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2025 二轮复习专项训练8
恒成立问题与能成立问题
[考情分析] 恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考
的热门题型，难度大，一般为高考题中的压轴题．
【练前疑难讲解】
一、恒成立问题
(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略
①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．
②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用
求出f(x)的最值，即得参数的范围．
(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．
(3)判断含x，ln x，ex的混合式的函数值的符号时，需利用x0＝
及ex≥x＋1，ln x≤x－
1 对函数式放缩，有时可放缩为一个常量，变形为关于x 的一次式或二次式，再判断符号．
二、能成立问题
(1)含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法
若a≥f(x)在x∈D 上能成立，则a≥f(x)min；
若a≤f(x)在x∈D 上能成立，则a≤f(x)max.
(2)不等式能成立问题的解题关键点
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数
，若对任意的
，
当
时，都有
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·贵州·二模）已知函数
，
，对任意
，
1
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，都有不等式
成立，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2023·安徽马鞍山·一模）已知函数
，若
恒成立，则实
数的可能的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·广东广州·一模）已知函数
，点
分别
在函数
的
的图像上，
为坐标原点，则下列命题正确的是（ ）
A．若关于
的方程
在
上无解，则
B．存在
关于直线
对称
C．若存在
关于
轴对称，则
D．若存在
满足
，则
三、填空题
5．（2024·河北·三模）已知
对任意
恒成立，则实数
的取
值范围是 ．
6．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知定义在R 上的函数
，若
有解，则实数a 的取值范围是 ．
2
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四、解答题
7．（2023·全国·高考真题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
8．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围．
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
C
C
AD
BCD
1．C
【分析】构造函数
，求导，分离参数求最值即可.
【详解】不等式
等价于
，
令
，根据题意对任意的
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立.
令
，则
，
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，
单调递减.所以
，所以
.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
3
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（1）
恒成立
；
（2）
恒成立
.
2．C
【分析】将问题转化为
，利用导数求
在
上的最小值、
在
上的最小值，即可得结果.
【详解】对任意
，
，都有不等式
成立
，
，
，
，则
在区间
上单调递增，
∴
，
，
，
，则
在
上单调递增，
，
，则
在
上单调递减，
，
，故
，
综上，
.
故选：C
3．AD
【分析】根据
转化成
恒成立，构造函数
利用导数求解
的单调性，问题进一步转化成
恒成立，构造
，求解最值即可.
【详解】
，
故
恒成立，转化成
恒成立，
记
，则
在
单调递增，故由
得
4
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，故
恒成立，
记
，故当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，故当
时，
取最大值
，
故由
恒成立，即
,故
，
故选：AD
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力
与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求
解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，
求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形
结合思想的应用.
4．BCD
【分析】根据给定条件，求出方程
在
上有解的a 范围判断A；设出点
的坐标，由方程有解判断B；设出点
的坐标，建立函数关系，求出函数的值域判
断CD 作答.
【详解】函数
，
对于A，方程
在
上有解，
显然函数
在
上单调递增，则有
，解得
，
因此关于
的方程
在
上无解，则
或
，A 错误；
对于B，设点
，依题意，点Q 关于直线
对称点
在函数
的
图象上，
5
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即关于t 的方程
有解，即
有解，此时
，令函数
，
，即函数
在
上单调递增，
，
而函数
在
上都单调递增，它们的取值集合分别为
，
因此函数
的值域为
，又
，于是
在
有解，
所以存在
关于直线
对称，B 正确；
对于C，设点
，则点P 关于y 轴对称点
在函数
的图象上，
即
，令
，
，
即函数
在
上单调递减，
，又
，恒有
，因
此
，C 正确；
对于D，令
，由
得
，
显然
，且
，
，令
，
，
当
时
，函数
单调递增，当
时，
，函数
单调递减，
因此
，即有
，
，
而
，当且仅当
时取等号，所以
，即
，D 正确.
