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数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练
考点目录
奇偶数列问题
数列恒成立求参数问题
考点一 奇偶数列问题
1
例3．（25-26 高二上·新疆和田·期末）已知数列
满足
，
，
.
(1)求证：
为等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)若数列
的前
项和为
，求
.
例4．（25-26 高二上·广东·期末）在各项均为正数的数列
中，
，且
满足
，数列
的前
项和为
，
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
；
(3)设
数列
的前
项和为
，且
恒成立，求
的最大值.
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变式1．（2026·江西上饶·一模）已知递增的等差数列
满足
，数列
的各项均为
正数，
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
变式2．（25-26 高二上·重庆沙坪坝·期末）已知正项数列
的前
项和为
，数列
满足
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
，证明：数列
的前2n 项和
.
3
变式3．（25-26 高三上·天津·期末）已知
为公比大于1 的等比数列，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
满足
，
（i）记
，写出
，并求出数列
的通项公式；
（ii）求数列
的前
项和．
变式4．（25-26 高二上·广东深圳·期末）已知数列
为等比数列，
，且
，
，
成等差数列.
(1)求
的通项公式；
(2)若
为单调递增数列，且
，求数列
的前
项和
.
4
例1．（25-26 高三上·天津滨海新区·月考）已知等差数列
和等比数列
满足：
，
，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
；
(3)已知
数列
的前n 项和
，若对任意正整数n，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
例2．（25-26 高二上·内蒙古·期末）设
是等差数列，
是公比大于0 的等比数列，其中
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，记数列
前
项和为
．
（i）求
；
（ii）若对任意的
，均有
恒成立，求实数
的取值范围．
考点二 数列恒成立求参数问题
5
例3．（25-26 高三上·辽宁抚顺·期末）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
；
(3)若
，求
的取值范围．
例4．（25-26 高二上·上海普陀·期末）等差数列
的公差不为0，
是其前n 项和．已知
，且
，
，
依次成等比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
对一切正整数n 都成立，求实数
的取值范围．
6
变式1．（25-26 高二上·四川宜宾·期末）已知函数
，数列
满足：
，
，数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)设数列
，
，前n 项和为
，若对一切正整数n，
恒成立，求m 的最小值；
(3)设数列
的前n 项和为
，证明：
．
变式2．（25-26 高二上·新疆克拉玛依·期末）已知等比数列
的公比
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
；
(3)设
是数列
的前
项和，对任意正整数
，不等式
恒成立，求的取值范围．
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变式3．（25-26 高二上·天津河西·月考）已知
是首项为1 的等差数列，其前
项和为
，
，
为等
比数列，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式：
(2)设数列
的前
项和为
，求
；
(3)记
，若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
变式4．（2025·河南·模拟预测）记
.
(1)判断并证明
的奇偶性；
(2)将
的最小值记为
，
（i）求数列
，
（ii）若
恒成立，求
的最小整数值
.
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