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专题06 数列与不等式
题型归纳
题型01 数列不等式恒（能）成立求参数最值.............................................................................................................................1
题型02 数列不等式恒（能）成立求参数取值范围...................................................................................................................11
题型03 放缩的应用.......................................................................................................................................................................20
强化训练..........................................................................................................................................................................................30
题型01 数列不等式恒（能）成立求参数最值
【例1-1】（2025·湖北·一模）已知数列
的首项为
，前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求满足
的
的最小值；
(3)已知
，记数列
的前
项和为
，求证：
.
【详解】（1）由已知
，
则
，
即
，则
，
，
，
，
等式左右分别相加可得
，
则
；
1
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（2）由（1）得
，且
，
即
，
化简可得
，
又
，即
，
所以满足
的
的最小值为
；
（3）依题意得，
，
则
，
又
，所以
，
所以
，
即
.
【例1-2】（2025·青海西宁·二模）设
为数列
的前n 项和，
时，
，已知
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)若不等式
对任意正整数n 都成立，求实数
的最小值．
【详解】（1）当
时，
，即
，
则
，而
，则
，
于是
时，
，整理得
，又
，
2
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所以数列
是首项和公比都是2 的等比数列.
（2）由（1）知，数列
是首项和公比都是2 的等比数列，则
，
因此
，数列
是首项为
，公差为
的等差数列，
，
所以数列
的通项公式
.
（3）由（2）知，
，
，
两式相减得，
，
则
．不等式
，
当
时，
为任意实数；当
时，
恒成立，而
，因此
，
所以实数
的取值范围是
，
的最小值为
.
【例1-3】（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列
的前n 项和为
，已知
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前n 项和
；
(3)若
时，
恒成立，求正整数
的最小值．
【详解】（1）设等差数列的公差为
，
因为
，
，
所以
，解得
，
所以
.
3
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（2）由（1）可得
，
，
当
时，
，
当
时，
，
故
．
（3）因为
，
,
所以
，
整理得
，解得
或
，
因为
，
，所以正整数
的最小值为
．
【变式1-1】（2025·广东·模拟预测）已知数列
，记集合
．
(1)对于有限数列3，7，2，9，写出集合T；
(2)若
，是否存在
，使得
？若存在，求出一组i，j；若不存在，说明理由．
(3)若
，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为
，若
，求n 的最大值．
【详解】（1）由题，设
，按照相邻两项，三项，四项分类列举如下：
，
，
，
，
，
，
所以
；
4
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（2）假设存在
，使得
，
则
，
因为
为偶数，所以
与
奇偶性相同，则
与
奇偶性不同，
又因为
，
，所以
必等于奇数因子（大于等于3）和偶数因子（大于等于3）的乘积，
又
，
，
即
，解得
，
或
，解得
，
或
，解得
，
所以存在
，使得
；
（3）
，
先证明正整数中所有的奇数与
形式的整数都无法由
表示，
因为
为奇数，
所以
的因子为一奇一偶，
而奇数没有偶数因子，
没有奇数因子，无法由
表示；
其次证明除奇数与
形式以外的数，都可以表示成
的形式，
若正偶数
，其中
，任何一个
形式以外的偶数都能表示成该形式，
则
，解得
，
或
，解得
，满足条件，
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故存在
，使得
成立，
由前面可知正整数
以及奇数不是集合
中的元素，
所以
的最大值为
.
【变式1-2】（2025 高三·全国·专题练习）若整数数列
满足
，且对
，均有
，其中
为
的前
项和，则称该数列为“
数列”．
(1)若数列
的通项为
，判断其是否为“
数列”，并说明理由；
(2)若数列
为“
数列”，正整数
满足
，证明：
；
(3)在所有“
数列”中，求
的最大值．
【详解】（1）因为
，所以
，
．
所以
，
因为
，所以
不恒成立，即
不恒成立．
故
不是“
数列”．
（2）因为
为整数数列，
，所以
，
由
得
，
所以
，
所以
．
（3）设
，则
．
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对于
，设
，
对于
，
，所以
，
对于
，有
，
因此
，
故
，所以
，解得
，
当
，
，
时取等号，所以
的最大值为9．
【变式1-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）（1）已知
，函数
.证明：当
时，
；
（2）设函数
与
的图象分别为
，
.点
在
上，且
，
在点
处的切线
交
于点
，
.