故选：BCD
6
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5．
【分析】将原不等式变形为
，设
，通过求导求
的最小值，然
后解不等式
即可.
【详解】因为
，
，
所以
，即
，
设
，
，
令
，
，即
在
上单调递增，
令
，
，即
在
上单调递减，
则
，
所以
，
解得
.
故答案为：
.
6．
【分析】分析
的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解.
【详解】
，所以
是奇函数，
又
，
在R 的范围内是增函数，
7
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有解等价于
，
有解，
令
，
当
时，
是增函数，当x 趋于
时，
趋于
，满足题意；
当
时，当
时，
，
是增函数，当
时，
是减函数，
；
令
，则
，当
时，
，
是增函数，当
时，
是减函数，
并且当
时，
，
，
当
时
，即当
时，
满足题意，
所以a 的取值范围是
；
故答案为：
.
7．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论
与
两种情况，结合导数与函数单调性的关系
即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为
的恒成立问题，构造函数
，利用导数证得
即可.
8
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方法二：构造函数
，证得
，从而得到
，进
而将问题转化为
的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为
，定义域为
，所以
，
当
时，由于
，则
，故
恒成立，
所以
在
上单调递减；
当
时，令
，解得
，
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增；
综上：当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，
，
要证
，即证
，即证
恒成立，
令
，则
，
令
，则
；令
，则
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，则
恒成立，
9
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所以当
时，
恒成立，证毕.
方法二：
令
，则
，
由于
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
又
，
所以当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，则
，当且仅当
时，等号成立，
因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以要证
，即证
，即证
，
令
，则
，
令
，则
；令
，则
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，则
恒成立，
所以当
时，
恒成立，证毕.
8．(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
；
10
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(2)
【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；
（2）由已知不等式成立，先分离参数，结合成立与最值关系的转化即可求解．
【详解】（1）因为
，
，
令f
'( x)=0，解得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）依题意，存在
，使得
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故
，因此
，
故
的取值范围为
．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·河南·三模）若关于
的不等式
恒成立，则实数
的最
大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
11
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2．（2021·四川泸州·模拟预测）设函数
（其中为自然对数的
底数），若存在实数a 使得
恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·四川成都·模拟预测）若关于
的不等式
在
内有解，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（21-22 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数
，下列命题正确的是
（ ）
A．若
是函数
的极值点，则
B．若
是函数
的极值点，则
在
上的最小值为
C．若
在
上单调递减，则
D．若
在
上恒成立，则
5．（2021·山东菏泽·一模）对于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
在
处取得极大值
B．
有两个不同的零点
C．
12
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D．若
在(0,+ ∞)上恒成立，则
6．（2022·河北·模拟预测）若存在正实数x，y，使得等式
成
立，其中e 为自然对数的底数，则a 的取值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．2
三、填空题
7．（2023·河北保定·一模）已知
是函数
在定义域上的导函数，且
，
，若函数
在区间
内存在
零点，则实数m 的最小值为 ．
8．（2023·河南开封·模拟预测）实数x，y 满足
，则
的值为 ．
9．（2023·山西·二模）已知
，
，且满足
，则
．
四、解答题
10．（2024·四川南充·二模）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
11．（23-24 高二上·陕西榆林·开学考试）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，证明：当
时，
.
12．（2024·福建泉州·模拟预测）（1）已知
，求
的最大值与最小值；
（2）若关于x 的不等式
存在唯一的整数解，求实数a 的取值范围.
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参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
A
B
ABC
ACD
ACD
1．B
【分析】对所给不等式进行适当变形，利用同构思想得出
对于任意的
恒成立，进一步利用导数求出不等式右边的最小值即可求解.
【详解】显然首先
，
，
令
，则
，所以
在定义域内严格单调递增，
所以若有
成立，则必有
，
即
对于任意的
恒成立，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得最小值
，
从而
，所以
的取值范围是
，即实数
的最大值为
.
故选：B.
