：指对幂综合问题.............................................................26
题型十一：函数中的零点问题............................................................27
角度1：零点个数问题...............................................................27
角度2：零点所在区间问题...........................................................28
角度3：零点中的参数问题...........................................................28
角度4：零点的代数和（积）问题.....................................................29
题型十二：函数模型的应用..............................................................30
第二部分：新定义（文化）问题..............................................................33
第三部分：高考新题型......................................................................34
角度1：开放性试题.................................................................34
角度2：劣够性试题.................................................................35
第四部分：数学思想方法....................................................................36
角度1：函数与方程思想.............................................................36
角度2：分类讨论思想...............................................................37
角度3：数形结合思想...............................................................37
角度4：转化与化归思想.............................................................38
角度5：极限思想...................................................................39
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：典型例题讲解
题型一：函数的定义域
角度1：具体函数的定义域
1．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）设全集U＝R，若集合
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·北京西城·高一统考期末）函数 的定义域是_____________．
3．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数 的定义域为______；
角度2：抽象函数的定义域
1．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）若函数 的定义域是[1，2023]，则函数 的定
义域是（ ）
A．[0，2022] B．
C．（1，2024] D．
2．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）设函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B． C． D．
角度3：已知定义域求参数
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取
值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023·高一课时练习）已知函数 的定义域是R，则实数a的取值范围是___．3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域是 ，则实数a的取值范围为
________．
4．（2023·高三课时练习）设函数 的定义域为A，函数 的定义域为B，若
，求实数a的取值范围．
题型二：函数的值域
角度1：单调性法求值域
1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知函数 且 的图象过点 ，若当
时， 的值域中正整数的个数超过2023个，则 的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．（2022秋·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）函数 ，若 时，函
数值均小于0，则实数 的取值范围为______.
3．（2023·高三课时练习）设 ， ，求 的最小值．
角度2：分离常数法
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为__________
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为______．
3．（2022秋·广西桂林·高一校考期中）函数 的值域为________.
角度3：指数型函数（对数型函数）值域或最值
1．（2022秋·山东德州·高一校考阶段练习）函数 ， 的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·海南海口·高一海口一中校考阶段练习）函数 时， 的值域
为__________．3．（2021秋·重庆璧山·高一重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知指数函数 经
过点 .
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)求函数 ， 的值域.
4．（2022秋·辽宁辽阳·高一校联考期末）已知函数 ．
(1)求 的定义域;
(2)求 的值域．
5．（2023秋·江苏镇江·高一统考期末）已知函数 ，则 的值域为________﹔函数
图象的对称中心为_________.
角度4：分类讨论法解决二次函数中的值域（最值问题）
1．（2022秋·新疆克拉玛依·高一克拉玛依市高级中学校考期中）已知函数 ，
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若 时，求函数 的最小值和最大值.
2．（2022秋·福建泉州·高一石狮市第一中学校考期中）已知二次函数 满足 ，且(1)求函数 的解析式.
(2)当 时，求函数 的最大值 （用 表示）
角度5：利用基本不等式求值域（最值）
1．（2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习）命题 ： ，使得 成立.若 是假命
题，则实数 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·吉林延边·高一统考期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值是（ ）
A．23 B．26 C．22 D．25
3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知 ，且 ，则 的最小值为__________.
4．（2023秋·广东河源·高一龙川县第一中学统考期末）求函数 的值域．
题型三：求函数的解析式
1．（2023秋·云南楚雄·高一统考期末）设 是定义域为R的单调函数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·河南开封·高一校考阶段练习）已知函数 满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数 的解析式．
(1)已知 ，则 的解析式为__________．
(2)已知 满足 ，求 的解析式．
(3)已知 ，对任意的实数x，y都有 ，求 的解析式．题型四：分段函数问题
角度1：分段函数求值
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·福建三明·高一统考期末）若函数 为奇函数，则 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．
3．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）函数 ，则
______．
4．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知 ，则
______.
角度2：分段函数的值域或最值
1．（2023·河北·高二统考学业考试）已知函数 ，则 的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2023秋·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考期末）已知 ，设
，则函数 的最小值是（ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．3
3．（2023秋·上海松江·高一校考期末）设函数 ，若 是函数 的最大值，则实
数 的取值范围为______.