在点
处的切线交
于
，由此构造出点列
，
.已知
.
（i）证明：
；
（ii）求
，其中
表示不超过
的最大整数.
【详解】（1）因为
，所以
.
令
，则
.
当
时，
.
当
时，
，所以
在
上单调递增；
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当
时，
，所以
在
上单调递减.
因为
，所以
，即
.
所以
在
上单调递减，所以当
时，
.
由此当
时，
.
所以
在
上单调递减，
.
故当
时，
.
（2）（i）令
，则
.所以
在
上单调递减.
因为
，所以当
时，
.
令
，则
，所以
在
上单调递增.
因为
，所以当
时，
.
所以
.
所以
，
，
即
，
.
若
，则
；
若
，则
；
若
，则
.
若
，则
；
8
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若
，则
；
若
，则
.
由
，知
；由
，知
.
所以
在点
处的切线斜率为
.由题可知
，所以
.
在点
处的切线斜率为
，因为
，所以
.
所以
.
所以
，
.
所以
，即
.
（ii）由（i）知
，化简得
.
令
，则
.
当
时，
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，所以
在
上单调递增.
所以当
时，
取得最大值，最大值为
.
所以当
时，
，即
.
所以
，即
.
因为
，所以
.
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令
，则
.
所以当
时，
单调递减，且
，即
.
所以
，所以
，
因为
，所以
.
所以
.
因为
，所以
，所以
.
因为
，所以
，
.
所以累乘得，当
时，
，即
.
因为
，且
时，
.
所以
.
所以
.
题型02 数列不等式恒（能）成立求参数取值范围
【例2-1】（2025·浙江嘉兴·三模）记
为数列
的前
项和，已知
，
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
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(2)记数列
的前
项和为
，若对任意
，
，求实数
的取值范围.
【详解】（1）
时，
，解得
或
，因为
，所以
，
时，
，得
，
因为
，所以
，又
，
故数列
是首项为3，公差为2 的等差数列，
所以数列
的通项公式为
；
（2）解法一：由
，所以
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
所以
，
因为对任意的
，
成立，
所以，当
为奇数时，即
，所以
，
不等号的右边可看作关于
的二次函数，对称轴为
，
因为
为奇数，所以
时，
，则
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当
为偶数时，
，所以
，
同理可得，因为
为偶数，所以
时，
，则
，
综上，
.
解法二：由
，
当
为偶数时，
.
当
为奇数时，
，
所以
（下同解法一）
解法三：因为对任意的
，
成立，
则
，即求
的最小值，令
，
当
为奇数时，
则
，所以
最小值一定在
为奇数时取到，
当
为奇数时，
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
为奇数时，
，
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则
的最小值为
，
所以
.
【例2-2】（2025·广西南宁·三模）已知正项数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)对
，将数列
中不大于
的项的个数记为
．若
恒成立，求实数
的取值范围．
【详解】（1）当
时，
，得
，所以
．
当
时
，
联立
，两式相减可得：
，化简得
，
因为
，所以
，
故数列
是以
，公差
的等差数列，所以
；
（2）由
，得
，即
，
，
是以4 为首项，8 为公比的等比数列，
所以
.
因为
，即
，即
，
所以
．
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【例2-3】（2025·全国·模拟预测）已知正项等比数列
的前
项和为
，
，
.若
，且数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
；
(3)若
对一切
恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）对数列
，设公比为
，由题意
，因为
，所以
.
又
.
所以
.
（2）由
.
所以
.
所以
，
所以
，
两式相减得：
，
所以
.
（3）由
.
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所以数列
从第2 项开始，单调递减.
所以
.
由
或
.
所以实数的取值范围是：
.
【变式2-1】（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0 的等差数列
的前
项和为
，且
依次成等
比数列.
(1)求
的通项公式；
(2)对于任意
，求实数
的取值范围.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
由已知可得
，
因为
，解得
，
又
，
得
，
所以
.
（2）由（1）可知
，则
，
由
可得
，
令
，
，
当
时，
，
15
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当
时，
，
则数列
的最大项为
，
故
，
即实数
的取值范围为
.
【变式2-2】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)若对
恒成立，求实数
的取值范围．
【详解】（1）因为
，所以
，即
，
所以
，又
，所以
是以2 为首项和公比的等比数列.
