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专题04 数列通项公式的求法
题型归纳
题型01 Sn与an关系法求数列通项 ...............................................................................................................................................1
题型02 累加法求数列通项...........................................................................................................................................................11
题型03 累乘法求数列通项...........................................................................................................................................................16
题型04 构造法求数列通项 .........................................................................................................................................................20
强化训练..........................................................................................................................................................................................27
题型一：Sn与an关系法求数列通项
已知Sn与n的关系或Sn与an的关系式求an时，可利用an= Sn−Sn−1(n≥2) 代换、变形求出an,注意验证a1是
否满足an= Sn−Sn−1 .
1．（2025·全国·模拟预测）已知数列
的前
项和
，则
（ ）
A．6
B．11
C．12
D．2
【答案】A
【知识点】求等差数列前n 项和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】方法1：
计算即可；方法2：根据前
项和可知数列
为等差数列，再根据等差数列求解第三项；
【详解】方法1：
．
方法2：等差数列
的前
项和为
，
因为
，所以数列
是以2 为首项，2 为公差的等差数列．
1
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于是
．
故选：A．
2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】写出等比数列的通项公式、前n 项和与通项关系、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出
.
【详解】由题意，
，
在等比数列
中，
，
设公比为q，
，解得
，
∴
，
当
时，
，解得：
，
∴
是以2 为首项，3 为公比的等比数列，
∴
.
故选：A.
3．（2025·河南三门峡·三模）已知数列
的前n 项和是
，若
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、利用an 与sn 关系求通项或项
2
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【分析】由数列的通项与前n 项和的关系，分别令
，
，解方程可得所求值．
【详解】数列
的前n 项和是
，若
，
，
则当
时，
，
两式相减可得
，
当
时，
，解得
，
当
时，
，解得
故选：D.
4．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
，
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求
的通项；
(3)求
的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)3.
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用an 与sn 关系求通项或项、根据数列的单调性求参数
【分析】（1）利用
的关系，将
转化
，整理即可得证；
（2）根据（1）中结论，求出
的通项，结合已知可得所求；
（3）根据通项公式即可得解.
3
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【详解】（1）因为
，所以
，故
，
又
，所以
是以3 为首项，3 为公差的等差数列．
（2）由（1）知
，
当
时，
，
而
时，
不满足上式，
所以
.
（3）由（2）知，当
时，
，
又
，所以
的最大值为
.
5．（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列
的前n 项和
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用an 与sn 关系求通项或项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）根据数列前
项和
与通项
的关系
来求解数列的通项公式，最后需要检验
4
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时的情况是否满足
时的通项公式．
（2）已知条件得到关于
的不等式，通过构造数列
，求出数列
的最小值，进而确定
的取值范围．
【详解】（1）
，则当
时，
，
当
时，
，不符合
，
所以
．
（2）因为
，
，所以
，
．
令
，则
，
当
时，不妨设
的第n 项的值最小，
只需令
，
解得
，
又
，
所以
的最小值为
，
所以
，即
的取值范围是
．
6．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)保持
的各项顺序不变，在
和
之间插入k 个1，使它们与数列
的项组成一个新的数列
，记
的
前n 项和为
，求
.
5
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【答案】(1)
(2)
【知识点】分组（并项）法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）借助
与
的关系计算可得
，再利用等比数列定义计算即可得；
（2）由题意可得
，数列
的其余项为1，则可借助分组求和计算即可得解.
【详解】（1）由
，得
，
则
，即
，
又
，满足
，所以
，
所以
是首项是
，公比为
的等比数列，故
；
（2）由题知
，数列
的其余项为1，
则
.
7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）设数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
6
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【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an 与sn 关系求通项或项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）当
时，由
可得出
，两式作差可得出
，可知数列
为等
比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列
的通项公式；
（2）当
时，推导出
，再结合不等式的基本性质可证得结论成立.
【详解】（1）由
，当
时，
，
则
，整理得
.
因为
，所以
是以
为首项，以
公比的等比数列，
所以
.
（2）
，
当
时，
，
所以
，
所
8．（2025·山东·模拟预测）已知
为数列
的前
项和，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
.