4．（2023·高一课时练习）若函数 的表达式为 ，则函数 的值域是
______．5．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数 .若函数
存在最大值，则实数a的取值范围是______.
6．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考模拟预测）已知函数 ，若 ，
则 的值域是_________；若 的值域是 ，则参数 的取值范围是_________.
角度3：分段函数的单调性与参数
1．（2023秋·云南保山·高一统考期末）已知函数 是 上的减函数，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知函数 ，且满足对任
意的实数 ，都有 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）已知函数 满足对任意 ，
都有 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（2023秋·陕西西安·高一统考期末）若 ,且（ ，且 ）在 上
单调递增，则a的值可能是（ ）A． B． C．3 D．
5．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数 是
上的增函数，那么实数a的取值范围是_________．
6．（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）已知函数 在 上
严格增，则实数 的取值范围是________.
题型五：函数的单调性
角度1：根据函数的单调性求参数
1．（2023·全国·高三专题练习）使得“函数 在区间 上单调递减”成立的一个充分不必要
条件可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·广东广州·高一统考期末）函数 在 上不单调，则实数k的取值范围为
___________．
3．（2023·高一课时练习）若奇函数 在 上是严格减函数，则 的取值范围是
______．（结果用区间表示）
4．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
________．
5．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最大值为2，且在 上单调递增，则a的范
围是______， 的最小值为______.
角度2：根据单调性解不等式
1．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞,0]
上单调递减，则满足 的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．2．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数 为偶函数，且函数 在 上单调递增，则关于x
的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京平谷·统考模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数 是定义域为 的减函
数，若 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知函数 是在定义域 上的严格减函数，且
为奇函数.若 ，则不等式 的解集是______.
6．（2023秋·河北承德·高一统考期末）已知函数 ，则不等式 的解集为
______.
角度3：比较大小
1．（2023秋·江苏镇江·高一统考期末）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·陕西安康·高一统考开学考试）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）已知 ,则（ ）
A． B．
C． D．
角度4：复合函数单调性
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间为（ ）A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是
___________
3．（2023·高三课时练习）函数 的单调递减区间为________．
4．（2023秋·山西大同·高一大同一中校考期末）已知函数 在区间 上单调
递增，则实数 的取值范围为______．
5．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是
_________.
题型六：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性综合应用
角度1：利用函数的奇偶性求参数
1．（2023·全国·哈尔滨三中校联考一模）若 为奇函数，则实数 ______.
2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若函数 是偶函数，则
__________．
3．（2023春·北京·高一校考开学考试）已知函数 ，且函数 是偶函数，求实数
___________
角度2：利用函数的奇偶性解抽象函数不等式
1．（2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知定义在 上的函数 ，满足 ，函数
的图象关于点 中心对称，且对任意的 ， ，不等式
恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021秋·河南南阳·高一校考阶段练习）若定义在 上的奇函数 在 单调递减，且
，则满足 的 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数 是定义在R上的偶函数，记 ，且函数 在区
间 上是增函数，则不等式 的解集为_____
4．（2023春·浙江·高三开学考试）已知定义在 上可导函数 ，对于任意的实数x都有
成立，且当 时，都有 成立，若 ，则实数
m的取值范围是__________．
5．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）已知 是偶函数，则
________， 的最小值为________．
角度3：构造奇偶函数求值
1．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市第十七中学校联考期末）设函数 的最大值为 ，最小
值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中） ，若 ，则
__________.
3．（2023·高一课时练习）已知函数 ，其中 ， 、 、 ，且
，则 ______．
4．（2023秋·山东济宁·高一曲阜一中校考期末）函数 ，（a，b为常实数），若
，则 ______．
5．（2023秋·河北保定·高一校考期末）已知关于x的函数 在 上
的最大值为M，最小值N，且 ，则实数t的值是__________．
角度4：奇偶性与周期性综合问题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）定义在 上的奇函数 满足 ．当
时， ，则 （ ）
A． B．4 C．14 D．02．（2023·河南·统考模拟预测）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2023·吉林·东北师大附中校考二模）定义在R上的奇函数 满足 ，当
时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 时，
C． D．
4．（2023·山东泰安·统考一模）设 是定义域为R的偶函数，且 .若 ，则
的值是___________.