（2）又（1）可得，
，
所以
①，
则
②，
由①-②得：
，
所以
（3）由（1）可得，
，
所以
，即
，
16
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记
，
因为
，
所以
时，
，即
，
当
时，
，即
，
所以
，所以
，
所以实数
的取值范围为
.
【变式2-3】（2025·江西鹰潭·二模）对于数列
，记
，称数列
为数列
的一阶差分
数列．记
，称数列
为数列
的二阶差分数列，……，一般地，对于
，记
，规定：
，
，称
为数列
的
阶差分数列．
(1)已知
，
，求
，
，
，
；
(2)已知
，若
，且
对
恒成立，求
的取值范围；
(3)已知数列
满足
，且
，数列
，
的前
项和为
，证明：
．
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
；
由题意
，则
，
又因为
，所以
．
综上可知，
，
，
，
．
（2）若
，则
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．
，
因为
，所以
，即
，故数列
递增，
所以要使
对
恒成立，
则必有
，即
，
所以
，解得
；
故
是
对
恒成立的必要条件．
下面证明充分性：若
，即
，又
，即
，
又
，故
成立；
由
，又
递增，
，
则
，故
；
故满足
对
恒成立，即
是
对
恒成立的充分条件．
综上所述，要使
对
恒成立，
则
的取值范围为
．
（3）由
，即
则
为等差数列，又
得
．
所以
，
18
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因为
，
且
，
可得
．
由
，得
，则
，
，则
，即
，且
，
得
，所以
．
题型03 放缩的应用
【例3-1】（2025·山东聊城·模拟预测）已知各项均为正数的数列
满足
，数列
的前
项和为
．
正项等比数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，证明：
．
【详解】（1）由题意可得
，所以
因为
，所以
，
即
，所以
，
，
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设等比数列
的公比为
，
则
，
，
.
（2）
所以
【例3-2】（2025·江苏·三模）已知数列
是等差数列，记其前
项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)将数列
与
的所有项从小到大排列得到数列
．
①求
的前20 项和；
②证明：
．
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
由
，得
，即
，
由
，取
，得
，即
，
解得
，
，所以
；
（2）①由（1）知，
，所以
，
因为
，
20
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所以
，所以
的前20 项和为
；
②证明：因为
，所以
，
所以当
时，
；
当
时，
，
综上可得
.
【例3-3】（2025·山东·一模）两个盒子里分别放着写有A，B，C 三种字母，大小相同的卡片各一张．每一次随机地
从两个盒子中取出一张卡片交换位置．记n 次交换后两个盒子中仍然是A，B，C 三种字母的卡片各一张的概率为
．
(1)求
和
；
(2)证明：
；
(3)证明：
．
【详解】（1）对两个盒子中相同字母的卡片进行交换，则
．
若第1 次交换的是相同字母的卡片，则第二次仍需将两个盒子中相同字母的卡片进行交换，
此时概率为
．
若第1 次交换的是不同字母的卡片，有
种情况，
不妨设将第一个盒子中的A 和第二个盒子中的B 进行交换，
则第二次需要将第一个盒子中的B 和第二个盒子中的A 进行交换，
21
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此时概率为
．于是
．
（2）用
表示n 次交换后两个盒子中仍然是A，B，C 三种字母的卡片各一张的事件，
则有
．
对相同字母的卡片进行交换可知
．
假设第一个盒子里装有卡片X，Y，Y，第二个盒子里装有卡片X，Z，Z，
注意到两个盒子中都有两张相同字母的卡片，
因此，只需用第一个盒子中的任意一张写有字母Y 的卡片交换第二个盒子中的任意一张写有字母Z 的卡片即可变为两
个盒子中都是A，B，C 三种字母的卡片各一张的状态．
所以
．
再由全概率公式可得
，
于是
，
．故
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
于是
，
．
从而有
．
（3）由于
，
于是
．
22
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【变式3-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若数列
共有
项，且对任意的
，都有
（为常数，且
），则称数列
是关于
的一个积对称数列．已知数列
是关于
的一个积
对称数列．
(1)若
，求
和
的值；
(2)已知数列
是公差不为0 的等差数列，且
，若
，
，求和
的值；
(3)若数列
是各项均为正整数的递增数列，求证：
．
【详解】（1）由题意知
，所以
，
又
，
所以
．
（2）设等差数列
的公差为
，由
，知对任意的
，都有
，
即
，所以
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
即
所以
.
