文档文本内容
专题02 抽象函数与嵌套函数
目录
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）
核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）
聚焦题型精准解密（5 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 抽象函数的定义域与值域问题（
）
题型二 抽象函数的单调性与奇偶性综合（
）
题型三 嵌套函数的零点问题（
）
题型四 抽象函数的解析式求解（
）
题型五 嵌套函数的最值与参数范围问题（
）
实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
近几年高考主要以小题（选择题、填空题）为主，分值5~10 分，部分地区可能在解答题中与导数
（判断单调性）、不等式（恒成立问题）、数列（累加法求解析式）跨模块融合。
基础知识必备：
一、抽象函数核心基础：
定义域：遵循“括号内整体范围一致”原则，即若f (t )定义域为[a,b]，则f (g(x))需满足a≤g(x)≤b，
需结合内层函数（如一次函数、二次函数、对数函数）的定义域约束（如对数真数大于0、偶次根式
被开方数非负）综合求解。
二、奇偶性与单调性：掌握定义法（f (−x)=± f (x)判断奇偶性，f (x1)−f (x2)
x1−x2
判断单调性）、赋值法
（常用x =0、x =−y、x =1等特殊值推导性质），明确奇偶性对函数图象对称性的影响（奇函数关于
原点对称，偶函数关于y轴对称）、单调性对不等式转化的作用（单调函数可“去f 符号”）。
解析式：熟悉赋值法（构造方程求特殊值）、累加法（适用于f (x +1)−f (x)= g(x)型）、构造法（假
设一次/指数/对数函数模型代入验证）。
嵌套函数核心基础：
1
三、拆解逻辑：通过换元法将y = f (g(x))拆分为外层函数y = f (t )与内层函数t = g(x)，解题需“分层处
理”（先分析外层函数性质，再结合内层函数值域）。
四、零点与最值：零点问题转化为“外层函数零点→内层函数解的个数”（如g(x)= f (f (x))−a的零
点，需先求f (t )=a的解ti，再求g(x)=ti的解的总数）；最值问题需先求内层函数值域（作为外层函数
定义域），再求外层函数最值。
2026 高考预测：
一、抽象函数：侧重奇偶性与单调性的综合应用（如解不等式f(2x-1)+f(x-3)>0）、赋值法求特殊值或解析
式、定义域与值域的嵌套求解（如f(f(x))的定义域）。
二、嵌套函数：聚焦多层嵌套的零点个数判断（结合函数图象数形结合）、含参数的嵌套函数恒成立/有解
问题（如g(x)=f(f(x))-k≥0 恒成立求k 范围），可能出现与新定义结合的创新题型（如“取整函数+嵌套函
数”）。
三、趋势特点：隐性逻辑应用增强（不再直接给出奇偶性/单调性，需通过条件推导）、图象法依赖度提升
（嵌套函数零点、参数范围问题需直观分析图象交点）、跨模块融合加深（如与导数结合分析嵌套函数的
单调性）。
重难知识汇总：
函数类型
重点知识
难点突破
抽象函数
1. 奇偶性与单调性的推导（赋值法）；
2. 解析式求解（赋值法、累加法）；
3. 定义域与值域的嵌套
1. 复杂条件下的赋值技巧（如x = y
、x =2 y）；2. 非单调抽象函数的
值域分析
嵌套函数
1. 零点个数的分层计数（换元法）；
2. 最值的分层求解（内层值域→外层最
值）；3. 参数范围的约束转化
1. 多解情况下的分类讨论（如
f (t )=a有2 个解时，需分别分析每
个解对应的内层解个数）；
2. 恒成立条件的等价转化（如
f (g(x))≥k→f (t )min≥k）
综合应用
1. 抽象函数与嵌套函数结合（如f (g(x))的奇
偶性判断）；2. 与分段函数融合（分段嵌套
的零点分析）
1. 分段函数各区间的性质差异（如
x ≤0与x>0的单调性不同）；2. 跨
区间的解的计数整合
常用技巧方法：
赋值法：抽象函数性质推导与解析式求解的核心，优先赋值x =0（求f (0)）、x =−y（证奇偶性）、y =1
（推导递推关系），如由f (x + y)= f (x)+ f ( y)−2赋值x = y =0得f (0)=2，赋值y =1得f (x +1)−f (x)=1。
2
换元法：嵌套函数拆解的关键，令t = g(x)将y = f (g(x))转化为y = f (t )，简化外层函数分析，如
g(x)= f (f (x))−a的零点问题，先求f (t )=a的解ti
，再求g(x)=ti
的解。
数形结合法：嵌套函数零点、参数范围问题的直观工具，通过绘制内层函数g(x)与外层函数f (t )的图象，
分析交点个数或最值，如判断f (x)=2与f (x)=3对应的解的个数时，需结合f (x)的分段图象观察。
构造法：抽象函数解析式求解的辅助手段，针对常见模型（如f (x + y)= f (x)f ( y)假设指数函数、
f (xy)= f (x)+ f ( y)假设对数函数），代入条件验证并确定参数。
易错避坑提效：
易错点1：抽象函数定义域理解偏差：误将f (g(x))的定义域视为g(x)的定义域，忽略“括号内整体范
围一致”，如f (x)定义域为[1,3]，则f (2 x−1)需满足1≤2 x−1≤3，而非2 x−1的定义域本身。
易错点2：嵌套函数零点计数遗漏：未分类讨论外层函数解的个数，或忽略内层函数在不同区间的解
的差异，如f (x)为分段函数时，f (x)=t在x ≤0与x>0可能有不同解的个数，需分别计数。
易错点3：抽象函数单调性误用：未先证明单调性直接“去f 符号”，或忽略定义域约束，如解
f (2 x−1)>f (x−3)时，需先确认f (x)单调，再结合定义域列不等式。
提效技巧：二轮复习中针对高频题型（如嵌套零点、抽象函数不等式）总结“解题模板”，如零点问题按
“换元→求外层解→内层解计数→总数汇总”步骤执行，减少思维漏洞。
题型一 抽象函数的定义域与值域问题
方法点拨：定义域用 “括号内整体范围一致”+ 内层约束列不等式；值域先求内层值域，结合外层
单调性 ，忌忽略内层定义域限制。
【典例01】1.（2025·湖北武汉·三模）已知函数
的定义域为
，对任意的
，均有
，且
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例02】（2025·浙江温州·二模）函数
满足：①
②
，
3
．则
的最大值等于 ．
【变式01】（25-26 高三上·山东菏泽·期中）已知函数
的定义域和值域分别为
和
，则函
数
的定义域和值域分别为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【变式02】（24-25 高三下·重庆·月考）已知
满足
，且
，则
的值域为
【变式03】（2025·黑龙江大庆·三模）已知
是定义在
上的奇函数，
是定义在
上的偶函数，
若函数
的值域为
，则函数
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．9
题型二 抽象函数的单调性与奇偶性综合
方法点拨：赋值法（0、-y 等）推奇偶性与单调性，将不等式转化为
与
关系，借单调性
去
符号，勿忘定义域约束。
【典例01】（2025·辽宁·一模）对任意
，都有
，且
不恒为
0，函数
，则