角度5：单调性与奇偶性综合问题
1．（2022秋·四川·高一四川省平昌中学校考阶段练习）定义在R上的奇函数 对任意 都有
，若 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（2023春·浙江杭州·高一校联考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且 为奇函
数， 为偶函数，且对任意的 ，且 ，都有 ，则下列结论正确
的为（ ）
A． 可能是偶函数 B．
C． D．
3．（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）已知函数 ， 是定义在R上的函数，
其中 是奇函数， 是偶函数，且 .若对于任意 ，都有，则实数 的取值范围是___________.
4．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）已知 是定义在 上的奇函数，且对任意
5．（2022秋·云南玉溪·高二统考期末）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，当
时， ，则不等式 的解集为___________.
角度6：对称性，奇偶性，周期性综合问题
1．（辽宁省抚顺市2023届普通高中应届毕业生高考模拟数学试题）定义在R上的函数 同时满足：①
，② ，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数 为奇函数 B． 的图象关于直线 对称
C． D．函数 的周期
2．（2023·云南昆明·统考一模）已知函数 ， 的定义域均为 ， 为偶函数且
， ，则 （ ）
A．21 B．22 C． D．
3．（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）设函数 定义域为 为奇函数，
为偶函数，当 时， ，则下列四个结论错误个数是（ ）
（1）
（2） 为奇函数
（3） 在 上为减函数
（4） 的一个周期为8
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023秋·安徽安庆·高一统考期末）已知函数 是定义在R上的奇函数， ，且
当 时， ，则下列关于函数 的判断中，其中正确的判断是（ ）．
A．函数 的最小正周期为4B．
C．函数 在 上单调递增
D．不等式 的解集为 ．
5．（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）已知定义在 上的奇函数 满足 是 上的偶函
数，且 ，则 __________.
6．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知偶函数 在区间 上单调递增，
且满足 ，给出下列判断：① ；② 在 上是增函数；③ 的图象
关于直线 对称；④函数 在 处取得最小值，其中判断正确的序号是______________．
角度7：利用周期性求值
1．（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）设 是定义域为 的奇函数，且
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2023秋·浙江·高一期末）定义在R上的函数 ， 满足
，且 为偶函数， ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·福建漳州·高三福建省漳州第一中学校考开学考试）已知函数 的定义域为 ，
对任意的 恒成立，若 ，则 __________
4．（2023秋·江苏南京·高一统考期末）已知定义在 上的函数 满足 ，且当
时， ，若 ，则 ___________.
题型七：不等式中的恒成立问题
1．（多选）（2023秋·云南德宏·高一统考期末）已知定义在 上的函数 满足：对任意的 ，当
时，都有 ，若不等式 恒成立，则实数m的可能取值为（ ）A． B． C．0 D．1
2．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是
________．
3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知 为偶函数， 为奇函数，且满足： ．
若对任意的 都有不等式 成立，则实数 的最大值为__________．
4．（2023秋·广东汕尾·高一统考期末）已知函数 .
(1)若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围；
(2)若不等式 对任意 都成立，求实数 的取值范围.
题型八：不等式中的能成立问题
1．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）设函数 ， ，若 ，使
得 成立，则实数 的取值范围是________________.
2．（2023春·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考阶段练习）已知函数 ，
， ， 有 ，则实数a的取值范围是______.