（3）证明：因为
是各项均为正整数的递增数列，所以
．
由已知
，
23
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所以
，
所以
，
即
．
【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，关键是理解定义，第三问关键是利用放缩法得到
，再由裂项相消法求和.
【变式3-2】（2025·广东揭阳·二模）已知数列
中每一项
（其中
，
）构成
数组
.定义运算如下：
，其中当
时，
，
；当
时，
，
；用
表示
层嵌套运算
，
.现取
，记
中相邻
两项组成的数对
满足
的数对个数为
.
(1)写出
，
，以及
，
；
(2)证明：数列
是等比数列；
(3)若
，证明：对任意的
都有
.
【详解】（1）由题意得
，
所以
．
（2）由题得
，
所以
，
，
，
，
因此
中的数对
必由
中的数对
经运算得到，
24
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中的数对
必由
中的0 或数对
经运算得到，
因为
是
数组，其中有一半的项为0，即
个0，经过两次运算能在
中产生
个数对
，
因为
中数对
的个数为
个，经过两次运算能在
中产生
个数对
，
所以
，即
，
所以
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列．
（3）当
为奇数时，
，
累加得
，
因为
，所以
（
为奇数）．
当
为偶数时，
，
累加得
，
因为
，所以
（
为偶数）．
所以
，
故
．
因为当
且
为偶数时，
25
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.
①当
时，
；
②当
且
为奇数时，
；
③当
且
为偶数时，因为对任意的
都有
，
所以
综上所述，对任意的
都有
．
【变式3-3】（2025·河南·三模）若存在正实数a，对任意
，使得
，则称函数
在D 上是一
个“
函数”．
(1)已知函数
在区间
上是一个“
函数”，求a；
(2)当
时，
．证明：函数
在区间
上是一个“
函数”；
(3)证明：
．
【详解】（1）由
在区间
上是一个“
函数”，
所以任意
，
恒成立，即
，
令
，
，则
，
，
26
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要使
恒成立，则
，可得
；
（2）要证
在区间
上是一个“
函数”，
需证
时，
，证明如下：
令
，
，则
，
令
，则
，即
在
上单调递增，且
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，即
，
令
，
，则
，
令
，则
，
或
时，
，即
在
、
上单调递增；
时，
，即
在
上单调递减；
又
，
，
，
当
时，
，
在
上单调递增，
27
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当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，即
，
综上，
，故结论得证；
（3）当
，则
，由（2）知
且
，故
，
所以
，即
有
，
令
，则
，有
，
所以
，得证.
一、单选题
1．（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列
、
的前
项和分别为
、
，若
，对
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】等差数列
、
的前
项和分别为
、
，且
，
28
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则
，
且当
时，
，
因为
，
，
，则
，即
的最小值为
.
故选：C.
2．（2025·山东日照·二模）已知数列
的通项公式
，在每相邻两项
，
之间插入
个2（
），
使它们和原数列的项构成一个新的数列
，记数列
的前n 项和为
，则
成立的n 的最小值为（ ）
A．20
B．21
C．22
D．23
【答案】B
【详解】由题设，数列
各项依次为
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
成立的n 的最小值为21.
故选：B.
3．（2025·福建南平·三模）已知数列
的前
项和为
，若
，且对任意的
，都有
成立，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，且对任意的
，都有
成立，
所以
，所以
.
29
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故选：D.
4．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为
的等差数列
的前
项和为
，若
，
成等比数列，则满
足
的
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设数列
的公差为
，
因为
，
成等比数列，
所以
， 解得
，
所以
，
故
.
由
，得
，解得
.
∵
，∴
的最大值为
.
故选：D.
5．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若对于任意
，不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设数列
的公比为
，由题意知
，
由
，解得
，
30
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所以
，
因为
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，解得
.
故选：A
6．（2025·海南·模拟预测）数列
满足
，对于任意的
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意令
，所以
，对比
，可得
，
所以数列
是以
为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，
所以
，
对于任意的
恒成立，即对于任意的
恒成立，
即对于任意的
恒成立，
显然当
增大时，
减小，此时
增大，
所以
.
故选：A.
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7．（2025·吉林·模拟预测）已知递减的等比数列
前
项和为
，且满足
，
，若
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【详解】由题可设等比数列
的公比为
，
因为
，
，所以
或
，
所以
，
，
所以
为单调递增数列，
为单调递减数列，
所以
单调递增，故
，
故若
恒成立，则
的最小值为
.
