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专题 03 分组（并项）法求数列前 n 项和
1．在等差数列{a }中，已知公差d=2，a 是a 与a 的等比中项.
n 2 1 4
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）设b n =a n(n+1) ，记 T =-b +b -b +b +⋯+(-1) nb ，求T .
n 1 2 3 4 n n
2
2．已知{a }是等差数列，满足a =3，a =12，数列{b }满足b =4，b =20，且{b -a }是等比数列.
n 1 4 n 1 4 n n
（1）求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
（2）求数列{b }的前n项和.
n
3．已知递增等差数列 满足 ， ，数列 满足 .
{a } a +a =10 a ⋅a =21 {b } 2log b =a -1,n∈N*
n 1 5 2 4 n 2 n n
（1）求 的前n项和 ；
{b } S
n n
（2）若 ，求数列 的通项公式.
T =nb +(n-1)b +⋯+b {T }
n 1 2 n n
4．已知 为等差数列， 为单调递增的等比数列， ， ， .
{a } {b } a =b =1 a +a =6 a b =12
n n 1 1 2 4 3 3
（1）求 与 的通项公式；
{a } {b }
n n
（2）求数列 的前 项和
{a +b } n S
n n n3 1
5．已知数列{a }的前n项和为S = n2- n.
n n 2 2
（1）求数列 的通项公式；
{a }
n
（2）数列 ， 表示不超过 的最大整数，求 的前1000项和 .
b =[lga ] [x] x {b } T
n n n 1000
6．已知数列 的前 项和为 , ， ．
{a } n S a =2 a =S +2
n n 1 n+1 n
（1）求数列 的通项公式；
{a }
n
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
{b } b =a +log a {b } n T
n n n 2 2n-1 n n
7．已知数列 满足 .
{a } a =1,a =2a +1
n 1 n+1 n
（1）证明 是等比数列，并求 的通项公式；
{a +1} {a }
n n
（2）求数列 的前 项和公式.
{a } n
n
8．设 是等差数列， 是等比数列.已知 .
{a } {b } a =4,b =6 ， b =2a -2,b =2a +4
n n 1 1 2 2 3 3
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
{a } {b }
n n
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
{c } c =1,c =¿ k∈N*
n 1 n
（i）求数列
{a (c -1)}
的通项公式；
2n 2n
（ii）求 n .
∑a c (n∈N*)
2i 2i
i=19．已知数列 ， 是其前 项的和，且满足
{a } S n 3a =2S +n(n∈N*)
n n n n
（1）求证：数列¿为等比数列；
（2）记T =S +S +…+S ，求T 的表达式．
n 1 2 n n
10．设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，已知
{a } n S d a =1,S =9
n n 1 3
（1）求数列 的通项公式;
{a }
n
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
b =(-1) n ⋅a 2 {b } n T
n n n n
11．已知正项数列 和 为数列 的前 项和，且满足 ，
{a } {b },S {a } n 4S =a2+2a a =2log b (n∈N*)
n n n n n n n n 2 n
（1）分别求数列 和 的通项公式；
{a } {b }
n n
（2）将数列 中与数列 相同的项剔除后，按从条到大的顺序构成数列 ，记数列 的前 项和为
{a } {b } {c } {c } n
n n n n
T ，求T ．
n 100
12．已知数列{a }是一个公比为q(q>0,q≠1)的等比数列，a =1,S 是数列{a }的前n项和，再从条件
n 1 n n
①､②､③这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）令b =2log a -7，求数列{b }的前n项和T 的最小值.
n 2 n n n
条件①：4a ,3a ,2a 成等差数列；条件②：S =2a -1；条件③：S =7.
2 3 4 n n 3注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
13．已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列.