3．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）已知函数 ， ，若对于任意 ，
存在 ，使得 ，则实数a的取值范围是____________．
4．（2023秋·湖北黄冈·高一统考期末）已知 ， ，若对 ，总
存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为__________.题型九：函数的图象
角度1：利用函数解析式选择图象
1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）函数 的大致图象是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2023·云南昆明·统考一模）函数 在区间 上的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
4．（2022秋·广东深圳·高一深圳中学校考期末）若函数 ，则函数 的大致图象是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021春·陕西延安·高二子长市中学校考期末）函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
角度2：利用动点研究函数图象
1．（2022秋·北京房山·高一统考期中）如图， 是边长为2的等边三角形，点E由A沿线段 向B移动，过点E作 的垂线l，设 ，记 位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关
系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021秋·湖北武汉·高一武汉市第四十九中学校考期中）直角梯形OABC中， ， ，
，直线l： 截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
3．（2021秋·山东青岛·高一青岛市即墨区第一中学校考期中）一质点从正方形的一个顶点 出发，沿着正
方形的边顺时针运动一周后回到 点，假设质点运动过程中的速度大小不变，则质点到点 的距离 随时
间 变化的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）如图为正方体ABCD﹣ABC D，动点M从B 点出发，
1 1 1 1 1
在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B 的运动过程中，点M与平面ADC 的距离保持不变，运
1 1 1
动的路程x与l＝MA +MC +MD之间满足函数关系l＝f（x），则此函数图象大致是（ ）
1 1
A． B．
C． D．
5．（多选）（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t
之间的关系，其中正确的（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，如图放置的边长为2的正方形
沿 轴滚动（无滑动滚动），点 恰好经过坐标原点，设顶点 的轨迹方程是 ，则对函数
的判断正确的是
A．函数 在 ， 上有两个零点
B．函数 是偶函数
C．函数 在 ， 上单调递增
D．对任意的 ，都有
角度3：利用函数图象解决不等式问题
1．（2021春·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）已知 ，当 时，函数
的图象恒在 轴下方，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
2．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数 的定义域为R，
，且 在 上递增，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）若不等式 （ ，且 ）在 内恒成立，
则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则不等式 的解集是___________．
5．（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）已知集合 ，且关于x的不等式
至少有一个负数解}，则集合A中的元素之和等于___________
角度4：利用函数图象解决方程的根与交点问题
1．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数 的图象上恰有3对关于原点成
中心对称的点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）设函数 ， 有四个实数根
， ， ， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）命题“对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 ”成立的充要条件是______.
4．（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）关于 的方程 有四个实数解，则 的取值范围是
______________
角度5：指对函数图象相结合
1．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）若正数x，y，z满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·山东德州·高一统考期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾
说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解
决数学问题的有效途径．若函数 （ 且 ）的大致图象如图，则函数
的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022春·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）设 且 ，函数 ，
，则函数 在同一平面直角坐标系内的图像可能为（ ）A． B．
C． D．
4．（2022·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考开学考试）已知 ，且 ， ，
，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）（2022·高一单元测试）在同一直角坐标系中，函数 与 且a≠1)的大致图象
如图所示，则下列数中可能是实数a的取值的有（ ）
A． B． C． D．
题型十：指数函数，对数函数，幂函数
角度1：定义域问题
1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）函数 定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）函数 的定义域为___．
4．（2023·高一课时练习）若要使 有意义，则 取值范围是_______.
5．（2023·高一课时练习）已知幂函数 的图象过点 ，则 的定义域为______．
6．（2023春·北京·高一校考开学考试）函数 的定义域为__________；值域为__________．
角度2：值域问题
1．（2023秋·山东德州·高一统考期末）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称取整函
数，例如： ， 已知 则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）已知函数 ，则函数
的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为______．
5．（2023秋·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函数
的值域为_______________.
6．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知函数 与 互为反函数，记函数
.
(1)若 ，求x的取值范围；
(2)若 ，求 的最大值.角度3：过定点问题
1．（2023春·河北衡水·高一校考开学考试）不论 取何值，函数 且
且 的图象都必经过同一个定点 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023春·湖南株洲·高一校考开学考试）已知函数 （ 且 )恒过点 ，点 在幂函
数 的图象上，则 的值为（ ）
A．8 B．9 C．27 D．64
3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数 （a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标
满足关于 的方程 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．24 C．4 D．6
4．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知函数 ，且 的图象恒过定
点 ，若点 也在函数 的图象上，则 __________.