2．A
【分析】由题意可得
，令
，函数
和函
数
的图象，一个在直线
上方，一个在直线
下方，等价于一个函数的最
小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．
【详解】函数
的定义域为
，
14
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由
，得
，所以
，
令
，
由题意知，函数
和函数
的图象，一个在直线
上方，一个在直
下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由
，得
，
所以当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以
，
没有最小值，
由
，得
，
当
时，在
上
单调递增，
在
上
单调递减，
所以
有最大值，无最小值，不合题意，
当
时，在
上
单调递减，
在
上
单调递增，
所以
，
所以
即
，
所以
，即m 的取值范围为
．
故选：A．
3．B
【分析】题设中的不等式等价于
，令
，结合导
15
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数可得该函数的单调性，结合
可得
的解，从而可求实数
的取值范围.
【详解】由
有意义可知，
.
由
，得
.
令
，即有
.
因为
，所以
，令
，
问题转化为存在
，使得
.
因为
，令
，即
，解得
；
令
，即
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
又
，所以当
时，
.
因为存在
，使得
成立，所以只需
且
，解得
.
故选：
.
4．ABC
【分析】对于A，由
可求出
的值，对于B，由选项A，可求得
，然后利用导
数可求出
在
上的最小值，对于C，由题意可得
，可求出
的范围，
对于D，将问题转化为
在
上恒成立，构造函数
，再
利用导数求出其最大值即可
【详解】对于A，由
，得
，因为
是函数
16
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的极值点，所以
，得
，经检验
是函数
的极小值点，所
以A 正确，
对于B，由选项A，可知
，则
，由
，得
或
，由
，得
，所以
在
和
递增，在
上递减，所以当
时，
时，
取得最小值
，所以
B 正确，
对于C，因为
在
上单调递减，所以
，即
，得
在
上恒成立，令
，则
，所以
在
单调递增，所以
，即
，所以
，所以C 正确，
对于D，由
在
上恒成立，得
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，令
，
，则
，所以
上单调递增，所以
，所以
，所以D 错误，
故选：ABC
5．ACD
【分析】对
求导，利用导函数的符号判断
的单调性即可得极值，可判断选项
A；由
的单调性以及函数值的符号可判断选项B；利用
得单调性以及函数值与
的关系可判断选项C；分离
可得
，计算
的最大值可
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判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：函数定义域为(0,+∞)，
，令
可得
，
令
可得
，所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
在
时取得极大值
，故选项A 正确
对于选项B：令
，可得
，因此
只有一个零点，故选项B 不正确；
对于选项C：显然
，
在
单调递减，
可得
，因为
，
即
，故选项C 正确；
对于选项D：由题意知：
在(0,+∞)上恒成立，
令
则
，因为
易知当
时.
，当
时，
，所以
在
时取
得极大值也是最大值
，所以
，
所以
在
上恒成立，则
，故选项D 正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数
的极值的步骤：
①写定义域，对函数
求导
；
②在定义域内，解不等式
和
得到单调性；
③利用单调性判断极值点，代入解析式即可得极值.
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6．ACD
【分析】
，即
，令
，则
，设
，利用导数求出函数
的值域，从而可得出答
案.
【详解】解：由题意，
不等于
，由
，得
，
令
，则
，
设
，则
，
因为函数
在
上单词递增，且
，
所以当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
从而
，
即
，解得
或
.
故
.
故选：ACD.
7．1
【分析】（1）首先根据条件等式，变形得到函数
，再变形得到
，通过构造函数
得到
，参变分离
后，转化为求函数的值域，即可求
的取值范围.
【详解】在
中，
，
19
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∴
，
∴
∴
（c 为常数），
由
，解得：
，
∴
，
若
在区间
内存在零点，
整理可得：
，
设
，
，
令
，得
，当
时，
，函数单调递减，
当
时，
，函数单调递增，
所以当
时，函数
取得最小值，
，
所以
，当
时，等号成立，
所以
当且仅当
时，上式取等号
即存在
，使
，
设
，
，
令
，得
，当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
所以当
时，函数
取得最小值，
，
20
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所以
，故m 最小值为1,
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，零点，不等式的综合问题，本
题的关键一是利用导数的等式，通过构造得到函数
的解析式，关键二是利用同构得到
等式
，再构造函数求得
，参变分离后即可求解.