{a } n S S =25 a -1 a +1 a +3
n n 5 3 4 7
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
{a }
n
（Ⅱ）若 ， 是数列 的前 项和，求 .
b =(-1) na +1 T {b } n T
n n n n 2n
14．已知数列{a }的前n项和S 满足4a -3S =3,其中n∈N*.
n n n n
（1）证明：数列{a }为等比数列；
n
1
（2）设b = a -4n+1,求数列{b }的前n项和T .
n 3 n n n
15．已知数列 中， ， .
{a } a =1 a =¿
n 1 n+1
{ 3}
（1）求证：数列 a - 是等比数列.
2n 2
（2）记 是数列 的前 项和：
S {a } n
n n
①求S ；
2n
②求满足S >0的所有正整数n.
n
16．数列 前 项和为 ，满足： ， .
{a } n S a =2 a =2S +2
n n 1 n+1 n
（1）求证：数列 是等比数列；
{S +1}
n
（2）求和：S +S +⋅⋅⋅+S .
1 2 n1
17．已知正项等比数列{a }满足a = ，a a =4(a -1)
n 1 2 1 5 3
(1)求{a }的通项公式：
n
(2)求数列{n+a }的前n项和S .
n n
18．已知数列 的前 项的和为 ，且满足 .
{a } n S S =2a -1(n∈N*)
n n n n
(1)求数列 的通项公式 及 ；
{a } a S
n n n
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项的和 .
{b } b =|S -31| {b } n T
n n n n n
19．已知数列 满足： ，且 ．设 ．
{a } a =1 a =¿ b =a
n 1 n+1 n 2n-1
(1)证明：数列 为等比数列，并求出 的通项公式；
{b +2} {b }
n n
(2)求数列 的前2n项和．
{a }
n
20．在①a =5，S =63；②3a =a ，S =7；③a =3，S -S =19这三个条件中任选一个，补充在下列
3 9 2 10 2 1 8 6
问题中的横线上，并解答．
已知等差数列 的前n项和为 ，______，数列 是公比为2的等比数列，且 ．
{a } S {b } b =a
n n n 2 2
(1)求数列 和 的通项公式；
{a } {b }
n n(2)数列 ， 的所有项按照“当n为奇数时， 放在前面；当n为偶数时， 放在前面”的要求进行
{a } {b } b a
n n n n
“交叉排列”，得到一个新数列 ； ， ， ， ， ， ， ， ，…，求数列 的前 项和
{c } b a a b b a a b {c } 4n+3
n 1 1 2 2 3 3 4 4 n
T ．
4n+3
21．已知数列 满足 ，且
{a } 2a =a +a (n≥2) a =2,a +a +a =18
n n n-1 n+1 1 2 3 4
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)设
b =|(❑√2) a n-1000|
，求数列
{b }
的前
15
项和
T
（用具体数值作答）.
n n 15
22．已知 是等差数列，其前 项和为 ．若 ．
{a } n S a =2,S =4(a +a )
n n 1 7 2 5
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
b =2a +2a n {b } n T T
n n n n n
23．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， ．
{a } S a =1 2S =S +2
n n 1 n+1 n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
1
(2)若数列{b }满足b =a + ，求数列{b }的前n项和T ．
n n n a n n
n24．已知正项等比数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列.
{a } n S a =2 a a +2 a
n n 1 2 3 4
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
1
(2)设数列{b }满足b = +log a ，求数列{b }的前n项和T
n n a 2 n n n
n
25．已知数列 的前n项和为 ，数列 为等差数列，且满足 ．
{a } S {b } a =-1,a +b =0,S =2a +b (n∈N*)
n n n 1 2 3 n n n
(1)求数列 和 的通项公式；
{a } {b }
n n
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
c =b ,c =c +b ,c =c +a {c } 2n T
1 1 2n 2n-1 1 2n+1 2n n n 2n
26．已知 是等比数列 的前 项和．
S =2n+1-λ(λ∈R) {a } n
n n
(1)求λ及a ；
n
1
(2)设b = +log a ，求{b }的前n项和T ．
n a 2 n n n
n
27．已知数列 满足， ， ．
{a } a =¿ a =1
n n+1 1
(1)若数列 为数列 的奇数项组成的数列， 为数列 的偶数项组成的数列，求出 ， ， ，并
{b } {a } {c } {a } c c c
n n n n 1 2 3
证明：数列 为等差数列；
{b }
n(2)求数列 的前22项和．
{a }
n
28．已知数列 的首项 2，且满足 2a .