5．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末）已知幂函数 的图象经过点 ，则
函数 的图象必经过定点______．
6．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知 且 ，若函数 与
的图象经过同一个定点，则 __________.
7．（2023·高一课时练习）已知函数 且 的图象经过定点 ， 若幂函
数 的图象也经过该点， 则 _______________________．
角度4：单调性问题
1．（2022秋·贵州毕节·高一统考期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）已知函数 ，对任意 ，都有
成立，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
3．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）已知 ，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期末）函数 的单调递增区间
为_______.
5．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）已知函数 ，若 在
上单调递减，则实数 的取值范围是___．
6．（2022秋·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已知幂函数 ，在 上单调递
增，
(1)求 ；
(2)当满足 时，求实数 的范围.
角度5：指对幂综合问题
1．（2023·全国·模拟预测）设函数 ，则满足 的整数 的个数
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意的正数 ，恒有
，则 的取值范围是（ ）
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则函数 的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 是定义在R上的奇函数，若不等式
对任意的 恒成立，则实数m的取值范围是__________．
5．（2023春·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习）已知函数 （ ，且 ）的定义域
和值域都是 ．
(1)求 的值；
(2)求不等式 的解集．
题型十一：函数中的零点问题
角度1：零点个数问题
1．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）函数 ，则函数 的零点个数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023春·山西·高一统考阶段练习）已知函数 ，则方程 的实数解的个数
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023春·安徽安庆·高一校考阶段练习）已知 ，若函数 有四个零点，则关于
的方程 的实数根的个数为（ ）
A．2个 B．1个 C．0个 D．与 的取值有关
4．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）若 表示不大于 的最大整数，则函数的零点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 则 解的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2023秋·天津河西·高一统考期末）已知函数 的零点个数为___________.
角度2：零点所在区间问题
1．（2023春·浙江杭州·高一校联考阶段练习）函数 的一个零点所在的一个区间
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）函数 的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·广东揭阳·高一统考期末）函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·山东临沂·高一校考期末） ， 表示不超过 的最大整数，例如 ， ，
.设 为函数 的零点，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）已知函数 的零点为 ，且 ，
则 __________.
角度3：零点中的参数问题
1．（2023·高一课时练习）若函数 在区间 内恰有一个零点，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．2．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）已知函数 ，若关于 的方程
有8个不相等的实根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 若 的图象上至少有两对点关于 轴
对称，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .若 有 个零点，则
实数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）已知函数 的零点为 ，且 ，
则 __________.
6．（2023秋·安徽淮北·高一淮北一中校考期末）已知函数 的两个零点都在
内，则实数 的取值范围为________________．
角度4：零点的代数和（积）问题
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 的零点
分别为 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 是定义在R上的奇函数，当 时，
，若关于x的方程 恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为
（ ）
A．4 B． C． D．83．（2023春·浙江杭州·高一校联考阶段练习）已知函数 ，若关于 的方程
在 上恰有2个实数根 ，且 ，则 的最小值为________．
4．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知函数 若存在
，满足 ，且 ，则 的取值范围为__________.
5．（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）对于实数 、 ，定义 ，设
，且关于 的方程为 恰有三个互不相等的实数根 、 、 ，若
，求 的取值范围.
题型十二：函数模型的应用
1．（2023秋·上海金山·高一统考期末）某城市2023年1月1日的空气质量指数（简称AQI））与时间x
（单位：小时）的关系 满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当 时，曲
线是二次函数图像的部分；当 时，曲线是函数 图像的一部分．根据规定，
空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．
(1)求当 时，函数 的表达式；
(2)该城市2023年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由．2．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）宣城市旅游资源丰富，知名景区众多，如
宣州区的敬亭山风景区､绩溪县的龙川景区､旌德县的江村景区､宁国市的青龙湾景区､广德市的太极洞景
区､郎溪县的观天下景区､泾县的查济景区等等.近年来的新冠疫情对旅游业影响很大，但随着防疫政策优
化，旅游业将迎来复苏.某旅游开发公司计划2023年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定
成本300万元，若该项目在2023年有游客 万人，则需另投入成本 万元，且
，该游玩项目的每张门票售价为100元.为吸引游客，该公司实行门票五
折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴 万元.
