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专项02 数列及求和
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026 年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年全国卷考情，等差数列、等比数列与数列求和是必考主干，分值约10-22 分．
命题趋势：
解答题：稳定考查数列（常为第15 题或16 题），通常情况下与解三角形解答题二选一，一般考查内容
是等差等比数列性质的简单应用，求和部分一般主要考查错位相减求和，裂项求和以及奇偶项讨论分
组求和，随着新课程改革，数列新定义问题也会作为压轴题的形式出现，主要考查学生对与新概念的
认识以及自主学习能力问题.
2026 年预测：解答题极可能仍为数列常规题．
备考核心：熟记等差（等比）数列的通项公式、求和公式和性质，解答题强化“求数列通项及求和”
综合训练，小题提升转化与化归能力．
题型01 数列通项及分组求和
析典例
· 建模型
1．（2026·陕西商洛·二模）已知等差数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
1
(2)若数列
是首项为2，公比为3 的等比数列，求数列
的前
项和．
研考点
· 通技法
通项求解：优先观察型（等差、等比、周期）；递推型用累加法、累乘法、构造法（如an+1=pan+q）；
Sn与an混用必用
，勿忘验证首项.
分组求和：识别通项可拆为等差、等比、常数、奇偶项等结构，按类型拆分数列.分别对各组用对应求
和公式（等差、等比求和），再合并结果。注意项数统计、下标换算与符号，尤其奇偶分组时项数要准
确.
核心：先拆通项结构，再分组套公式，严谨核对项数与首末项.
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三下·上海·月考）已知数列
满足
．
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
2．（2026·湖南邵阳·二模）已知数列
是等差数列，且
，
，数列
满足
，
.
(1)求
的通项公式，并证明数列
是等比数列；
(2)若数列
满足
，求
的前
项和
.
2
题型02 数列通项及裂项求和
析典例
· 建模型
1．（25-26 高三上·河北石家庄·期末）在正项数列
中，
，
.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)记
，设数列
的前
项和为
，求满足
的最小整数
.
2．（2026·河北保定·一模）已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求
(2)若
，求数列
的前n 项和.
研考点
· 通技法
一般地，如果一个数列的通项公式是分式形式，那么往往可灵活运用“裂项”求和技巧简捷求解该数列
的前n 项和．常见的“裂项”结论有：
3
(1)
1
n(n+1)=1
n−1
n+1
1
(2n−1)(2n+1)=1
2(
1
2n−1−
1
2n+1)
1
√n+1+√n=√n+1−√n(n∈N
¿)
(2)形如
an
(an−1)(an+1−1)
(a∈N
¿,a≥2)
当
a∈N
¿
，a≥2时，易知
an
(an−1)(an+1−1)
= 1
a−1(
1
an−1
−
1
an+1−1)
(3)形如
an−1(a−1)
(an−1+b)(an+b)
(a∈N
¿,a≥2,b>0)
当
a∈N
¿
，a≥2时，易知
an−1(a−1)
(an−1+b)(an+b)
=
1
an−1+b
−
1
an+b
(4)形如
a2n+1(a2n−n−1)
n(n+1)
(a∈N
¿,a≥2)
当
a∈N
¿
，a≥2时，易知
a2n+1(a2n−n−1)
n(n+1)
=a2n+3
n+1 −a2n+1
n
(5)形如
(a−1)n+a
n(n+1)an+1 (a∈N
¿,a≥2)
当a∈N
¿
，a≥2时，易知
(a−1)n+a
n(n+1)an+1= 1
na n−
1
(n+1)an+1
破类题
· 提能力
1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列
前
项的积为
.
(1)判断
是否成等差数列，并给出证明；
(2)令
，求数列
的前
项和
，
4
2．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列
满足
，且对任意的正整数
，当
时，都有
．
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
3．（2026·云南·模拟预测）已知函数
（
且
）的图象经过点
，记数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求证：
．
题型03 数列通项及错位相减求和
析典例
· 建模型
5
1．（25-26 高三上·吉林·期中）已知数列
的前n 项和
，
，数列
满足
.
(1)求证：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
.
研考点
· 通技法
设
是等差数列，
是公比
的等比数列，则数列
的前n 项和
的常规求法是错位相减
法，取巧可这样做：设
，则
，其中
，
.推导过程请参考视频，x、y 的计算公式可不记，记住
的形式，取
和
用待
定系数法来算就可以了.
破类题
· 提能力
1．（2026·吉林通化·模拟预测）已知等差数列
的前n 项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)数列
满足
，求数列
的前n 项和
．
2．（2026·河南·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
，
6
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)数列
满足
，求数列
的前n 项和
．
题型04 数列通项及奇偶项讨论问题
析典例
· 建模型
1．（2026·黑龙江·一模）数列
是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为
，满足____．数列
满
足
，且
．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中.
①
，
；
②
，
，
，
成等差数列；
③
，
；
(1)分别求出数列
与
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前10 项和
．
（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
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研考点
· 通技法
核心思路：分奇偶讨论、分别构造通项、合并结果，3 步速解：
1.拆分奇偶项：按下标n 分奇数项与偶数项分组，单独分析递推关系、公差或公比.
2.求分段通项：奇数项、偶数项分别套用等差或等比公式，写出对应k 的表达式.