{a } a = a = n
n 1 3 n+1 a +1
n
(1)求证：数列{1 }为等比数列；
-1
a
n
1 1 1
(2)若 + +⋯+ <2023，求满足条件的最大整数n.
a a a
1 2 n
29．已知数列 是等差数列， ，且 ， ， 成等比数列．给定 ，记集合
{a } a =1 a a a -1 k∈N*
n 1 1 2 5
{n∣k≤a ≤2k,n∈N*} 的元素个数为 b ．
n k
(1)求b ，b 的值；
1 2
(2)求最小自然数n的值，使得b +b +…+b >2022．
1 2 n
30．已知公差不为0的等差数列{a }中，a =1，a 是a 和a 的等比中项.
n 1 4 2 8
(1)求数列{a }的通项公式：
n
(2)保持数列{a }中各项先后顺序不变，在a 与a (k=1,2,⋯)之间插入2k，使它们和原数列的项构成一
n k k+1
个新的数列{b }，记{b }的前n项和为T ，求T 的值.
n n n 20
31．已知数列 的前 项和为 ， .
{a } n S S =2a -1
n n n n
(1)求 的通项公式；
{a }
n(2)若 ，求数列 的前 项和 .
b =2n+1 {a +b } n T
n n n n
1
32．已知数列{a }满足：a = ，a =1，a +4a =5a ，对一切正整数n成立．
n 1 2 2 n+2 n n+1
(1)证明：数列{a -a }是等比数列；
n+1 n
(2)求数列 的前 项之和．
{a } n
n
33．已知等差数列{a }的前三项和为15，等比数列{b }的前三项积为64，且a =b =2.
n n 1 1
(1)求{a }和{b }的通项公式;
n n
(2)设c =¿，求数列{c }的前20项和.
n n
34．已知 为数列 的前n项和， .
S {a } S +2=2a
n n n n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)记 ，求 前 项的和.
b =¿ {b } 12
n n
35．在数列 中， ， ．
{a } a =20 a =|a -3|
n 1 n+1 n
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)求 的前n项和 ．
{a } S
n n36．记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a＝3.
2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak ，则在ak和ak 两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}
＋1 ＋1
的前40项和.
37．已知等差数列 的前n项和为 ，满足 ，_____________．
{a } S a =6
n n 3
在①S =a ；②S =20；③a +a +a =30这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如
3 6 4 2 5 8
果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”）
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)设 ，求 的前n项和 ．
b =2a n+a {b } T
n n n n
38．已知数列 的前n项和为 ， ， ，且 .
{a } S a =2 a =4 S -2S +S =2
n n 1 2 n+2 n+1 n
(1)证明：数列 是等差数列，并求 的通项公式；
{a } {a }
n n
(2)若等比数列 满足， ， ，求数列 的前 项和 .
{b } b =1 b +b =0 {a ⋅b } 2n T
n 1 2 3 n n 2n
39．已知 为等差数列，且 ．
{a } a =2a -2n+3
n n+1 n
(1)求 的首项和公差；
{a }
n(2)数列 满足 ，其中 、 ，求 60 ．
{b } b =¿ k n∈N* ∑b
n n i
i=1
40．记等差数列 的公差为 ，前 项和为 ；等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，已知 ，
{a } d n S {b } q n T b ＝4a
n n n n 3 1
S ＝b +6，T ＝7a ．
4 3 3 1
(1)求d和q；
(2)若 ， ， 求 的前 项和．
a ＝1 q＞0 c ＝¿ {c } 2n
1 n n