8．
【分析】将原不等式变为
，利用换元法令
和构造函数
，根据导数研究函数的单调性求出
，当且仅当
时
成立，则
，即可得出结果.
【详解】因为
，所以
．
显然
，令
，则
，且
，
令
，则
，
所以当
时，
；
当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以对
，
，即
，当且仅当
时等号成立．
综上，当且仅当
时，
成立，
此时
，解得
．
故答案为：
21
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9．
【分析】原式等价于
.构造
，根据导函数
求出函数的最值，可得
，即可得出
，
，求出
的值，即可得
出答案.
【详解】因为
，
构造
，
，
当
时，
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，所以
在
上单调递减.
所以，
在
处取得极大值，也是最大值
，
所以
.
由题意可知，
，所以
，
.
因为
，所以
，
，
所以
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：同构变形后，构造函数，根据导函数研究函数的性质，进而得出结论.
10．(1)答案见解析
22
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(2)
【分析】（1）求出导函数
，按照
的正负分类讨论，由
的正负可得单调性；
（2）将不等式变形为
，令
，对
求导，再令
，由
的单调性判断
的符号，进而确定
的单调性，求出
的最大值即可求出
的取值范围.
【详解】（1）由题意知
的定义域为
，
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，令
，
，
故方程
有两个不同的实数根，
分别为
，
，且
，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增.
综上可知，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）由
可得
，即
，
设
，
，
则
，
23
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设
，
，
因为
，
则
在
上单调递减，且
，
所以当
时，
，即
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，即
，所以
在
上单调递减，
所以
的最大值为
，
所以
，即
的取值范围为
.
11．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；
（2）构造函数
，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得
，从而得证.
【详解】（1）因为
的定义域为
，
所以
，
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增；
当
时，令
，得
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
综上，当
时，
在
上单调递增；
24
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当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）当
时，
，
令
，则
，
令
，则
，
因为
，所以
，
所以当
时，
恒成立，所以
在
上单调递减，
即
在
上单调递减，所以
，
所以
在
上单调递减，
所以
，即
.
【点睛】结论点睛：恒成立问题：
（1）
恒成立
；
恒成立
．
（2）
恒成立
；
恒成立
．
（3）
恒成立
；
恒成立
；
（4）
，
，
．
12．（1）最大值
，最小值1；（2）
【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解
最值；
（2）解法一：把不等式
化为
，由
的单调性结合端点函数值分
析求解即可；
25
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解法二：令
，求导，对a 进行分类讨论，判断函数单调性及最大
值，从而求得a 的范围，结合g(x)>0有唯一整数解，进一步求出a 的取值范围.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
令
，解得
，f
' (x)，
的变化情况如下表所示．
x
1
f
' (x)
+
0
单调递增
单调递
减
1
所以，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
当
时，
有极大值
，也是
的最大值.
又因为
，
，而
，
所以
，所以
为
的最小值.
（2）解法一：因为
，所以不等式
可化为
，
由（1）可知
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
因为
的最大值
，
，
，
，
，
26
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所以
，
时，
最大，所以不等式
，
即
存在唯一的整数解只能为1，所以
，所以a 的取值范围为
.
