重难专攻（七） 形形色色的切线问题
重难点题型1 求曲线：在某点的切线方程
1．（2025·甘肃金昌·模拟预测）函数
在
处的切线斜率为（ ）
A．0
B．1
C．e
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
【分析】求出导函数，令
即可求得斜率.
【详解】
，故
.
故选：C
2．（2025·江西·一模）已知函数
的图象在
处的切线过原点，则所在的区间是
（ ）
A．
B．
C．
D．
目录●重难点题型分布
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】零点存在性定理的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】求导，根据
变形，构造函数
，结合单调性和零点存在性定理判断即
可.
【详解】因为
，所以
.
因为
的图象在
处的切线过原点，则
，
即
，即
.
设
，因为
在
上均单调递增，且函数值为正，
所以
在
上单调递增，且
，
，
所以
.
故选：
.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数
，则曲线
在点
处的切线与两坐标轴
所围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点
处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得
其面积.
【详解】
，
则
，
即该切线方程为
，即
，
令
，则
，令
，则
，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积
.
故选：A.
4．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知函数
在
处的切线过点
，则
.
【答案】1
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则
【分析】应用导数的几何意义求
处的切线，再由点在切线上列方程求参数值即可.
【详解】由题设
，则
，且
，
所以
处的切线为
，
又点
在切线上，故
，可得
.
故答案为：1
5．（2025·湖南岳阳·二模）已知曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个公共
点，则
.
【答案】0 或2
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】求出曲线在点
处的切线方程，再联立切线方程和抛物线方程并消去
，利用判别式为零可求
的值.
【详解】由
得
，当
时，切线的斜率
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，
因为它与
只有一个公共点，所以
有唯一解，
即
有唯一解，
故
或
，
解得
或
，
故答案为：0 或2
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析
和
两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得
，
构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知
有零点，可得
，进而利用导数求
的
单调性和极值，分析可得
，构建函数解不等式即可.
【详解】（1）当
时，则
，
，
可得
，
，
即切点坐标为
，切线斜率
，
所以切线方程为
，即
.
（2）解法一：因为
的定义域为
，且
，
若
，则
对任意
恒成立，
可知
在
上单调递增，无极值，不合题意；
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，
由题意可得：
，即
，
构建
，则
，
可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
；
解法二：因为
的定义域为
，且
，
若
有极小值，则
有零点，
令
，可得
，
可知
与
有交点，则
，
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，符合题意，
由题意可得：
，即
，
构建
，
因为则
在
内单调递增，
可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
.
重难点题型2 求曲线：过某点的切线方程
1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数图象及性质
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定
结果；
解法二：画出曲线
的图象，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线
上任取一点
，对函数
求导得
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
由题意可知，点
在直线
上，可得
，
令
，则
.
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以，
，
由题意可知，直线
与曲线
的图象有两个交点，则
，
当
时，
，当
时，
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与曲线
的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线
的图象如图所示，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知
.
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性
进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
2．（2024·新疆·二模）过点
且与曲线
相切的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程
【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线.
【详解】设过点
的曲线
的切线为：
，
有
,
解得
或
,
代入可得
或
.
故选：
3．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．函数
的极大值点为
B．函数
的极小值为2
C．过点
作曲线
的切线有两条
D．直线
是曲线
的一条切线
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、求已知函数的极值点
【分析】利用求导分析函数
的单调性，即可求出极大值点和极小值，判断AB 选项正误；设过
的切线为
，切点为
，利用点斜式整理比较k 值列方程，方程的解的个数即为切点个
数和切线条数，判断C 选项正误；利用切线斜率求出切点，即可得到切线方程，判断D 选项正误.
【详解】
，令
，解得
或
，
因为
，
；
，
；
，
；
所以
在
递增，
递减，
递增，
故
的极大值点为
，故A 错误；
极小值为
，故B 错误；
设过
的切线为
，切点为
，
所以
，
则
，
从而
，
解得
或
，有三条切线，故C 错误；
令
，即
，解得
，
从而
，即切线方程为
，故D 正确．
故选：D.