7
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【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n 项和、错位相减法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）利用
与已知
建立等式，因
，得出
，可知
是等差数列，进而求出
，再根据
求出
，并验证
时是否满足.
（2）先根据
求出
，进而得到
表达式. 用错位相减法，即①式减②式求出
表达式，从而证明
. 再通过放
缩法，将
各项缩小，得到
.
【详解】（1）解：因为
，
所以
.
又因为
，所以
，
所以
，
所以
是公差为1 的等差数列.
则
，所以
.
当
时，
，
当
时，
满足上式，
所以
.
（2）证明：由题意及（1），得
，
所以
，①
，②
8
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-
①②得
，
整理得
.
又
，
所以
，得证.
9．（2025·福建龙岩·二模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、利用an 与sn 关系求通项或项、构造法求数列通项
【分析】（1）构造法判断
为等差数列，并写出其通项公式，再应用
关系求
的通项公式；
（2）应用裂项相消法求
.
【详解】（1）由
，
，得
，又
，
数列
是首项为
，公差
的等差数列，
，即
，
当
时，
，且
也满足，
9
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，则数列
的通项公式为
；
（2）由（1）得
，
.
题型二：累加法求数列通项
形如an+1=an+ f (n)型的递推数列（其中f (n)是关于n 的函数）可构造{
& an−an−1= f (n−1),
& an−1−an−2= f (n−2),
&⋯
& a2−a1= f (1),
将上述n−1个式子两边分别相加,可得an= f (n−1)+ f (n−2)+⋯+ f (2)+ f (1)+a1(n≥2) .
（1）若f (n)是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
（2）若f (n)是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
（3）若f (n)是关于n 的二次函数,累加后可分组求和;
（4）若f (n)是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和.
10．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列
满足
，且
，则数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等比数列前n 项和
【分析】由累加法及等比数列前
和公式可得
，即可得到
.
10
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【详解】由
，知
，
所以
，即
，
故
，又
适合上式，故
．
故选：C.
11．（2025·天津和平·三模）定义新运算：
，已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．239
B．225
C．211
D．261
【答案】C
【知识点】累加法求数列通项
【分析】根据题可得
，即可利用累加法求解通项得解.
【详解】由
可得
，
故
累加可得
，
故
，
故选：C
12．（2025·云南昆明·一模）已知数列
满足
，
．
(1)若
，
，
成等差数列，求k；
11
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(2)求
．
【答案】(1)
(2)
【知识点】累加法求数列通项、等差中项的应用
【分析】（1）根据
，
成等差数列得
，求出
即可；
（2）由
可得答案.
【详解】（1）已知数列
满足
，
．
因为
，
，
成等差数列，所以
，
所以
，
整理得
，解得
，或
（负值舍去）.
（2）因为
，又
，
所以
时，
，
时,
也满足上式，
所以
．
13．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列
的首项为
，前
项和为
，且
．
12
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(1)求数列
的通项公式；
(2)已知
，记数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n 项和、裂项相消法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）根据
可得
，再结合累加法可得通项公式；
（2）利用裂项相消法可求和，再结合不等性质可得证.
【详解】（1）由已知
得
，
即
，则
，
，
，
，
等式左右分别相加可得
，
则
；
（2）依题意得，
，
则
，
又
，所以
，所以
，
即
．
14．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1 的正项数列
满足
．
13
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(1)求
的通项公式；
(2)令
（
），求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和
【分析】（1）由累加法求数列通项公式即可；
（2）由裂项相消法求和即可．
【详解】（1）令
，
，又由
有
，
则有
，
所以
．
又因为数列
的各项均为正数，所以
．
（2）由
，
知
．
14
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题型三：累乘法求数列通项
形如an+1=an⋅f (n)( an+1
an
= f (n))型的递推数列(其中f (n)是关于n的函数) 可构造{
& an
an−1
= f (n−1),
& an−1
an−2
= f (n−2),
&⋯
& a2
a1
= f (1),
将上述n−1 个式子两边分别相乘,可得an= f (n−1)⋅f (n−2)⋅⋯⋅f (2)f (1)a1(n≥2) .