故选：D
8．（2025·辽宁·模拟预测）记
是公差不为0 的等差数列
的前
项和，若
，
，则使
成立的
的最大值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【详解】设等差数列
的公差为
，又
，所以
，
由
，所以
，所以
，所以
，即
①，
32
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又因为
，所以
②，
由①②解得
，
所以
，
所以
，
由
有
，即
，
解得
，
所以使
成立的
的最大值是，
故选：C.
二、多选题
9．（2025·山西临汾·二模）已知数列
满足：
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是单调递增数列
C．若
为数列
的前
项和，则
D．若对任意
，都有
，则
【答案】ABC
【详解】由
，可得
，
故
,
也符合，
故
，
，A 正确，
33
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由于
，故
，因此
是单调递增数列，B 正确，
，
故
，C 正确，
由
可定
，
当
为偶数时，则
恒成立，由于
单调递增，故
，
当
为奇数时，则
恒成立，由于
单调递增，故
，
故对任意
，都有
，则
，故D 错误，
故选：ABC
10．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，设
，其中
，
分别为奇函数和偶函数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．已知数列
满足
，
，则
【答案】ABD
【详解】根据题意可知
，则
，可得方程组
，
34
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解得
，带入
，得
，
所以
，所以A 正确，
，所以B 正确.
，
上下同时除以
得
，所以C 错误.
已知
，则
，
已知
，已知
在R 上单调递增，
所以
在
上单调递增，且
，
，
所以
在
上值域为
，且当
时，
，
由
，可得
，
由
，可知
，
35
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可得
，同理可得
，
由
，可得
，即
，可知
.
所以D 正确.
故选：ABD.
11．（2024·广东河源·模拟预测）记
为等差数列
的前
项和，已知
，
的公差为
，且
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．满足
的
的最大值为
【答案】ABC
【详解】由
，得
，
即
①，则
，
又
，所以
，又
，
若
，则
，
，不合题意，
所以
，则
，
，A 正确；
结合①知，
，所以
，则
，
又
，所以
，B 正确；
由
，得
，所以
，
36
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由
，所以
，
由
，所以
，
所以
，C 正确；
由
，得
，所以
，
由C 知，
，所以
的最大值为
，D 错误.
故选：ABC
12．（2025·广东·模拟预测）正整数数列
满足：
，则下列正确的有（ ）
A．若
，
，则
的可能取值有6 个
B．若
，则
时，
C．若
，则
时，
D．若
有最大值，则
从某一项开始恒为常数
【答案】ACD
【详解】我们把绝对值理解为距离，把数列画在数轴上，如图：
其中
，
，
点
只能落在
上，也就是会更靠近
，
A 选项，
，
时，设
表示的数分别为
，
则
，
，解得
，
，
37
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可能取4，5，6，7，8，9，共6 个可能，A 正确；
B 选项，当
的变化方向与
相同时，每次都至多增大
，这就是说：
若
，则
时，
，B 错误；
C 选项，当
的变化方向与
相反时，至多变化
，
此后每次
变化，若方向相同，结合B 可知，则至多变化
，
若方向相反，则变化的“步长”会一直严格减小，
这就是说：若
，则
时，
，C 正确；
D 选项，由于
变化过程中，左右两侧都有边界，
若某次
停下，即
，可知此后
恒为常数；
若
一直不停下，由于其左右两侧都有边界，
的变化方向必须一直改变，
而由选项C，只要变化方向改变，变化的“步长”就会一直严格减小，最后永远停下，D 正确.
故选：ACD
三、填空题
13．（2025·重庆·三模）对于数列
，若存在常数
，使得对一切正整数
，恒有
成立，则称
为有
界数列.设数列
的前
项和为
，满足
，若
为有界数列，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为
，
所以
38
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，
因为
，故数列
为递增数列，故
，故
，
因为
为有界数列，则
，故
，
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
14．（2025·江苏·三模）已知数列
满足
，
，
.设
，若不等式
对于任意
都成立，则正数
的最大值为 .
【答案】
【详解】因为数列
满足
，
，
，
则
，且
，
所以，数列
是首项为，公比为的等比数列，
所以
，故
，
由
，
可得
，
令
，
39
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所以，
，
对任意的
，
，故
，则
，故数列
为递增数列，
所以，
，
因此，实数
的最大值为
.