解法二：令
，由题意可知g(x)>0有唯一整数解，
，当
时，
，所以
在(0,+∞)单调递增，
而
，所以
，与题意矛盾；
当
时，由
可得
或
（舍去），
当
时，
，
时，
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
时，
取最大值为
，
由题意可知
，解得
，
因为
，所以当
即
时，
由g(x)>0有唯一整数解知
，解得
，
若
，由
在
单调递增知
，矛盾
所以
，由
在
单调递减可知
，
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所以
符合题意；
当
时，
，
，
由
在
单调递减可知
，
，不符合题意；
综上所述，a 的取值范围为
.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·陕西·模拟预测）当
时，
恒成立，则实数
最大值为
（ ）
A．
B．4
C．
D．8
2．（2024·湖南·一模）若不等式
对
恒成立，其中
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·全国·模拟预测）若关于
的不等式
在
内有解，
则正实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2025·广东·一模）已知定义在
上的函数
的图象连续不间断，当
，且当x>0时，
，则下列说法正确的
28
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是（）
A．
B．
在
上单调递增，在
上单调递减
C．若
，则
D．若
是
在
内的两个零点，且
，则
5．（2023·全国·模拟预测）已知
，
恒成立，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
B．
C．
恒成立
D．
的最大值为
6．（2023·重庆·模拟预测）已知
，当
时，存在b，
，使得
成立，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
7．（2024·浙江台州·二模）已知关于x 的不等式
恒成立，则实数a 的取值
范围是 .
8．（2022 高三·全国·专题练习）已知
，不等式
对任意的实数
恒
成立，则实数a 的最小值为： ．
9．（22-23 高三上·全国·阶段练习）若关于x 的不等式
有且只有一个整数
解，则实数a 的取值范围为 ．
29
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四、解答题
10．（2024·福建厦门·二模）若
，都存在唯一的实数
，使得
，则称函数
存在“源数列”
.已知
.
(1)证明：
存在源数列；
(2)（ⅰ）若
恒成立，求
的取值范围；
（ⅱ）记
的源数列为
，证明：
前
项和
.
11．（2023·浙江·模拟预测）已知
为正实数，函数
.
(1)若
恒成立，求
的取值范围；
(2)求证：
（
）.
12．（2023·北京海淀·一模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间；
(3)若存在
，使得
，求a 的取值范围．
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
A
A
ACD
ACD
ABC
1．B
【分析】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，根据题意易于分离参数得
，再利用切线放缩化简求出
的取值范围.
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【详解】因为
，由
，得
.令
令
，则
在
上恒成立，
故函数
在
上单调递增，所以
即
，
由
，得
，所以
.
当且仅当
时，取“=”，
此时
，由
与
图象可知
使
，此时
.
所以
，即
有最大值为4.
故选：B.
2．A
【分析】先讨论
的范围，当
时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0 可得
，然后将二元化一元，令
，利用导数求最值可解.
【详解】令
，即
，
当
时，由函数
与
的图象可知，两函数图象有一个交点，记为
，
则当
时，
，即
，不满足题意；
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当
时，令
，则
，
令
，则
，因为
单调递增，
所以当
时，f
' (x)<0，
单调递减，
当
时，f
' (x)>0，
单调递增，
所以
时，
有最小值
，
又
对
恒成立，
所以
，即
，
所以
，当且仅当
时等号成立.
令
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以当
时，
，
所以
，即
，当且仅当
，
时等号成立，
所以
的取值范围为
.
故选：A
【点睛】方法点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用
的不等关系将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号.
3．A
【分析】将由不等式转化为
，令
，得到
，令
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函数
，问题转化为存在
，使得
，利用导数求得函
数
的单调性，结合
，得到
且
，即可求解.
【详解】由不等式
，即
，
令
，即有
，
又由
，所以函数
在
上单调递增，
因为
，所以
，
令
，问题转化为存在
，使得
，
因为
，令
，可得
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
又因为
，所以当
时，
，
若存在
，使得
成立，只需
且
，
解得
，因为
，所以
.
故选：A.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用
方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定
参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结
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合求解.
结论拓展：与
和
相关的常见同构模型
①
，构造函数
或
；
②
，构造函数
或
；
③
，构造函数
或
.
4．ACD
【分析】
选项，令x =0，可求
；
选项，对
两边求导，结合
得
，
，可判断
单调性；C 选项，
的大小关系进行分类讨论，利用函数单调性，证明不等式；D 选项，证明
，利用函数单调性，证明
且
，可得结论.