4．（2023·海南海口·一模）（多选题）直线
是曲线
的切线，则实数
的值可以是
（ ）
A．3π
B．π
C．
D．
【答案】AB
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数
【分析】设切点为
，由题意可得
，解得
，由导数
的几何意义可得
，即
，即可得出答案.
【详解】设切点为
，∵直线
恒过定点
，
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴可取
，
由导数的几何意义知，
，
则
，则
，
所以
，
∴当
时，
；当
，
，故A，B 正确，C，D 不正确.
故选：AB.
5．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点
只有一条直线与函数
的图象相切，则
的
取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值
【分析】由导数的几何意义可得切线方程，代入点
的坐标可得
，然后利用导数研
究其图像，结合图像即可得到结果.
【详解】
设过点
的切线与
的切点为
，
因为
，则切线的斜率为
，
所以切线的方程为
，
代入
得
，
即
.
设
，则
，
由
，得
或
，
当
或
时，
，
在
，
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
所以
，
，
因为
，所以
，
，
作出
的大致图象如图所示，
由图象可知只有一条直线与
的图象相切时，
或
.
故答案为：
6．（24-25 高三上·安徽芜湖·期末）若过点
可以作曲线
的两条切线，则实数的取值范围是
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】设出切点
，写出切线方程，依题转化成
有两个不同得实
数根.设
，求得
的单调区间和最大值即可得解.
【详解】设切点为
，由题得：
，故切线的斜率为
，切线方程为：
，
因切线经过点
，则
，故
有两个不同的实数根.
不妨设
，则
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
故
，则
，即
，所以实数的取值范围为
.
故答案为：
.
7．（2025·河北保定·一模）已知函数
.
(1)
为
的导函数，则当
时，求
的值；
(2)证明：有且仅有一条
图象的切线过坐标原点；
(3)讨论函数
的单调性.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、含参分类讨论求函数的单调区间、求某点处的导数值
【分析】（1）求导函数即可；
（2）先设切点
，求曲线在切点处的切线方程，再将点
代入得出关于
的方程，求证该方
程仅有一解即可；
（3）求导，分类讨论
的正负性.
【详解】（1）当
时，
，
故
，
故
.
（2）证明：函数
的定义域为
，而
，
设
为切点，则切线的斜率
，
切线方程为
，
若切线过点
，则
，
化简得
，方程只有一解为
，
所以有且仅有一条
图象的切线过坐标原点.
（3）当
时，则
，函数
在
上单调递增；
当
时，令
，
解得
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
综上，当
，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
8．（2025·贵州·二模）已知函数
的图象在点
处的切线斜率为
．
(1)求
的值；
(2)求
的单调区间；
(3)求曲线
过原点的切线方程．
【答案】(1)
；
(2)递减区间为
，递增区间为
；
(3)
或
.
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出
的值.
（2）由（1）的信息，利用导数求出函数的单调区间.
（3）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切点，进而求出切线的斜率即可.
【详解】（1）数
，求导得
，依题意，
，
所以
.
（2）由（1）得
，其定义域为R，
，
当
时，
；当
时，
，
所以
的单调递减区间为
，递增区间为
.
（3）设曲线
过原点的切线切点为
，则
，
原点
不在曲线
上，于是
，解得
，
当
时，
；当
时，
，
所以曲线
过原点的切线方程为
或
.
重难点题型3 求曲线的切线的条数问题
1．（2025·全国·一模）函数
过原点的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、二倍角的正弦公式
【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为
，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情
况进行讨论可得.
【详解】
，
，
设切点为
，切线方程为
，
将原点代入切线方程可得
，
所以
，
化简可得
，解得
或
，
当
时，
，
，切线方程为
；
当
时，解得
，当
为偶数时，
对应的切线方程为
；
当
为奇数时，
对应的切线方程为
；
所以共有3 条不同的切线.