故答案为：
.
15．（2025·广西桂林·一模）已知函数
，其中
，记函数
的最小值为
，若
，都有
，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】
，
设
，则
，令
，
，
当
，则
，
所以
，得
，则
在
单调递减，
当
，则
，
所以
，得
，则
在
单调递增，
40
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所以
，即
，
所以
恒成立，
只需
大于
的最大值，
令
，
则
，
可得
，则
的最大值为
，
所以
，
因为
，则
，
因为
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，
故答案为：
．
四、解答题
16．（2025·江西·模拟预测）已知数列
的首项
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）数列
的首项
，可得
，
41
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而
，故
，故
，
即数列
是首项和公比均为3 的等比数列，可得
，即
.
（2）若
恒成立，即为
，即
恒成立，
设
，可得
，.
即数列
是单调递减数列，可得
，
所以
，即实数的取值范围是
17．（2025·辽宁葫芦岛·一模）设数列
是公差大于1 的等差数列，
，
满足
，记
，
分别
为数列
，
的前
项和，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)若存在
，使得
，求实数的取值范围．
【详解】（1）
，
，解得
，
；
由
，可知
，
；
，
，
又
，
，
即
，解得
或
（舍去），
42
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．
（2）由（1）知：
可知，
，解得，
所以
为等差数列，故
，
存在
，有
即
又
所以
故
，整理
解得
．
所以的取值范围是
.
18．（2025·陕西·模拟预测）已知数列
满足
．设
．
(1)求证：数列
是等比数列，并求数列
通项公式；
(2)设数列
，且对任意正整数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【详解】（1）由
，
可得
，
即数列
是首项和公比均为3 的等比数列，
则
，即
；
（2）数列
，
43
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则
，
可得
递减，可得
，对任意正整数
，不等式
恒成立，
可得
，即
的取值范围是
.
19．（2025·江苏南京·一模）已知数列
的前
项和
满足
为常数，且
.
(1)求的值；
(2)证明：
为等差数列；
(3)若
，求
的取值范围.
【详解】（1）因为
，
所以
，又
，
所以
.
又
，所以
.
（2）由（1）可得
，所以
，
因此
，
相减得
，
得
，
所以
为等差数列.
（3）由（2）得
，
44
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由
，得
.
因为
对
恒成立，
所以
.
20．（2025·宁夏·一模）已知数列
满足
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，记数列
的前n 项和为
．
（i）求
；
（ii）若
成立，求m 的取值范围．
【详解】（1）因为
，即
，
所以数列
是以
为首项，3 为公差的等差数列.
（2）（i）由（1）知
，
所以
，
所以
，
所以
，
，
所以
45
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，
所以
.
（ii）因为
，
所以
，
令
，
不妨设
的第
项取得最大值，
所以
，解得
，
所以
的最大值为
，
所以
，即m 的取值范围是
.
21．（2025·四川·模拟预测）已知数列
满足
，且
．
(1)证明：
为等比数列；
(2)设
，证明：
；
(3)设
，且数列
的前
项和为
，证明：
．
【详解】（1）因为数列
满足
，且
，可得
，
46
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由
，得
，可得
，
由
，得
，可得
，
，
以此类推可知，对任意的
，
且
，所以
，
所以
，可得
，
所以数列
为等比数列，首项为
，公比为.
（2）由（1）可得
，所以
，故
，
易知数列
是各项均为正数的单调递减数列，
因为
，所以
，
当
时，
，
当
时，
，所以
，
所以，对任意的
，
，
综上所述，
.
（3）因为
，
所以
，
令
①，
47
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可得
②，
①
②得
，
所以
，故
，故对任意的
，
.