【详解】
选项，令x =0，则有
，所以
，故
正确.
选项，对
两边求导，得
，
所以
，代入
，
得当x>0时，
，所以
.
又因为
，所以，
.
因此，当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
故
错误.
C 选项，对
的大小关系进行分类讨论：
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①当
时，
在
上单调递减，所以
，显然有
；
②当
时，
在
上单调递增，不符合题意；
③当
时，当
时，
.
令
，
又因为
，所以
，
因此
.
因为
，由
的单调性得，
.
故C 正确.
选项，因为
，
所以
.
先证
，即证
，即
，
只需证
，即证
.
事实上，
，因此
得证.
此时有
.
因为
，又
，所以
，
因为
，又
，所以
.
35
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综上，
，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等
式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转
化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单
调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明
快的思路，有着非凡的功效.
5．ACD
【分析】构造
，则原命题等价为
，
恒成立.由导数法判
断
，可求得
为最小值点，即有a 与b 的关系.
对A，由a 与b 的关系求范围；对B，由a 与b 的关系直接判断；对CD，由a 与b 的关系化
简式子，结合导数法求最值判断.
【详解】对B，令
，则
，
恒成立等价为
，
恒成立.
单调递增，由
，且
，
单调递减；
，
单调递增.
又
，∴
，B 错；
对A，
，
，A 对；
对C，
，令
，由
.
故
，
单调递减；
，
单调递增.
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故
，C 对；
对D，
，令
，由
.
故
，
单调递增；
，
单调递减.
故
，D 对.
故选：ACD.
【点睛】含指对数式不等式恒成立问题，一般需构造函数，通过导数法研究函数单调性及
最值，结合命题，从而得到相关结论
6．ABC
【分析】对A，构造函数
，求导，再设
，利用其单调
性得到
，然后对
分类讨论即可；对B，计算出
在
时的切线方程
即可得到
，即可得到
的范围，对于C,D，代入
得
，则可确定和
的范围，
【详解】对A，由
,令
,
所以
,
令
,其对称轴为
,故函数
在
上单调递增,
所以
,
当
时,即
时,
,
则函数
单调递增,所以
.
当
时,即
时,存在
,使得
,即
,
当
时,
,则函数
单调递减,
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所以
0,与
矛盾,综上,
，A 正确;
对B，由
可得
与
在
上存在分隔直线,
，
，
，
，
，
，
则
在
处的切线方程分别为:
,
所以
,可得
,故B 正确;
对C，取
得
,所以
,得
,故C 正确,
对D，由C 知
，故D 错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：本题A 选项的关键是构造函数
，然后求导，对
进
行分类讨论，对B 关键是得到
在
处的切线方程的斜率，从而得到不等式
，对C 和D 通过代入
得到
，即可进行判断.
7．
【分析】原不等式变形转化为
，构造函数
，
转化为
恒成立，利用导数研究
，可得
，再分离参数即可得
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解.
【详解】原不等式
，
构造函数
，则
，
则
，令
，解得
，
故当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
若
，则当
时，
，此时
恒不成立，
故
，所以
，
所以
成立，只需
成立即可，
即
恒成立，令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，所以
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对不等式结构的观察，同构出函数
，转化为研究函数大致变化情况，再由对
的分类讨论确定
，且能
得出
，即可脱去“
”，转化为
恒成立，分参即可得解.
8．
39
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【分析】将不等式化简后，构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解
【详解】
，∴
，
构造函数
，显然
在
上单调递增，
故
等价于
，即
任意的实数
恒成立，．
令
，
则
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
，得
．
故答案为：
9．
【分析】令
，求导计算函数的单调区间，题目转化为
，计算
，得到
，计算得到答案.
【详解】令
，则
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
且当
时，
，当
时，
，
，
原不等式等价于
或
（不存在整数解），
有且只有一个整数解，
，
故
，即实数a 的取值范围为
．
40
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故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决方程的解的个数问题，意在考查学生的计算
能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数确定单调性，将题目转化为
是解题的关键.