故选：C
2．（2022·河南洛阳·三模）若过点
作曲线
的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程
【分析】设切点为
，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点
建立方
程，求得切点的个数即为切线的条数.
【详解】设切点为
，由
，所以
，得
，
所以切线方程为
，即
．
因为切线过点
，所以
，解得
或
，
所以过点
作曲线
的切线可以作2 条.
故选：C
3．（2023·全国·二模）若曲线
有三条过点
的切线，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究方程的根、求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函
数的单调性
【分析】根据导数的几何意义求出过点
的切线方程为
，利用方程的解个数与函数图象交点个
数的关系将问题转化为
图象与直线
在R 上有3 个交点，结合导数求出函数
的极值，根
据数形结合的思想即可求解.
【详解】设该切线的切点为
，则切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
又切线过点
，则
，整理得
.
要使过点
的切线有3 条，需方程
有3 个不同的解，
即函数
图象与直线
在R 上有3 个交点，
设
，则
，
令
，令
或
，
所以函数
在
上单调递增，在
和
上单调递减，
且极小值、极大值分别为
，如图，
由图可知，当
时，函数
图象与直线
在R 上有3 个交点，
即过点
的切线有3 条.
所以实数a 的取值范围为
.
故选：B.
4．（2024·河北衡水·三模）（多选题）已知函数
，
是函数
的一个极值点，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．函数
在区间
上单调递减
C．过点
能作两条不同直线与
相切
D．函数
有5 个零点
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数、求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知
函数的单调性
【分析】求得
，根据
，可判定A 正确；由
，利用导数的符号求
得函数
的单调区间，可判定B 错误；设过点
且与函数
相切的切点为
，求得切线
方程，列出方程求得
的值，可判定C 错误；令
，作出函数的图象，得到
，进而
的函数零点的个数，可判定以D 正确．
【详解】对于A 中，由函数
，可得
，
因为
是函数
的一个极值点，可得
，
解得
，经检验适合题意，所以A 正确；
对于B 中，由
，令
，解得
或
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
故
在区间
上递增，在区间
上递减，在区间
上递增，所以B 错误；
对于C 中，设过点
且与函数
相切的切点为
，
则该切线方程为
，
由于切点
满足直线方程，则
，
整理得
，解得
，所以只能作一条切线，所以C 错误；
对于D 中，令
，则
的根有三个，如图所示，
，
所以方程
有3 个不同根，方程
和
均有1 个根，
故
有5 个零点，所以D 正确．
故选：AD．
5．（22-23 高三上·辽宁·阶段练习）（多选题）若曲线
（e 为自然对数的底数）有两条过坐标
原点的切线，则a 的取值可以是（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函
数的导数
【分析】设切点为
，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，
可得到
，有两条切线转化为
有两个不等的实根，即可
求出a 的取值范围，进而得到正确选项.
【详解】设切点为
，
，
所以切线的斜率
，
则此曲线在P 处的切线方程为
，
又此切线过坐标原点，所以
，
由此推出
有两个不等的实根，所以
，解得
或
，
故选：AD．
6．（2024·贵州·模拟预测）过点
作曲线
的切线，请写出切线的方程 .
【答案】
或
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法、基本初等函数的导数公式
【分析】设切点
，求导并写出切线方程，代入点
求出
值即可.
【详解】设切点为
，而
，
所以切线的斜率
，故切线方程为
，
因为切线过点
，
，
化简可得
或
，则切点为
或
，
则代入得切线方程为：
或
，
故答案为：
或
.
7．（2023·浙江绍兴·模拟预测）过点
作曲线
的切线，写出一条切线方程： .
【答案】
或
（写出一条即可）
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式
【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将
代入求得切点坐标，即可得切线
方程.