22．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0 的等差数列
的前
项和为
，且
是
的等比中项．
(1)求
的通项公式及
；
(2)记
为
在区间
内项的个数，
为数列
的前
项和．
（i）若
，求
的最大值；
（ii）设
，证明：
．
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
依题意，
，即
①，
，即
②，
将①代入②得
，因为
，解得
，
所以
．
（2）（i）令
，即
，解得
，
所以
，即
的通项公式为
所以
．
48
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又
，所以
．
由
，得
，
因为
，
所以
的最大值为5．
（ii）由（i）知
，则
，所以
．
设
①，
则
②，
①
②得
，
所以
．
因为
，
所以
．
综上，
．
23．（2025·四川·三模）已知双曲线
的右焦点为
，且点
到双曲线
的渐近线的距
离为．过点
作两条互相垂直的直线和
，交双曲线
于
、
两点，
交双曲线
于
、
两点，
、
分别是
、
的中点，直线
过定点
；再过点
作两条互相垂直的直线
和
，
交双曲线
于
、
两点，
交双曲线
于
、
两点，
、
分别是
、
的中点，直线
过定点
，以
49
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这样的方式构造下去，可以得到一列定点
、
、
、
、
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)求点
的坐标；
(3)若
、
，记
的面积为
，证明：
．
【详解】（1）双曲线的渐近线方程为
，即
，
则点
到渐近线的距离为
，
又因为
，所以
，
因此，双曲线
的方程为
.
（2）当
轴，
必然与
轴重合，由曲线的对称性知
的中点
在
轴上，
的中点
也在
轴，故
经过的定点
也在
轴上，
设点
，设直线
的方程为
，设点
、
，
联立
得
，
所以，
，
，
由韦达定理可得
，
，
故线段
的中点
，
同理可知，直线
的方程为
，
的中点为
，即点
，
50
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当
时，
由
、
、
三点共线可得
，得
，
解得
，因此，
.
当
时，
，此时
过
，
故
.
（3）由（2）可知，当
时，定点
，同理可知，
也一定在
轴上，
考虑一般情况，假设点
，设点
，
设直线
的方程为
，设点
、
，
联立
得
，
所以，
，
，
由韦达定理可得
，
，
故线段
的中点为
，
同理，直线
的方程为
，
51
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线段
的中点为
，即点
，
当
时，
由
、
、
三点共线可知，
，即
，
整理可得
，即当点
时，
，
当
时，
，此时
过
，
综上，
.
故当点
时，
、
、
、
，
由题意可知，
的面积为
，
所以
，
所以
.
24．（2025·贵州·三模）在数列
中，
，
，且
.
(1)证明：数列
是等差数列；
52
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(2)记
，数列
的前
项和为
，证明：
；
(3)证明：
.
【详解】（1）已知
，即
及
，
，
化简得
，又
所以数列
是首项为
公差为的等差数列.
（2）由（1）可知
，
所以
，
.
又
，所以
，
，
.
所以
于是
，
，
因为
，所以
，即
.
（3）定义
，原不等式即
53
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下面证明
，即
，
即证
（*），
设
，则
，
于是
在区间
上是增函数.
因为
，有
，不等式（*）成立.
故原不等式成立.
25．（2025·湖南·三模）已知函数
，及一个如下所示的
行
列的数阵
，
第1 列
第2 列
第3 列
…
第
列
…
第
列
第1 行
…
…
第2 行
…
…
第3 行
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
第行
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
第
行
…
…
其中
表示第行第
列的数.在该数阵中，第1 列的数从上到下组成公差
的等差数列；
第1 行的数，对
加上1 后，得到的数列
，
，
，…，
，…，
是公比
的等比数列.已知
，
（其中
，，…，
；
，，…，
），且当
时，
恒成立.
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(1)求实数
的值；
(2)记第2 行的数从左到右组成的数列为
，第1 列各数的和为
.
（i）求数列
的通项公式；
（ii）求证：
.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
.
若
，因为
，所以恒有
在
上单调递增．
又
，所以当
，不符合题意．
若
，当
时，
；当
时，
．
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
所以
．
要使
时，
恒成立，
只需
．
设
，则
，
所以当
时，
；当
时，
．
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，即有
.
由此知，当
时，
，
又由
恒成立，知
，
所以
，解得
.
（2）（i）设数阵中第1 列的数从上到下组成的等差数列为
，
55
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则
，公差
，
则其通项公式为
.
又设
组成的数列为
，
则
，公比
，所以
．
由第2 行的数从左到右组成的数列为
知，
因为
，
所以
，
即
，
亦即
，且
．
所以
时，有
.
又
时符合上式，所以
．
故数列
的通项公式为
．
（ii）由（1）知，当
时，
恒成立，
即当
时，
恒成立，当且仅当
时取等号．
所以当
时，
恒成立（当且仅当
时取等号）．
由（i）知
，令
，
代入
，得
，
即有
．
56
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所以有
，
.
