微专题13 数列的奇偶项问题
近几年高考：有关数列的奇偶项问题是高考中经常涉及的问题,
解决此类问题的关键在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项
数、公差(比)等,涉及求通项、求和等.(1)隔项等差、等比数列
型求通项公式常用的方法:用2k-1 或2k 替代n,求出a2k-1,a2k的
通项;(2)求数列的前n 项和常用的方法有:方法一:分别求出S 奇,
S 偶,利用Sn=S 奇+S 偶,这种思路本质上是分组求和;方法二:把
a2k-1+a2k看作一项,求出S2k,再利用S2k-1=S2k-a2k求出S2k-1,这种思
路本质上是并项求和.
一、高考真题
(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1=
{
an+1,n 为奇数,
an+2,n 为偶数.
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求{an}的前20 项和.
二．典型例题
1. an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)型
例1 已知数列{an}的前n 项和为Sn=n2+4n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{cn}满足cn+1+cn=an,且不等式cn+2n2≥0 对任意的
n∈N*都成立,求c1的取值范围.
规律方法 1.构造隔项等差数列:
an+1+an=pn+q(p,q≠0)⇒an+2+an+1=p(n+1)+q⇒两式相减得⇒an+2-
an=p;
2.构造隔项等比数列:an+1·an=pqn(p,q≠0)⇒an+2·an+1=pqn+1⇒两式
相除得⇒an+2
an
=q.
训练1 (2025·唐山调研)在数列{an}中,已知a1=1,an·an+1=(
1
2)
n
,
记Sn为{an}的前n 项和,bn=a2n+a2n-1.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并写出其通项公式;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求Sn.
2. an={
f (n),n 为奇数,
g(n),n 为偶数
型
例2 (2025·南京质检)已知数列{an},a1=1,an+1=
{
1
3 an+n,n 为奇数,
an−3n,n 为偶数.
(1)是否存在实数λ,使得数列{a2n-λ}是等比数列?若存在,求出λ
的值;若不存在,请说明理由.
(2)若Sn是数列{an}的前n 项和,求满足Sn>0 的所有正整数n.
规律方法 对于递推关系分奇偶不同的数列,可以利用a2n,a2n-1
及a2n-1,a2n-2,推导出偶数项递推关系,求出偶数项的通项公式,
通过a2n,a2n-1的关系再推出奇数项的通项公式.求Sn时,可以先
把a2n+a2n-1看作一项,求出S2k,再求S2k-1=S2k-a2k.
训练2 (2025·沈阳模拟)已知等比数列{an}是递减数列,{an}的前
n 项和为Sn,且1
a1
,2S2,8a3成等差数列,3a2=a1+2a3,数列{bn}满
足bn+1=2bn-2n+1,b1=3,n∈N*.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)若cn={
anbn,n 是奇数,
(6n+19)an
bnbn+2
,n 是偶数,
求数列{cn}的前2n 项
和T2n.
3. 通项公式中含有(-1)n型
例3 (2025·广州质检)已知数列{an}的首项为a1=1
2
,且满足
an+1+4an+1an-an=0.
(1)证明:数列{
1
an}为等差数列;
(2)求数列{
1
an}的前n 项和为Sn;
(3)求数列{(-1)nSn}的前n 项和.
规律方法 通项中含有(-1)n的常见类型
(1)等差数列的通项公式乘以(-1)n,可用并项求和法求数列前n
项的和,
如an=(-1)n(2n-1),前20 项的和
a1+a2+…+a20=(-1+3)+(-5+7)+…+(-37+39).
(2)等比数列的通项乘以(-1)n,若求其前n 项和的最值可写成分
段形式,
如等比数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1· 3
2
n ,则其前n 项和
Sn=1-(−1
2)
n
,求Tn=Sn- 1
Sn
的取值范围时,n 分奇偶讨论,求Tn
的最值.
(3)裂项相消法求和
如an=(-1)n
4 n
(2n−1)(2n+1)
=(-1)n(
1
2n−1 +
1
2n+1),
求和时通过(-1)n实现正负交替.
训练3 (2025·西安调研)已知数列{an}的前n 项和Sn=n
2+n
2
,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2
an+(-1)nan,求数列{bn}的前n 项和Tn.
【精准强化练】
1.(2025·龙岩模拟)已知数列{an}的前n 项和为
Sn,a1=2,Sn+Sn+1=3an+1-4,等差数列{bn}的前n 项和为
Tn,b2+b4=6,T4=10.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn={
bn,n 为奇数,
an·bn,n 为偶数,
求数列{cn}的前2n 项和.
2.已知数列{an}的前n 项和为Sn,a1=4 且an+1=Sn+4(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(-1)n+1 2n+1
nlo g2an
,求数列{bn}的前n 项和Tn.
3.(2025·烟台质检)各项非零的数列{an}的前n 项和记为Sn,记
Tn=S1·S2·S3…Sn,且满足2SnTn-Sn-2Tn=0.
(1)求T1的值,证明数列{Tn}为等差数列并求{Tn}的通项公式;
(2)设cn=(−1)
n
nan
,求数列{cn}的前n 项和Kn.
4.(2025·成都诊断)已知数列{an}满足an+1+an=4n-3(n∈N*).
(1)若数列{an}是等差数列,求a1的值;
(2)当a1=2 时,求数列{an}的前n 项和Sn.