(1)求2023年该项目的利润 （万元）关于人数 （万人）的函数关系式（利润 收入 成本）；
(2)当2023年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
3．（2023春·全国·高一校联考开学考试）某公司每个仓库的收费标准如下表（ 表示储存天数， （万
元）表示 天收取的总费用）．
(1)给出两个函数 且 ， 且 ，要从这两个函数中选出一个
来模拟表中 之间的关系，问：选择哪一个函数较好？说明理由．
(2)该公司旗下有 个这样的仓库．每个仓库储存货物时，每天需要 元的运营成本，不存货物时仅需
元的成本．一批货物需要存放 天，设该批货物存放在 个仓库内，其余仓库空闲．要使该公司这 天
的仓库收益不少于 元，则 的最小值是多少？
注：收益 收入 成本．4．（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）党的二十大大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经
济体制，坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、支持、引
导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用.这为我们深入推进非
公有制企业改革发展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转
为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产
品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为
万元）
(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能
使企业获得最大利润，最大利润是多少？
5．（2023秋·广东肇庆·高一统考期末）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单
位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：
时间t 7 9 10 11 13
种植成本Q 19 11 10 11 19
为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：
① ，
② ，
③ ，④ ．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；
(2)在第（1）问的条件下，若函数 在区间 上的最大值为110，最小值为10，求实数m的最大值．
6．（2023秋·福建宁德·高一统考期末）某公司近五年的年利润（单位：千万元）列表如下：
年份 1 2 3 4 5
年利润（千万元） 1.08 1.50 2.25 3.52 4.96
为了描述从第1年开始年利润y随年份x的变化关系，现有以下三种模型供选择：
① ，② ，③ .（以上各式均有 ， ）
(1)请你从这三个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型并简要说明理由，再利用表格中第2年
和第3年的数据对剩下的两种模型进行建模，求出这两种模型下第五年的公司利润，并说明哪个模型更
好；
(2)利用（1）中较好的模型，预计该公司第几年的年利润会超过10亿元？
（参考数据 ， ）
第二部分：新定义（文化）问题
1．（2023秋·北京大兴·高三校考阶段练习）按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时
期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎
来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位： ），放电时间t（单位： ）与放
电电流I（单位： ）之间关系的经验公式： ，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的
Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流 时，放电时间 ；当放电电流
时，放电时间 .则该蓄电池的Peukert常数n大约为（ ）（参考数据： ， ）
A． B． C． D．2
2．（2023·全国·高三专题练习）复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵
头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，
智能复兴号动车组在京张高铁实现时速 自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们
用声强 （单位： 表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级 （单位： 与声强的函数关系式为 ，已知 时， .若要将某列车的声强级降低 ，则该列车
的声强应变为原声强的（ ）
A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍
3．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美
誉，用其名字命名的“高斯函数”：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，
也称取整函数，例如： ， ，已知 ，则函数 的值域为______．
4．（2023·全国·高三专题练习）对实数a和b，定义运算“ ”： 设函数
．若函数 恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
5．（2022秋·广东中山·高一统考期末）中国茶文化博大精深，小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶
叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在
常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是 ，环境温度是 ，则经过时间 （单位：分）
后物体温度 将满足： ，其中 为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方
法得到 初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：
从98℃下降到90℃所用时间 1分58秒
从98℃下降到85℃所用时间 3分24秒
从98℃下降到80℃所用时间 4分57秒
(1)请依照牛顿冷却模型写出冷却时间 （单位：分）关于冷却水温 （单位：℃）的函数关系，并选取一
组数据求出相应的 值（精确到0.01）.