将上述
个式子相加，得
，
，
所以
．
由第1 列各数的和
，
及
，得
．
26．（2025·安徽黄山·二模）若数列
，
，其中
，对任意正整数
都有
，则称数列
为数
列
的“接近数列”．已知
为数列
的“接近数列”，且数列
，
的前
项和分别为
，
．
(1)若
（
是正整数），求
，
，
的值；
(2)若数列
是公差为
的等差数列，且
，求证：数列
是等差数列；
(3)若
（
是正整数），判断是否存在正整数
，使得
？如果存在，请求出
的最小值，如果不
存在，请说明理由．（参考数据：
，
）
【详解】（1）由题设
，且
，
所以
，即
，
，
57
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，即
，
，
，即
，
，
所以
，
，
；
（2）由题设
，则
，
所以
，
，则
，
所以
，
，
，
所以
，故
，即数列
是等差数列；
（3）当
为奇数时
，
，则
，
由
，即
，
，则
；
当
为偶数时
，
，则
，
由
，即
，
，则
；
所以
且
，则
且
，
而
，
要使
，则
，
当
且
，则
，
58
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所以
，则
，可得
；
当
且
，则
，
所以
，则
，显然不成立；
综上，
时
的最小值为7.
27．（2025·天津北辰·三模）已知等差数列
的前
项和为
，满足：
，公差
为整数且满足
，
正项等比数列
满足：
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，其中
，求数列
的前
项和为
；
(3)定义
为除数函数，即它的函数值等于
的正因数的个数，例如：
，记
，求证：
.
【详解】（1）由题设
，解得
，
公差
为整数，则
，又
，故
，
正项等比数列
满足
，
（负值舍），故
.
（2）
，
当
时，
，
令
.
59
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当
时，
，
令
，
综上，
；
（3）
除数函数
的函数值等于
的正因数的个数，
，
，
，
，
当
时
，
，
综上，
.
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28．（2025·重庆·模拟预测）已知
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若对任意
，恒有
.
（i）求
的取值范围;
（ii）证明: 对任意的正整数
，
.
【详解】（1）当
时，函数
，求导得
，
则
，而
，切线方程为
，
所以曲线
在
处的切线方程
.
（2）（i）对任意
，不等式
，
设函数
，求导得
当
时，
，函数
在
上单调递增，
，因此
；
当
时，令
，求导得
，
，
则
，使得
，当
时，
，函数
在
上递增，
当
时，
，即
，因此
，
此时
，不符合题意；
当
时，
，不符合题意，
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所以
的取值范围是
.
（ii）由（i）得当
时，
，
令函数
，求导得
，
令函数
，求导得
，
函数
在
上单调递减，
，函数
在
上单调递减，
因此
，当
时，
，当
时，
，
于是
，
所以
.
29．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数
，记
，若
满足
，
则称
是
上的“可控函数”．由“可控函数”的定义可得：若函数
是
上的“可控函数”，则函数
也是
上的“可控函数”，其中
，例如
．
(1)判断函数
是否为
上的“可控函数”，并说明理由；
(2)已知函数
是
上的“可控函数”，且的最大值为
．
（i）求函数
的解析式；
（ii）若数列
满足
，
是数列
的前
项和．求证：
．
【详解】（1）
是
上的“可控函数”．
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因为
，由
得
，
所以
，
因为
，故函数
是
上的“可控函数”．
（2）（i）由函数
的定义域为
，可得
，
由于
，又因为
，
当
时，
，则
在区间
上单调递减，
当
时，
，则
在区间
上单调递增，
而
，所以当
时，
的取值范围为
，
因为
，
所以由“可控函数”的定义可得函数
是
上的“可控函数”．
所以的最大值不小于
．
若
，由“可控函数”定义可知
满足的条件为
可得
，所以
．
又因为
，由
的单调性可得，
当
时，
的取值范围为
，
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显然
，
所以函数
是
上的“可控函数”，
所以的最大值为
，得
，则
，
所以函数
的解析式为
．
（ii）先证明
．
由（i）可知函数
是
上的“可控函数”，
由“可控函数”性质可知函数
也是
上的“可控函数”，
所以
．
因为
，
且
，所以
，
所以
．
再证
．
由（i）可得
在区间
上单调递减，且
，
所以若
，则
，
若
，则
．
又因为
，所以
时，
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均大于
均小于
．
因为
，
所以当为奇数时，
．
若
，可得
．
若
，可得
，
所以对任意的
．
综上所述
．
65