【详解】由
可得
，
设过点
作曲线
的切线的切点为
，则
，
则该切线方程为
，
将
代入得
，解得
或
，
故切点坐标为
或
，
故切线方程为
或
，
故答案为：
或
重难点题型4 公切线问题
1．（2023·陕西西安·统考一模）若曲线
与曲线
有公切线，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设公切线与函数
切于点
，设公切线与函数
切于
点
，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得
，消去
，
得
，再构造函数，然后利用导数可求得结果.
【详解】设公切线与函数
切于点
，
由
，得
，所以公切线的斜率为
，
所以公切线方程为
，化简得
，
设公切线与函数
切于点
，
由
，得
，则公切线的斜率为
，
所以公切线方程为
，化简得
，
所以
，消去
，得
，
由
，得
，
令
，则
，
所以
在
上递减，
所以
，
所以由题意得
，
即实数
的取值范围是
，
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的
关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.
2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）
与
的公切线过
，且
有极小值，则极
小值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求已知
函数的极值、利用导数研究函数的零点
【分析】设切点，利用导数几何意义求解切线方程，由直线过
得方程
，构造函数利用导数，
研究函数零点求解方程，再利用判别式求解
值，结合导数求解函数极小值即可.
【详解】设公切线与函数
的切点为
，
则切线的斜率
，则切线的方程为
，
即
.
由过
，可得
，化简得
，
设
，则
.
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
单调递增；
故当且仅当
时，
，
则方程
有且仅有个根，即
，
故的斜率为，则方程为
，
联立
消
得
，
可知
不是方程的根，
由直线也与
相切，则
，
解得
或
.
当
时，
，则
，
则
在
和
上都单调递增，
不存在极值，不符合题意；
当
时，
，则
，
当
或
时，
，
则
在
与
上单调递增；
当
或
时，
，
则
在
与
上单调递增；
故当
时，
有极小值，极小值为
.
故选：D.
3．（2024·广东茂名·一模）曲线
与曲线
有公切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数
，利用导数求得单调性和最值，即可求
得
的取值范围.
【详解】两个函数求导分别为
，
设
，
图象上的切点分别为
，
，
则过这两点处的切线方程分别为
，
，
则
，
，所以
，
设
，
，
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递增，且
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到
，从而构造函数
即可得解.
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，若直线是曲线
与曲线
的
公切线，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、函数单调性、极值与
最值的综合应用
【分析】设
与
相切于点
，与
相切于点
，利用导数的几何意义，
得到
和
，再由
，求得
，得到
，令
，利用导数求得函数的单调性与最值，求得
，即可求解.
【详解】设
与曲线
相切于点
，与
相切于点
，
由
，可得的斜率
，所以
①，
又由
，可得
，所以
，即
②，
又因为
③，
将②③代入①中，可得
，由③易知，
,则
④，
将④代入③，可得
，则
，
令
，则
，当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．所以
，当且仅当
时取等号，
故
，可得
，所以
，
所以的方程为
，即
．
故选：B．
【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
5．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知曲线
的切线与曲线
也相切，若该切线过
原点，则
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重
合（公切线）问题、导数的运算法则
【分析】根据导数的几何意义可得曲线
在点
处的切线方程过原点得出切线方程
为
，再次利用导数的几何意义求得
的切点
，再带入点计算求参.
【详解】因为
的导数为
，设切点为
，
所以切线斜率为
，
所以曲线
在
处的切线过原点，所以
，即
，所以
，切线为
，
又切线
与曲线
相切，设切点为
，
因为
，所以切线斜率为
，解得
，
所以
，则
，解得
.
故答案为：
.
6．（2022·江西九江·三模）已知直线
与曲线
相切，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】导数的乘除法、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
【分析】由
的导数出发，设出切点坐标，利用导数列方程，由此求得
的值.
【详解】由
，得
，设切点为
，
则
，
，消去
得
，
函数
在
上单调递增，且
，
，此时
.