15．（2025·全国·模拟预测）数列递推指的是通过数列第
项与前几项或者后几项的关系，计算出数列的任一项．若
数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】求等比数列前n 项和、累乘法求数列通项
【分析】根据已知得
，应用累乘及等比数列前n 项和公式求得
，即可得.
【详解】由
及已知，得
，
相乘可得
，故
.
15
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故选：C
16．在数列
中，若
，则
（ ）
A．1012
B．1013
C．2023
D．2024
【答案】B
【知识点】判断或写出数列中的项、累乘法求数列通项
【分析】由题意先求出
，再将已知式化简后运用累乘迭代法求得
，即可求得
.
【详解】在
中，取
，可得
，代入
解得
，
又由
可得
，
于是
，
故
.
故选：B.
17.若数列
满足
（
为常数），则称数列
为等比和数列，
为公比和.已知数列
是以3 为公比
和的等比和数列，其中
，
，则
.
【答案】
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、累乘法求数列通项
【分析】令
，然后结合等比和数列可得数列
的通项公式，再由累乘法代入计算，即可求解.
【详解】令
，则
①，又
②，
由②－①得
，即
，
16
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，
，
，
故答案为：
.
18．设等差数列
的前
项和为
，
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知数列
满足
，
，记
的前
项和为
，求
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、二项式的系数和、累乘法求数列通项
【分析】（1）由
，解得
，
，从而得数列
的通项公式；
（2）根据题意有
，可得
，故可得
，
利用二项式系数和可得结论.
【详解】（1）由题意得：
解得：
，
，
（2）由题意得：
，
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由于
所以
19．设
为正项等比数列
的前
项和，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)数列
满足
，
，求
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、累乘法求数列通项
【分析】（1）根据等比数列的性质，列出关于
的方程，即可求解.
（2）先利用累乘法求出
的通项公式，再利用裂项相消法求出
前
项和
.
【详解】（1）因为
是正项等比数列，所以
，公比
.
因为
，所以
，
则
，即
，
则
，得
（舍）或
，
又因为
，所以
，所以
的通项公式为
.
（2）依题意得
，
18
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当
时，
，即
.
因为
，所以
，
当
时，
符合上式，所以
的通项公式为
.
因为
，
所以
.
题型四：构造法求数列通项
类型一：形如an+1= pan+q( p≠1且q≠0)型的递推式.数列{an} 为线性递推数列,其通项公式可通过待定系
数法构造等比数列来求.
设an+1+ λ = p(an+ λ),展开移项整理得an+1= pan+( p−1)λ ，与题设an+1= pan+q 比较系数（待定系数
法）得λ=
q
p−1 ( p≠1,q≠0)⇒an+1+
q
p−1 = p(an+
q
p−1 )⇒an+
q
p−1 = p(an−1+
q
p−1 )(n≥2) ,即数
列
{an+
q
p−1 }构成以a1+
q
p−1为首项，以p 为公比的等比数列.
类型二：形如an+1= pan+ f (n)( p≠1)型的递推式.（1）当f (n) 为一次函数类型（即等差数列）时，设
an+ An+ B = p[an−1+ A(n−1)+ B ],通过待定系数法确定A，B 的值,转化成以a1+ A + B为首项,以p为公
比的等比数列{an+ An+ B} ,再利用等比数列的通项公式求出{an+ An+ B}的通项公式，整理可得an.(2)
当f (n) 为指数函数类型（即等比数列）时,设an+ λf (n)= p[an−1+ λf (n−1)],通过待定系数法确定λ 的
值,转化成以a1+ λf (1)为首项,以p为公比的等比数列{an+ λf (n)} ,再利用等比数列的通项公式求出
{an+ λf (n)}的通项公式，整理可得an .
20．（25-26 高三上·江西南昌·开学考试）已知首项为1 的数列
，其前n 项积是公差为3 的等差数列，则
＝
（ ）
A．4
B．3
C．
D．
【答案】C
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项
19
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【分析】根据数列
的前n 项积为等差数列，得等差数列的通项，进而得所求项.
【详解】因为数列
的首项为1，且其前n 项积是公差为3 的等差数列.
所以
，令
，得
.
所以数列
是公差为3，首项为1 的等差数列.
故
，即
.
所以
.
故选：C.