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【典例02】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，当
时，
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
4
A．
B．
C．
D．
【变式01】（2025·福建漳州·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足：
，且
，
，若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式02】（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数
的定义域为
，且
在
上单调递减，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式03】（2025·江苏淮安·模拟预测）已知函数
定义域为
，且满足：
，
，
，
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三 嵌套函数的零点问题
方法点拨：换元令 t=f (x)，先求
的解
，再结合
图象数每个
对应解的个数，总数汇
总得零点数，分类讨论防漏解。
【典例01】（2025·贵州毕节·一模）已知函数
，则函数
的
零点个数为（ ）
5
A．5
B．6
C．7
D．8
【典例02】（2025·陕西西安·三模）设函数
.若函数
与
都没有零点，则函数
与
（ ）
A．都没有零点
B．都有零点
C．至少有一个没有零点
D．至少有一个有零点
【变式01】（2025·山东临沂·三模）已知函数
，若函数
有8 个零点，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式02】（2025·河北保定·二模）已知函数
记函数
的
个零点为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式03】（25-26 高三上·江苏镇江·期中）已知函数
，若函数
有6 个
零点，则实数
的取值范围为 .
题型四 抽象函数的解析式求解
方法点拨：赋值特殊值（0、1 等）构造方程，或假设一次 / 指数等模型代入，累加法适用于
型，解后需验证。
【典例01】（2025·河北秦皇岛·一模）
表示不小于
的最小整数，如
，已知定义在
上的函数
满足
，且
，则
（ ）
A．2025
B．2024
C．2023
D．2022
6
【典例02】（2025·山东·一模）设函数
的导函数为
，当
时满足
，且
，
则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式01】（24-25 高三上·江西·月考）已知函数
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式02】（23-24 高三上·广东湛江·月考）已知函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
是偶函数
D．
没有极值点
【变式03】（25-26 高三上·河南·期中）已知定义在
上的函数
满足对任意
恒成立，且
，则
（ ）
A．200
B．210
C．110
D．220
题型五 嵌套函数的最值与参数范围问题
方法点拨：先求内层
的值域，再求外层
最值；恒成立转
最值与参数关系，有解转
参数属
值域，数形结合助分析。
7
【典例01】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数
在
上单调，且
在
上恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例02】（25-26 高三上·山东·期中）已知函数
，若函数
有8 个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式01】（2025·河北·模拟预测）已知函数
是
上的增函数，且关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式02】（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知函数
若关于x 的方程
有7 个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 （ ）.
A．
B．（0，1]
C．
D．[1，+∞）
【变式03】（25-26 高三上·重庆南岸·月考）已知
，
，若函数
8
恰有4 个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
（限时训练：15 分钟）
1．（25-26 高三上·重庆渝北·月考）已知函数
的定义域为
则
的定义域
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·陕西商洛·月考）已知函数
的定义域和值域均为
，则函数
的定义
域和值域分别为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
3．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
是定义在R 上的偶函数，且在区间
上单调递减，若实数
a 满足
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·陕西榆林·模拟预测）(多选)定义在
上的奇函数
满足
，
，则下
9
列结论正确的是（ ）
A．
B．
关于
对称
C．
的周期为2
D．
5. （25-26 高三上·湖南衡阳·月考）已知函数
，若有另一函数
有且仅有3 个不同零点，则常数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（2025·四川眉山·模拟预测）(多选)已知函数
函数
，
则下列结论正确的是（ ）
A．若关于
的方程
恰有1 个实数根，则
的取值范围是
B．若关于
的方程
恰有2 个不同的实数根，则
的取值范围是
C．若
有5 个零点，则
的取值范围是
D．
可能有6 个零点
7. （2024·四川德阳·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2024
D．2025
8.（2025·浙江·二模）定义在
上的函数
满足
，当
时，
10
，则函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
9. （22-23 高三上·广西桂林·月考）已知定义在
上的函数
是偶函数，当
时，
，若关于
的方程
，有且仅有6 个不同实数根，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10. （25-26 高三上·四川广安·月考）已知函数
，若方程
有
且仅有5 个不同实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
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