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专题06 数列与不等式
题型归纳
题型01 数列不等式恒（能）成立求参数最值.............................................................................................................................1
题型02 数列不等式恒（能）成立求参数取值范围.....................................................................................................................4
题型03 放缩的应用.........................................................................................................................................................................7
强化训练..........................................................................................................................................................................................10
题型01 数列不等式恒（能）成立求参数最值
【例1-1】（2025·湖北·一模）已知数列
的首项为
，前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求满足
的
的最小值；
(3)已知
，记数列
的前
项和为
，求证：
.
【例1-2】（2025·青海西宁·二模）设
为数列
的前n 项和，
时，
，已知
．
1
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(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)若不等式
对任意正整数n 都成立，求实数
的最小值．
【例1-3】（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列
的前n 项和为
，已知
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前n 项和
；
(3)若
时，
恒成立，求正整数
的最小值．
【变式1-1】（2025·广东·模拟预测）已知数列
，记集合
．
(1)对于有限数列3，7，2，9，写出集合T；
2
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(2)若
，是否存在
，使得
？若存在，求出一组i，j；若不存在，说明理由．
(3)若
，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为
，若
，求n 的最大值．
【变式1-2】（2025 高三·全国·专题练习）若整数数列
满足
，且对
，均有
，其中
为
的前
项和，则称该数列为“
数列”．
(1)若数列
的通项为
，判断其是否为“
数列”，并说明理由；
(2)若数列
为“
数列”，正整数
满足
，证明：
；
(3)在所有“
数列”中，求
的最大值．
【变式1-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）（1）已知
，函数
.证明：当
时，
；
（2）设函数
与
的图象分别为
，
.点
在
上，且
，
在点
处的切线
3
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交
于点
，
.
在点
处的切线交
于
，由此构造出点列
，
.已知
.
（i）证明：
；
（ii）求
，其中
表示不超过
的最大整数.
题型02 数列不等式恒（能）成立求参数取值范围
【例2-1】（2025·浙江嘉兴·三模）记
为数列
的前
项和，已知
，
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，若对任意
，
，求实数
的取值范围.
【例2-2】（2025·广西南宁·三模）已知正项数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)对
，将数列
中不大于
的项的个数记为
．若
恒成立，求实数
的取值范围．
4
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【例2-3】（2025·全国·模拟预测）已知正项等比数列
的前
项和为
，
，
.若
，且数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
；
(3)若
对一切
恒成立，求实数的取值范围.
【变式2-1】（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0 的等差数列
的前
项和为
，且
依次成等
比数列.
(1)求
的通项公式；
(2)对于任意
，求实数
的取值范围.
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【变式2-2】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)若对
恒成立，求实数
的取值范围．
【变式2-3】（2025·江西鹰潭·二模）对于数列
，记
，称数列
为数列
的一阶差分
数列．记
，称数列
为数列
的二阶差分数列，……，一般地，对于
，记
，规定：
，
，称
为数列
的
阶差分数列．
(1)已知
，
，求
，
，
，
；
(2)已知
，若
，且
对
恒成立，求
的取值范围；
(3)已知数列
满足
，且
，数列
，
的前
项和为
，证明：
．
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题型03 放缩的应用
【例3-1】（2025·山东聊城·模拟预测）已知各项均为正数的数列
满足
，数列
的前
项和为
．
正项等比数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，证明：
．
【例3-2】（2025·江苏·三模）已知数列
是等差数列，记其前
项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)将数列
与
的所有项从小到大排列得到数列
．
①求
的前20 项和；
②证明：
．
【例3-3】（2025·山东·一模）两个盒子里分别放着写有A，B，C 三种字母，大小相同的卡片各一张．每一次随机地
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从两个盒子中取出一张卡片交换位置．记n 次交换后两个盒子中仍然是A，B，C 三种字母的卡片各一张的概率为
．
(1)求
和
；
(2)证明：
；
(3)证明：
．
【变式3-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若数列
共有
项，且对任意的
，都有
（为常数，且
），则称数列
是关于
的一个积对称数列．已知数列
是关于
的一个积
对称数列．
(1)若
，求
和
的值；
(2)已知数列
是公差不为0 的等差数列，且
，若
，
，求和
的值；
(3)若数列
是各项均为正整数的递增数列，求证：
．
【变式3-2】（2025·广东揭阳·二模）已知数列
中每一项
（其中
，
）构成
数组
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.定义运算如下：
，其中当
时，
，
；当
时，
，
；用
表示
层嵌套运算
，
.现取
，记
中相邻
两项组成的数对
满足
的数对个数为
.
(1)写出
，
，以及
，
；
(2)证明：数列
是等比数列；
(3)若
，证明：对任意的
都有
.