21．（2025 高三·全国·专题练习）已知在数列
中，
，
，则通项
．
【答案】
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项
【分析】利用待定系数法构造新数列，得到
，从而利用等比数列性质求出答案.
【详解】利用待定系数法构造新数列，
，
又
，则
，
所以
．
令
，
是以
为首项，公比
的等比数列．
．即
，
．
当
时成立，所以
．
故答案为：
22．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列
中，
，
，设
.
20
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(1)证明数列
为等比数列，并求
的通项公式；
(2)设
，将数列
和数列
的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列
，求数列
的前
50 项和
.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【知识点】求等差数列前n 项和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n 项和、构造法求数列通项
【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等比数列的定义推理得证，进而求出通项公式.
（2）由（1）确定数列
前50 项中数列
的项数，再利用分组求和法求解.
【详解】（1）由
，
，得
，则
，
即
，又
，于是
，而
，
所以数列
为首项为3 公比为3 的等比数列，
.
（2）由（1）知
，数列
，
都是递增数列，
，即
，
因此数列
的前50 项包含
中的前46 项与
中的前4 项，
所以
.
23．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，点
在函数
的图象上，其中
，
，，
．
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)设
，求
及数列
的通项；
(3)记
，求数列
的前
项和
，并证明：
．
【答案】(1)证明见解析
21
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(2)
，
(3)
，证明见解析
【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n 项和、裂项相消法求和、构造法求数列通项
【分析】（1）点代入函数解析式得
，等式两边加1 化简后取对数，可证题设结论；
（2）利用（1）求得
后可得
；
（3）已知得
，变形为
，可得
，由裂项相消法的思想可得和
，然
后可证得不等式成立．
【详解】（1）由已知得
，则
，
由
，知
，
两边取对数得
，
注意到
，则有
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列．
（2）由（1）知
，
故
，
．
（3）由
，得
，
则有
，
．
22
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又
，则
．
，
由
，
，
，
得
．而
，
故
．
24．（25-26 高三上·辽宁·开学考试）已知方程
的两实根分别为
，数列
的通项公式为
的前
项和为
.
(1)求
；
(2)求
的值；
(3)设数列
的前
项和为
，证明：
.
【答案】(1)
，
.
(2)
(3)证明见解析
【知识点】判断或写出数列中的项、由递推数列研究数列的有关性质、求递推关系式、构造法求数列通项
【分析】（1）求出方程的根后可求
；
（2）利用代数变形可得
，据此可求
的值；
（3）根据（2）的递归关系可得
，利用构造法可求
的通项公式，结合不等式的性质可证
.
23
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【详解】（1）因为方程
的两实根分别为
，故
，
故
，
.
故
，
.
（2）由题设可得
，
，
所以
，
故
，
，
，
，
累计可得：
即
.
（3）当
时，
由题设
，
，
24
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，
故
，设
，
则
，其中
，
，
故
且
，
而
，
，
故
、
均为等比数列，
且前者首项为
，公比为
，后者首项为
，公比为
，
故
，
且
，
所以
，其中
，
而
满足上式，故
，
整理得：
因为
，而
，
25
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故
，
而
，
故
，
故
即
.
一、单选题
1．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知数列
的前
项和
，则
（ ）
A．153
B．161
C．163
D．238
【答案】B
【分析】应用
计算求解.
【详解】因为
，则
．
故选:B.
2．（2025·四川成都·二模）已知正项等差数列
满足
，则
（ ）
A．4050
B．2025
C．4048
D．2024
【答案】B
【分析】利用等差数列性质及前
项和公式变形给定等式得
，再构造常数列求出目标值.
【详解】在等差数列
中，
，
26
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则
，即
，因此
，
数列
是常数列，则
，即
，所以
.
故选：B
3．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列
满足
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用累加法，结合分组求和、等差等比前n 项和公式求通项公式.
【详解】由题设
，即
，且
，
所以
，
由
满足上式，故
.
故选：B
二、多选题
4．（2025·广西·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
，且
，则（ ）．
A．
不是等比数列
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】当
时，可求出
的值；当
时，由
得
，两式作差可得出
，可求出数列
27
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的通项公式，逐项判断即可.