故答案为：
7．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的
切线，则
．
【答案】
【分析】先根据
与
相切，确定
的值，再根据直线与
相切，确定
的值.
【详解】因为
与
相切.
，设切点坐标为
，则切线方程为
.
因为切线过原点，所以：
，故切点为
，所以
.
对函数
，
，由
，
根据
得切点纵坐标为：
，
根据
得切点纵坐标为：
，
由
，又由题可知
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：先根据
的切线过原点，求出
的值；求
时，要注意切点即在曲线上，也在切
线上，根据纵坐标相等列方程求解.
8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线
与曲线
和曲线
都相切，
则
．
【答案】
/
【分析】设曲线上的切点坐标为
和
，根据公切线的斜率关系，及切点在切线上，故可得
的值.
【详解】设曲线
上的切点坐标为
，曲线
上的切点坐标为
，
又
的导函数为
，
的导函数为
所以切线斜率
，又切点
，
均在切线
上，
所以
，解得
，所以
，所以
.
故答案为：
.
9．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）若直线是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则直线的
方程为 ．
【答案】
或
【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距
相等，从而求得切线方程的答案．
【详解】设
与
和
的切点分别为
，
由导数的几何意义可得
，
曲线在
在点
处的切线方程为
，
即
，
曲线
在点
处的切线方程为
，
即
，则
，
解得
，或
，所以
或
．
代入得
或
.
故答案为：
或
.
10．已知函数
（1）若直线
既是曲线
的切线,也是曲线
的切线,求直线l 的方程；
（2）证明：
．（参考数据：
）
【分析】（1）
,
,
函数
在点
处的切线方程为：
,即
,
函数
在点
处的切线方程为：
,即
,
因为直线
既是曲线
的切线,也是曲线
的切线,
所以
,
将
代入得
,即
,
所以
或
,
若
,则
,此时直线l 的方程为：
；
若
,则
,则此时直线l 的方程为：
,
综上得：
或
.
（2）先证明
,所以
,
设
,则
,令
,则
,
令
,得
,
所以存在
使得
满足
在
和
上单调递增,在
上单调递减,
所以
,
又因为
,且
,
因为
在
上单调递减,所以
,所以
,所以
,即
,即
.
重难点题型5 已知切线方程及满足条件、求参数的取值范围
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
，曲线
在点
处的切线与直线
平行，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则
【分析】求导可得
，结合导数的几何意义代入计算，即可得到结果.
【详解】由
可得
，
则
，
因为曲线
在点
处的切线与直线
平行，
且直线
的斜率为
，即
，解得
.
故选：A
2．（2025·甘肃·二模）若函数
的图象上存在两个不同点，使得
在这两点的切
线与直线
垂直，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、已知切线（斜率）求参数
【分析】由存在两个不同的点满足条件，可得出
存在两个大于1 的解，结合根的分布讨论得出
的取值范围.
【详解】由题意，函数的定义域为
，
．
因为函数
图象上存在两点处的切线与直线
垂直，
故
有两个不同的大于1 的解，
即
有两个不同的大于1 的根．
令
，
则
，即
，
所以
．
故选：A
3．（2025·江西新余·模拟预测）过
轴上一点
可以作函数
图像的3 条切线，则
的
取值范围是：（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】设出切线方程，将点代入切线方程，转化为交点问题，结合导数分析函数单调性，求出参数范围
即可.
【详解】因为
，所以
，
设切点为
，则切线方程
，
而过
，将
代入方程得到
，
令
，
，
令
，
，此时
单调递减，
令
，
，此时
单调递增，
故
有极小值
，有极大值
，
则得到
，故A 正确.
故选：A.