3.验证合并：核对边界项一致性，整理成分段函数形式；求和时同理，奇项和、偶项和分开计算再累加.
破类题
· 提能力
1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列
满足
．数列
的各项均为正数，
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
2．（25-26 高三下·天津河西·开学考试）已知等差数列
的前
项和为
，
是公比大于0 的等比数
8
列，
，
，
，且
，
，
成等差数列.
(1)求数列
与
的通项公式；
(2)设
，求
；
(3)设
（
），求
.
题型05 数列证明类问题
析典例
· 建模型
1．（2026·山西运城·一模）设正项数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求
的通项公式;
(2)若
，记数列
的前n 项和为
，证明：
．
9
2．（25-26 高三上·河北秦皇岛·期末）已知数列
满足
，
，
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)证明:对
，
.
研考点
· 通技法
核心是抓定义、用递推、巧放缩，分三类突破：
1.等差等比证明：紧扣定义，证相邻项差或比为常数，或用中项性质，优先化简递推式.
2.通项与求和证明：利用累加法、累乘法、Sn与an关系推导，代入验证等式成立.
3.不等式证明：常用放缩法（裂项、等比放缩）、数学归纳法、函数单调性，先放缩再求和.
关键步骤：先梳理递推关系，再选对应方法，严谨书写推理过程，注意 n 的取值范围.
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三下·重庆·月考）已知数列
满足
.
(1)数列
能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由；
(2)证明:
.
10
2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列
满足
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求证：
；
(3)求
的值．
题型06 数列型定义问题
析典例
· 建模型
1．（2026·北京平谷·一模）设数阵
，其中
．设
，其中
且
．定义变换
为“对于数阵的每一行，若其中有
或
，
则将这一行中每个数都乘以
；若其中没有
且没有
，则这一行中所有数均保持不变
．
表示“将
经过
变换得到
，再将
经过
变换得到
，…，以此类推，
最后将
经过
变换得到
”，记数阵
中四个数的和为
．
(1)若
，写出
经过
变换后得到的数阵
；
(2)若
，求
的值；
11
(3)对任意确定的一个数阵
，证明：对所有可能的非空子集，对应的
的值的总和不超过
．
研考点
· 通技法
定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下：
第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号，
第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方
法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点.
第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的
性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）.
第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论.
破类题
· 提能力
1．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列
中，记
，若
为等差数列，则称
为二阶等差
数列．
(1)若
，判断
是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列
满足
，
，
．
①求数列
的通项公式；
②若不等式
对
恒成立，求实数k 的取值范围．
12
2．（25-26 高三下·重庆·月考）设有穷数列
：
，…，
满足
且
，则称其为“n 阶
数列”．
(1)若“8 阶
数列”：
是递增的等差数列，求
；
(2)设“n 阶
数列”满足
．
（i）记该“n 阶
数列”的前r 项和为
．证明：数列
不是“n 阶
数列”；
（ii）证明：
．
（建议用时：60 分钟）
刷模拟
1．（25-26 高三上·山东临沂·期末）已知等比数列
的公比为
且
，等差数列
的公差为
，
满足条件：
，
，
.
13
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
2．（25-26 高三上·河南信阳·期末）设数列
是等差数列，
是等比数列.已知
，
，
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项的和
.
3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列
，等差数列
其前n 项和分别为
，
，
满足
，
，
.
(1)求
，
的通项公式；
(2)将数列
与
中的项按从小到大依次排列构成一个新数列
，求数列
的前50 项和
.
14
4．（2026·河北保定·一模）已知等差数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
满足
，求
的前2n 项和
及其最小值．
5．（25-26 高三上·贵州黔南·期末）已知数列
的首项
，且满足
，
.
(1)证明数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)若
，记数列
的前
项和为
，证明：
.
6．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)证明：
是等比数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
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7．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
.
(1)若数列
，求数列
的前n 项和
；
(2)已知函数
在
处的切线为直线
，直线
在y 轴上的截距为
，求数列
的前n
项和
.
8．（2026·湖北孝感·二模）已知数列
的前
项和为
，若对任意
，向量
，
，有
．数列
满足
，其前
项和为
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
9．（2026·陕西·模拟预测）已知函数
定义在区间
内，
时，恒有
16
.
(1)证明：
为奇函数；
(2)若数列
满足
，
，
.
（i）证明：数列
为等比数列，并求出数列
的通项公式；
（ii）设
，若
对
恒成立，求
的取值
范围.
10．（25-26 高三下·北京·开学考试）已知
为正整数，
，若数列
同时满足：
① 对任意
，均有
；
② 对任意
，均有
；
③ 对任意
，均有
，
则称该数列为
数列．
(1)若数列
是
数列，直接写出
的所有可能值；
(2)若数列
是
数列，求
的最大值；
(3)若数列
是
数列，求
的最小值．
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刷真题
1．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列
中，
，
.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数
，求
．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为等差数列，
，记
，
分别为数列
，
的前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
18
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数
列．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m 为正整数，数列
是公差不为0 的等差数列，若从中删去两
项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列
是
可分数列．
(1)写出所有的
，
，使数列
是
可分数列；
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(2)当
时，证明：数列
是
可分数列；
(3)从
中任取两个数和
，记数列
是
可分数列的概率为
，证
明：
．
20