【详解】因为数列
的前
项和为
，
，且
，
当
时，
，
当
时，由
得
，
上述两个等式作差得
，可得
，但
，
所以数列
从第二项开始成公比为
的等比数列，
故当
时，
，所以
，
对于A 选项，数列
不是等比数列，A 对；
对于B 选项，
，B 错；
对于C 选项，
，C 对；
对于D 选项，
，D 对.
故选：ACD.
5．（2025·四川绵阳·一模）已知数列
满足
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
是等差数列
D．
是等比数列
【答案】BD
【分析】根据已知递推关系可得到
，结合等比数列通项公式可求得B 正确；采用作差法可知A 错
误，根据等差数列定义可得C 错误；由B 得
，知D 正确.
28
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【详解】对于B，
，
，
，
又
，
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列；
，解得：
，B 正确；
对于A，由B 知：
，
，A 错误；
对于C，
，
，
不是常数，
不是等差数列，C 错误；
对于D，由B 知：
，即
，
，又
，
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，D 正确.
故选：BD.
三、填空题
6．（2025·河南·模拟预测）记
为正项数列
的前
项和，
，
为等比数列，则
．
【答案】
【分析】根据已知有
，结合等比数列的通项公式得
，进而有
，最后由
求值.
29
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【详解】由题设
，可得
，即
，
又
为等比数列，若公比为
，则
，故
，
所以
，则
，
所以
.
故答案为：
7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列的问题，即一个数列
本身不是等差数列，但从数列
中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
，则称数列
为一
阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列
：1，1，2，8，64，…是一阶等比
数列，则
；
．
【答案】 32
【分析】设
，则由题意可知
为等比数列，其中
，从而可求出
，得出
；利用累乘法可求出
，从而可求
，然后利用裂项相消法求和即可．
【详解】由题意，设数列
：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，
设
，所以
为等比数列，其中
，公比为
，
所以
，则
．
则
，
所以
，
30
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所以
．
故答案为：32；
．
8．（2025·山东济南·二模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，则
【答案】
【分析】根据等差数列的定义有
，即
，利用
关系求通项公式.
【详解】由题设，数列
是首项、公差均为1 的等差数列，
则
，所以
，
当
，则
，显然
满足上式，
所以
.
故答案为：
9．（2025·河南信阳·模拟预测）甲、乙两人进行射击比赛，每次由其中一人射击，规则如下：若击中则此人继续射击，
若未击中则换对方射击．无论之前射击情况如何，甲每次射击的命中率均为
，乙每次射击的命中率均
，第一次射
击的人是甲、乙的概率各为
．求第三次射击的人是甲的概率为 ．
【答案】
【分析】记“第次射击的人是甲”为事件
，“第次射击的人是乙”为事件
，设
，由题意可得
，根据数列知识，构造等比数列，最后代入计算即可.
【详解】记“第次射击的人是甲”为事件
，“第次射击的人是乙”为事件
，
31
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设
，依题可知，
，
则
，
即
，
设
，解得
，则
，
又
，则
，所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
即
，
．
则第次射击的人是甲的概率为
.
当
时，
故答案为：
.
10．（2025·山东泰安·模拟预测）数列
满足
， 且
，
的前
项和为
，则满足不等式
的
的最大值是 .
【答案】5
【分析】构造等比数列计算得出通项公式，再应用等比数列求和公式计算求出参数的最大值.
【详解】
，
，且
，
是以
为首项,
为公比的等比数列.
,
.
,
32
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，即
，
,
,
的最大值是.
故答案为：5.
四、解答题
11．（2025·海南·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
，
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）令
，求出
的值，对任意的
，由
可得
，两式作差可得
，推导出数列
为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列
的通项公式；
（2）利用裂项相消法求出
，结合数列的单调性可证得结论成立.
【详解】（1）因为
①，所以
，解得
，
对任意的
，
②，
-
②①得
，即
，
所以
，即
，
因为
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，即
．
（2）因为
，
33
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所以
，
因为
，数列
为单调递增数列，所以
，
即
．
12．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
．
(2)
．
【分析】（1）由条件，结合关系
，
求数列
的通项，
（2）由（1）可得
，利用错位相减法求结论.