【变式3-3】（2025·河南·三模）若存在正实数a，对任意
，使得
，则称函数
在D 上是一
个“
函数”．
(1)已知函数
在区间
上是一个“
函数”，求a；
(2)当
时，
．证明：函数
在区间
上是一个“
函数”；
(3)证明：
．
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一、单选题
1．（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列
、
的前
项和分别为
、
，若
，对
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山东日照·二模）已知数列
的通项公式
，在每相邻两项
，
之间插入
个2（
），
使它们和原数列的项构成一个新的数列
，记数列
的前n 项和为
，则
成立的n 的最小值为（ ）
A．20
B．21
C．22
D．23
3．（2025·福建南平·三模）已知数列
的前
项和为
，若
，且对任意的
，都有
成立，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为
的等差数列
的前
项和为
，若
，
成等比数列，则满
足
的
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若对于任意
，不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·海南·模拟预测）数列
满足
，对于任意的
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
7．（2025·吉林·模拟预测）已知递减的等比数列
前
项和为
，且满足
，
，若
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
8．（2025·辽宁·模拟预测）记
是公差不为0 的等差数列
的前
项和，若
，
，则使
成立的
的最大值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、多选题
9．（2025·山西临汾·二模）已知数列
满足：
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是单调递增数列
C．若
为数列
的前
项和，则
D．若对任意
，都有
，则
10．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，设
，其中
，
分别为奇函数和偶函数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
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D．已知数列
满足
，
，则
11．（2024·广东河源·模拟预测）记
为等差数列
的前
项和，已知
，
的公差为
，且
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．满足
的
的最大值为
12．（2025·广东·模拟预测）正整数数列
满足：
，则下列正确的有（ ）
A．若
，
，则
的可能取值有6 个
B．若
，则
时，
C．若
，则
时，
D．若
有最大值，则
从某一项开始恒为常数
三、填空题
13．（2025·重庆·三模）对于数列
，若存在常数
，使得对一切正整数
，恒有
成立，则称
为有
界数列.设数列
的前
项和为
，满足
，若
为有界数列，则实数
的取值范围是 .
14．（2025·江苏·三模）已知数列
满足
，
，
.设
，若不等式
对于任意
都成立，则正数
的最大值为 .
15．（2025·广西桂林·一模）已知函数
，其中
，记函数
的最小值为
，若
，都有
，则的取值范围为 ．
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四、解答题
16．（2025·江西·模拟预测）已知数列
的首项
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
恒成立，求实数的取值范围.
17．（2025·辽宁葫芦岛·一模）设数列
是公差大于1 的等差数列，
，
满足
，记
，
分别
为数列
，
的前
项和，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)若存在
，使得
，求实数的取值范围．
18．（2025·陕西·模拟预测）已知数列
满足
．设
．
(1)求证：数列
是等比数列，并求数列
通项公式；
(2)设数列
，且对任意正整数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
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19．（2025·江苏南京·一模）已知数列
的前
项和
满足
为常数，且
.
(1)求的值；
(2)证明：
为等差数列；
(3)若
，求
的取值范围.
20．（2025·宁夏·一模）已知数列
满足
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，记数列
的前n 项和为
．
（i）求
；
（ii）若
成立，求m 的取值范围．
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21．（2025·四川·模拟预测）已知数列
满足
，且
．
(1)证明：
为等比数列；
(2)设
，证明：
；
(3)设
，且数列
的前
项和为
，证明：
．
22．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0 的等差数列
的前
项和为
，且
是
的等比中项．
(1)求
的通项公式及
；
(2)记
为
在区间
内项的个数，
为数列
的前
项和．
（i）若
，求
的最大值；
（ii）设
，证明：
．
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23．（2025·四川·三模）已知双曲线
的右焦点为
，且点
到双曲线
的渐近线的距
离为．过点
作两条互相垂直的直线和
，交双曲线
于
、
两点，
交双曲线
于
、
两点，
、
分别是
、
的中点，直线
过定点
；再过点
作两条互相垂直的直线
和
，
交双曲线
于
、
两点，
交双曲线
于
、
两点，
、
分别是
、
的中点，直线
过定点
，以
这样的方式构造下去，可以得到一列定点
、
、
、
、
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)求点
的坐标；
(3)若
、
，记
的面积为
，证明：
．
24．（2025·贵州·三模）在数列
中，
，
，且
.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)记
，数列
的前
项和为
，证明：
；
(3)证明：
.
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25．（2025·湖南·三模）已知函数
，及一个如下所示的
行
列的数阵
，
第1 列
第2 列
第3 列
…
第
列
…
第
列
第1 行
…
…
第2 行
…
…
第3 行
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
第行
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
第
行
…
…
其中
表示第行第
列的数.在该数阵中，第1 列的数从上到下组成公差
的等差数列；
第1 行的数，对
加上1 后，得到的数列
，
，
，…，
，…，
是公比
的等比数列.已知
，
（其中
，，…，
；
，，…，
），且当
时，
恒成立.
(1)求实数
的值；
(2)记第2 行的数从左到右组成的数列为
，第1 列各数的和为
.
（i）求数列
的通项公式；
（ii）求证：
.
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26．（2025·安徽黄山·二模）若数列
，
，其中
，对任意正整数
都有
，则称数列
为数
列
的“接近数列”．已知
为数列
的“接近数列”，且数列
，
的前
项和分别为
，
．
(1)若
（
是正整数），求
，
，
的值；
(2)若数列
是公差为
的等差数列，且
，求证：数列
是等差数列；
(3)若
（
是正整数），判断是否存在正整数
，使得
？如果存在，请求出
的最小值，如果不
存在，请说明理由．（参考数据：
，
）
27．（2025·天津北辰·三模）已知等差数列
的前
项和为
，满足：
，公差
为整数且满足
，
正项等比数列
满足：
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，其中
，求数列
的前
项和为
；
(3)定义
为除数函数，即它的函数值等于
的正因数的个数，例如：
，记
，求证：
.
28．（2025·重庆·模拟预测）已知
.
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(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若对任意
，恒有
.
（i）求
的取值范围;
（ii）证明: 对任意的正整数
，
.
29．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数
，记
，若
满足
，
则称
是
上的“可控函数”．由“可控函数”的定义可得：若函数
是
上的“可控函数”，则函数
也是
上的“可控函数”，其中
，例如
．
(1)判断函数
是否为
上的“可控函数”，并说明理由；
(2)已知函数
是
上的“可控函数”，且的最大值为
．
（i）求函数
的解析式；
（ii）若数列
满足
，
是数列
的前
项和．求证：
．
19