(2)“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（1）的条件下， 水煮沸后在
19℃室温下为获得最佳口感大约冷却___________分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间
填在横线上，并说明理由.
A．5 B．7 C．10
（参考数据： ， ， ， ， ）第三部分：高考新题型
角度1：开放性试题
1．（2023春·江苏南京·高一校联考阶段练习）请写出一个同时满足下列两个条件的幂函数：
___________.
① 是偶函数；② 在 上单调递减.
2．（2023·陕西商洛·统考一模）请写出一个同时满足以下三个条件的函数： ___________.
（1） 是偶函数；（2） 在 上单调递增；（3） 的最小值是2.
3．（2022秋·四川凉山·高一统考期末）若 为奇函数，则 的表达式可以为______．
4．（2023春·山东青岛·高一统考开学考试）写出一个同时具有下列性质①②的函数 ______．
① ；② 在R上为增函数．
5．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）写出一个同时满足下列两个条件的函数 _____________．
①对 ，有 ；
②当 时， 恒成立．
角度2：劣够性试题
1．（2023秋·福建漳州·高一统考期末）① ；② 为偶函数；③ 的图象经过
的图象所在的定点．从这三个条件中选一个补充在下面问题中，并解答下面的问题．
问题：已知函数 ， ，且____．
(1)求 的解析式；
(2)判断 在区间 上的单调性，并用定义证明．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）已知函数______．（① ；② ；请在给出的两个函数中选择其中的一个作为已知条件，将序号填写在横线上，解答下列问题．）
说明：只能选择其中1个函数对三个问题分别作答，比如已选择了第1个函数解答第（1）问，后面的问题
若对第2个函数解答则视为无效，不计分．
(1)判断函数 的奇偶性；
(2)判断并证明函数 在其定义域上的单调性；
(3)解关于m的不等式 ．
3．（2023秋·贵州安顺·高一统考期末）已知_________，且函数 ．①函数 在定义
域为 上为偶函数；②函数 在区间 上的最大值为2．在①，②两个条件中，选择一
个条件，将上面的题目补充完整，求出b的值，并解答本题．
(1)判断 的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设 ，对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数c的取值范
围．
第四部分：数学思想方法
角度1：函数与方程思想
1．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知函数 ，若
有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程 的近似解，以下区间可以作为初始区间的是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若方程 有两个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
4．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知函数 若 恰有2个零点，则实数a
的取值范围是___________.
角度2：分类讨论思想
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若不等式 恒成立，求实数m的最大值；
(2)若函数 有零点，求实数 的取值范围.
2．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数 是偶函数.当
时， .
(1)求函数 在 上的解析式；
(2)若函数 在区间 上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知 ，试讨论 的零点个数，并求对应的m的取值范围.
3．（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）已知函数 ，其中
．
(1)当 时，求 的零点；
(2)当 为偶函数时，
①求 的值；
②设函数 ，若函数 与 的图象有且只有一个公共点，求实数 的取值范围．
角度3：数形结合思想
1．（2023·江西赣州·统考一模）若函数 ，则方程 的实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于x的方程
恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）已知 ，若存在三个不同实数
使得 ，则 的取值范围是______．
角度4：转化与化归思想
1．（2023·高一课时练习）已知函数
(1)若 是奇函数，求 的值；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围．
2．（2023春·宁夏银川·高一贺兰县第一中学校考开学考试）已知函数 （ 为常数， ，
且 ）的图象经过点 ， ．
(1)试确定函数 的解析式；(2)若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围．
3．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上的单调增函数 满足：对任意 都有
成立
(1)求 的值；
(2)求证： 为奇函数；
(3)若 对 恒成立，求 的取值范围．
角度5：极限思想
1．（2023·全国·模拟预测）已知二次函数 的图象如图所示，则函数 图象可能为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）函数 的部分图象大致为（ ）A． B．
C． D．
3．（2023秋·山西·高三校联考期末）已知函数 ，则其图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选）（2023秋·湖南娄底·高三校联考期末）函数 的图象的大致形状是（ ）
A． B．C． D．