【详解】（1）因为
，
取
可得
，又
，
所以
，解得
，
当
时，用
替换
可得
，
所以
，
即
，
所以
，又
，
即
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
34
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所以
，
即
．
（2）因为
，
所以
，①
，②
①－②得
所以
，
所以
．
13．（2025·河南·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
关于n 的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令
可求得
，再结合
可求出
；
（2）利用累乘法结合已知条件可得
，则当
时，
，两式相减化简可得
，从
而可得
的奇数项、偶数项均成公差为
的等差数列，进而可求出其通项，则可求得
关于n 的表达式．
【详解】（1）令
，可得
，故
，
又
，所以
．
35
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（2）由
，可得
，
，…，
，
两边分别相乘得
，所以
．
当
时，
，所以
，
即
，即
，
由题可知
，所以
，
所以
的奇数项、偶数项均成公差为
的等差数列．
所以
，
，
所以
．
所以
，
故
．
14．（2025·安徽合肥·模拟预测）记
为数列
的前n 项和，已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)设递增的等差数列
满足
，且
成等比数列.设
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由
，
，两式相减可得
，从而求出
的通项公
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式；
（2）设数列
的公差为
，结合已知条件可得：
，所以
，利用裂项相消及不等式的性质求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
两式相减可得
，
即
，则
，
由
，可得
，
所以当
时，
，即
，
因为
不满足上式，
所以数列
的通项公式为
.
（2）设数列
的公差为
，因为
成等比数列，且
，
所以
，即
，整理得
，
解得
或
，
因为
，所以
，又因为
，所以数列
的通项公式为
.
可得
综上可得，对于任意
，都有
.
15．（25-26 高三上·广东·开学考试）已知数列
的前n 项和为
，满足
，
．
37
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(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，且数列
的前n 项和为
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由数列的递推公式利用累乘法求解；
（2）由（1）求出
，再由裂项法求和即可证明．
【详解】（1）由
，则
（n≥2），
两式左右分别相减得
，即
．
得
，
则
，
，…，
，
，
将以上
个式子相乘得
．
上式对
仍成立，所以
．
（2）
，
∴
．
故命题得证．
16．（2025·全国·模拟预测）设数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
38
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(2)设
，求
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
与
的关系化简题设可得数列
是首项为2，公比为3 的等比数列，进而求解即可；
（2）先求得
，利用裂项相消法及分组求和法求和即可.
【详解】（1）令
，则
，即
，
又
①，
②，
-
②①得
，则
，
所以数列
是首项为2，公比为3 的等比数列，
所以
．
（2）由（1）知，数列
是首项为2，公比为3 的等比数列，且
，
则
，
则
，
所以
，
即
．
17．（2025·贵州·模拟预测）在等差数列
中，
；记
为数列
的前
项和，且
.
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(1)分别求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和.
【答案】(1)
,
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解
，利用
的关系可得
为等比数列求解，
（2）利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）解：设数列
的首项为
，公差为d，
，则
，
所以数列
的通项公式为
．
因为
，所以当
时，
，则
．
当
时，
，则
，
所以
是以首项为
，公比为2 的等比数列，所以
．
（2）因为
，设数列
的前
项和为
，
①
②
-
①②得
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∴
，
则
．
18．（2025·湖南·模拟预测）设正项数列
的前n 项和
，满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
和
之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可；
（2）运用裂项相消法进行求解即可.
【详解】（1）由
得
，可知
，
两式相减得
，
即
，
，
∵当
时，
，
则
是首项为1，公差
的等差数列，
的通项公式为
；
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（2）
，
，
.
19．（2025·广东广州·三模）已知数列
满足
，
，且对任意的
，
，都有
.
(1)设
，求证：数列
是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列
的通项公式；
(3)若
，求
的前n 项和
.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)
【分析】（1）由
先求
，根据等差数列的定义验证
是否为不变的常数即可验证；
（2）由（1）有
，利用累加法即可求解；
（3）由
有
，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由
有
，
所以
，又
，
，解得
，
又因为
，即
，
所以数列
是以公差为3，首项为
的等差数列，
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所以
，
（2）由（1）有
，
所以
，
上式相加有
，
所以
，
所以
；
（3）由（2）有
，
所以
，
所以
，
所以
.
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