4．（2025·云南·三模）（多选题）设函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，若
在
上单调递增，则
B．当
时，函数
有两个极值点
C．曲线
的对称中心的横坐标与c 有关
D．当
时，过点
可作曲线
的切线有3 条
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值点的
辨析
【分析】当
时，
在
上单调递增，所以
在
上恒成立，转换不等
式构造函数求最值即可得
的取值范围，即可判断A；根据导函数的根的根个数确定极值点个数，即可判
断B；由函数对称的坐标关系即可判断C；根据导数的几何意义设切点坐标为
，求切线方程解得
切点恒坐标的根的个数即可得判断D.
【详解】对于A，当
时，
在
上单调递增，所以
在
上恒成立，
则
在
上恒成立，
而
，所以
，即
，故A 错误；
对于B，当
时，
，
，
方程
有两个不等实根，易得
有两个极值，故B 正确；
对于C，若曲线
称中心为
，则
，
因为
，所以
，
则
，
整理得：
，
所以若有对称中心则：
，解得
，
故对称中心横坐标为
，与无关，故C 错误；
对于D，当
时，
，设切点
，
，
，
所以切线
，
因为切线过点
，
所以
，化简得
，
方程有三个根，切点有三个，故切线有三条，故D 正确.
故选：BD．
5．（2025·甘肃白银·模拟预测）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点的充要条件为
B．当
时，若
，且m，n 为
的两个极值点，则
C．当
，
时，
图象的对称中心为点
D．若
的图象上有3 个不同的点
，
，
，这3 个点处的切线的斜率分别记为
，
，
，则
为常数
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】判断或证明函数的对称性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数
【分析】
项，根据方程
有两个不同的解，结合判别式符号判断；
项，求出
，可得
是
的解，则
，
，即可判断；
项，根据
，即可判断；
项，设
，求导，代入求解
切线斜率，再化简即可判断.
【详解】
项，因为函数
，所以
，
因为
有两个极值点，所以方程
有两个不同的解，
则
，即
，故
正确；
项，当
时，
，令
，则
，
因为
，所以
是
的两个根，
故
，
，故
，
，故
，
所以
，因为m，n 为
的两个极值点，
所以
是
的解，故
，
，
故
，故
错误；
项，当
，
时，
，
由于
，故
图象的对称中心为
，故
正确；
项，因为
的图象上有3 个不同的点
，
，
，
故可设
，
故
，故
，
故
，
，故
正确；
故选：ACD
6．（2025·河南郑州·三模）若直线
为曲线
的一条切线，则
的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】设切点为
，由切线性质解得
，从而
，构造函数
，即可求得最小值.
【详解】
，
设直线
与曲线
相切于点
，则
且
，
解得
，所以
，从而得
，所以
，
设
，
，
令
得
，令
得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
的最小值为
.
故答案为：
.
7．（2025·河北保定·二模）已知直线
是圆
与曲线
的公切
线，则
．
【答案】7
【难度】0.65
【知识点】已知切线（斜率）求参数、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】由直线与圆相切求得
，再结合导数的几何意义即可求
即可.
【详解】因为直线
与圆
相切，
所以
，解得
（负根舍去）.
设函数
，则由
，
得
，
则
解得：
，
故
，
故答案为：7
8．（2025·湖南岳阳·二模）已知曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个公共
点，则
.
【答案】0 或2
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】求出曲线在点
处的切线方程，再联立切线方程和抛物线方程并消去
，利用判别式为零可求
的值.
【详解】由
得
，当
时，切线的斜率
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，
因为它与
只有一个公共点，所以
有唯一解，
即
有唯一解，
故
或
，
解得
或
，
故答案为：0 或2
重难点题型6 两条切线（平行、垂直、重合）综合问题
1．（2025·河南郑州·模拟预测）已知函数
图象的两条切线相互垂直，并分别交
轴于
，
两
点，则
（ ）.
A．2
B．
C．3
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】对数的运算性质的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合
（公切线）问题、求平面两点间的距离
【分析】结合函数图象，利用导函数求出切线斜率，由切线互相垂直得到
，再分别写出切线方程，
求出点
坐标，再求两点间距离即可.