10．(1)证明见解析
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，结合
，根据数列的新定义，即可证明
结论；
（2）（i）由
恒成立，可得
恒成立，构造函数，利用导数求解
函数的最值，即可求得答案；
（ii）由（i）可得
，从而由
，推得
，可得到
，继而
可利用放缩法以及裂项求和法，证明不等式.
【详解】（1）由
，得
，
即
在
上单调递减，又
，
当
且x 无限趋近于0 时，
趋向于正无穷大，
即
的值域为
，且函数在
上单调递减，
对于
可以取到任意正整数，且在
上都有存在唯一自变量与之对应，
故对于
，令
，其在
上的解必存在且唯一，不妨设解为
，
即
，则都存在唯一的实数
，使得
，
即
存在源数列；
41
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（2）（i）
恒成立，即
恒成立，
令
，即
恒成立，
令
，则
，
令
，则
，仅在
时取等号，
即
在
上单调递减，故
，即
在
上单调递增，、
故
，故
；
（ii）由（i）得
，故
，即
，
故
，
当
时，
，
当
时，
，
即
前
项和
.
【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的新定义以及数列不等式恒成立以及证明不等式问
题，综合性较强，解答的关键在于证明不等式时，得到
后，即可推出
，此
时要用放缩法得到
，从而再用裂项法求和，证明不等式.
11．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分类讨论判断单调性，结合恒成立问题运算求解；
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（2）根据（1）可得不等式
可证
，构建
，利用导数证明
，结合裂项相消法可证
.
【详解】（1）
，
①若
，即
，
，函数
在区间
单调递增，故
，满足条件；
②若
，即
，当
时，
，函数
单调递减，则
，矛盾，不符合题意.
综上所述：
.
（2）先证右侧不等式，如下：
由（1）可得：当
时，有
，则
，
即
，即
，
则有
43
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即
，右侧不等式得证.
下证左侧不等式，如下：
构建
，则
在
上恒成立，
故
在
上单调递减，则
，
即
，可得
，即
，
则有
，
即
，
∵
，则
，
故
，左侧得证.
综上所述：不等式
成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤：
(1)作差或变形．
(2)构造新的函数h(x)．
(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端
两个函数的最值问题．
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12．(1)
(2)当
时，
的减区间为
，无增区间；当
时，
的减区间为
，增区间为
(3)
【分析】（1）当
时，求出函数
的导数，求出曲线
在点
处切线
的斜率，然后求解切线的方程即可；
（2）先求出函数
的导数，分
和
两种情况讨论即可得到单调区间；
（3）将题中条件转化为若
，使得
成立，再结合函数放缩得到若
，使得
成立，再根据（2）中的单调情况可知
为
与
中的较大者，从而得到当
或
即可满足题意，进而求解即可．
【详解】（1）
当
时，
，则
，
得
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）
由
，则
，
当
时，
恒成立，此时
在R 上单调递减；
当
时，令
，解得
，
此时
与
的变化情况如下：
45
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-
0
+
↘
极小
值
↗
由上表可知，
的减区间为
，增区间为
，
综上，当
时，
的减区间为
，无增区间；
当
时，
的减区间为
，增区间为
．
（3）
将
在区间
上的最大值记为
，最小值记为
，
因为存在
，使得
，
所以
，使得
成立，即
或
，
当
时，
，
若
，使得
成立，只需
，
由（2）可知
在区间
上单调或先减后增，
故
为
与
中的较大者，
所以只需当
或
即可满足题意，
即只需
或
，
解得
或
，
综上所述，
的取值范围是
．
【点睛】关键点点睛：函数不等式恒成立问题，要进行适当转化．解答小问（3）的关键在
46
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于转化为若
，使得
成立，再结合函数放缩得到若
，使得
成立，再根据（2）中的单调情况求解
即可得到
的取值范围．
47