【详解】
如图，设函数
在点
和
处的两条切线互相垂直，
当
时，
，
；
当
时，
，
.
则
，
因为直线
与
互相垂直，所以
，即
，
由图象可知，
，则
，
，
所以直线
方程为
，当
时，
，故点
，
同理，直线
方程为
，当
时，
，故点
，
所以，
.
故选：A.
2．（2023·四川凉山·一模）函数
在区间
的图象上存在两条相互垂直的切线，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的加减法
【分析】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可.
【详解】由
，
不妨设这两条相互垂直的切线的切点为
，且
若
，则
恒成立，不符合题意，可排除A 项；
所以
，此时易知
单调递增，
要满足题意则需
.
故选：D
3．（2023·安徽安庆·模拟预测）（多选题）已知，
是函数
与
的图像的两条公切线，
记的倾斜角为
，
的倾斜角为
，且，
的夹角为
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．与
的交点可能在第三象限
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】反函数的性质应用、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、诱导公式五、六、基本不等
式求和的最小值
【分析】根据反函数的性质可得公切线关于
对称，即可得到
，利用诱导公式证明A，利用
诱导公式及基本不等式证明B，利用导数的几何意义说明C，结合函数图象说明D.
【详解】如图，因为
与
互为反函数，
故两函数的图象关于直线
对称，则，
关于
对称，
故
，
，故A 正确；
由题意，
，
均为锐角，
，
，
，
当且仅当
，即
时取等号，故B 正确；
设与两个函数图象分别切于
，
两点，与
交于Q，
，则
，
即
，解得
或
（舍去），
故
，
对于
，则
，令
，解得
，所以切点为
，
所以曲线
的斜率为
的切线方程为
，
故曲线
的斜率为
的切线方程为
，
同理可得
的斜率为
的切线方程为
，
故曲线
的斜率为
的切线方程为
，
所以
，则
，则
，故C 正确；
由图可知点
必在第一象限，故D 错误.
故选：ABC.
4．（2025·湖南娄底·模拟预测）若函数
的图象上不同两点处的切线重合，则称这条切线为自公切线，
请写出一个有自公切线的函数
．
【答案】
（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的
运算法则
【分析】根据自公切线的定义，结合常见函数的图象与性质，找出一个有自公切线的函数.对于三角函数
，其图象具有周期性和对称性，可能存在不同两点处的切线重合的情况.
【详解】正弦函数
的图象是周期为
的波浪线.
而在
处，
，
，切线方程为
，即
.
在
处，
，
，切线方程为
，即
.
可以看到
和
这两点处的切线重合，所以
有自公切线.
故答案为：
（答案不唯一）.
5．（2025·山东青岛·一模）已知函数
图象的两条切线相互垂直，并分别交
轴于A，B 两点，
则
.
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
【分析】设函数
在点
和
处的两条切线互相垂直，
，
，
由题意分别表示出
，
，两直线相互垂直可得
，进而根据切线方程求出A，B 坐标，
进而求解即可.
【详解】设函数
在点
和
处的两条切线互相垂直，
如图，可得
的零点为1，故不妨设
，
，
则
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
则
，
．
所以
，即
．
因为
：
，即
，
：
，即
，
则
，
，因为
，且
，
故
.
故答案为：2.
6．（2021·北京·模拟预测）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在
，使得曲线
在点
和点
处的切线互相垂直？并说明理
由（参考数据：
）
【答案】(1)
(2)存在，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数
求函数的最值（不含参）
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程；
（2）令
，利用导数判断其单调性和值域，结合直线垂直分析判断即可.
【详解】（1）因为
的导数为
，则
，
可得曲线
在点
处的切线斜率为1，所以切线的方程为
.
（2）设
，则
令
，可得
，
当
时，
，当
时，
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
且
，
所以
时，
，
若切线相互垂直，则存在
，且
，
存在
满足题意，例如
.
